1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第三章
扭 转
2
第三章 扭转
本章内容,
1 扭转的概念和实例
2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
3 纯剪切
4 圆轴扭转时的应力
5 圆轴扭转时的变形
6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
7 非圆截面杆扭转的概念
8 薄壁杆件的自由扭转
3
§ 3,1 扭转的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是受扭转的。
自行车的中轴受扭转。
4
5
传动轴
6
7
机械传动机构中，有很多受扭转的杆件。
8
? 扭转的 特点
在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值,
反向的力偶。
横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
? 受力特点
? 变形特点
以扭转变形为主的杆件 ?? 称为 轴 。
本章中，主要讨论 圆轴 的强度和刚度问题。
9
§ 3,2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
1 外力偶矩
由理论力学知,
功率 ?mN ?
?
Nm ?
若功率的单位用千
瓦，转速用 n转 /分,
60
2
1000
n
N
m
?
?
? )mN(9549 ??
n
N
n
N2965.9549?
10
)mN(95 49 ??
n
Nm所以
式中，功率的单位为 千瓦,转速的单位为 转 /分
若功率的单位为 马力 时，则公式为
)mN(7024 ??
n
Nm
2 扭矩和扭矩图
求内力的方法 ?? 截面法
11
2 扭矩和扭矩图
求内力的方法 ?? 截面法
? ? 0)( FxM mT ?
T ?? 扭矩
若取右段,将得到同样的结果。
? 扭矩的 正负号
规定
12
? 扭矩的 正负号
规定
? 扭矩图 T
13
例 5 (书例 3,1)
已知, 主动轮 A的输入功率 NA＝ 50马力，从动轮
B,C,D输出功率分别为 NB＝ NC＝ 15马力,ND
＝ 20马力，转速 n＝ 300 r/min。
求,扭矩图。
解, 1) 由功率计算力偶矩
14
解, 1) 由功率计算力偶矩
n
Nm A
A 70 24? 300
507024 ?? mN1170 ??
cB mm ? m,N351 ?? ?Dm mN468 ?
2) 求各段的扭矩
? I-I 截面，取左段
BI mT ?? mN351 ???
15
2) 求各段的扭矩
? I-I 截面，取左段
BI mT ?? mN351 ???
? II-II 截面，取左段
)( CBII mmT ???
mN7 0 2 ???
16
? II-II 截面，取左段
)( CBII mmT ???
mN7 0 2 ???
? III-III 截面，取右段
DIII mT ? mN468 ??
? 画出扭矩图
17
? 画出扭矩图
T
? 讨论
若将轮 A与轮 D调换位置，扭矩图将怎样变化？
18
? 讨论
若将轮 A与轮 D调换位置，扭矩图将怎样变化？
最大扭
矩增大
67%！
19
§ 3,3 纯剪切
1 薄壁圆筒扭转扭
转时的切应力
? 试验观察
20
轴线 和 周向线
长度不变
横截面 和 纵向
截面 上 无 正应
力 。
横截面 上只有
切应力 。
? 试验观察
21
横截面 和 纵向截
面 上 无 正应力 。
横截面 上只有 剪
应力 。
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布
取研究对象如图。
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
T
22
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布
取研究对象如图。
?? drt ??
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
?? ?? tr 22又
mT ?
tr
m
22?? ?
? ?20 r??T
23
2 切应力互等定理
纯剪切
? ? ?
0?? Y
0?? X
0)( ?? FzM
yzx ddd ???
取单元体如图。
两相对的面
上，切应力
大小相等,
方向相反。
xzy ddd ?? ? 0?
?? ??
24
3 剪应变、剪切胡克定律
?? ta n?
? 剪应变
l
r??
? 纯剪切试验
? 剪切胡克
定律
?? G?
当切应力不超
过剪切比例极
限时,
G ?? 剪变模量 (剪切弹性模量 )
25
? 剪切胡克定律
?? G?
当切应力不超过剪
切比例极限时,
G ?? 剪变模量 (剪
切弹性模量 )
G 具有应力的量纲。
对各向同性材料，三个弹性常数 E,?,G之间
)1(2 ??
? EG
满足关系,
26
4 剪切变形能
?? 10 d? ??u
剪切变形能的推导过
程与拉压变形能的推
导过程相同。
??
2
1?u
也可写为,
? 剪切变形比能
当切应力小于剪切
比例极限时,
2
2
1 ?Gu ? 或,
G
u
2
2?
?
27
§ 3,3 纯剪切
1 薄壁圆筒扭转扭
转时的切应力
? 试验观察
28
轴线 和 周向线
长度不变
横截面 和 纵向
截面 上 无 正应
力 。
横截面 上只有
切应力 。
? 试验观察
29
横截面和纵向截
面上 无 正应力 。
横截面上只有 切
应力 。
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布 。
取研究对象如图。
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
T
30
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布
取研究对象如图。
?? drt ??
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
?? ?? tr 22又
mT ?
tr
m
22?? ?
? ?20 r??T
31
?? drt ??
?? ?? tr 22又
mT ?
tr
m
22?? ?
? ?20 r??T
2 切应力互等定理
0?? Y
0?? X
取单元体如图。
两相对的面
上，切应力
大小相等,
方向相反。
? ? ?
32
2 切应力互等定理
纯剪切
? ? ?
0?? Y
0?? X
0)( ?? FzM
yzx ddd ???
取单元体如图。
两相对的面
上，切应力
大小相等,
方向相反。
xzy ddd ?? ? 0?
?? ??
33
3 切应变、剪切胡克定律
?? ta n?
? 切应变
l
r??
? 纯剪切试验
? 剪切胡克
定律
?? G?
当切应力不超
过剪切比例极
限时,
G ?? 切变模量 (剪切弹性模量 )
34
? 剪切胡克定律
?? G?
当切应力不超过剪
切比例极限时,
G ?? 切变模量 (剪
切弹性模量 )
G 具有应力的量纲。
对各向同性材料，三个弹性常数 E,?,G 之间
)1(2 ??
