1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第十二章
弯曲的几个补充问题
2
§ 6,4 用叠加法求弯曲变形
? 叠加法
? 简要复习
在 线弹性 小变形 的条件下,外载荷 与 挠度 (力
与位移 )成线性关系，可用 叠加法 计算梁的挠
度。
? 用叠加法的基础
熟记简单载荷作用下的挠度和转角。
3
? 叠加法的两种类型
(1) 载荷叠加法
将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后,
进行叠加；
(2) 变形叠加法
在内力不变的前提下，将梁分解 (或刚化 )为
几段，求出各段的变形，然后进行叠加。
4
§ 6,5 简单静不定梁
? 基本概念
? 静定基 将静不定系统中的 多余约束 解除
后，得到的“静定基本系统”。
? 相当系统 在静定基上加上外载荷以及多余约
束力，便得到 受力 和 变形 与静不定
系统完全相同的“相当系统”。
5
? 说明
静定基不是唯一的，可有多种选法。
6
§ 6,6 提高弯曲刚度的一些措施
提高弯曲刚度的措施,
梁的挠曲线微分方程为
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
1 改善结构形式，减
小弯矩值
? 使力不传到轴上,
而由箱体承受。
? 缩小跨度或增加约束
7
1 改善结构形式，减小弯矩值
? 缩小跨度或增加约束
梁受集中力作用
时，挠度与跨度
L 的三次方成正
比。
2 选择合理的截
面形状
? 弹性模量与
抗弯刚度
8
? 弹性模量与抗弯刚度
? 抗弯刚度 EI除与截面形状有关外，还与弹
性模量有关。
? 钢材的弹性模量最大，故用钢材制造的构
件有较大的抗弯刚度。
? 高强度合金钢与低碳钢的弹性模量相同,
故选用高强度合金钢可提高构件的 强度,
但不能提高其 刚度 。
9
第十二章 弯曲的几个补充问题
本章内容,
1 非对称弯曲
2 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心
3 用奇异函数求弯曲变形
4 有限差分法
? 新课
10
§ 12,1 非对称弯曲
? 对称弯曲
梁具有纵向对称面,
且载荷都作用在纵向
对称面内，则挠曲线
也在该对称面内。
? 非对称弯曲
梁没有纵向对称面，或虽有纵向对称面，但载
荷不作用在纵向对称面内。
一、非对称的 纯弯曲 的 正应力
11
一、非对称的 纯弯曲 的 正应力
取截面 形心 为坐标 原点 。
? 平面假设
? 纵向纤维间无正应力
? 取 dx微段
1 外力偶在 xy平面内
xy平面内的外力
偶记为 Mz 。
中性轴 的位置和
方位未知。
? 基本假设
12
(1) 变形几何关系
?
?
? ?
(2) 物理关系
?? E?
?
?
E?
(3) 静力关系
? 取 dx微段
中性轴 的位置和方位未知。
AN
A?
? d?
AzM
Ay ?
? d? AyM Az ?? d?
0?
0? zM?
13
(2) 物理关系
?? E?
?
?
E?
(3) 静力关系
AN
A?
? d?
AzM
Ay ?
? d?
AyM
Az ?
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0?
0?
zM?
0d ?? AE
A ?
? 0d ?? A
A
?
中性轴 仍 通过截面的 形心 。
? 确定中性轴的位置
由
AN
A?
? d? 0?
14
AN
A?
? d? 0?
0d ?? A
y
E
A
? 0d ?? A
A
?
中性轴 仍 通过截面的 形心 。
??? c o ss in zy ??
? 确定中性轴的方位
设中性轴与 y轴的夹角为 ?,
? 以逆时针为正。
对 ?，有
则应力可写为
)c o ss i n( ??
?
? zy
E
??
15
??? c o ss in zy ??对 ?，有
则应力可写为
)c o ss i n( ??
?
? zy
E
??
代入
AzM
Ay ?
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? ?A Azzy
E
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?
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AA
AzAyz
E
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?
16
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E
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?
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AA
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E
??
?
)c o ss i n( ??
? yyz
II
E
?? 0?
yz
y
I
I
??t a n
这样,中性轴 的位置和方位就
完全确定。
17
yz
y
I
I
??t a n
这样,中性轴 的位置和方位就
完全确定。
? 导出正应力公式
将 代入
)c o ss i n( ??
