第一章 量子力学的诞生
一、经典物理学的困难
二、早期量子论（ 1900—— 1924）
三、量子力学的发展历程
四、自由粒子波函数
1,20世纪初之前的物理学的成就
a.机械运动 ——牛顿力学
b.热运动 ——热力学和统计物理学
c.电磁现象 ——麦克斯韦方程组
d.光学现象 ——波动光学
一、经典物理学的困难
1899年开尔文在欧洲科学家新年聚会的贺词中说：
物理学晴朗的天空上,飘着几朵令人不安的乌云
黑体辐射
迈克尔逊
— 莫雷实验
光电效应
氢原子光谱
康普顿 效应
量子力学 狭义相对论
2、世纪之交实验物理学对理论物理学的挑战
（ 1）迈克耳逊 —莫雷实验
1887年，阿尔贝特 ·迈克尔逊和爱德华 ·莫
雷在克里夫兰的卡思应用科学学校进行了测量
以太速度的实验。但结果一无所获，从而证明
了以太不存在，说明了光速在真空中的不变性。
十八十九世纪时，人们认为“真空”中
存在着一种无所不在的物体称为“以太”，
光波应该通过以太传播 。
（ 2）固体比热
固体的低温热容量，根据杜隆 —泊替定律，能
量均分定理，每一个自由度,1mol固体的热容量
为,
kT/2
因此固体的定容 mol比热为,3R
与温度Ｔ无关。
但，实验仅在室温以上成立，低温时 CV(T)下降，
与 T有关。
B3 N k RＶＣ ＝ ＝３
Ｂ ｋ Ｔ ２
（ 3）黑体辐射
绝对黑体的空腔模型
一个物体能全部吸
收透射在它上面的辐射
而无反射，这种物体称
为绝对黑体。
在一定温度下，当空腔与内部的辐射
处于平衡时，腔壁单位面积所发出的辐射能
量与其吸收的辐射能量相等，实验测出平衡
时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状
和位置只与黑体的温度有关与空腔材料或形
状无关。
维恩（ Wien）由热力学的讨论，加上一些特殊
的假设得出一个分布公式，维恩公式,
即随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动 。
瑞利（ Rayleigh）和金斯（ Jeans）根据经典电
动力学和统计物理学也得到一个黑体辐射能量分布
公式，瑞利 —金斯公式,
可以看出这个公式对高频无效，因为此时能
量密度趋于无限大，这就是著名的紫外灾难。
2 /31 CTd C e d??? ? ? ???
221
3
2
8C kTd T d d
CC?
?? ? ? ? ? ???
o
实验值
/μm
)(0 TM ?
维恩线
瑞利 --金斯线
紫
外 灾
难
普 朗
克 线
?1 2 3 4 5 6 7 8
下面我们将说到普朗克公式
2 /31 CTd C e d??? ? ? ???
221
3
2
8C kTd T d d
CC?
?? ? ? ? ? ???
3
3
81
1
h
kT
hdd
C e? ?
??? ? ???
?
（ 4）光电效应
光的照射下，
金属中的电子吸收
光能而逸出金属表
面的现象称为光电
效应。
爱因斯坦于
1905年提出光量子
（光子）理论，成
功解释光电效应。
O O
O O
O O
V
G
A K
B O O
m
光电效应实验装置图
由光电效应得到四条规律,
0aUk νU??
? ?2 012 aW m v e U e k νU? ? ? ?
2
0
1
2 m
m V e k ν e U??
dN I
dt ?