? EG
满足关系,
35
4 剪切变形能
?? 10 d? ??u
剪切变形能的推导过
程与拉压变形能的推
导过程相同。
??
2
1?u
也可写为,
? 剪切变形能密度
当切应力小于剪切
比例极限时,
2
2
1 ?Gu ? 或,
G
u
2
2?
?
36
§ 3,4 圆轴扭转时的应力
1 变形几何关系
? 试验观察
(1) 各 圆周线 绕
轴线相对转动一
微小转角，但大
小，形状及相互
间距不变；
试验现象,
(2) 各 纵向线 平行地倾斜一个微小角度，认为仍
是直线；
37
? 平面假设
圆轴扭转时，横
截面保持为平面,
并且只在原地 绕
轴线 发生, 刚性, 转动。
? 变形几何关系
ad
aa ???
x
R
d
d ??
x
R
d
d ?? ?
38
? 变形几何关系
ad
aa ???
x
R
d
d ??
x
R
d
d ?? ?
? 距圆心为 ?处
xd
d ???
? ?
即：各点的 切应变 与其到圆心的距离成正比。
39
2 物理关系
1 变形几何关系
xd
d ???
? ?
即：各点的切应变与其到圆心的距离成正比。
? 剪切胡克定律 ?? G?
x
G
d
d ???? 距圆心为 ?处
?? ?? G?
? 切应力分布
3 静力关系
切应力 沿半
径呈 线性分
布 。
40
3 静力关系
Ad????
A
?? T?
?? A AT d???
横截面上内
力系对圆心
的矩应等于
扭矩 T。
即, ? ??
A
A
x
G d
d
d ??? ??
A
A
x
G d
d
d 2??
?? A AI d2p ?
记 横截面对圆心 O的 极惯性矩 。
x
GIT
d
d
p
??
pd
d
GI
T
x
?
?
41
?? A AI d2p ?
记 横截面对圆心 O的 极惯性矩 。
x
GIT
d
d
p
??
pd
d
GI
T
x
?
?
代入切应力关系
x
G
d
d ???
? ?
pI
T ?
? ? ?
最大切应力,
,
p
m a x I
TR
?? 记,
R
I
W t p?
tW
T
?m a x?
42
pI
T ?
? ? ?
最大切应力,
,
p
m a x I
TR
?? 记,
R
I
W t p?
tW
T
?m a x?
Wt 称为
抗扭截面系数 。
注意,以上公式只对 等直圆杆 成立。
对截面变化比较缓慢的圆截面直杆近似
成立。
此外,?max应小于剪切比例极限。
43
4 圆轴扭转强度条件
强度条件为,
?? A AI d2p ?
? 实心圆轴
,
32
4
p
DI ??
tW
T m a x
m a x ?? ][??
注意,计算 ?max 应综合考虑 T和 Wt。
5 极惯性矩和 抗扭截面系数的计算
16
3D
W t ??
? 空心圆轴
),1(
32
4
4
p ?
? ?? DI
)1(
16
4
3
?? ?? DW t
其中, Dd /??
44
例 1 (书例 3,2)
已知, 传动轴为无缝钢
管,D=90mm,t = 2.5
mm,Tmax= 1.5kN·m,
[?]=60MPa。
求, 校核轴的强度。
解, ? 计算 Wt
D
d??
3mm2 9 4 0 0?
D
tD 2?? 944.0?
)1(
16
4
3
?? ?? DW t )9 4 4.01(
16
90 43 ??? ?
? 切应力
tW
T?
m a x? 91029400
1500
???
M P a51? ][??
45
例 2 (书例 3,3)
已知, 同上例。将空心轴
改为实心轴。要求与空心
轴有相同的强度。 Tmax=
1.5kN·m。
求, 实心轴的直径。
解,
tW
T?
m a x?
16
1500
3
1D?
? 61051 ?? m0 5 3 1.01 ?D
? 比较空心轴与实心轴
实心轴截面积 24
1 m102.22 ???A
46
? 比较空心轴与实心轴
实心轴截面积
241 m102.22 ???A
空心轴截面积
空心轴与实心轴截面积比
242 m1087.6 ???A
2.22
87.6
1
2 ?
A
A 31.0?
47
例 3 (书习题 3.11)
已知, N=7.5 kW,
n=100r/min,许用
切应力 ???＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径
之比 ? = 0.5。
解,
? 计算扭矩
n
NT 9549?
100
5.7954 9? mN2.716 ??
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
? 强度条件
1
m a x
tW
T??
3
1
2.71616
d?
?? 61040 ??? 实心轴 ][??
48
? 计算扭矩
n
NT 9549?
100
5.7954 9? mN2.716 ??
? 强度条件
1
m a x
tW
T??
3
1
2.71616
d?
?? ][??
3
61 1040
2.7 1 616
??
??
?
d m045.0? mm45?
? 实心轴
2
m a x
tW
T??
)1(
2.7 1616
43
2 ?? ?
??
D
61040 ??? 空心轴
3 642
1040)5.01(
2.71 616
???
??
?
D m0 4 5 9 8 9.0? mm46?
61040 ??
][??
49
§ 3,5 圆轴扭转时的变形
扭转角
? 扭转变形
?? 两个横截面绕轴线的相对转角。
pd
d
GI
T
x
?
?
x
GI
T
dd
p
??
??
l
x
GI
T
0
p
d?
? 微段的扭转角
? 整体的扭转角
50
??
l
x
GI
T
0
p
d?
? 整体的扭转角
? 等直圆轴且扭矩不变时
pGI
Tl
??
GIp ?? 圆轴的 抗扭刚度 。
?
?
?
n
i i
ii
GI
lT
1 p
?? 台阶轴或扭矩分段变化
? 单位长度扭转角
xd
d ?? ?
pGI
T
?
51
? 等直圆轴且扭矩不变时
? 单位长度扭转角
xd
d ?? ?
pGI
T
?
l
?? ?
pGI
T
?