?
? zy
E
?? AyM
Az ?
? d?
)dc o sd( s i n 2 ?? ??
AAz
AyzAy
E
M ??
?
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18
? 导出正应力公式
将 代入
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解出 E/?,代入前一式，得到
??
??
?
c o ss i n
)c o ss i n(
yzz
z
II
zyM
?
?
?
yzz
z
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?
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?
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19
解出 E/?,代入前一式，得到
??
??
?
c o ss i n
)c o ss i n(
yzz
z
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zyM
?
?
?
yzz
z
II
zyM
?
?
?
?
?
t a n
)t a n(
再将 代入上式，得
yz
y
I
I
??t a n
2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
这就是只有 Mz作用，梁 非对称 纯弯曲 时，横截
面上坐标为 (y,z)的点的正应力公式。
20
2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
这就是只有 Mz作用，梁 非对称 纯弯曲 时，横截
面上坐标为 (y,z)的点的正应力公式。
2 外力偶在 xz平面内
xz平面内的力偶记为 My。
同理可得
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
??
21
2 外力偶在 xz平面内
xz平面内的力偶记为 My。
同理可得
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
??
3 外力偶在 任意 纵向平面内
将力偶分解为两个正交的力偶 My和 Mz 。
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
? 弯曲正应力 则根据叠加原理，有,
22
3 外力偶在 任意 纵向平面内
将力偶分解为两个正交的力偶 My和 Mz 。
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
? 弯曲正应力 则根据叠加原理，有,
? 中性轴 的确定
记中性轴上点的坐标为 y0,z0,中性
轴上各点的正应力为零,有,
2
00 )(
yzzy
yzzy
III
IyIzM
?
?
? 2 00
)(
yzzy
yzyz
III
IzIyM
?
? 0?
23
? 中性轴 的确定
记中性轴上点的坐标为 y0,z0,中性
轴上各点的正应力为零,有,
2
00 )(
yzzy
yzzy
III
IyIzM
?
?
? 2 00
)(
yzzy
yzyz
III
IzIyM
?
? 0?
0)( yIMIM yzyyz ? 0? 0)( zIMIM yzzzy ??
可见，中性轴是通过坐标原点 (形心 ) 的直线。
? 中性轴 的方位
0
0ta n
y
z??
)(
)(
yzzzy
yzyyz
IMIM
IMIM
?
?
??
24
? 中性轴 的方位
0
0ta n
y
z??
)(
)(
yzzzy
yzyyz
IMIM
IMIM
?
?
??
4 两种特殊情况
(1) 外力偶在 xy平面内 且 xy平面为 形心主惯性平面
xy平面内的力偶为 Mz,
这种情况下
,0?yM 0?yzI
由正应力公式,
25
(1) 外力偶在 xy平面内 且 xy平面为 形心主惯性平面
xy平面内的力偶为 Mz,
这种情况下
,0?yM 0?yzI
由正应力公式,
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
z
z
I
yM
??
26
z
z
I
yM
??
由中性轴夹角公式,
)(
)(
t a n
yzzzy
yzyyz
IMIM
IMIM
?
?
???
yzz
yz
IM
IM
?
???t a n ??
2
?? ?
中性轴与 z轴重合。
这种情况下，弯矩作用在 xy 平面
内，挠曲线也在此平面内。
?? 平面弯曲
27
z
z
I
yM
??
中性轴与 z轴重合。
这种情况下，弯矩作用在 xy 平面
内，挠曲线也在此平面内。
?? 平面弯曲
前面讨论的 对称弯曲 属于 平面弯曲 。
可以看出,平面弯曲的正应力公式与对称弯曲的
正应力公式相同。
? 实心截面梁
28
前面讨论的 对称弯曲 属于 平面弯曲 。
可以看出,平面弯曲的正应力公式与对称弯曲的
正应力公式相同。
? 实心截面梁
对实心截面梁，上述结果也适用于 弯矩作用面 与
形心主惯性平面 平行 但 不重合 的情况。
这时,弯矩作用面 与 挠曲线所在面 平行 。
(2) Mz和 My同时存在，且分别作用在形心主惯性
平面 xy平面与 xz平面内。
这时，有,
0?yzI
29
(2) Mz和 My同时存在，且分别作用在形心主惯性
平面 xy平面与 xz平面内。
这时，有,
0?yzI
由正应力公式,
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
y
y
z
z
I
zM
I
yM
???
