第四章 态和力学量的表象
引入：三维空间中的一个矢量 A?,可在直角坐标系 OXYZ下表示为
（ Ax,Ay,Az），其中 Ai(i=x,y,z)是 A? 在三个坐标轴上的投影。
同一个矢量 A? 也可以在另一个旋转 ? 角（绕 Z 轴的）直角坐
标系 O ZYX ??? 下表示为（ zAyAxA ???,,），二组投影分量之间
可以用矩阵或线性方程组进行变换。 A? 矢量也可在球坐标系下
为（ Ar,A A ），与（ Ax,Ay,Az)之间也可以作坐标变
换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价
的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择。
? ?
量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（ repreenstation)
通过广义傅利叶变换，可以将（ x）坐标表象的状态矢量变换为以
P,E等为变量的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量
表象等。
2l
?
Chapter 4.1 态的表象
(,)xt?
(,) (,) ( ),px t c p t x dp??? ?
一，状态 用动量为变量的波函数描写,
1,其中 （ 1）
1
2
1()
( 2 )
i px
p xe?
?
? h
h
1
*
1
2
1()
( 2 )
px
p xe?
?
?
? h
h
*(,) ( ) (,)
pc p t x x t d x??? ?
22| (,) | | (,) | 1,x t d x c p t d p? ????
归一化,
简记,c(p)=(,)
p??
(2)
(3)
2| (,) |c p t
p p d p??
粒子动量值在 中的几率。实际上
(,)c p t
为同一状态 ?
在动量表象中的波函数。
2，具有确定动量值的 p 的自由粒子的态,(,) ( ) pi Etpx t x e?? ?? h (4)
则
,,
,*,(,) ( ) ( ) ( )pp
iiE t E t
p pc p t x x e dx p p e? ? ?
??? ? ?? hh(5)
略去含时因子：,( ) ( )c p p p??? p,变量 'p,确定值 简记,
''( ) (,) ( )c p p p p p?? ? ?
（ 5）或（ 6）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。 'p
3，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示,
,' '( ) ( )x x x x x x??? ? ? (7)
(6)
(7)也是坐标表象中坐标算符 的本征值方程。 $x
二，任意力学量 的表象中的状态 的表示 (,)xt?
1，分立谱，例如无限深势阱中电子, H原子中电子束缚态,谐振子,xnpE μ
2luv μzlnE
nE
,设力学量 的算符 具有分立的本征值,
1 2 ``` `````,n? ? ?
?
? μ?
对应分立的本征函数,1 ` ` ` 2 ` ` ` ` ` `( ) ( ) ( )nu x u x u x
则可以用正交归一完全系 将 展开为级数,{ ( )}
nux (,)xt?
*
(,) ( ) ( )
) ( ) (,)
nn
n
nn
x t a t u x
a t u x x t d x
?
?
?
?
?
?
其中
简记,(,)nnau ??
归一化,2 * *
* * * * * *
2
1 | (,) | ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
| ( ) | 1
m m n n
mn
m n m n m n m n
m n m n
m
mn
x t d x a t u x a t u x d x
a t a t u x u x d x a t a t
at
?
?
??
??
??
????
?? ?
?
即若 已归一化，则 也自然归一化。 是在 所描写的态中测量力学量
所得结果为 的几率，而数列
(,)xt? ()mat 2||na (,)xt?
? n?
1 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `( ),( ) ( )na t a t a t
就是 所描写的态在 表象中的表示。写为 (,)xt? ?
列矢量,
1
2
()
()
()
n
at
at
at
?
??
??
??
???
??
??
??
??
M
M
(10)
其转置复共轭为,? * * *
1 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `( ( ),( ) ( ) )na t a t a t? ? (11)
?, dagger
归一化,
? 1?? ?
2,分立谱 +连续谱
例如，氢原子中电子能量,束缚态,电离态 连续；有限深方势阱，当 E
nE E
0E?
为束缚态,
nE 分立, 0E? 则连续,也是 p
又：完全连续谱例子：电子自由运动时的动量，动能，自由粒子的坐标, H原子
中电子的
x
r
坐标表象的波函数 用 算符的本征函数系 展开,(,)xt? ? {}u
*
*
(,) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (,)
( ) (, )
n n q q
n
nn
qq
x t a t u x a t u x dq
a u x x t dx
a u x x t dx
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
例如 H基态的 表象波函数 即为状态 在 表象中的表示,
即测量力学量 数值为 的几率，而 即测量力学量 值的结果在
内的几率。
归一化,
85P {,}nqaapc ? μ? 2| ( )|nat
? n? 2| ( ) |
qa t dq
?
q q dq??
**( ) ( ) ( ) ( ) 1n n q q
n
a t a t a t a t d q??? ?
状态矢量,
1
2
()
()
()
()
n
q
at
at
at
at
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
??
M
M
? * * * *12( ( ),( ),( ) ( ) )nqa t a t a t a t?? LL
归一化,? 1? ? ? 归纳：求力学量 ? 表象中波函数 即用 算符的本征
函数的共轭 与坐标空间波函数相乘并积分,
ia
μ?
*()q x?
*( ) ( ) (,)
nna t u x x t d x?? ?
三，希尔伯特空间 (Hibert space)
1，状态 态矢量，选定一个 表象，即选定一特定的坐标系来描述, 的本征函数
系 即为这个表象中的基矢,表象中的波函数 即态矢
量 在 表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的 的本征函数
有无限多，所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间。
2，表象常用,
? ? ?