? 刚度条件
p
m a x
m a x GI
T
?? ][?? ( rad/m )
? 若 ? 的单位为“度”，则
p
m a x
m a x GI
T
?? ][?? ( o/m )
?
180?
52
例 4 (书例 3.4)
已知, 1,2轴共
消耗功率 0.756
kW； 3轴消耗功
率 2.98kW。 4轴
转速 183.5r/min,
G=80GPa。取
解,
? 计算力偶矩
n
Nm II
II 9 54 9?
mN3.39 ??
[?] =40 MPa,[?] =1.5o/m。
求,设计 4轴的直径。
53
? 计算力偶矩
n
Nm II
II 9 54 9?
mN3.39 ??
n
Nm IV
IV 9549?
mN155 ??
? 取 4轴,受力如图 0??
xm ?IIIm mN3.194 ?
54
? 画出扭矩图
? 计算力偶矩
m,N3.39 ??IIm
n
Nm IV
IV 9549?
mN3.1 9 4 ??IIIm
T
55
? 画出扭矩图
可得到,
T
mN1 5 5m a x ??T
? 由强度条件
tW
T m a x
m a x ?? 3
m a x16
D
T
?
? ][??
3 m a x
][
16
??
T
D ? m0 2 7 2.0?
? 由刚度条件
?
? 1 8 0
p
m a x
m a x ?? GI
T
??
1 80
)32/( 4
m a x ?
?
?
DG
T
56
? 由强度条件 m0 2 7 2.0?D
? 由刚度条件
?
? 1 8 0
p
m a x
m a x ?? GI
T
??
1 80
)32/( 4
m a x ?
?
?
DG
T
4
2
m a x
][
18032
??G
T
D
?
? m0 2 9 7.0?
][??
? 最后取,mm30?D
? 说明,
本题实际上是 弯扭组合
变形 的问题。
?? 由刚度条件控制
57
例 2 (书例 3,5)
已知, 把轴预加力偶矩
m后与筒焊接，然后解除
m。轴和筒的抗扭刚度分
别为 G1IP1和 G2IP2 。
解,
求,轴和筒的扭矩。
先扭后焊，属装配应
力问题。
设外力偶矩 m撤销后,
轴内的扭矩为 T1,
筒内的扭矩为 T2 。
58
? 静平衡方程
0?? m
T1
T2
设外力偶矩 m撤销后,
轴内的扭矩为 T1,
筒内的扭矩为 T2 。
021 ?? TT
? 变形协调方程
设：焊接前轴在 m的作用
下的扭转角为 ? 。
焊接并释放 m后，杆的扭
转角减小为 ?1,筒的 扭转
角为 ?2,转向如图。
59
T1
T2 ? 变形协调方程
设：焊接前轴在 m的作用
下的扭转角为 ? 。
焊接并释放 m后，杆的扭
转角减小为 ?1,筒的 扭转
角为 ?2,转向如图。
所以,??? ??
21
? 物理关系,
1p1 IG
lm ???,
1p1
1
1 IG
lT ???
2p2
2
2 IG
lT ???
代入变形协调方程
1p12p2
2
1p1
1
IG
lm
IG
lT
IG
lT ?????
60
? 物理关系
,
1p1 IG
lm ???,
1p1
1
1 IG
lT ???
2p2
2
2 IG
lT ???
代入变形协调方程
1p12p2
2
1p1
1
IG
lm
IG
lT
IG
lT ?????
与平衡方程联立解得
21 TT ?
2p21p1
2p2
IGIG
ImG
?
?
T1
T2
61
§ 3,7 非圆截面杆扭转的概念
发生 翘曲,
平面假设
不成立。
? 试验现象
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面
杆的扭转。
? 自由扭转
翘曲 不受
限制。
62
? 自由扭转
翘曲 不受限制。
纵向纤维无伸长
横截面上 无 正应力
? 约束扭转
横截面上 有 正应力 。
对实体杆,正应力
可忽略。
? 横截面边缘处的切应力
63
? 横截面边缘处的切应力
? 横截面的 边缘点
切应力与边界 相切
? 横截面的 凸角处
切应力为 零
? 矩形截面 杆自由扭转
时的结论
? 切应力的分布特点
64
? 边缘各点的切应力与周
边相切，沿周边方向形
成 剪流 。
? 四个角点处切应力为零
? ?max 发生在长边中点
2m a x hb
T
?
? ?
? ?? 是 与 h / b 有关的系数（表 3.2）。
? 矩形截面 杆自由扭转
时的结论
? 切应力的分布特点
65
? ?max 发生在长边中点
2m a x hb
T
?
? ?
? ? 与 h/b 有关的系数 (表 3.2)。
? 短边中点的切应力
m a x1 ??? ?
? 两端的相对扭转角
tGI
Tl
??
其中 3hbI
t ??
GIt ?? 抗扭刚度 。
66
? ?max 发生在长边中点
2m a x hb
T
?
? ?
? 短边中点的切应力
m a x1 ??? ?
? 两端的相对扭转角
tGI
Tl
?? 3hbI t ??
矩形截面杆扭转时的系数 (表 3.2)
67
狭长矩形,
? 狭长矩形 截面杆扭转切应力
? 扭转角
3
1?? ??
h / b ? 10 的矩形
? 切应力
这种情况下
2
m a x
3
1
?
?
h
T
?所以
3
3
1
?
?
hG
Tl
?
? ?厚度
68
§ 3,8 薄壁杆件的自由扭转
两类薄壁杆件,
开口薄壁杆件 闭口薄壁杆件
1 开口薄壁杆件的自由扭转
? 基本思路 将开口薄壁杆件的横截面看成是
若干个狭长矩形的组合。
69
1 开口薄壁杆件的自由扭转
? 基本 思路 将开口薄壁杆件的横截面看成是
若干个狭长矩形的组合。
? 基本 假设
? 横截面在其自身平面内的投影的
形状保持不变。
各组成部分的扭转角相等。
即, ?? ?????
i???? 21
? 横截面上承受的扭矩等于各部分承担的扭
?? ????? iTTTT 21
矩之和, ?
