1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第九章
压 杆 稳 定
2
第九章 压杆稳定
本章内容,
1 压杆稳定的概念
2 两端铰支细长压杆的临界压力
3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
4 欧拉公式的适用范围 经验公式
5 压杆的稳定校核
6 提高压杆稳定性的措施
7 纵横弯曲的概念
3
§ 9,1 压杆稳定的概念
? 前面各章节讨论了构件的 强度 和 刚度 问题。
本章讨论受压杆件的 稳定性 问题。
? 稳定性问题的例子
平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳
4
平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳
? 构件的失稳通常突然发生,所以，其危害很大。
? 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为 548米的魁北
克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
? 脚手架倒塌
? 平衡的稳
定性
5
? 平衡的稳定性
? 稳定平衡 ? 不稳定平衡 ? 随遇平衡
? 压杆的平衡
稳定性
当 P ? Pcr
当 P ? Pcr
6
? 压杆的平衡
稳定性
? 临界压力 Pcr
? 当 P ? Pcr时,压杆的直线平衡状态是 稳定 的。
? 当 P ? Pcr时,直线平衡状态转变为 不稳定 的,
受干扰后成为 微弯平衡 状态。
使直线平衡状态是 稳定 平衡状态的最大压力,
也是在 微弯平衡 状态下的最小压力。
当 P ? Pcr
当 P ? Pcr
7
§ 9,2 两端铰支细长压杆的临界压力
? 两端铰支杆受压
力 P作用
? 考察 微弯 平衡状态
? x处 截面的弯矩
PvM ??
? 挠曲线近似微分
EI
M
x
v ?
2
2
d
d I ? 为截面 最小 的惯性矩
EI
Pv
x
v ??
2
2
d
d
方程
0???? v
EI
Pv
8
EI
Pv
x
v ??
2
2
d
d
0???? v
EI
Pv
EI
Pk ?2引入记号
02 ???? vkv
通解为 kxBkxAv c o ss in ??
其中,A,B为积分常数，由 边界条件 确定。
边界条件为, 0?x 时,;0?v lx ? 时,0?v
,0?x将
0?v 代入通解 0?B
,lx ?将
0?v 代入通解 0s in ?klA
9
边界条件为, 0?x 时,;0?v lx ? 时,0?v
,0?x将
0?v 代入通解 0?B
,lx ?将
0?v 代入通解 0s in ?klA
因 所以应有
,0?A 0s in ?kl
),2,1,0(,??? nnkl ?
代入
EI
Pk ?2
2
22
l
EInP ??
因为临界压力是 微弯平衡 状态下的 最
小 压力,所以，应取 n = 1 。
10
代入
EI
Pk ?2
2
22
l
EInP ??
因为临界压力是 微弯平衡 状态下的 最
小 压力,所以，应取 n = 1 。
2
2
l
EIP
cr
??
这就是两端铰支细长压杆的 临界压力公式。
? 欧拉公式
? 当 取 n = 1 时，由,?nkl ?
l
k ??
则，挠曲线方程为
l
xAv ?s in?
11
? 当 取 n = 1 时，由,?nkl ?
l
k ??
则，挠曲线方程为
l
xAv ?s in?
其中,A为杆中点的挠度。
A的数值不确定。
? 欧拉公式与精确解曲线
? 精确解曲线
? 理想受压直杆
? 非理想受压直杆
crPP 152.1?
l3.0??
时,
12
§ 9,3 其他支座条件下 细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆
2
2
cr )2( l
EI
P
?
?
2 一端固支一端滑动固支
（简称为两端固支）
由两端铰支压杆的 临界
压力公式
13
2 一端固支一端滑动固支
（简称为两端固支）
2
2
cr
2
?
?
?
?
?
?
?
l
EI
P
?
拐点处弯矩为零。
拐点
3 一端固支一端铰支
由两端铰支压杆的 临界
压力公式
14
3 一端固支一端铰支
2
2
cr )7.0( l
EI
P
?
?
4 欧拉公式的普遍形式
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
? l ?? 相当长度；
? ?? 长度系数。 拐点
由两端铰支压杆的 临界
压力公式
15
表 14.1 压杆的长度系数 ?
4 欧拉公式的普遍形式
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
? l ?? 相当长度；
? ?? 长度系数。
压杆的约束条件 长度系数
两端铰支 ? = 1
一端固支一端自由 ? = 2
两端固支 ? = 1 /2
一端固支一端铰支 ? ? 0,7
21
§ 9,4 欧拉公式的适用范围 经验公式
1 临界应力
? 临界压力
? 临界应力
将惯性矩写为
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
A
P cr
cr ?? Al
EI
2
2
)( ?
?
?
AiI 2? i ? 惯性半径
Al
AEi
2
22
cr )( ?
?
? ? 2
2
?
?
?
?
?
?
?
i
l
E
?
?
22
将惯性矩写为
AiI 2? i ? 惯性半径
Al
AEi
2
22
cr )( ?