{ ( )}nux ? 1 2 ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` `( ( ),( ) ( ) )na t a t a t
? ?
1 ` ` ` 2 ` ` ` ` ` `( ( ) ( ) ( ) )nu x u x u x
μ μ ? μ μ ?2,,,,,
zzx p H l l ?
Chapter4.2算符的矩阵表示 一
1,
μ,(,) (,) (,)hF x t F x x t
ix??
?? ? ? ?
?
，算符 μF (1)
(,) ( ) ( )
(,) ( ) ( )
( ) ( ) (,) ( ) ( )
mm
m
mm
m
m m m m
mm
x t a t u x
x t b t u x
h
b t u x F x a t u x
ix
? ?
??
?
??
?
?
?
??
(2)
(3)
以 左乘（ 3）并积分,*
nu
**
*
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (,) ( ) ( )
m n m m n m m
m m m
m m n n n m m
mm
h
b t u x u x d x a t u x F x a t u x d x
ix
h
b t b t u x F x u x d x a t
ix
?
?
??
?
?
??
?
? ? ???
?? ?
(4)
(5)
即
( ) ( )n n m m
m
b t F a t? ?
其中 * ( ) (,) ( )
nm n mF u x F x u x dxix
??
??
h为算符 在 表象中的表示。 μF ?
{ ( ) },{ ( ) }nmb t a t 分别为状态 和 在 表象中的表示。 ? ? ?
11
11 12 1
22
221 22
12
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n
n
nn
m m m n
b t a t
F F F
b t a t
FFF
b t a t
F F F
??
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ?? ??
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
LL
LL
M M M
MM M
LL
MM
M M M
(6)
即算符 在 表象中是一矩阵,为其矩阵元。简记为 。 μF ?
nmF
F? ? ?
2,表象中的厄密算符
?
μ
μ μ
*
* * *
( ) ( )
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
n m n m
n m n m m n m n
F u x Fu x d x
F u x Fu x d x u x Fu x F
?
? ? ?
?
??
（厄密性定义）
(7)
转置并公厄,
? *mn nmFF?
比较 (4)(5) ?
? ?m n m nFF? 或 F=F
即厄密算符 在 表象中为厄密矩阵。 μF ?
3。 在自身表象中的矩阵元 ?
$**( ) (,( ) ( )n m n m n m m m n mu x x u x d x u x u d x
ix? ? ? ? ?
?? ? ?
???
h
可见,算符在自身表象中的矩阵元时一个对角矩阵，并且对角元素就是算符的本征
值。如 矩阵,一维无限深势阱，谐振子,为本征值 。
mnH mnH nE
4,如果 算符的本征值只构成连续谱，本征值 不可数，（如坐标,动量 ），则 ? q x p
μ '* ( ) (,) ( )qq n
qF u x F x u x d xix
??
??
h积分后 中无 ！ ' qqF x
如,
坐标表象
μ μ' " ' " " '( ) (,) ( ) (,) ( )xxF x x F x x x d x F x x xi x i x? ? ???? ? ? ? ?? hh
μ' * ( ) (,) ( )pp
ppF x F x x d xix??
??
??
h积分后 中无
'ppF x
！
二，例题
1，求一维线性谐振子的坐标 动量 和哈密顿量 在能量表象中的矩阵表示。
（ 分立谱）
解：以 表示线性谐振子 态的能量本征函数（ ）
有公式
x p H
()m x? m 1()2mEm ??? h
22
2
*
,1
( ) ( )
11
(,) [
2
x
n n n
mn m n m n m n
x N e H x
n
x x dx x
?
??
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ??
,1 ],(1 4 )2 mn
n ?
?
μ
,1, 1
1(,) [ ],0,1,2
22m n m n m n m n
nnp p i n? ? ? ? ?
??
?? ? ? ? ? ?hL
10 0 0
2
12 00
22
1
()
3200
22
30 0 0
2
mn
x
?
??
??
??
? ??
??
??
??
L
L
L
L
L
10 0 0
2
12 00
22
()
3200
22
30 0 0
2
mn
pi ?
???
??
???
? ??
?
??
??
??
L
L
h
L
L
L
μ 1H (,) ( )
2m n m n n m n m nH E n? ? ? ? ?? ? ? ? h
1 0 0 0
2
30 0 0
2
() 50 0 0
2
50 0 0
2
mn
H ?
??
??
??
??
???
??
??
??
??
??
L
L
h L
L
K
μH 在自身表象中为对角矩阵
本题矩阵元为分立值，写成可数的矩阵元，是由于谐振子能量本征值构成分立谱。
Chapter4.3 量子力学公式的矩阵表述
一，平均值公式
μ* ( ) ( )F x F x d x??? ?
简记,μ(,)FF?? ?
在 表象中，以 算符的本征函数系 展开, ? $? { ( )}nux ()x? μ
μ
**
**
*
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (,) ( ) ( )
( ) ( ) (,) ( ) ( )
( ) ( )
nn
n
m m n n
mn
m m n n
m
m mn n
mn
x a t u x
h
F a t u x F x a t u x dx
ix
h
a t u x F x u x dxa t
ix
a t F a t
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? ?
?