(a)单位时间内逸出的光电子数与入射光的强度成
正比,
??? ??W
(b)光电子的初动能 W随入射光的频率 ν线性增加，
而与入射光的强度无关,
上述四点中,(a)可以用经典的理论解释,(b) (c)
(d)却无法用经典理论解释。
(c)只有当入射光频率 ? 大于一定的频率时 ?0才会
产生光电效应
(d)光电效应 是瞬时发生的：驰豫时间不超过 10-9s,
根据经典的电磁波理论能量的积累时间大约为 80s
（ 5）光谱实验和原子模型
a)氢原子谱线
巴耳末
系
赖曼系
0.8 0.6 0.4 0.2 波长 m
m 可 见 光 紫 外 线
布喇 帕邢系
m m 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 红 外 线
普芳德系
开系
R称为氢原子的里德伯常量
谱线的波长 的倒数 称为波数
巴尔末公式,
n>k,n,k取整数
从 1885年至 1924年科学家们先后在可见光、
紫外和红外区发现了氢原子的光谱线系列，并
得到普遍的实验规律。
里兹并合原理,
光谱中有
也为可能的谱线。
，或 线，则,
1? 2? 12??? 12||???
经典的电磁理论认为若体系发出频率为
的谱线，则也可以发射其谐波
而实验上并没有得到。
?
n?
b)卢瑟福原子模型,
1911年卢瑟福根据
alpha 粒子散射实验提出了
原子有核模型。原子的质量
几乎集中于带正电的原子核，
而核的半径只占整个原子半
径的万分之一至十万分之一；
带负电的电子散布在核的外
围。卢瑟福的原子有核模型
成功地解释了 a 粒子散射实
验。
然而，根据经典的电磁学理论,绕核
运动的电子不断辐射电磁波，轨道半经随
能耗而连续变小，最终应落到原子核中来，
另外，其光谱应是连续变化的带状光谱，
而实验所得到的是分立谱。
这让人感到无法理解。
二、早期量子论（ 1900——1924）
1、普朗克公式和普朗克假设
普朗克用插值方法试图调
和维恩公式和瑞利 —金斯
公式，得到,
表示为 或用 λ
3
3
81
1
h
kT
h
dd
C
e
? ?
??
? ? ???
?
5
21
(,)
1
hc
kT
ch
MT
e ?
?
?
?
??
?
普朗克发现要解释上列公式，需要作三个假设,
(1)辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振
子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这
些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态
下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最
小能量 ? 的整数倍,
,2,3 n? ? ? ?L
(2)谐振子吸收或发射的能量正比于 ?
(3)吸收或发射频率为 的电磁辐射，只能以
的常数倍 ? h?
2、爱因斯坦公式
爱因斯坦从普朗克的能量
子假设中得到启发,他假定光
在空间传播时,也具有粒子性,
想象一束光是一束以 c 运动
的粒子流,这些粒子称为光量
子,现在称为光子,每一光子
的 能量为 hv,光的能流密
度决定于单位时间内通过该
单位面积的光子数。
根据光子理论,光电效应可解释如下,当金属
中一个自由电子从入射光中吸收一个光子后,就
获得能量,如果 大于电子
从金属表面逸出时所需的逸出功,这个电
子就从金属中逸出 。 从而得出爱因斯坦方程,
?h A ?h
Amvh ν m ?? 2
2
1
光强大，光子数多，释放的光电子也多，所
以光电流也大。
电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出
，所以无须时间的累积。
3、玻尔的量子化假设,(1913,论原子分子结
构” )
（ 1）定态假设,原子系统只
能处在一系列具有 不连续能
量的状态,在这些状态上电
子虽然绕核做圆周运动但并
不向外辐射电磁波 。 这些状
态称为原子系统的 稳定状态
（简称定态） 。
这些定态的能量,
E1,E2,E3,…En
（ 2）量子化条件,在这些稳定状态下电子绕核
运动的 轨道角动量的值,必须为 h / 2? 的 整数
倍,是不连续的，即有,
轨道半径?r ( 1,2,3 )
2
hL m v r n n n
?? ? ? ? ? ??h
（ 3）跃迁假设,电子从一个能量为 En 稳定态 跃
迁 到另一能量为 Ek稳定态时，要吸收或发射一个
频率为 ?的光子，有,
h
EE kn
kn
??? —— 辐射频率公式
按照玻尔的这些假设，从经典力学可以推出巴
耳末公式
)11( 22
nk
Rc ???
索末菲将玻尔的量子化条件推广为
? ? nhpdq
c
eR s
3
4
4 ??
m?