? iT
70
? 各组成部分的扭转角相等
?? ????? i???? 21
? 横截面上承受的扭矩等于各部分承担的扭矩
?? ????? iTTTT 21
之和。
?? iT
? 推导扭转角公式
由狭长矩形公式,
3
3
1
ii
i
i
hG
lT
?
? ?
代入扭矩关系式，有,
)( 3322311
3
1
3
1
3
1 ?? ?????
iihhhl
GT ????
3
3
1
ii
i
i hl
GT ???
71
代入扭矩关系式，有,
)( 3322311
3
1
3
1
3
1 ?? ?????
iihhhl
GT ????
?? 331 iihlG ??
引入记号, ?
? 3
3
1
iit hI ?
tGI
Tl
??
GIt ?? 抗扭刚度
? 推导切应力公式
72
2
3
1
ii
i
i
h
T
?
? ?
? 扭转角公式
tGI
Tl
??
GIt ?? 抗扭刚度
? 推导切应力公式
由狭长矩形切应力公式
为解出 Ti,由扭转角的关系 ?? ?
i
tGI
Tl
?
有,
3
3
1
ii
i
hG
lT
? t
iii I
T
hT 3
3
1
??
代入切应力公式，得,
t
i
i I
T ?
? ?
73
? 切应力公式
最大切应力为,
t
i
i I
T ?
? ?
tI
T m a x
m a x
?
? ?
最大切应力发生在 宽度最大 的狭长矩形的长边。
即, 厚 的地方 切应力 大 。
? 切应力分布情况
74
? 切应力分
布情况
75
? 型钢 It 的修正
修正系数 ? 的值,
?? 331 iit hI ? ?tI ? 3
3
1
iih ???
角钢 ? =1.00 ; 槽钢 ? =1.12 ;
T字形 钢 ? =1.15 ; 工字钢 ? =1.20,
END
76
2 闭口薄壁杆件的自由扭转
只考虑 单孔 的情况
切应力沿厚度
均匀分布
? 基本 假设
? 推导切应力公式
取 abcd为研究对象
ab面和 cd 面上的
剪力
xQ ???? 111 ??
xQ ???? 222 ??
77
? 推导切应力公式
取 abcd为研究对象
ab面和 cd 面上的
剪力
xQ ???? 111 ??
xQ ???? 222 ??
由平衡条件
21 QQ ? 2211 ???? ?
?? 剪力流 记,
= 常量
???t = 常量
又，横截面上的内力对 O点的矩应等于扭矩 T
所以,
??? ???? ?
s
sT d ???? ?
s
st d ??
s
st d?
78
?? 剪力流 记,???t = 常量
又，横截面上的内力对 O点的矩应等于扭矩 T
所以,
??? ???? ?
s
sT d ???? ?
s
st d ??
s
st d?
而 ?? d2d ?s
?? 2d ??
s
s
? 为截面中线所包围的面积
得到 ?tT 2?
?2
Tt ?
79
因为,???t = 常量
得到 ?tT 2?
?2
Tt ?
所以，在 厚度 ? 最 小 处剪应
力最 大,
m i n
m a x ??
t
?
m i n2??
T
?
80
? 推导扭转角公式
用 能量法 推导。
切应力为,
比能为
G
u
2
2?
?
取单元体,
则单元体内的变形能为,
VuU dd ?
??2
T?
?
? t?
??
?
2
m?
22
2
8 ??G
m?
其体积为 xsV ddd ??
sx
G
m dd
8 2
2
??
?
? 计算变形能
81
则单元体内的变形能为,
VuU dd ? sx
G
m dd
8 2
2
??
?
杆内的总变形能为,
xs
G
mU
l
d]d
8
[ 2
2
??? ???? sG ml d8 2
2
??
?? ?? sG lmU d8 2
2
? 计算外力偶的功
在线弹性范围内，有,
?mW
2
1?
82
杆内的总变形能为,
?? ?? sG lmU d8 2
2
? 计算外力偶的功
在线弹性范围内，有,
?mW
2
1?
由功能原理, WU ?
?m
2
1 ??
??
s
G
lm d
8 2
2
?? ??? sGml d4 2
若厚度 ? 不变，则有,
??
? 2
4 G
m l S?
其中,S是截面中线的长度。
83
例 3 (书例 3,8)
已知,圆环形开口和闭口截面杆
的 r和 ? 。
解,
求, 比较二者的强度和刚度 。
? 开口圆环
看作是狭长矩形 rh ?2?
则有,
21 3/1 ?? h
T
?
?
3
1
3
1
?
?
hG
Tl
?
22
3
?? r
T
?
Gr
Tl
32
3
??
?
84
? 开口圆环
21 2
3
??
?
r
T
?
Gr
Tl
31 2
3
??
? ?
? 闭口圆环
,2r?? ?
??
? 22
4 G
T l S?
rS ?2?
??
?
22
T?则有,
?? 22 r
T
?
?? 32 rG
Tl
?
85
? 开口圆环
21 2
3
??
?
r
T
?
Gr
Tl
31 2
3
??
? ?
? 闭口圆环
??
? 22
2 r
T
?
??
? 32
2 rG
Tl
?
? 比较
,3
2
1
??
? r
? 2
2
1 )(3
??
? r
?
若
,10?
?
r 则
,30
2
1 ?
?
?
300
2
1 ?
?
?
86
? 比较
,3
2
1
??
? r
? 2
2
1 )(3
??
? r
?
若
,10?
?
r 则
,30
2
1 ?
?
?
300
2
1 ?
?
?