11 1 1 2 1
22 1 2 2 2
* * *
1 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
12
()
()
( ( ),( ) ( ) )
()
n
n
n
m m m n n
atF F F
atF F F
F a t a t a t
F F F a t
????
????
??
?????
??
????
??
?? ??
LL
LL
L L L L M
LL
LM
简写,
μ?FF???
二，本征值方程
简记,
同上节步骤，写为
μ μ(,) (,) (,)F x p x t x t???
μF? ???
111 12 1
221 22 2
12
()
()
0
()
( ) ( ) 0,1,2,
n
n
n n nn n
m n m n n
n
atF F F
atF F F
F F F a t
F a t m
?
?
?
??
? ????
????
?
??
???? ?
??
? ??
??
??
?? ??
? ? ??
LL
LL
L L L L M
LL
LM
L
(5)
(6)
(7)
有非 0解，所以
称为久期方程 { ( )}nat d e t | | 0
m n m nF ???? (8)
解久期方程可得一组 值,它们就是 的本征值。把求得的 代入原方程，就
可以求出与 对应的本征矢,其中 1,2,,n? ? ?LL
μF i?
i?
12( ( ),( ),( ) )i i ina t a t a tLL 1,2,,in? LL
三，薛定谔方程
μ(,) (, )
( ) ( ) ( )m m n n
n
i x t H x t
t
i a t H t a t
t
??
?
?
?
?
?
?
?
h
h
简记,μdiH
dt? ??h1,2n?
1,2,,in? LL
其中 μ* ( ) (,) ( )
m n m nH u x H x p u x d x? ?
是哈密顿算符 在 表象中的矩阵元。 μH $?
(9)
(10)
(11)
§ 4.4 么正变换
引入：量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。表象取得适当可使得问题的
讨论大为简化。为此常需要将波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象。变换
的思路完全类同于将同一矢量 在两个正交坐标中用分量式表示，而求两组分量的
关系。所不同的是，态矢量展开表示的两个“坐标系”（即表象）中的基矢分别为力学
量 和 的本征函数系 。
以下按曾谨言导论内容表述，以求简单明了。注意 矩阵定义二者不同！
一，平面矢量 在两个直角坐标系中的表示
1,系,
μF
μA μB
s
12oxx
(,)i j ijee ??uv uuv ( 1,2 )ij??
1 1 2 2A A e A e??uv uv uuv
其中
1 1 2 2(,),(,)A e A A e A??uv uv uuv uv
代表矢量 与两个基矢的标积（投影）
2,系：原系顺时针转 角，基矢 ''12oxx ? ''
12,ee
uvuuv ''(,)
i j ijee ??
uv uuv ( 1,2 )ij??
' ' ' '1 1 2 2A A e A e??uv uuvuv
其中 ' ' ' '
1 1 2 2(,),(,)A e A A e A??
uv uuvuv uv
''12,AA 为矢量 在 系中的表示。 Auv ''12oxx
1x
2x
'1x
'2x
?
?
ALL
1A
M
M
2A
'1A
'2A
3，同一个矢量在两个坐标系中的表示有什么关系？
' ' ' '1 1 2 2 1 1 2 2A A e A e A e A e? ? ? ?uv uuvuv uv uuv
对一式分别用 点乘（取标积）得,
' ' '
1 1 1 1 2 1 2
' ' '
2 1 2 1 2 2 2
(,) (,)
(,) (,)
A A e e A e e
A A e e A e e
??
??
uv uvuv uuv
uuv uuvuv uuv{ 注意，由 表示,用 点乘 12,AA ''12,AA ''12,,eeuvuv
将（ 2）改写成矩阵形式,
'''
1 1 1 2 1 11
' ''
222 2 1 2 2
(,) (,) c o s s i n ( 3 )
s i n c o s(,) (,)
e e e e A AA
AAA e e e e
??
??
?? ??? ? ? ? ???
?????? ? ? ? ???
??? ? ? ??? ??
uv uvuv uuv
uuv uuvuv uuv
记为
'
11
'
22
c o s s in( ),( ) = ( 4 )
s in c o s
AA RR
AA
????
??
??? ?? ?????
?? ???????? 其 中
为将 在两个坐标系中的表示 和 联系起来的变换矩阵。实际上变换矩阵 的矩阵
元正是两个坐标系的基矢之间的标积描述基矢之间的关系。由于矢量就均可表示成各
基矢的迭加，因而 可以变换不同坐标系中的同一矢量 的不同表示。
μA ' 11'
22
AA AA?? ???? ?????? R
R μA
'ijAA???
4，变换矩阵 的性质,R
转置 °R
° °
± °? *
? ? ? 1
1,d e t 1 ( 5
( R R R
1
R R R R R
R
R R R R R R ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
*
正 交 矩 阵 ） （ ）
又 R 实 ） 转 置 共 轭
即
满足（ 6）式得矩阵为么正矩阵。一个矢量在两个坐标系中的表示由么正变换向
联系。
二，量子态的表象变换
1，任何一个量子态（可归一化），可以可以看成抽象的希尔伯特空间的一个态
矢量，体系的任何一组力学量完全集 的共同本征态 （设为分立谱），可以用来
F k?
(6)
构成此态空间的一组正交归一完备的基矢（称为 表象） F
(,)k j kj? ? ??
体系的任何一个状态 用 展开,? {}k?