?
? ? 2
2
?
?
?
?
?
?
?
i
l
E
?
?
? 柔度 (长细比 )
i
l?? ?
柔度 是压杆稳定问题中的一个 重要参数,它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
23
? 柔度 (长细比 )
i
l?? ?
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
则临界应力为
2
2
cr ?
?
?
E
?
?? 欧拉公式
2 欧拉公式的 适用范围
导出欧拉公式用了 挠曲线近似微分方程
要求材料满足 胡克定律
pcr ?? ?
24
2 欧拉公式的 适用范围
导出欧拉公式用了 挠曲线近似微分方程
要求材料满足 胡克定律
pcr ?? ?
即,
2
2
cr ?
?
?
E
? p??
P
2
?
?
?
E
?
记,
P
2
1
?
?
?
E
?
则 欧拉公式 成立的条件为,
1?? ?可以看出,?
1 只与 材料的性质 有关。
25
记,
P
2
1
?
?
?
E
?
则 欧拉公式 成立的条件为,
1?? ?可以看出,?
1 只与 材料的性质 有关。
? 对 A3钢,E = 206 GPa,?p = 200 Mpa
1001 ??3 直线经验公式
对于 ?cr ? ?p 的情况，欧拉公式不成立。
工程上使用 经验公式 。
? 直线经验公式 ?? ba ??
cr
26
3 直线经验公式
对于 ?cr ? ?p 的情况，欧拉公式不成立。
工程上使用 经验公式 。
? 直线经验公式
?? ba ??cr
式中,a,b是与 材料有关的常数 (表 14.2,p162)。
80 0.190 28.7 松木
70 1.454 332.2 铸铁
95 2.568 461 优质碳钢 ?s=306MPa
102 1.12 304 A3钢 ?s=235MPa
?1 b(MPa) a(MPa) 材料
27
? 直线 经验 公式
?? ba ??cr
式中,a,b 是与 材料性质有关的常数。
? 直线经验公式的适用范围
用直线经验公式时，应有
?? ba ??cr s??
b
a s?? ??
记,
则 直线经验公式的适用范围 为,
12 ??? ??
b
a s
2
?? ??
? 当 ? ? ?2 时，就发生 强度 失效,而不是失稳。
28
记,
则 直线经验公式的适用范围 为,
12 ??? ??
b
a s
2
?? ??
? 当 ? ? ?2 时，就发生 强度 失效,而不是失稳。
A
P?
cr? s??
所以应有,
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据 柔度 将压杆分为三类
(1) 大 柔度杆 (细长杆 ) ? ? ? 1 的压杆
(2) 中 柔度杆 ? 2 ? ? ? ? 1 的压杆
4 压杆分类
29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据 柔度 将压杆分为三类
(1) 大 柔度 杆 (细长杆 ) ? ? ? 1 的压杆
(2) 中 柔度 杆 ? 2 ? ? ? ? 1 的压杆
(3) 小 柔度 杆 (短粗杆 ) ? ? ? 2 的压杆
5 临界应力总图
30
5 临界应力总图
大 柔度杆 小柔度杆
中
柔
度
杆
31
? 临界应力计算的 小结
? 对 ? ? ? 1 的 大 柔度 压
杆，临界应力公式为
2
2
cr ?
?? E?
? ? 1 ? ? ? ? 2 的 中 柔度 压杆，临界应力公式为
? ? 2 ? ? 的 小柔度 压杆，临界应力公式为
?? ba ??cr
A
P?
cr?
32
? ? 1 ? ? ? ? 2 的 中 柔度 压杆，临界应力公式为
? ? 2 ? ? 的 小柔度 压杆，临界应力公式为
?? ba ??cr
A
P?
cr?
6 抛物线 经验 公式
抛物线 经验 公式为
2
11cr ?? ba ??
式中,a1,b1 是与 材料性质有关的常数。
? 说明
若压杆的局部有 截面被削弱 的情况，则,
33
6 抛物线 经验 公式
抛物线 经验 公式为
2
11cr ?? ba ??
式中,a1,b1 是与 材料性质有关的常数。
? 说明
若压杆的局部有 截面被削弱 的情况，则,
? 进行 稳定性 计算时，可忽略若压杆的局部 削
弱,仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界
应力；
? 进行 强度 计算时，应按削弱后的面积计算。
34
§ 9,5 压杆的稳定校核
? 工作安全系数
? 稳定安全系数
? 稳定校核
P
Pn cr?
stn
满足稳定性要求时，应有,
P
Pn cr?
stn?