结论,
在同样情况下,开口 薄壁杆
件的应力和变形都 远大于 闭口
薄壁杆件。
87
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第三章
扭 转
2
第三章 扭转
本章内容,
1 扭转的概念和实例
2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
3 纯剪切
4 圆轴扭转时的应力
5 圆轴扭转时的变形
6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
7 非圆截面杆扭转的概念
8 薄壁杆件的自由扭转
3
§ 3,1 扭转的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是受扭转的。
自行车的中轴受扭转。
4
5
传动轴
6
7
机械传动机构中，有很多受扭转的杆件。
8
? 扭转的 特点
在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值,
反向的力偶。
横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
? 受力特点
? 变形特点
以扭转变形为主的杆件 ?? 称为 轴 。
本章中，主要讨论 圆轴 的强度和刚度问题。
9
§ 3,2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
1 外力偶矩
由理论力学知,
功率 ?mN ?
?
Nm ?
若功率的单位用千
瓦，转速用 n转 /分,
60
2
1000
n
N
m
?
?
? )mN(9549 ??
n
N
n
N2965.9549?
10
)mN(95 49 ??
n
Nm所以
式中，功率的单位为 千瓦,转速的单位为 转 /分
若功率的单位为 马力 时，则公式为
)mN(7024 ??
n
Nm
2 扭矩和扭矩图
求内力的方法 ?? 截面法
11
2 扭矩和扭矩图
求内力的方法 ?? 截面法
? ? 0)( FxM mT ?
T ?? 扭矩
若取右段,将得到同样的结果。
? 扭矩的 正负号
规定
12
? 扭矩的 正负号
规定
? 扭矩图 T
13
例 5 (书例 3,1)
已知, 主动轮 A的输入功率 NA＝ 50马力，从动轮
B,C,D输出功率分别为 NB＝ NC＝ 15马力,ND
＝ 20马力，转速 n＝ 300 r/min。
求,扭矩图。
解, 1) 由功率计算力偶矩
14
解, 1) 由功率计算力偶矩
n
Nm A
A 70 24? 300
507024 ?? mN1170 ??
cB mm ? m,N351 ?? ?Dm mN468 ?
2) 求各段的扭矩
? I-I 截面，取左段
BI mT ?? mN351 ???
15
2) 求各段的扭矩
? I-I 截面，取左段
BI mT ?? mN351 ???
? II-II 截面，取左段
)( CBII mmT ???
mN7 0 2 ???
16
? II-II 截面，取左段
)( CBII mmT ???
mN7 0 2 ???
? III-III 截面，取右段
DIII mT ? mN468 ??
? 画出扭矩图
17
? 画出扭矩图
T
? 讨论
若将轮 A与轮 D调换位置，扭矩图将怎样变化？
18
? 讨论
若将轮 A与轮 D调换位置，扭矩图将怎样变化？
最大扭
矩增大
67%！
19
§ 3,3 纯剪切
1 薄壁圆筒扭转扭
转时的切应力
? 试验观察
20
轴线 和 周向线
长度不变
横截面 和 纵向
截面 上 无 正应
力 。
横截面 上只有
切应力 。
? 试验观察
21
横截面 和 纵向截
面 上 无 正应力 。
横截面 上只有 剪
应力 。
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布
取研究对象如图。
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
T
22
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布
取研究对象如图。
?? drt ??
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
?? ?? tr 22又
mT ?
tr
m
22?? ?
? ?20 r??T
23
2 切应力互等定理
纯剪切
? ? ?
0?? Y
0?? X
0)( ?? FzM
yzx ddd ???
取单元体如图。
两相对的面
上，切应力
大小相等,
方向相反。
xzy ddd ?? ? 0?
?? ??
24
3 剪应变、剪切胡克定律
?? ta n?
? 剪应变
l
r??
? 纯剪切试验
? 剪切胡克
定律
?? G?
当切应力不超
过剪切比例极
限时,
G ?? 剪变模量 (剪切弹性模量 )
25
? 剪切胡克定律
?? G?
当切应力不超过剪
切比例极限时,
G ?? 剪变模量 (剪
切弹性模量 )
G 具有应力的量纲。
对各向同性材料，三个弹性常数 E,?,G之间
)1(2 ??
? EG
满足关系,
26
4 剪切变形能
?? 10 d? ??u
剪切变形能的推导过
程与拉压变形能的推
导过程相同。
??
2
1?u
也可写为,
? 剪切变形比能
当切应力小于剪切
比例极限时,
2
2
1 ?Gu ? 或,
G
u
2
2?
?
27
§ 3,3 纯剪切
1 薄壁圆筒扭转扭
转时的切应力
? 试验观察
28
轴线 和 周向线
长度不变
横截面 和 纵向
截面 上 无 正应
力 。
横截面 上只有
切应力 。
? 试验观察
29
横截面和纵向截
面上 无 正应力 。
横截面上只有 切
应力 。
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布 。
取研究对象如图。
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
T
30
? 切应力
假设 切应力沿厚
度 均匀分布
取研究对象如图。
?? drt ??
内力系对 x轴的矩
应等于扭矩 T。
?? ?? tr 22又
mT ?
tr
m
22?? ?
? ?20 r??T
31
?? drt ??
?? ?? tr 22又
mT ?
tr
m
22?? ?
? ?20 r??T
2 切应力互等定理
0?? Y
0?? X
取单元体如图。
两相对的面
上，切应力
大小相等,
方向相反。
? ? ?
32
2 切应力互等定理
纯剪切
? ? ?
0?? Y
0?? X
0)( ?? FzM
yzx ddd ???
取单元体如图。
两相对的面
上，切应力
大小相等,
方向相反。
xzy ddd ?? ? 0?
?? ??
33
3 切应变、剪切胡克定律
?? ta n?
? 切应变
l
r??
? 纯剪切试验
? 剪切胡克
定律
?? G?
当切应力不超
过剪切比例极
限时,
G ?? 切变模量 (剪切弹性模量 )
34
? 剪切胡克定律
?? G?
当切应力不超过剪
切比例极限时,
G ?? 切变模量 (剪
切弹性模量 )
G 具有应力的量纲。
对各向同性材料，三个弹性常数 E,?,G 之间
)1(2 ??