,,k k k k
k
aa? ? ? ? ? ? ?? ? ? *k其 中 = ( ) = d ( 8 )
展开系数 就是 态在 表象中的表示，它们分别是 与各基矢标积。
1,2(,)aa L ? F ?
2，设有另外一组力学量完全集,共同的本征函数 （基矢）记为,
量子态 也用 展开,
'F '
??
''(,)? ? ? ?? ? ??
'{}??
'',a ????? ? 其 中
' ' ' *(,) ( 10)ad? ? ?? ? ? ? ??? ?
展开系数 就是同一个量子态 在 表象中的表示。 ''
1,2(,)aa L ?
'F
3，两组表示 与 有何联系？描写同一 态 ''
1,2(,)aa L 1,2(,)aa L ?
'' ( 11)
(11)
kk
k
aa??
?
?
? ? ?
?
????
'式 左 乘, 并 取 标 积 （ 积 分 ）,
''
'
(,)
(,)
k k k k
k
kk
a a s a
s
? ? ?
?
??
??
??
??
?
??
(12)
(13)式中
是 表象基矢与 表象基矢的标积，类似于一（ 4）式中 。（ 12）式可写为
矩阵形式,'F F ijR
'
1 1 1 1 2 1
'
2 2 1 2 2 2
a s s a
a s s a
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
??? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ???
L
L
M L L L M
简记为,
'a sa?
(14)
(15)
从,已有 求,
用 去左乘 构成 。
'FF??? ia 'a?
*?? k?
ks?
( )
（ 14）式就是同一个量子态在 表象中的表示与它在 表象中表示的关系。 'F F
变换矩阵 为么阵矩阵,s ? ? ? 1 ss s s s I s ?? ? ?即 (16)
在 表象的表示与 表象表示之间为么阵变换。 ? F 'F
4，证明 为么阵矩阵 s
? ? *
'
? ' * ' '* ' '
kj
' '* ' ' * '
( )
1 3 (,)
s s = ( ) ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( )
k j k j k j
kk
kj
kj
s s s s s s
s
d r r d r r
d d r r r r
? ? ? ?
??
??
??
?
??
?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
??
? ??
???
uv uvvv
uv uvvv
在 表 象 中,
由 定 义 （ ） 式, 有
（ ）
' ' * ' *
= d ( - ) ( ) ( ) ( ) ( )
k j k j k j
d r r r r d r r? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?
uv uvv v v v
F
? 在 表象中为单位矩阵。而单位矩阵在任何表象中均为单位矩阵。
? 与表象无关。 ?s s I?
三，力学量的变换
1，在 表象中（基矢 ），力学量 表示成 F k? L ( ),kjLL
$ $*(,)k j k j k jL L L d? ? ? ? ??? ?
设有另一表象 （基矢 ），则在 表象中 表示成（ ）,'F '?? 'F L
'L??
$ $' ' '* '(,)L L L d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ?
k? '?? {}k?利用 将 展开,'?? 用 展开
' ' ' * *
'
' ' ' * *
(,) (,) ( 2 0 )
(,)
(,) (,) ( 2 1 )
k k k k k k
k k k
k
j j j j j j
j j j
s
s
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
k其 中 s 是 变 换 矩 阵 元
将（ 20）,(21)带入（ 19）式可得,
$ $
$
' ' * * *
'*
(,) ( ( ),( ) )
(,) ( 2 2 )
( 23)
k k j j
k j k j
k k j j
kj
L L s L s
L s L s
?? ? ? ? ?
?? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
?
即
? ?( ) k k j j
kj
s L s s L s? ? ? ???
? 1L s L s s L s ???
其中 为么正矩阵元，而 分别是力学量 在 表
象和 表象的矩阵表示。 是从 表象 表象的么阵变换矩阵。
注意，此处么阵变换与周书 相反,
四，总结与比较
' (,) kks????? ''( ) ( )
kjL L L L ????
和 FL
'F ()
kss?? F 'F?
114P
**
(,),
(,)
nn
mm
s
s
??
??
??
??
?
?
量子态
力学量
表象（基矢 ） 表象（基矢 ）
1
2,(,)kk
a
a a a ??
??
????
??
??
??M
? '
1
' ' ' '
2,(,)
a
a a a ????
??
??
????
??
??M
F
'F
k? '??
$L
$ $
',
1 1 1 2 1 1 1 2
' ' ' '
2 1 2 2 2 1 2 2
' ' '
( ),( )
(,) (,)
kj
k j k j
L L L L
L L L L L L L L
L L L L
??
?? ? ?
? ? ? ?
????
????
? ? ? ? ??
??
??
?? ??
??
LL
L L L L L L
'a sa?
1L sLs??
其中
11 12
21 22( ),k
ss
s s s s?
??
??
??
??
??
L
L
L L L
'(,) kksF?? ???
是从 表象
表象的么阵
变换矩阵
'F?
其逆变换为
? 1ss??
。（实际上不需要逆变换，只需从新定义 。） s
五。么阵变换的两个重要性质。
1，么阵变换不改变算符的本征值,
证,
' ' 1 '
F a a
F a sF s sa sF a s a sa a
?
? ? ??
?
? ? ? ? ?