?
?
??
se
? ?2104??
e,（ SI）
e,（ CGS）
玻尔根据对应原理思想，定量地求出了氢原
子能级公式为,
?
?
3,2,1,
2
2
2
4
22
42
????? n
n
me
nh
meE
n
?
可以解释Ｈ原子光谱，和其他的电子体系，
如 Li+,Na+,K+，但对于 He原子的能级情况
却无法计算。
另外，玻尔假设也不能计算谱线的强度。
4、德布罗意波
德布罗意于 1923年 9月 10日
在法国科学院, 会议通报, 上
发表了有关物质波的第一篇论
文, 波和粒子,,在这篇文章
中从与粒子能量相联系的频率
?出发，作了一个大胆的设想，
认为“一般的”物质也具有波
粒二象性的性质，因而提出了
物质波的概念．他认为，一个
能量为 E，动量为 P的粒子与频
率为 v和波长为 λ的波相当．仿
照爱因斯坦关系，粒子的能量、
动量与相应的频率和波长的关
系为,
这就是德布罗意关系式,
德布罗意在他的理论中主要是提出了物质波的概念
和德布罗意关系式．他的理论确实使人感到耳目一新，
匠心独创．他从物理学最基本的假定出发所作出的类比
推理，其严密性是无懈可击的，而理论的独创性更给人
以深刻的印象．但由于缺乏实验验证，并没有引起人们
的注意．但当德布罗意的导师朗之万（ 1872—1946）将
德布罗意的博士论文寄给爱因斯坦时，爱因斯坦大加赞
赏，称赞说：“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚
呢！”并认为他揭开了“自然界巨大面罩的一角”，经
过爱因斯坦的推荐，人们才开始重视对物质波的理论研
究和实验验证,
5、证实量子性的早期实验及解释
(1)康普顿效应
(2)戴维逊 —革末实验：电子波动性的验证
(3)电子的双缝衍射和其透射金箔实验：电子波动
性
(4)斯特恩 —盖拉赫实验：原子、分子的波动性。
单缝衍射实验。
(5)弗兰克 —赫兹实验：原子内部能级是分立的。
作业,
1、证明普朗克公式在高频区内化为维恩公
式，在低频区内化为瑞利 —金斯公式。
2、由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能
级公式 En。
3、粒子波限制在长宽高为 a1,a2,a3的箱中
运动,E=p2/2μ，试由驻波条件，求粒子
能量的分立值 En1n2n3。
三、量子力学的发展历程（ 1923—1927 ）
1
、
薛
定
谔
方
程
),(??r?
和
其
他
物
理
量
1.薛定谔，波动力学,Schroedinger 方程,
波函数
2、海森堡,矩阵力学，求出测量某力学量的可
能值（期望值），平均值，各值出现的几率，
谱线的强度等物理量，可直接与实验数据对照。
2
?????
xpx
海森堡不确定关系,
４、狄拉克、泡利、波恩、约丹对量子力
学所做的贡献
３、玻尔：对应原理，并协原理
5、波动力学与矩阵力学的等价性,
薛定谔 +泡利原理解释了元素周期表
四、自由电子波函数；
平面波
1、自由粒子（ v<<c），其能量 E和动量 p都是常量，
由德布罗意公式,
)](2c o s [ vtxA ??? ??
?? ??? hE
knhp
?
??? ??
?
nk ?
2
?
?
?
?
波函数 为,
若波沿单位矢量方向传播，则应写成
]c o s [)](2c o s [ trkAvtnrA ?
?
? ??????? ?
???
量子力学中描写自由粒子的平面波必须用复数
形式（见 p28,§ 2.3），所以
)( trkiAe ????? ??
自由粒子的平面波
)( EtrpiAe ???? ???
若自由粒子运动方向取 x轴方向，则
)(),( EtpxiAetx ??? ?
作业,
1、背诵普朗克量子化的三条假设，写出普
朗克公式。
2、由玻尔角动量量子化假设导出电子在园
轨道上运动时 H原子的能级公式。