? EG
满足关系,
35
4 剪切变形能
?? 10 d? ??u
剪切变形能的推导过
程与拉压变形能的推
导过程相同。
??
2
1?u
也可写为,
? 剪切变形能密度
当切应力小于剪切
比例极限时,
2
2
1 ?Gu ? 或,
G
u
2
2?
?
36
§ 3,4 圆轴扭转时的应力
1 变形几何关系
? 试验观察
(1) 各 圆周线 绕
轴线相对转动一
微小转角，但大
小，形状及相互
间距不变；
试验现象,
(2) 各 纵向线 平行地倾斜一个微小角度，认为仍
是直线；
37
? 平面假设
圆轴扭转时，横
截面保持为平面,
并且只在原地 绕
轴线 发生, 刚性, 转动。
? 变形几何关系
ad
aa ???
x
R
d
d ??
x
R
d
d ?? ?
38
? 变形几何关系
ad
aa ???
x
R
d
d ??
x
R
d
d ?? ?
? 距圆心为 ?处
xd
d ???
? ?
即：各点的 切应变 与其到圆心的距离成正比。
39
2 物理关系
1 变形几何关系
xd
d ???
? ?
即：各点的切应变与其到圆心的距离成正比。
? 剪切胡克定律 ?? G?
x
G
d
d ???? 距圆心为 ?处
?? ?? G?
? 切应力分布
3 静力关系
切应力 沿半
径呈 线性分
布 。
40
3 静力关系
Ad????
A
?? T?
?? A AT d???
横截面上内
力系对圆心
的矩应等于
扭矩 T。
即, ? ??
A
A
x
G d
d
d ??? ??
A
A
x
G d
d
d 2??
?? A AI d2p ?
记 横截面对圆心 O的 极惯性矩 。
x
GIT
d
d
p
??
pd
d
GI
T
x
?
?
41
?? A AI d2p ?
记 横截面对圆心 O的 极惯性矩 。
x
GIT
d
d
p
??
pd
d
GI
T
x
?
?
代入切应力关系
x
G
d
d ???
? ?
pI
T ?
? ? ?
最大切应力,
,
p
m a x I
TR
?? 记,
R
I
W t p?
tW
T
?m a x?
42
pI
T ?
? ? ?
最大切应力,
,
p
m a x I
TR
?? 记,
R
I
W t p?
tW
T
?m a x?
Wt 称为
抗扭截面系数 。
注意,以上公式只对 等直圆杆 成立。
对截面变化比较缓慢的圆截面直杆近似
成立。
此外,?max应小于剪切比例极限。
43
4 圆轴扭转强度条件
强度条件为,
?? A AI d2p ?
? 实心圆轴
,
32
4
p
DI ??
tW
T m a x
m a x ?? ][??
注意,计算 ?max 应综合考虑 T和 Wt。
5 极惯性矩和 抗扭截面系数的计算
16
3D
W t ??
? 空心圆轴
),1(
32
4
4
p ?
? ?? DI
)1(
16
4
3
?? ?? DW t
其中, Dd /??
44
例 1 (书例 3,2)
已知, 传动轴为无缝钢
管,D=90mm,t = 2.5
mm,Tmax= 1.5kN·m,
[?]=60MPa。
求, 校核轴的强度。
解, ? 计算 Wt
D
d??
3mm2 9 4 0 0?
D
tD 2?? 944.0?
)1(
16
4
3
?? ?? DW t )9 4 4.01(
16
90 43 ??? ?
? 切应力
tW
T?
m a x? 91029400
1500
???
M P a51? ][??
45
例 2 (书例 3,3)
已知, 同上例。将空心轴
改为实心轴。要求与空心
轴有相同的强度。 Tmax=
1.5kN·m。
求, 实心轴的直径。
解,
tW
T?
m a x?
16
1500
3
1D?
? 61051 ?? m0 5 3 1.01 ?D
? 比较空心轴与实心轴
实心轴截面积 24
1 m102.22 ???A
46
? 比较空心轴与实心轴
实心轴截面积
241 m102.22 ???A
空心轴截面积
空心轴与实心轴截面积比
242 m1087.6 ???A
2.22
87.6
1
2 ?
A
A 31.0?
47
例 3 (书习题 3.11)
已知, N=7.5 kW,
n=100r/min,许用
切应力 ???＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径
之比 ? = 0.5。
解,
? 计算扭矩
n
NT 9549?
100
5.7954 9? mN2.716 ??
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
? 强度条件
1
m a x
tW
T??
3
1
2.71616
d?
?? 61040 ??? 实心轴 ][??
48
? 计算扭矩
n
NT 9549?
100
5.7954 9? mN2.716 ??
? 强度条件
1
m a x
tW
T??
3
1
2.71616
d?
?? ][??
3
61 1040
2.7 1 616
??
??
?
d m045.0? mm45?
? 实心轴
2
m a x
tW
T??
)1(
2.7 1616
43
2 ?? ?
??
D
61040 ??? 空心轴
3 642
1040)5.01(
2.71 616
???
??
?
D m0 4 5 9 8 9.0? mm46?
61040 ??
][??
49
§ 3,5 圆轴扭转时的变形
扭转角
? 扭转变形
?? 两个横截面绕轴线的相对转角。
pd
d
GI
T
x
?
?
x
GI
T
dd
p
??
??
l
x
GI
T
0
p
d?
? 微段的扭转角
? 整体的扭转角
50
??
l
x
GI
T
0
p
d?
? 整体的扭转角
? 等直圆轴且扭矩不变时
pGI
Tl
??
GIp ?? 圆轴的 抗扭刚度 。
?
?
?
n
i i
ii
GI
lT
1 p
?? 台阶轴或扭矩分段变化
? 单位长度扭转角
xd
d ?? ?
pGI
T
?