如果 是对角矩阵，即 表象是 自身的表象，那么 的对角元素就是 自身的表
象，那么 的对角元就是 算符的本征值。于是求算符本征值的问题归结为寻找一个
么正变换把算符 从原来的表象变换到自身表象。使 的矩阵表示对角化。解定态薛
定谔方程就是把坐标表象中的哈密顿量算符对角化，即有 表象变换到能量表象。
2，么正变换不改变矩阵的迹
矩阵在求逆运算下可依次轮换次序，迹不变。
'F B μF
μF
μF
'1
' 1 1( ) ( ),
F s F s
T r F T r s F s T r s s F T r F
?
??
?
? ? ?
'F
'F
μF μF
$x
Q
引入：三维空间中的一个矢量 A?,可在直角坐标系 OXYZ下表示为
（ Ax,Ay,Az），其中 Ai(i=x,y,z)是 A? 在三个坐标轴上的投影。
同一个矢量 A? 也可以在另一个旋转 ? 角（绕 Z 轴的）直角坐
标系 O ZYX ??? 下表示为（ zAyAxA ???,,），二组投影分量之间
可以用矩阵或线性方程组进行变换。 A? 矢量也可在球坐标系下
为（ Ar,A A ），与（ Ax,Ay,Az)之间也可以作坐标变
换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价
的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择。
? ?
量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（ repreenstation)
通过广义傅利叶变换，可以将（ x）坐标表象的状态矢量变换为以
P,E等为变量的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量
表象等。
2l
?
Chapter 4.1 态的表象
(,)xt?
(,) (,) ( ),px t c p t x dp??? ?
一，状态 用动量为变量的波函数描写,
1,其中 （ 1）
1
2
1()
( 2 )
i px
p xe?
?
? h
h
1
*
1
2
1()
( 2 )
px
p xe?
?
?
? h
h
*(,) ( ) (,)
pc p t x x t d x??? ?
22| (,) | | (,) | 1,x t d x c p t d p? ????
归一化,
简记,c(p)=(,)
p??
(2)
(3)
2| (,) |c p t
p p d p??
粒子动量值在 中的几率。实际上
(,)c p t
为同一状态 ?
在动量表象中的波函数。
2，具有确定动量值的 p 的自由粒子的态,(,) ( ) pi Etpx t x e?? ?? h (4)
则
,,
,*,(,) ( ) ( ) ( )pp
iiE t E t
p pc p t x x e dx p p e? ? ?
??? ? ?? hh(5)
略去含时因子：,( ) ( )c p p p??? p,变量 'p,确定值 简记,
''( ) (,) ( )c p p p p p?? ? ?
（ 5）或（ 6）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。 'p
3，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示,
,' '( ) ( )x x x x x x??? ? ? (7)
(6)
(7)也是坐标表象中坐标算符 的本征值方程。 $x
二，任意力学量 的表象中的状态 的表示 (,)xt?
1，分立谱，例如无限深势阱中电子, H原子中电子束缚态,谐振子,xnpE μ
2luv μzlnE
nE
,设力学量 的算符 具有分立的本征值,
1 2 ``` `````,n? ? ?
?
? μ?
对应分立的本征函数,1 ` ` ` 2 ` ` ` ` ` `( ) ( ) ( )nu x u x u x
则可以用正交归一完全系 将 展开为级数,{ ( )}
nux (,)xt?
*
(,) ( ) ( )
) ( ) (,)
nn
n
nn
x t a t u x
a t u x x t d x
?
?
?
?
?
?
其中
简记,(,)nnau ??
归一化,2 * *
* * * * * *
2
1 | (,) | ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
| ( ) | 1
m m n n
mn
m n m n m n m n
m n m n
m
mn
x t d x a t u x a t u x d x
a t a t u x u x d x a t a t
at
?
?
??
??
??
????
?? ?
?
即若 已归一化，则 也自然归一化。 是在 所描写的态中测量力学量
所得结果为 的几率，而数列
(,)xt? ()mat 2||na (,)xt?
? n?
1 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `( ),( ) ( )na t a t a t
就是 所描写的态在 表象中的表示。写为 (,)xt? ?
列矢量,
1
2
()
()
()
n
at
at
at
?
??
??
??
???
??
??
??
??
M
M
(10)
其转置复共轭为,? * * *
1 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `( ( ),( ) ( ) )na t a t a t? ? (11)
?, dagger
归一化,
? 1?? ?
2,分立谱 +连续谱
例如，氢原子中电子能量,束缚态,电离态 连续；有限深方势阱，当 E
nE E
0E?
为束缚态,
nE 分立, 0E? 则连续,也是 p
又：完全连续谱例子：电子自由运动时的动量，动能，自由粒子的坐标, H原子
中电子的
x
r
坐标表象的波函数 用 算符的本征函数系 展开,(,)xt? ? {}u
*
*
(,) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (,)
( ) (, )
n n q q
n
nn
x t a t u x a t u x dq
a u x x t dx
a u x x t dx
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
例如 H基态的 表象波函数 即为状态 在 表象中的表示,
即测量力学量 数值为 的几率，而 即测量力学量 值的结果在
内的几率。
归一化,
85P {,}nqaapc ? μ? 2| ( )|nat
? n? 2| ( ) |
qa t dq
?
q q dq??
**( ) ( ) ( ) ( ) 1n n q q
n
a t a t a t a t d q??? ?
状态矢量,
1
2
()
()
()
()
n
q
at
at
at
at
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
??