由中性轴夹角公式,
zy
yz
IM
IM
???t a n
即为两个弯曲的 叠加
30
y
y
z
z
I
zM
I
yM
???
由中性轴夹角公式,
zy
yz
IM
IM
???t a n
即为两个弯曲的 叠加
二、非对称的 横力弯曲
非对称的 横力弯曲 在一般情况下，在发生弯曲
的同时还会发生 扭转 。
? 实心截面 梁
对实心截面梁，当横力通过截面形心时，可以 忽
略 扭转变形，用 纯弯曲 的正应力公式进行计算。
31
例 1 (书例 7.2)
已知, 矩形截面
梁,P,? 。
解,
求,讨论梁的正应
力与变形。
图中 y,z轴是形
心主惯性轴。
将力 P向 形心主惯性轴 分解,
Py
Pz
zy PPP ??
,c o s ?PP y ? ?s inPP z ?
? 固定端处的弯矩,c o s ?PlM
z ?? ?s inPlM y ??
? 规定,弯矩以在第一象限产生拉应力为正
My
Mz
32
? 固定端处的弯矩
,c o s ?PlM z ??
?s inPlM y ??
? 注意,这里弯矩
正负号规定与理力
中不同。
Py
Pz
My
Mz
? 规定,在坐标轴 正向 第一象限处产生 拉应力 的
弯矩为正弯矩。
? 问题 最大 拉应力 发生在何处？
最大 压应力 发生在何处？
? 方法 1 分别判断两个弯矩产生的应力,再叠加。
33
Py
Pz
My
Mz
? 方法 1
分别判断两个弯
矩产生的应力,
再叠加。
? 方法 2
通过中性轴来确
定。
zy
yz
IM
IM
???t a n ?c o t
z
I
??
? 最大拉应力发生在 A点
34
Py
Pz
My
Mz
zy
yz
IM
IM
???t a n
?c o t
z
y
I
I
??
? 最大拉应力发生
在 A点
)
s i nc o s
( m a xm a x
yz
A I
z
I
y
Pl
??
? ??
由
y
y
z
z
I
zM
I
yM
???
35
Py
Pz
My
Mz
? 最大拉应力发生
在 A点
)
s i nc o s
( m a xm a x
yz
A I
z
I
y
Pl
??
? ??
由
y
y
z
z
I
zM
I
yM
???
? 自由端的挠度
用叠加法
z
y
y EI
lP
f
3
3
?
zEI
Pl
3
c o s3 ?
?
36
Py
Pz
My
Mz
? 自由端的挠度
用叠加法
z
y
y EI
lP
f
3
3
?
zEI
Pl
3
c o s3 ?
?
y
z
z EI
lP
f
3
3
?
yEI
Pl
3
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?
总挠度和挠度的方向为
22
zy fff ??
22
3
)
s i n
()
c o s
(
3 yz IIE
Pl ??
??
37
总挠度和挠度的方向为
22
zy fff ??
22
3
)
s i n
()
c o s
(
3 yz IIE
Pl ??
??
y
z
f
f??ta n ?ta n
y
z
I
I?
? 几点 结论
(1) 当 Iy≠Iz 时,? ≠? 。
即：外力作用面与挠度面不重合。 ?? 斜弯曲
38
y
z
f
f??ta n ?ta n
y
z
I
I?
? 几点 结论
(1) 当 Iy≠Iz 时,? ≠? 。
即：外力作用面与挠度面 不重合 。
?? 斜弯曲
(2) 当 Iy=Iz 时,? =? 。
即：外力作用面与挠度面 重合 。 ?? 平面弯曲
(3)
?? c ott a n
y
z
z
y
I
I
I
I
????? c o tt a n
z
y
I
I
??
即：中性轴与挠度所在面互相 垂直 。 ?c o t??