51
? 等直圆轴且扭矩不变时
? 单位长度扭转角
xd
d ?? ?
pGI
T
?
l
?? ?
pGI
T
?
? 刚度条件
p
m a x
m a x GI
T
?? ][?? ( rad/m )
? 若 ? 的单位为“度”，则
p
m a x
m a x GI
T
?? ][?? ( o/m )
?
180?
52
例 4 (书例 3.4)
已知, 1,2轴共
消耗功率 0.756
kW； 3轴消耗功
率 2.98kW。 4轴
转速 183.5r/min,
G=80GPa。取
解,
? 计算力偶矩
n
Nm II
II 9 54 9?
mN3.39 ??
[?] =40 MPa,[?] =1.5o/m。
求,设计 4轴的直径。
53
? 计算力偶矩
n
Nm II
II 9 54 9?
mN3.39 ??
n
Nm IV
IV 9549?
mN155 ??
? 取 4轴,受力如图 0??
xm ?IIIm mN3.194 ?
54
? 画出扭矩图
? 计算力偶矩
m,N3.39 ??IIm
n
Nm IV
IV 9549?
mN3.1 9 4 ??IIIm
T
55
? 画出扭矩图
可得到,
T
mN1 5 5m a x ??T
? 由强度条件
tW
T m a x
m a x ?? 3
m a x16
D
T
?
? ][??
3 m a x
][
16
??
T
D ? m0 2 7 2.0?
? 由刚度条件
?
? 1 8 0
p
m a x
m a x ?? GI
T
??
1 80
)32/( 4
m a x ?
?
?
DG
T
56
? 由强度条件 m0 2 7 2.0?D
? 由刚度条件
?
? 1 8 0
p
m a x
m a x ?? GI
T
??
1 80
)32/( 4
m a x ?
?
?
DG
T
4
2
m a x
][
18032
??G
T
D
?
? m0 2 9 7.0?
][??
? 最后取,mm30?D
? 说明,
本题实际上是 弯扭组合
变形 的问题。
?? 由刚度条件控制
57
例 2 (书例 3,5)
已知, 把轴预加力偶矩
m后与筒焊接，然后解除
m。轴和筒的抗扭刚度分
别为 G1IP1和 G2IP2 。
解,
求,轴和筒的扭矩。
先扭后焊，属装配应
力问题。
设外力偶矩 m撤销后,
轴内的扭矩为 T1,
筒内的扭矩为 T2 。
58
? 静平衡方程
0?? m
T1
T2
设外力偶矩 m撤销后,
轴内的扭矩为 T1,
筒内的扭矩为 T2 。
021 ?? TT
? 变形协调方程
设：焊接前轴在 m的作用
下的扭转角为 ? 。
焊接并释放 m后，杆的扭
转角减小为 ?1,筒的 扭转
角为 ?2,转向如图。
59
T1
T2 ? 变形协调方程
设：焊接前轴在 m的作用
下的扭转角为 ? 。
焊接并释放 m后，杆的扭
转角减小为 ?1,筒的 扭转
角为 ?2,转向如图。
所以,??? ??
21
? 物理关系,
1p1 IG
lm ???,
1p1
1
1 IG
lT ???
2p2
2
2 IG
lT ???
代入变形协调方程
1p12p2
2
1p1
1
IG
lm
IG
lT
IG
lT ?????
60
? 物理关系
,
1p1 IG
lm ???,
1p1
1
1 IG
lT ???
2p2
2
2 IG
lT ???
代入变形协调方程
1p12p2
2
1p1
1
IG
lm
IG
lT
IG
lT ?????
与平衡方程联立解得
21 TT ?
2p21p1
2p2
IGIG
ImG
?
?
T1
T2
61
§ 3,7 非圆截面杆扭转的概念
发生 翘曲,
平面假设
不成立。
? 试验现象
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面
杆的扭转。
? 自由扭转
翘曲 不受
限制。
62
? 自由扭转
翘曲 不受限制。
纵向纤维无伸长
横截面上 无 正应力
? 约束扭转
横截面上 有 正应力 。
对实体杆,正应力
可忽略。
? 横截面边缘处的切应力
63
? 横截面边缘处的切应力
? 横截面的 边缘点
切应力与边界 相切
? 横截面的 凸角处
切应力为 零
? 矩形截面 杆自由扭转
时的结论
? 切应力的分布特点
64
? 边缘各点的切应力与周
边相切，沿周边方向形
成 剪流 。
? 四个角点处切应力为零
? ?max 发生在长边中点
2m a x hb
T
?
? ?
? ?? 是 与 h / b 有关的系数（表 3.2）。
? 矩形截面 杆自由扭转
时的结论
? 切应力的分布特点
65
? ?max 发生在长边中点
2m a x hb
T
?
? ?
? ? 与 h/b 有关的系数 (表 3.2)。
? 短边中点的切应力
m a x1 ??? ?
? 两端的相对扭转角
tGI
Tl
??
其中 3hbI
t ??
GIt ?? 抗扭刚度 。
66
? ?max 发生在长边中点
2m a x hb
T
?
? ?
? 短边中点的切应力
m a x1 ??? ?
? 两端的相对扭转角
tGI
Tl
?? 3hbI t ??
矩形截面杆扭转时的系数 (表 3.2)
67
狭长矩形,
? 狭长矩形 截面杆扭转切应力
? 扭转角
3
1?? ??
h / b ? 10 的矩形
? 切应力
这种情况下
2
m a x
3
1
?
?
h
T
?所以
3
3
1
?
?
hG
Tl
?
? ?厚度
68
§ 3,8 薄壁杆件的自由扭转
两类薄壁杆件,
开口薄壁杆件 闭口薄壁杆件
1 开口薄壁杆件的自由扭转
? 基本思路 将开口薄壁杆件的横截面看成是
若干个狭长矩形的组合。
69
1 开口薄壁杆件的自由扭转
? 基本 思路 将开口薄壁杆件的横截面看成是
若干个狭长矩形的组合。
? 基本 假设
? 横截面在其自身平面内的投影的
形状保持不变。
各组成部分的扭转角相等。
即, ?? ?????
i???? 21
? 横截面上承受的扭矩等于各部分承担的扭
?? ????? iTTTT 21
矩之和, ?