M
M
? * * * *12( ( ),( ),( ) ( ) )nqa t a t a t a t?? LL
归一化,? 1? ? ? 归纳：求力学量 ? 表象中波函数 即用 算符的本征
函数的共轭 与坐标空间波函数相乘并积分,
ia
μ?
*()q x?
*( ) ( ) (,)
nna t u x x t d x?? ?
三，希尔伯特空间 (Hibert space)
1，状态 态矢量，选定一个 表象，即选定一特定的坐标系来描述, 的本征函数
系 即为这个表象中的基矢,表象中的波函数 即态矢
量 在 表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的 的本征函数
有无限多，所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间。
2，表象常用,
? ? ?
{ ( )}nux ? 1 2 ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` `( ( ),( ) ( ) )na t a t a t
? ?
1 ` ` ` 2 ` ` ` ` ` `( ( ) ( ) ( ) )nu x u x u x
μ μ ? μ μ ?2,,,,,
zzx p H l l ?
Chapter4.2算符的矩阵表示 一
1,
μ,(,) (,) (,)hF x t F x x t
ix??
?? ? ? ?
?
，算符 μF (1)
(,) ( ) ( )
(,) ( ) ( )
( ) ( ) (,) ( ) ( )
mm
m
mm
m
m m m m
mm
x t a t u x
x t b t u x
h
b t u x F x a t u x
ix
? ?
??
?
??
?
?
?
??
(2)
(3)
以 左乘（ 3）并积分,*
nu
**
*
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (,) ( ) ( )
m n m m n m m
m m m
m m n n n m m
mm
h
b t u x u x d x a t u x F x a t u x d x
ix
h
b t b t u x F x u x d x a t
ix
?
?
??
?
?
??
?
? ? ???
?? ?
(4)
(5)
即
( ) ( )n n m m
m
b t F a t? ?
其中 * ( ) (,) ( )
nm n mF u x F x u x dxix
??
??
h为算符 在 表象中的表示。 μF ?
{ ( ) },{ ( ) }nmb t a t 分别为状态 和 在 表象中的表示。 ? ? ?
11
11 12 1
22
221 22
12
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n
n
nn
m m m n
b t a t
F F F
b t a t
FFF
b t a t
F F F
??
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ?? ??
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
LL
LL
M M M
MM M
LL
MM
M M M
(6)
即算符 在 表象中是一矩阵,为其矩阵元。简记为 。 μF ?
nmF
F? ? ?
2,表象中的厄密算符
?
μ
μ μ
*
* * *
( ) ( )
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
n m n m
n m n m m n m n
F u x Fu x d x
F u x Fu x d x u x Fu x F
?
? ? ?
?
??
（厄密性定义）
(7)
转置并公厄,
? *mn nmFF?
比较 (4)(5) ?
? ?m n m nFF? 或 F=F
即厄密算符 在 表象中为厄密矩阵。 μF ?
3。 在自身表象中的矩阵元 ?
$**( ) (,( ) ( )n m n m n m m m n mu x x u x d x u x u d x
ix? ? ? ? ?
?? ? ?
???
h
可见,算符在自身表象中的矩阵元时一个对角矩阵，并且对角元素就是算符的本征
值。如 矩阵,一维无限深势阱，谐振子,为本征值 。
mnH mnH nE
4,如果 算符的本征值只构成连续谱，本征值 不可数，（如坐标,动量 ），则 ? q x p
μ '* ( ) (,) ( )qq n
qF u x F x u x d xix
??
??
h积分后 中无 ！ ' qqF x
如,
坐标表象
μ μ' " ' " " '( ) (,) ( ) (,) ( )xxF x x F x x x d x F x x xi x i x? ? ???? ? ? ? ?? hh
μ' * ( ) (,) ( )pp
ppF x F x x d xix??
??
??
h积分后 中无
'ppF x
！
二，例题
1，求一维线性谐振子的坐标 动量 和哈密顿量 在能量表象中的矩阵表示。
（ 分立谱）
解：以 表示线性谐振子 态的能量本征函数（ ）
有公式
x p H
()m x? m 1()2mEm ??? h
22
2
*
,1
( ) ( )
11
(,) [
2
x
n n n
mn m n m n m n
x N e H x
n
x x dx x
?
??
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ??
,1 ],(1 4 )2 mn
n ?
?
μ
,1, 1
1(,) [ ],0,1,2
22m n m n m n m n
nnp p i n? ? ? ? ?
??
?? ? ? ? ? ?hL
10 0 0
2
12 00
22
1
()
3200
22
30 0 0
2
mn
x
?
??
??
??
? ??
??
??
??
L
L
L
L
L
10 0 0
2
12 00
22
()
3200
22
30 0 0
2
mn
pi ?
???
??
???
? ??
?
??
??
??
L
L
h
L
L
L
μ 1H (,) ( )
2m n m n n m n m nH E n? ? ? ? ?? ? ? ? h
1 0 0 0
2
30 0 0
2
() 50 0 0
2
50 0 0
2
mn
H ?
??
??
??
??
???
??
??
??
??
??
L
L
h L
L
K
μH 在自身表象中为对角矩阵
本题矩阵元为分立值，写成可数的矩阵元，是由于谐振子能量本征值构成分立谱。
Chapter4.3 量子力学公式的矩阵表述
一，平均值公式
μ* ( ) ( )F x F x d x??? ?
简记,μ(,)FF?? ?