39
§ 12,2 开口薄壁杆件的切应力、弯曲中心
? 例子
?可见,
? 非对称截面梁的 横力 弯曲时,梁不仅产生弯
曲，而且产生明显的扭转变形。
? 只有横力通过截面上的 特定点 时，该梁只弯
不扭。 弯曲中心 。
40
?可见,
? 非对称截面梁的 横力 弯曲时,梁不仅产生弯
曲，而且产生明显的扭转变形。
? 只有横力通过截面上的 特定点,且平行于形
心主惯性轴时，该梁只弯不扭。 弯曲中心 。
确定 弯曲中心 有重要的工程意义。
通过分析横截面上的 弯曲切应力。
1,弯曲切应力
怎样确定 弯曲中心？
41
1,弯曲切应力
如图,设 P力通过弯曲
中心 。
则薄壁杆件只弯不扭。
横截面上只有弯曲正
应力和 弯曲切应力,没有
扭转切应力 。
? 与推导矩形截面梁的弯曲
切应力的方法相同。
取 abcd为研究对象。
设切应力沿壁厚均匀分布。
42
取 abcd为研究对象。
0?? X 12 NN ? 0d ??? xt?
设 y,z轴为 形心主惯性轴, P
力 平行于 y轴,即 P 的作用面
平行于形心主惯性平面 xy。
z
z
I
yM
??
所以, 其中, *
2
)d(
z
z
zz S
I
MMN ?? ??
1
d*
Az
AyS
由上节的结果，有,
设切应力沿壁厚均匀分布。
Qy
43
所以,
其中,
*
2
)d(
z
z
zz S
I
MMN ??
?? 1 d* Az AyS
*
1 z
z
z S
I
MN ?同理,
代入平衡方程,
12 NN ? 0d ??? xt?
tI
S
x
M
z
zz
*
d
d
??? 即, tI
SQ
z
zy
*
??
方向如图
Qy
tI
SQ
z
zy
*
?
44
即,
tI
SQ
z
zy
*
?? 方向如图
? 确定弯曲中心的位置 (A点 )
由合力矩定理,,
0)( ?? FBM
zyaQ rAA ?? ? d? za
? 剪力 Qy的作用线 应当通过弯
曲中心，否则会产生扭转。
Qy
对任选的 B点,
有,
45
tI
SQ
y
yz
*
??
? 当 P力平行于 z轴，即 P 的作
用面平行于形心主惯性平面
xz时
Qz
同理可得,
yzaQ rAA ?? ? d?
由 ay,az可以确定弯曲中心的位
置。
? 实心截面 和 闭口截面 梁的弯
曲中心通常在形心的附近。
46
例 1 (书例 7.3)
已知, 槽形截面如图。
解,
求,弯曲中心。
? 设剪力 Qy通过弯曲中心
? 切应力的分布情况
切应力流
取 对称轴为 z轴,
y轴通过形心。
y轴和 z轴为形心主惯
性轴。
? 确定 az
47
? 切应力的分布情况 切应力流
? 设剪力 Qy通过弯曲中心
48
? 切应力公式
? A1的静矩
2
* htS
z ?? ?
tI
SQ
z
zy
*
??
z
y
I
hQ
2
?
? ?
? 切应力的分布情况 切应力流
? 为求 az,可以 B为矩心
? 下翼缘 ? 处的切应力,
49
? 计算 az
0)( ?? FBM
zyaQ rAA ?? ? d?
? ??
b
z
y t
I
hQ
h
0
d
2
?
?
z
y
I
tbhQ
4
22
?
z
z I
tbh
a
4
22
?
? 又,弯曲中心 必在 对称轴 上。 A为 弯曲中心
? 弯曲中心 的位置与材料性质及外载荷无关
所以,弯曲中心 是截面的一个 几何性质 。
z
y
I
hQ
2
?
? ?