? iT
70
? 各组成部分的扭转角相等
?? ????? i???? 21
? 横截面上承受的扭矩等于各部分承担的扭矩
?? ????? iTTTT 21
之和。
?? iT
? 推导扭转角公式
由狭长矩形公式,
3
3
1
ii
i
i
hG
lT
?
? ?
代入扭矩关系式，有,
)( 3322311
3
1
3
1
3
1 ?? ?????
iihhhl
GT ????
3
3
1
ii
i
i hl
GT ???
71
代入扭矩关系式，有,
)( 3322311
3
1
3
1
3
1 ?? ?????
iihhhl
GT ????
?? 331 iihlG ??
引入记号, ?
? 3
3
1
iit hI ?
tGI
Tl
??
GIt ?? 抗扭刚度
? 推导切应力公式
72
2
3
1
ii
i
i
h
T
?
? ?
? 扭转角公式
tGI
Tl
??
GIt ?? 抗扭刚度
? 推导切应力公式
由狭长矩形切应力公式
为解出 Ti,由扭转角的关系 ?? ?
i
tGI
Tl
?
有,
3
3
1
ii
i
hG
lT
? t
iii I
T
hT 3
3
1
??
代入切应力公式，得,
t
i
i I
T ?
? ?
73
? 切应力公式
最大切应力为,
t
i
i I
T ?
? ?
tI
T m a x
m a x
?
? ?
最大切应力发生在 宽度最大 的狭长矩形的长边。
即, 厚 的地方 切应力 大 。
? 切应力分布情况
74
? 切应力分
布情况
75
? 型钢 It 的修正
修正系数 ? 的值,
?? 331 iit hI ? ?tI ? 3
3
1
iih ???
角钢 ? =1.00 ; 槽钢 ? =1.12 ;
T字形 钢 ? =1.15 ; 工字钢 ? =1.20,
END
76
2 闭口薄壁杆件的自由扭转
只考虑 单孔 的情况
切应力沿厚度
均匀分布
? 基本 假设
? 推导切应力公式
取 abcd为研究对象
ab面和 cd 面上的
剪力
xQ ???? 111 ??
xQ ???? 222 ??
77
? 推导切应力公式
取 abcd为研究对象
ab面和 cd 面上的
剪力
xQ ???? 111 ??
xQ ???? 222 ??
由平衡条件
21 QQ ? 2211 ???? ?
?? 剪力流 记,
= 常量
???t = 常量
又，横截面上的内力对 O点的矩应等于扭矩 T
所以,
??? ???? ?
s
sT d ???? ?
s
st d ??
s
st d?
78
?? 剪力流 记,???t = 常量
又，横截面上的内力对 O点的矩应等于扭矩 T
所以,
??? ???? ?
s
sT d ???? ?
s
st d ??
s
st d?
而 ?? d2d ?s
?? 2d ??
s
s
? 为截面中线所包围的面积
得到 ?tT 2?
?2
Tt ?
79
因为,???t = 常量
得到 ?tT 2?
?2
Tt ?
所以，在 厚度 ? 最 小 处剪应
力最 大,
m i n
m a x ??
t
?
m i n2??
T
?
80
? 推导扭转角公式
用 能量法 推导。
切应力为,
比能为
G
u
2
2?
?
取单元体,
则单元体内的变形能为,
VuU dd ?
??2
T?
?
? t?
??
?
2
m?
22
2
8 ??G
m?
其体积为 xsV ddd ??
sx
G
m dd
8 2
2
??
?
? 计算变形能
81
则单元体内的变形能为,
VuU dd ? sx
G
m dd
8 2
2
??
?
杆内的总变形能为,
xs
G
mU
l
d]d
8
[ 2
2
??? ???? sG ml d8 2
2
??
?? ?? sG lmU d8 2
2
? 计算外力偶的功
在线弹性范围内，有,
?mW
2
1?
82
杆内的总变形能为,
?? ?? sG lmU d8 2
2
? 计算外力偶的功
在线弹性范围内，有,
?mW
2
1?
由功能原理, WU ?
?m
2
1 ??
??
s
G
lm d
8 2
2
?? ??? sGml d4 2
若厚度 ? 不变，则有,
??
? 2
4 G
m l S?
其中,S是截面中线的长度。
83
例 3 (书例 3,8)
已知,圆环形开口和闭口截面杆
的 r和 ? 。
解,
求, 比较二者的强度和刚度 。
? 开口圆环
看作是狭长矩形 rh ?2?
则有,
21 3/1 ?? h
T
?
?
3
1
3
1
?
?
hG
Tl
?
22
3
?? r
T
?
Gr
Tl
32
3
??
?
84
? 开口圆环
21 2
3
??
?
r
T
?
Gr
Tl
31 2
3
??
? ?
? 闭口圆环
,2r?? ?
??
? 22
4 G
T l S?
rS ?2?
??
?
22
T?则有,
?? 22 r
T
?
?? 32 rG
Tl
?
85
? 开口圆环
21 2
3
??
?
r
T
?
Gr
Tl
31 2
3
??
? ?
? 闭口圆环
??
? 22
2 r
T
?
??
? 32
2 rG
Tl
?
? 比较
,3
2
1
??
? r
? 2
2
1 )(3
??
? r
?
若
,10?
?
r 则
,30
2
1 ?
?
?
300
2
1 ?
?
?
86
? 比较
,3
2
1
??
? r
? 2
2
1 )(3
??
? r
?
若
,10?
?
r 则
,30
2
1 ?
?
?
300
2
1 ?
?
?
结论,
在同样情况下,开口 薄壁杆
件的应力和变形都 远大于 闭口
薄壁杆件。
87
谢 谢 大 家 !