? 稳定安全系数与强度安全系数的取值
?强度安全系数取值 1.2 ~ 2.5，有时可达 3.5；
?稳定安全系数取值 2 ~ 5，有时可达 8 ~10。
35
? 压杆稳定问题的解题步骤
1 稳定校核 问题
1) 计算 ? 1, ? 2,? ；
2) 确定属于哪一种杆 (大柔度，中柔度,
小柔度 ) ；
3) 根据杆的类型求出 ?cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P；
5) 校核 n = Pcr /P ? nst 是否成立。
? 稳定安全系数与强度安全系数的取值
?强度安全系数取值 1.2 ~ 2.5，有时可达 3.5；
?稳定安全系数取值 2 ~ 5，有时可达 8 ~10。
36
1 稳定校核 问题
1) 计算 ? 1, ? 2,? ；
2) 确定属于哪一种杆 (大柔度杆，中柔度杆,
小柔度杆 ) ；
3) 根据杆的类型求出 ?cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P；
5) 校核 n = Pcr /P ? nst 是否成立。
2 确定许可载荷
前 3步同 稳定校核 问题；
4) P ? Pcr / nst 。
37
2 确定许可载荷
前 3步同 稳定校核 问题；
4) P ? Pcr / nst 。
3 截面设计 问题
1) 计算实际压力 P ；
2) 求出 Pcr,Pcr = nst P；
3) 先假设为 大柔度杆,由欧拉公式求出 I,
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
进一步求出直径 d (若为圆截面杆 ) ;
4) 计算 ? 1 和 ? ；
5) 检验 ? ? ? 1 是否成立。若成立，则 结束 ;
38
3) 先假设为 大柔度杆,由欧拉公式求出 I,
进一步求出直径 d (若为圆截面杆 ) ;
4) 计算 ? 1 和 ? ；
5) 检验 ? ? ? 1 是否成立。若成立，则 结束 ;
6) 若 ? ? ? 1 不 成立，则 设为 中柔度杆,按经
验公式求出 直径 d (若为圆截面杆 ) ;
?? ba ??cr
i
lba
A
P ???cr d
7) 计算 ? 2 ；
8) 检验 ? ? ? 2 是否成立。 若成立，则 结束。
39
6) 若 ? ? ? 1 不 成立，则 设为 中柔度杆,按经
验公式求出 直径 d (若为圆截面杆 ) ;
?? ba ??cr
i
lba
A
P ???cr d
7) 计算 ? 2 ；
8) 检验 ? ? ? 2 是否成立。 若成立，则 结束。
? 稳定性计算的折减系数法
f
A
N ?? ?
这里,? 称为稳定系数，与材料、截面形状及
柔度有关； f 为强度设计值，与材料有关。
按静强度设计的方法设计受压杆
40
例 1 (书例 14.4 )
已知, 空气压缩机的活塞杆由 45钢制成,?s = 350
Mpa,?p = 280 MPa,E=210GPa。 长度 l = 703
mm,直径 d = 45 mm。最大压力 Pmax=41.6kN。
稳定安全系数为 nst = 8~10。
求, 试校核其稳定性。
解,
1 求 ? 1
2 求 ? P
2
1
?
?
?
E
?
6
92
10280
10210
?
??
?
? 86?
? 活塞杆可简化为两端铰支杆
1??
41
1 求 ? 1
2 求 ? P
2
1
?
?
?
E
?
6
92
10280
10210
?
??
?
? 86?
? 活塞杆可简化为两端铰支杆
1??
? 惯性半径
对圆轴
A
I
i ? 2
4
4
1
64
d
d
?
?
?
16
2d
?
4
d?
? 柔度 ?
i
l?? ?
4/45
7031 ?? 5.62?
42
1 求 ? 1
2 求 ?
861 ??
? 柔度 ?
i
l?? ?
4/45
7031 ?? 5.62?
因为
1?? ?
，所以不是大柔度杆。
3 求 ? 2 采用直线经验公式。
由表 14.2 查得 (45钢属优质碳钢 ),
M P a,4 6 1?a M P a5 6 8.2?b
b
a s
2
?? ??
568.2
350461 ?? 2.43?
12 ??? ??
所以，是中柔度杆。
43
3 求 ? 2 采用直线经验公式。
b
a s
2
?? ??
568.2
350461 ?? 2.43?
12 ??? ??
所以，是中柔度杆。
4 求 临界应力 采用直线经验公式。
?? ba ??cr 5.625 6 8.24 6 1 ??? M P a301?
5 求 临界压力
AP ?? crcr ? kN478?
6 稳定校核
P
Pn cr?
6.41
478? 5.11?
stn?
满足稳定要求。
44
例 2 (书例 14.5 )
已知, 活塞直径
D= 65 mm,p=
求, 活塞杆直径 d 。
解, 这是截面设计问题。
? 临界压力的最大值为
pDP ?? 2
4
1 ? N3980?
? 先假设为大柔度杆
P
p
1.2MPa,l=1250mm,45钢,?p = 220MPa,
E= 210GPa,nst = 6。
PnP ?? stcr N23900?
? 活塞杆所受压力
用欧拉公式计算临界压力
45
解, 这是截面设
计问题。
? 临界压力的最大值为
pDP ?? 2
4
1 ? N3980?