50
? 从本例看，为什么当剪力 Q的作用线不 通过弯
曲中心，就会产生扭转。
?向形心简化 ?向 弯曲中心 简化
51
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第十二章
弯曲的几个补充问题
2
§ 6,4 用叠加法求弯曲变形
? 叠加法
? 简要复习
在 线弹性 小变形 的条件下,外载荷 与 挠度 (力
与位移 )成线性关系，可用 叠加法 计算梁的挠
度。
? 用叠加法的基础
熟记简单载荷作用下的挠度和转角。
3
? 叠加法的两种类型
(1) 载荷叠加法
将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后,
进行叠加；
(2) 变形叠加法
在内力不变的前提下，将梁分解 (或刚化 )为
几段，求出各段的变形，然后进行叠加。
4
§ 6,5 简单静不定梁
? 基本概念
? 静定基 将静不定系统中的 多余约束 解除
后，得到的“静定基本系统”。
? 相当系统 在静定基上加上外载荷以及多余约
束力，便得到 受力 和 变形 与静不定
系统完全相同的“相当系统”。
5
? 说明
静定基不是唯一的，可有多种选法。
6
§ 6,6 提高弯曲刚度的一些措施
提高弯曲刚度的措施,
梁的挠曲线微分方程为
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
1 改善结构形式，减
小弯矩值
? 使力不传到轴上,
而由箱体承受。
? 缩小跨度或增加约束
7
1 改善结构形式，减小弯矩值
? 缩小跨度或增加约束
梁受集中力作用
时，挠度与跨度
L 的三次方成正
比。
2 选择合理的截
面形状
? 弹性模量与
抗弯刚度
8
? 弹性模量与抗弯刚度
? 抗弯刚度 EI除与截面形状有关外，还与弹
性模量有关。
? 钢材的弹性模量最大，故用钢材制造的构
件有较大的抗弯刚度。
? 高强度合金钢与低碳钢的弹性模量相同,
故选用高强度合金钢可提高构件的 强度,
但不能提高其 刚度 。
9
第十二章 弯曲的几个补充问题
本章内容,
1 非对称弯曲
2 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心
3 用奇异函数求弯曲变形
4 有限差分法
? 新课
10
§ 12,1 非对称弯曲
? 对称弯曲
梁具有纵向对称面,
且载荷都作用在纵向
对称面内，则挠曲线
也在该对称面内。
? 非对称弯曲
梁没有纵向对称面，或虽有纵向对称面，但载
荷不作用在纵向对称面内。
一、非对称的 纯弯曲 的 正应力
11
一、非对称的 纯弯曲 的 正应力
取截面 形心 为坐标 原点 。
? 平面假设
? 纵向纤维间无正应力
? 取 dx微段
1 外力偶在 xy平面内
xy平面内的外力
偶记为 Mz 。
中性轴 的位置和
方位未知。
? 基本假设
12
(1) 变形几何关系
?
?
? ?
(2) 物理关系
?? E?
?
?
E?
(3) 静力关系
? 取 dx微段
中性轴 的位置和方位未知。
AN
A?
? d?
AzM
Ay ?
? d? AyM Az ?? d?
0?
0? zM?
13
(2) 物理关系
?? E?
?
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E?
(3) 静力关系
AN
A?
? d?
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Ay ?
? d?
AyM
Az ?
? d?
0?
0?
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0d ?? AE
A ?
? 0d ?? A
A
?
中性轴 仍 通过截面的 形心 。
? 确定中性轴的位置
由
AN
A?
? d? 0?
14
AN
A?
? d? 0?
0d ?? A
y
E
A
? 0d ?? A
A
?
中性轴 仍 通过截面的 形心 。
??? c o ss in zy ??
? 确定中性轴的方位
设中性轴与 y轴的夹角为 ?,
? 以逆时针为正。
对 ?，有
则应力可写为
)c o ss i n( ??
?
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15
??? c o ss in zy ??对 ?，有
则应力可写为
)c o ss i n( ??
?
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代入
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? d?0?
? ?A Azzy
E
d)c o ss i n( ??
?
)dc o sd( s i n 2?? ??
AA
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16
? ?A Azzy
E
d)c o ss i n( ??
?
)dc o sd( s i n 2?? ??
AA
AzAyz
E
??
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? yyz
II
E
?? 0?
yz
y
I
I
??t a n
这样,中性轴 的位置和方位就
完全确定。
17
yz
y
I
I
??t a n
这样,中性轴 的位置和方位就
完全确定。
? 导出正应力公式
将 代入
)c o ss i n( ??
?
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E
?? AyM
Az ?
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)dc o sd( s i n 2 ?? ??
AAz
AyzAy
E
M ??
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18
? 导出正应力公式
将 代入
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AAz
AyzAy
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解出 E/?,代入前一式，得到
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yzz
z
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19
解出 E/?,代入前一式，得到
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z
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z
II
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再将 代入上式，得
yz
y
I
I
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2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
这就是只有 Mz作用，梁 非对称 纯弯曲 时，横截
面上坐标为 (y,z)的点的正应力公式。
20
2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
这就是只有 Mz作用，梁 非对称 纯弯曲 时，横截
面上坐标为 (y,z)的点的正应力公式。
2 外力偶在 xz平面内
xz平面内的力偶记为 My。
同理可得
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
??
