§ 3.4 氢原子
一、二体问题转化为单体问题
电子 +核，分别绕公共质心运动，根据普物力
学和理论力学；可以化为：公共质心的平动，
加上电子绕核的转动，只需将上节中 理解为
相对坐标,电子质量 转换为折合
质量：,量子力学照此办理，无
特殊区别，无需赘言,
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（ 2）
即：质心以能量 做自由粒子运动，而电子
以折合质量在势场（库仑场 ）中运
动，而（ 1）是在上节中已经解出。
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二、氢原子能级，巴尔末公式
1、上节求得电子在库仑场中运动
的能级公式
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令 2 1,Z ? （类氢原子则 Z>1),表示折合质量,?
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基态能 （ 5）
用约化质量 相差不大,
因为
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氢原子能级
不均匀分不
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3,这时电子不在束缚
质子周围，完全脱离电子核，称为电离，不再
是束缚态。
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原子核电离能,
4.巴尔末公式
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（ 6）
若用折合质量
三、电子的几率分布
则为, (6)式即为 (广义 )巴尔末公式
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1.当 H原子处于 态时，电子在原子
内任一点 附近体积元
内的几率,
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2.径向几率分布：在距质心 的
球壳内找到电子的几率,
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（ 7）
对
（ 8）
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第二等式是由于 归一化,且 为实函
数 。
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上节以述,的节点个数为
（ 9）
其中 的态 （ 10）
无节点称为“圆轨道”即,轨道”
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1,2,3s p d L
可证明,的极大值所在半径与早期量子理论相同
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（ 10）
其中 为第一玻尔半径,（ 11）
可以证明，氢原子处于基态时，电子在距核
处出现的几率最大。
p75为 图线
3.角向几率分布
将波函数模的平方 中 从
积分，就是得出在 方向的立体角 内电子出现
的几率,
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方向极小,方向极大,与 无关
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四、电流分布与磁矩
1.定态, 由 2.4节有电流密度公式 （注意
）
（ 13）
其中在球坐标下, （ 14）
由于,其中, 均为实数
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（ 15）
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（ 16）
其中 为细环的体积元，由于 2 si nd r d? ? ? ?? 2
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归一化，在全空间积分为 1，与体积圆取法无关。
所以
（ 17）
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其中 （ 18）称为玻尔磁子。磁矩与量
子数 m有关,m被称为磁量子数。 为自然磁
矩单位
显然，对说有的 s态（ 1s,2s,3s,)
磁矩为 0因为 。
此外比值 （ 18）称为电子的回转磁
比率也称 g因子（以 为单位）电子,g=-1。
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