? 先假设为大柔度杆
P
p
PnP ?? stcr N23900?
? 活塞杆所受压力
用欧拉公式计算临界压力
? 活塞杆可简化为两端铰支杆 1??
2
2
cr )( l
EIP
?
??
2
4
2
)(
64
l
d
E
?
?
?
? mm6.24?d
取 mm25?d
46
? 活塞杆可简化为两端铰支杆 1??
2
2
cr )( l
EIP
?
??
2
4
2
)(
64
l
d
E
?
?
?
? mm6.24?d
取 mm25?d
? 根据求出的 d计算柔度
i
l?? ?
4d
l?? 200?
? 计算 ? 1
P
2
1 ?
?
?
E
? 97?
因为
1?? ?
，是大柔度杆。 以上计算正确。
47
例 3 (书习题 14.16 )
已知, 悬臂梁 AC为 10号
工字钢,AB杆为钢管,
内径为 d = 30 mm,外径
D = 40 mm。梁及钢管
的材料同为 A3钢。稳定
安全系数 nst=2.5。
求, 当 重为 Q=300N的重物落于梁的 A端时,
试校核 AB杆的稳定性。
解, 这是一个综合性的题目。
A
B
C
3m
10
2m
1 求 Dst
48
解, 这是一个综合性的题目。
A
B
C
3m
10
2m
1 求 Dst
A
B
C
Q
将重物作为静载荷。
这是一次静不定问题。
? 相当系统
A
B
C
Q
X1
X1
? 载荷分解
49
? 相当系统
A
B
C
Q
X1
X1
? 载荷分解
A
B
C
Q
A
B
C
1
1
x
x
? AC段弯矩方程
QxxM ??)(
xxM ?)(
? AB段轴力
,0?N 1?N
50
A
B
C
Q
A
B
C
1
1 x
? AC段弯矩方程
QxxM ??)(
xxM ?)(
? AB段轴力
,0?N 1?N
? 由莫尔积分
EI
Ql
3
3
1
P1 ??D
EA
l
EI
l 231
11 3 ???
85 1076.11078.1 ?? ????
51
? 由莫尔积分
EI
Ql
3
3
1
P1 ??D
EA
l
EI
l 231
11 3 ???
85 1076.11078.1 ?? ????
? 由正则方程
11
P1
1 ?
D
??X Q?
? 静位移
EA
Ql 2
st ?D m1028.5
6???
2 动荷系数
N300?
52
? 由正则方程
11
P1
1 ?
D
??X Q?
? 静位移
EA
Ql 2
st ?D m1028.5
6???
2 动荷系数
由垂直冲击的动荷系数公式
st
d
h
K
D
???
2
11 55.62?
3 压杆 AB受到的动载荷
1dd XKP ?? N18765?
N300?
53
3 压杆 AB受到的动载荷
1dd XKP ?? N18765?
4 压杆 AB的临界压力
? 柔度 ? 圆环的惯性半径
)(
4
1
)(
64
22
44
dD
dD
i
?
?
?
?
?
22
4
1 dD ?? m105.12 3???
i
ul 2??
3105.12
21
??
?? 160?
54
i
ul 2??
3105.12
21
??
?? 160?
? 对 A3钢 102
1 ??
所以有
1?? ?是大柔度杆。
? 用欧拉公式计算临界压力
2
2
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
)(
64
44
2 dDI ??
?其中 49 m109.85 ???
N4 3 6 6 2cr ?P
55
? 用欧拉公式计算临界压力
2
2
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
)(
64
44
2 dDI ??
?其中 49 m109.85 ???
N4 3 6 6 2cr ?P5 稳定校核
? 工作安全系数
d
cr
P
Pn ?
18765
43662? 327.2? 5.2
st ?n?
? 结论：不安全
56
§ 9,6 提高压杆稳定性的措施
1 选择合理的截面形状
截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大,
就越不容易失稳，即稳定性越好。
所以，应选择合理的截面形状，使得,
,
)( 2
2
cr l
EI
P
?
?
?,
2
2
cr ?
?
?
E
?
i
l?? ?