在 表象中，以 算符的本征函数系 展开, ? $? { ( )}nux ()x? μ
μ
**
**
*
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (,) ( ) ( )
( ) ( ) (,) ( ) ( )
( ) ( )
nn
n
m m n n
mn
m m n n
m
m mn n
mn
x a t u x
h
F a t u x F x a t u x dx
ix
h
a t u x F x u x dxa t
ix
a t F a t
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? ?
?
11 1 1 2 1
22 1 2 2 2
* * *
1 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
12
()
()
( ( ),( ) ( ) )
()
n
n
n
m m m n n
atF F F
atF F F
F a t a t a t
F F F a t
????
????
??
?????
??
????
??
?? ??
LL
LL
L L L L M
LL
LM
简写,
μ?FF???
二，本征值方程
简记,
同上节步骤，写为
μ μ(,) (,) (,)F x p x t x t???
μF? ???
111 12 1
221 22 2
12
()
()
0
()
( ) ( ) 0,1,2,
n
n
n n nn n
m n m n n
n
atF F F
atF F F
F F F a t
F a t m
?
?
?
??
? ????
????
?
??
???? ?
??
? ??
??
??
?? ??
? ? ??
LL
LL
L L L L M
LL
LM
L
(5)
(6)
(7)
有非 0解，所以
称为久期方程 { ( )}nat d e t | | 0
m n m nF ???? (8)
解久期方程可得一组 值,它们就是 的本征值。把求得的 代入原方程，就
可以求出与 对应的本征矢,其中 1,2,,n? ? ?LL
μF i?
i?
12( ( ),( ),( ) )i i ina t a t a tLL 1,2,,in? LL
三，薛定谔方程
μ(,) (, )
( ) ( ) ( )m m n n
n
i x t H x t
t
i a t H t a t
t
??
?
?
?
?
?
?
?
h
h
简记,μdiH
dt? ??h1,2n?
1,2,,in? LL
其中 μ* ( ) (,) ( )
m n m nH u x H x p u x d x? ?
是哈密顿算符 在 表象中的矩阵元。 μH $?
(9)
(10)
(11)
§ 4.4 么正变换
引入：量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。表象取得适当可使得问题的
讨论大为简化。为此常需要将波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象。变换
的思路完全类同于将同一矢量 在两个正交坐标中用分量式表示，而求两组分量的
关系。所不同的是，态矢量展开表示的两个“坐标系”（即表象）中的基矢分别为力学
量 和 的本征函数系 。
以下按曾谨言导论内容表述，以求简单明了。注意 矩阵定义二者不同！
一，平面矢量 在两个直角坐标系中的表示
1,系,
μF
μA μB
s
12oxx
(,)i j ijee ??uv uuv ( 1,2 )ij??
1 1 2 2A A e A e??uv uv uuv
其中
1 1 2 2(,),(,)A e A A e A??uv uv uuv uv
代表矢量 与两个基矢的标积（投影）
2,系：原系顺时针转 角，基矢 ''12oxx ? ''
12,ee
uvuuv ''(,)
i j ijee ??
uv uuv ( 1,2 )ij??
' ' ' '1 1 2 2A A e A e??uv uuvuv
其中 ' ' ' '
1 1 2 2(,),(,)A e A A e A??
uv uuvuv uv
''12,AA 为矢量 在 系中的表示。 Auv ''12oxx
1x
2x
'1x
'2x
?
?
ALL
1A
M
M
2A
'1A
'2A
3，同一个矢量在两个坐标系中的表示有什么关系？
' ' ' '1 1 2 2 1 1 2 2A A e A e A e A e? ? ? ?uv uuvuv uv uuv
对一式分别用 点乘（取标积）得,
' ' '
1 1 1 1 2 1 2
' ' '
2 1 2 1 2 2 2
(,) (,)
(,) (,)
A A e e A e e
A A e e A e e
??
??
uv uvuv uuv
uuv uuvuv uuv{ 注意，由 表示,用 点乘 12,AA ''12,AA ''12,,eeuvuv
将（ 2）改写成矩阵形式,
'''
1 1 1 2 1 11
' ''
222 2 1 2 2
(,) (,) c o s s i n ( 3 )
s i n c o s(,) (,)
e e e e A AA
AAA e e e e
??
??
?? ??? ? ? ? ???
?????? ? ? ? ???
??? ? ? ??? ??
uv uvuv uuv
uuv uuvuv uuv
记为
'
11
'
22
c o s s in( ),( ) = ( 4 )
s in c o s
AA RR
AA
????
??
??? ?? ?????
?? ???????? 其 中
为将 在两个坐标系中的表示 和 联系起来的变换矩阵。实际上变换矩阵 的矩阵
元正是两个坐标系的基矢之间的标积描述基矢之间的关系。由于矢量就均可表示成各
基矢的迭加，因而 可以变换不同坐标系中的同一矢量 的不同表示。
μA ' 11'
22
AA AA?? ???? ?????? R
R μA
'ijAA???
4，变换矩阵 的性质,R
转置 °R
° °
± °? *
? ? ? 1
1,d e t 1 ( 5
( R R R
1
R R R R R
R
R R R R R R ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
*
正 交 矩 阵 ） （ ）
又 R 实 ） 转 置 共 轭
即
满足（ 6）式得矩阵为么正矩阵。一个矢量在两个坐标系中的表示由么正变换向
联系。
二，量子态的表象变换
1，任何一个量子态（可归一化），可以可以看成抽象的希尔伯特空间的一个态
矢量，体系的任何一组力学量完全集 的共同本征态 （设为分立谱），可以用来
F k?