? 在截面积相等的情况下，使 I 或 i 较大 ;
57
? 各纵向平面内的约束情况 相同 时,
应使对各形心轴的 I 或 i 接近相等。
? 两纵向对称平面内的约束情况 不相同 时,
应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等。
所以，应选择合理的截面形状，使得,
? 在截面积相等的情况下，使 I 或 i 较大 ;
58
? 两纵向对称平面内的约束情况 不相同 时
应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等,
59
2 改变压杆的约束条件
? 约束越强，越不容易失稳
60
3 合理选择材料
E
?s
但 优质钢 与 普通钢 的 E差别不大。
? 对大柔度杆
选用 E大的材
料，可提高临
界压力值。
钢 压杆比 铜,
铸铁 或 铝 压杆
的临界压力大。
? 对中柔度杆
提高 ?s 可提高临界压力值。
61
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第九章
压 杆 稳 定
2
第九章 压杆稳定
本章内容,
1 压杆稳定的概念
2 两端铰支细长压杆的临界压力
3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
4 欧拉公式的适用范围 经验公式
5 压杆的稳定校核
6 提高压杆稳定性的措施
7 纵横弯曲的概念
3
§ 9,1 压杆稳定的概念
? 前面各章节讨论了构件的 强度 和 刚度 问题。
本章讨论受压杆件的 稳定性 问题。
? 稳定性问题的例子
平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳
4
平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳
? 构件的失稳通常突然发生,所以，其危害很大。
? 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为 548米的魁北
克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
? 脚手架倒塌
? 平衡的稳
定性
5
? 平衡的稳定性
? 稳定平衡 ? 不稳定平衡 ? 随遇平衡
? 压杆的平衡
稳定性
当 P ? Pcr
当 P ? Pcr
6
? 压杆的平衡
稳定性
? 临界压力 Pcr
? 当 P ? Pcr时,压杆的直线平衡状态是 稳定 的。
? 当 P ? Pcr时,直线平衡状态转变为 不稳定 的,
受干扰后成为 微弯平衡 状态。
使直线平衡状态是 稳定 平衡状态的最大压力,
也是在 微弯平衡 状态下的最小压力。
当 P ? Pcr
当 P ? Pcr
7
§ 9,2 两端铰支细长压杆的临界压力
? 两端铰支杆受压
力 P作用
? 考察 微弯 平衡状态
? x处 截面的弯矩
PvM ??
? 挠曲线近似微分
EI
M
x
v ?
2
2
d
d I ? 为截面 最小 的惯性矩
EI
Pv
x
v ??
2
2
d
d
方程
0???? v
EI
Pv
8
EI
Pv
x
v ??
2
2
d
d
0???? v
EI
Pv
EI
Pk ?2引入记号
02 ???? vkv
通解为 kxBkxAv c o ss in ??
其中,A,B为积分常数，由 边界条件 确定。
边界条件为, 0?x 时,;0?v lx ? 时,0?v
,0?x将
0?v 代入通解 0?B
,lx ?将
0?v 代入通解 0s in ?klA
9
边界条件为, 0?x 时,;0?v lx ? 时,0?v
,0?x将
0?v 代入通解 0?B
,lx ?将
0?v 代入通解 0s in ?klA
因 所以应有
,0?A 0s in ?kl
),2,1,0(,??? nnkl ?
代入
EI
Pk ?2
2
22
l
EInP ??
因为临界压力是 微弯平衡 状态下的 最
小 压力,所以，应取 n = 1 。
10
代入
EI
Pk ?2
2
22
l
EInP ??
因为临界压力是 微弯平衡 状态下的 最
小 压力,所以，应取 n = 1 。
2
2
l
EIP
cr
??
这就是两端铰支细长压杆的 临界压力公式。
? 欧拉公式
? 当 取 n = 1 时，由,?nkl ?
l
k ??
则，挠曲线方程为
l
xAv ?s in?
11
? 当 取 n = 1 时，由,?nkl ?
l
k ??
则，挠曲线方程为
l
xAv ?s in?
其中,A为杆中点的挠度。
A的数值不确定。
? 欧拉公式与精确解曲线
? 精确解曲线
? 理想受压直杆
? 非理想受压直杆
crPP 152.1?
l3.0??
时,
12
§ 9,3 其他支座条件下 细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆
2
2
cr )2( l
EI
P
?
?
2 一端固支一端滑动固支
（简称为两端固支）
由两端铰支压杆的 临界
压力公式
13
2 一端固支一端滑动固支
（简称为两端固支）
2
2
cr
2
?
?
?
?
?
?
?
l
EI
P
?
拐点处弯矩为零。
拐点
3 一端固支一端铰支
由两端铰支压杆的 临界
压力公式
14
3 一端固支一端铰支
2
2
cr )7.0( l
EI
P
?
?
4 欧拉公式的普遍形式
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
? l ?? 相当长度；
? ?? 长度系数。 拐点
由两端铰支压杆的 临界
压力公式
15
表 14.1 压杆的长度系数 ?
4 欧拉公式的普遍形式
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
? l ?? 相当长度；
? ?? 长度系数。
压杆的约束条件 长度系数
两端铰支 ? = 1
一端固支一端自由 ? = 2
两端固支 ? = 1 /2
一端固支一端铰支 ? ? 0,7
21
§ 9,4 欧拉公式的适用范围 经验公式
1 临界应力
? 临界压力
? 临界应力
将惯性矩写为
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
A
P cr
cr ?? Al
EI
2
2
)( ?
?
?
AiI 2? i ? 惯性半径
Al
AEi
2
22
cr )( ?
?
? ? 2
2
?
?
?
?
?
?
?
i
l
E
?
?
22
将惯性矩写为
AiI 2? i ? 惯性半径
Al
AEi
2
22
cr )( ?
?
? ? 2
2
?
?
?
?
?
?
?
i
l
E
?
?
? 柔度 (长细比 )
i
l?? ?
柔度 是压杆稳定问题中的一个 重要参数,它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
23
? 柔度 (长细比 )
i
l?? ?
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
则临界应力为
2
2
cr ?
?
?
E
?
?? 欧拉公式
2 欧拉公式的 适用范围
导出欧拉公式用了 挠曲线近似微分方程
要求材料满足 胡克定律
pcr ?? ?
24
2 欧拉公式的 适用范围
导出欧拉公式用了 挠曲线近似微分方程
要求材料满足 胡克定律
pcr ?? ?
即,
2
2
cr ?
?
?
E
? p??
P
2
?
?
?
E
?
记,
P
2
1
?
?
?
E
?
则 欧拉公式 成立的条件为,
1?? ?可以看出,?
1 只与 材料的性质 有关。
25
记,
P
2
1
?
?
?
E
?
则 欧拉公式 成立的条件为,
1?? ?可以看出,?
1 只与 材料的性质 有关。
? 对 A3钢,E = 206 GPa,?p = 200 Mpa
1001 ??3 直线经验公式
对于 ?cr ? ?p 的情况，欧拉公式不成立。
工程上使用 经验公式 。
? 直线经验公式 ?? ba ??
cr
26
3 直线经验公式
对于 ?cr ? ?p 的情况，欧拉公式不成立。
工程上使用 经验公式 。
? 直线经验公式
?? ba ??cr
式中,a,b是与 材料有关的常数 (表 14.2,p162)。
80 0.190 28.7 松木
70 1.454 332.2 铸铁
95 2.568 461 优质碳钢 ?s=306MPa
102 1.12 304 A3钢 ?s=235MPa
?1 b(MPa) a(MPa) 材料
27
? 直线 经验 公式
?? ba ??cr
式中,a,b 是与 材料性质有关的常数。
? 直线经验公式的适用范围
用直线经验公式时，应有
?? ba ??cr s??
b
a s?? ??
记,
则 直线经验公式的适用范围 为,
12 ??? ??
b
a s
2
?? ??
? 当 ? ? ?2 时，就发生 强度 失效,而不是失稳。
28
记,
则 直线经验公式的适用范围 为,
12 ??? ??
b
a s
2
?? ??
? 当 ? ? ?2 时，就发生 强度 失效,而不是失稳。
A
P?
cr? s??
所以应有,
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据 柔度 将压杆分为三类
(1) 大 柔度杆 (细长杆 ) ? ? ? 1 的压杆
(2) 中 柔度杆 ? 2 ? ? ? ? 1 的压杆
4 压杆分类
29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据 柔度 将压杆分为三类
(1) 大 柔度 杆 (细长杆 ) ? ? ? 1 的压杆
(2) 中 柔度 杆 ? 2 ? ? ? ? 1 的压杆
(3) 小 柔度 杆 (短粗杆 ) ? ? ? 2 的压杆
5 临界应力总图
30
5 临界应力总图
大 柔度杆 小柔度杆
中
柔
度
杆
31
? 临界应力计算的 小结
? 对 ? ? ? 1 的 大 柔度 压
杆，临界应力公式为
2
2
cr ?
?? E?
? ? 1 ? ? ? ? 2 的 中 柔度 压杆，临界应力公式为
? ? 2 ? ? 的 小柔度 压杆，临界应力公式为
?? ba ??cr
A
P?
cr?
32
? ? 1 ? ? ? ? 2 的 中 柔度 压杆，临界应力公式为
? ? 2 ? ? 的 小柔度 压杆，临界应力公式为
?? ba ??cr
A
P?
cr?
6 抛物线 经验 公式
抛物线 经验 公式为
2
11cr ?? ba ??
式中,a1,b1 是与 材料性质有关的常数。
? 说明
若压杆的局部有 截面被削弱 的情况，则,
33
6 抛物线 经验 公式
抛物线 经验 公式为
2
11cr ?? ba ??
式中,a1,b1 是与 材料性质有关的常数。
? 说明
若压杆的局部有 截面被削弱 的情况，则,
? 进行 稳定性 计算时，可忽略若压杆的局部 削
弱,仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界
应力；
? 进行 强度 计算时，应按削弱后的面积计算。
34
§ 9,5 压杆的稳定校核
? 工作安全系数
? 稳定安全系数
? 稳定校核
P
Pn cr?
stn
满足稳定性要求时，应有,
P
Pn cr?
stn?