(6)
构成此态空间的一组正交归一完备的基矢（称为 表象） F
(,)k j kj? ? ??
体系的任何一个状态 用 展开,? {}k?
,,k k k k
k
aa? ? ? ? ? ? ?? ? ? *k其 中 = ( ) = d ( 8 )
展开系数 就是 态在 表象中的表示，它们分别是 与各基矢标积。
1,2(,)aa L ? F ?
2，设有另外一组力学量完全集,共同的本征函数 （基矢）记为,
量子态 也用 展开,
'F '
??
''(,)? ? ? ?? ? ??
'{}??
'',a ????? ? 其 中
' ' ' *(,) ( 10)ad? ? ?? ? ? ? ??? ?
展开系数 就是同一个量子态 在 表象中的表示。 ''
1,2(,)aa L ?
'F
3，两组表示 与 有何联系？描写同一 态 ''
1,2(,)aa L 1,2(,)aa L ?
'' ( 11)
(11)
kk
k
aa??
?
?
? ? ?
?
????
'式 左 乘, 并 取 标 积 （ 积 分 ）,
''
'
(,)
(,)
k k k k
k
kk
a a s a
s
? ? ?
?
??
??
??
??
?
??
(12)
(13)式中
是 表象基矢与 表象基矢的标积，类似于一（ 4）式中 。（ 12）式可写为
矩阵形式,'F F ijR
'
1 1 1 1 2 1
'
2 2 1 2 2 2
a s s a
a s s a
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
??? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ???
L
L
M L L L M
简记为,
'a sa?
(14)
(15)
从,已有 求,
用 去左乘 构成 。
'FF??? ia 'a?
*?? k?
ks?
( )
（ 14）式就是同一个量子态在 表象中的表示与它在 表象中表示的关系。 'F F
变换矩阵 为么阵矩阵,s ? ? ? 1 ss s s s I s ?? ? ?即 (16)
在 表象的表示与 表象表示之间为么阵变换。 ? F 'F
4，证明 为么阵矩阵 s
? ? *
'
? ' * ' '* ' '
kj
' '* ' ' * '
( )
1 3 (,)
s s = ( ) ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( )
k j k j k j
kk
kj
kj
s s s s s s
s
d r r d r r
d d r r r r
? ? ? ?
??
??
??
?
??
?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
??
? ??
???
uv uvvv
uv uvvv
在 表 象 中,
由 定 义 （ ） 式, 有
（ ）
' ' * ' *
= d ( - ) ( ) ( ) ( ) ( )
k j k j k j
d r r r r d r r? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?
uv uvv v v v
F
? 在 表象中为单位矩阵。而单位矩阵在任何表象中均为单位矩阵。
? 与表象无关。 ?s s I?
三，力学量的变换
1，在 表象中（基矢 ），力学量 表示成 F k? L ( ),kjLL
$ $*(,)k j k j k jL L L d? ? ? ? ??? ?
设有另一表象 （基矢 ），则在 表象中 表示成（ ）,'F '?? 'F L
'L??
$ $' ' '* '(,)L L L d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ?
k? '?? {}k?利用 将 展开,'?? 用 展开
' ' ' * *
'
' ' ' * *
(,) (,) ( 2 0 )
(,)
(,) (,) ( 2 1 )
k k k k k k
k k k
k
j j j j j j
j j j
s
s
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
k其 中 s 是 变 换 矩 阵 元
将（ 20）,(21)带入（ 19）式可得,
$ $
$
' ' * * *
'*
(,) ( ( ),( ) )
(,) ( 2 2 )
( 23)
k k j j
k j k j
k k j j
kj
L L s L s
L s L s
?? ? ? ? ?
?? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
?
即
? ?( ) k k j j
kj
s L s s L s? ? ? ???
? 1L s L s s L s ???
其中 为么正矩阵元，而 分别是力学量 在 表
象和 表象的矩阵表示。 是从 表象 表象的么阵变换矩阵。
注意，此处么阵变换与周书 相反,
四，总结与比较
' (,) kks????? ''( ) ( )
kjL L L L ????
和 FL
'F ()
kss?? F 'F?
114P
**
(,),
(,)
nn
mm
s
s
??
??
??
??
?
?
量子态
力学量
表象（基矢 ） 表象（基矢 ）
1
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其中
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是从 表象
表象的么阵
变换矩阵
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其逆变换为
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。（实际上不需要逆变换，只需从新定义 。） s
五。么阵变换的两个重要性质。
1，么阵变换不改变算符的本征值,
证,
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F a sF s sa sF a s a sa a
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如果 是对角矩阵，即 表象是 自身的表象，那么 的对角元素就是 自身的表
象，那么 的对角元就是 算符的本征值。于是求算符本征值的问题归结为寻找一个
么正变换把算符 从原来的表象变换到自身表象。使 的矩阵表示对角化。解定态薛
定谔方程就是把坐标表象中的哈密顿量算符对角化，即有 表象变换到能量表象。
2，么正变换不改变矩阵的迹
矩阵在求逆运算下可依次轮换次序，迹不变。
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