? 稳定安全系数与强度安全系数的取值
?强度安全系数取值 1.2 ~ 2.5，有时可达 3.5；
?稳定安全系数取值 2 ~ 5，有时可达 8 ~10。
35
? 压杆稳定问题的解题步骤
1 稳定校核 问题
1) 计算 ? 1, ? 2,? ；
2) 确定属于哪一种杆 (大柔度，中柔度,
小柔度 ) ；
3) 根据杆的类型求出 ?cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P；
5) 校核 n = Pcr /P ? nst 是否成立。
? 稳定安全系数与强度安全系数的取值
?强度安全系数取值 1.2 ~ 2.5，有时可达 3.5；
?稳定安全系数取值 2 ~ 5，有时可达 8 ~10。
36
1 稳定校核 问题
1) 计算 ? 1, ? 2,? ；
2) 确定属于哪一种杆 (大柔度杆，中柔度杆,
小柔度杆 ) ；
3) 根据杆的类型求出 ?cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P；
5) 校核 n = Pcr /P ? nst 是否成立。
2 确定许可载荷
前 3步同 稳定校核 问题；
4) P ? Pcr / nst 。
37
2 确定许可载荷
前 3步同 稳定校核 问题；
4) P ? Pcr / nst 。
3 截面设计 问题
1) 计算实际压力 P ；
2) 求出 Pcr,Pcr = nst P；
3) 先假设为 大柔度杆,由欧拉公式求出 I,
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
进一步求出直径 d (若为圆截面杆 ) ;
4) 计算 ? 1 和 ? ；
5) 检验 ? ? ? 1 是否成立。若成立，则 结束 ;
38
3) 先假设为 大柔度杆,由欧拉公式求出 I,
进一步求出直径 d (若为圆截面杆 ) ;
4) 计算 ? 1 和 ? ；
5) 检验 ? ? ? 1 是否成立。若成立，则 结束 ;
6) 若 ? ? ? 1 不 成立，则 设为 中柔度杆,按经
验公式求出 直径 d (若为圆截面杆 ) ;
?? ba ??cr
i
lba
A
P ???cr d
7) 计算 ? 2 ；
8) 检验 ? ? ? 2 是否成立。 若成立，则 结束。
39
6) 若 ? ? ? 1 不 成立，则 设为 中柔度杆,按经
验公式求出 直径 d (若为圆截面杆 ) ;
?? ba ??cr
i
lba
A
P ???cr d
7) 计算 ? 2 ；
8) 检验 ? ? ? 2 是否成立。 若成立，则 结束。
? 稳定性计算的折减系数法
f
A
N ?? ?
这里,? 称为稳定系数，与材料、截面形状及
柔度有关； f 为强度设计值，与材料有关。
按静强度设计的方法设计受压杆
40
例 1 (书例 14.4 )
已知, 空气压缩机的活塞杆由 45钢制成,?s = 350
Mpa,?p = 280 MPa,E=210GPa。 长度 l = 703
mm,直径 d = 45 mm。最大压力 Pmax=41.6kN。
稳定安全系数为 nst = 8~10。
求, 试校核其稳定性。
解,
1 求 ? 1
2 求 ? P
2
1
?
?
?
E
?
6
92
10280
10210
?
??
?
? 86?
? 活塞杆可简化为两端铰支杆
1??
41
1 求 ? 1
2 求 ? P
2
1
?
?
?
E
?
6
92
10280
10210
?
??
?
? 86?
? 活塞杆可简化为两端铰支杆
1??
? 惯性半径
对圆轴
A
I
i ? 2
4
4
1
64
d
d
?
?
?
16
2d
?
4
d?
? 柔度 ?
i
l?? ?
4/45
7031 ?? 5.62?
42
1 求 ? 1
2 求 ?
861 ??
? 柔度 ?
i
l?? ?
4/45
7031 ?? 5.62?
因为
1?? ?
，所以不是大柔度杆。
3 求 ? 2 采用直线经验公式。
由表 14.2 查得 (45钢属优质碳钢 ),
M P a,4 6 1?a M P a5 6 8.2?b
b
a s
2
?? ??
568.2
350461 ?? 2.43?
12 ??? ??
所以，是中柔度杆。
43
3 求 ? 2 采用直线经验公式。
b
a s
2
?? ??
568.2
350461 ?? 2.43?
12 ??? ??
所以，是中柔度杆。
4 求 临界应力 采用直线经验公式。
?? ba ??cr 5.625 6 8.24 6 1 ??? M P a301?
5 求 临界压力
AP ?? crcr ? kN478?
6 稳定校核
P
Pn cr?
6.41
478? 5.11?
stn?
满足稳定要求。
44
例 2 (书例 14.5 )
已知, 活塞直径
D= 65 mm,p=
求, 活塞杆直径 d 。
解, 这是截面设计问题。
? 临界压力的最大值为
pDP ?? 2
4
1 ? N3980?
? 先假设为大柔度杆
P
p
1.2MPa,l=1250mm,45钢,?p = 220MPa,
E= 210GPa,nst = 6。
PnP ?? stcr N23900?
? 活塞杆所受压力
用欧拉公式计算临界压力
45
解, 这是截面设
计问题。
? 临界压力的最大值为
pDP ?? 2
4
1 ? N3980?
? 先假设为大柔度杆
P
p
PnP ?? stcr N23900?
? 活塞杆所受压力
用欧拉公式计算临界压力
? 活塞杆可简化为两端铰支杆 1??
2
2
cr )( l
EIP
?
??
2
4
2
)(
64
l
d
E
?
?
?
? mm6.24?d
取 mm25?d
46
? 活塞杆可简化为两端铰支杆 1??
2
2
cr )( l
EIP
?
??
2
4
2
)(
64
l
d
E
?
?
?
? mm6.24?d
取 mm25?d
? 根据求出的 d计算柔度
i
l?? ?
4d
l?? 200?
? 计算 ? 1
P
2
1 ?
?
?
E
? 97?
因为
1?? ?
，是大柔度杆。 以上计算正确。
47
例 3 (书习题 14.16 )
已知, 悬臂梁 AC为 10号
工字钢,AB杆为钢管,
内径为 d = 30 mm,外径
D = 40 mm。梁及钢管
的材料同为 A3钢。稳定
安全系数 nst=2.5。
求, 当 重为 Q=300N的重物落于梁的 A端时,
试校核 AB杆的稳定性。
解, 这是一个综合性的题目。
A
B
C
3m
10
2m
1 求 Dst
48
解, 这是一个综合性的题目。
A
B
C
3m
10
2m
1 求 Dst
A
B
C
Q
将重物作为静载荷。
这是一次静不定问题。
? 相当系统
A
B
C
Q
X1
X1
? 载荷分解
49
? 相当系统
A
B
C
Q
X1
X1
? 载荷分解
A
B
C
Q
A
B
C
1
1
x
x
? AC段弯矩方程
QxxM ??)(
xxM ?)(
? AB段轴力
,0?N 1?N
50
A
B
C
Q
A
B
C
1
1 x
? AC段弯矩方程
QxxM ??)(
xxM ?)(
? AB段轴力
,0?N 1?N
? 由莫尔积分
EI
Ql
3
3
1
P1 ??D
EA
l
EI
l 231
11 3 ???
85 1076.11078.1 ?? ????
51
? 由莫尔积分
EI
Ql
3
3
1
P1 ??D
EA
l
EI
l 231
11 3 ???
85 1076.11078.1 ?? ????
? 由正则方程
11
P1
1 ?
D
??X Q?
? 静位移
EA
Ql 2
st ?D m1028.5
6???
2 动荷系数
N300?
52
? 由正则方程
11
P1
1 ?
D
??X Q?
? 静位移
EA
Ql 2
st ?D m1028.5
6???
2 动荷系数
由垂直冲击的动荷系数公式
st
d
h
K
D
???
2
11 55.62?
3 压杆 AB受到的动载荷
1dd XKP ?? N18765?
N300?
53
3 压杆 AB受到的动载荷
1dd XKP ?? N18765?
4 压杆 AB的临界压力
? 柔度 ? 圆环的惯性半径
)(
4
1
)(
64
22
44
dD
dD
i
?
?
?
?
?
22
4
1 dD ?? m105.12 3???
i
ul 2??
3105.12
21
??
?? 160?
54
i
ul 2??
3105.12
21
??
?? 160?
? 对 A3钢 102
1 ??
所以有
1?? ?是大柔度杆。
? 用欧拉公式计算临界压力
2
2
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
)(
64
44
2 dDI ??
?其中 49 m109.85 ???
N4 3 6 6 2cr ?P
55
? 用欧拉公式计算临界压力
2
2
2
2
cr )( l
EI
P
?
?
?
)(
64
44
2 dDI ??
?其中 49 m109.85 ???
N4 3 6 6 2cr ?P5 稳定校核
? 工作安全系数
d
cr
P
Pn ?
18765
43662? 327.2? 5.2
st ?n?
? 结论：不安全
56
§ 9,6 提高压杆稳定性的措施
1 选择合理的截面形状
截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大,
就越不容易失稳，即稳定性越好。
所以，应选择合理的截面形状，使得,
,
)( 2
2
cr l
EI
P
?
?
?,
2
2
cr ?
?
?
E
?
i
l?? ?
? 在截面积相等的情况下，使 I 或 i 较大 ;
57
? 各纵向平面内的约束情况 相同 时,
应使对各形心轴的 I 或 i 接近相等。
? 两纵向对称平面内的约束情况 不相同 时,
应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等。
所以，应选择合理的截面形状，使得,
? 在截面积相等的情况下，使 I 或 i 较大 ;
58
? 两纵向对称平面内的约束情况 不相同 时
应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等,
59
2 改变压杆的约束条件
? 约束越强，越不容易失稳
60
3 合理选择材料
E
?s
但 优质钢 与 普通钢 的 E差别不大。
? 对大柔度杆
选用 E大的材
料，可提高临
界压力值。
钢 压杆比 铜,
铸铁 或 铝 压杆
的临界压力大。
? 对中柔度杆
提高 ?s 可提高临界压力值。
61
谢 谢 大 家 !