21
2 外力偶在 xz平面内
xz平面内的力偶记为 My。
同理可得
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
??
3 外力偶在 任意 纵向平面内
将力偶分解为两个正交的力偶 My和 Mz 。
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
? 弯曲正应力 则根据叠加原理，有,
22
3 外力偶在 任意 纵向平面内
将力偶分解为两个正交的力偶 My和 Mz 。
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
? 弯曲正应力 则根据叠加原理，有,
? 中性轴 的确定
记中性轴上点的坐标为 y0,z0,中性
轴上各点的正应力为零,有,
2
00 )(
yzzy
yzzy
III
IyIzM
?
?
? 2 00
)(
yzzy
yzyz
III
IzIyM
?
? 0?
23
? 中性轴 的确定
记中性轴上点的坐标为 y0,z0,中性
轴上各点的正应力为零,有,
2
00 )(
yzzy
yzzy
III
IyIzM
?
?
? 2 00
)(
yzzy
yzyz
III
IzIyM
?
? 0?
0)( yIMIM yzyyz ? 0? 0)( zIMIM yzzzy ??
可见，中性轴是通过坐标原点 (形心 ) 的直线。
? 中性轴 的方位
0
0ta n
y
z??
)(
)(
yzzzy
yzyyz
IMIM
IMIM
?
?
??
24
? 中性轴 的方位
0
0ta n
y
z??
)(
)(
yzzzy
yzyyz
IMIM
IMIM
?
?
??
4 两种特殊情况
(1) 外力偶在 xy平面内 且 xy平面为 形心主惯性平面
xy平面内的力偶为 Mz,
这种情况下
,0?yM 0?yzI
由正应力公式,
25
(1) 外力偶在 xy平面内 且 xy平面为 形心主惯性平面
xy平面内的力偶为 Mz,
这种情况下
,0?yM 0?yzI
由正应力公式,
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
z
z
I
yM
??
26
z
z
I
yM
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由中性轴夹角公式,
)(
)(
t a n
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yzyyz
IMIM
IMIM
?
?
???
yzz
yz
IM
IM
?
???t a n ??
2
?? ?
中性轴与 z轴重合。
这种情况下，弯矩作用在 xy 平面
内，挠曲线也在此平面内。
?? 平面弯曲
27
z
z
I
yM
??
中性轴与 z轴重合。
这种情况下，弯矩作用在 xy 平面
内，挠曲线也在此平面内。
?? 平面弯曲
前面讨论的 对称弯曲 属于 平面弯曲 。
可以看出,平面弯曲的正应力公式与对称弯曲的
正应力公式相同。
? 实心截面梁
28
前面讨论的 对称弯曲 属于 平面弯曲 。
可以看出,平面弯曲的正应力公式与对称弯曲的
正应力公式相同。
? 实心截面梁
对实心截面梁，上述结果也适用于 弯矩作用面 与
形心主惯性平面 平行 但 不重合 的情况。
这时,弯矩作用面 与 挠曲线所在面 平行 。
(2) Mz和 My同时存在，且分别作用在形心主惯性
平面 xy平面与 xz平面内。
这时，有,
0?yzI
29
(2) Mz和 My同时存在，且分别作用在形心主惯性
平面 xy平面与 xz平面内。
这时，有,
0?yzI
由正应力公式,
2
)(
yzzy
yzzy
III
yIzIM
?
?
? 2
)(
yzzy
yzyz
III
zIyIM
?
?
??
y
y
z
z
I
zM
I
yM
???
由中性轴夹角公式,
zy
yz
IM
IM
???t a n
即为两个弯曲的 叠加
30
y
y
z
z
I
zM
I
yM
???
由中性轴夹角公式,
zy
yz
IM
IM
???t a n
即为两个弯曲的 叠加
二、非对称的 横力弯曲
非对称的 横力弯曲 在一般情况下，在发生弯曲
的同时还会发生 扭转 。
? 实心截面 梁
对实心截面梁，当横力通过截面形心时，可以 忽
略 扭转变形，用 纯弯曲 的正应力公式进行计算。
31
例 1 (书例 7.2)
已知, 矩形截面
梁,P,? 。
解,
求,讨论梁的正应
力与变形。
图中 y,z轴是形
心主惯性轴。
将力 P向 形心主惯性轴 分解,
Py
Pz
zy PPP ??
,c o s ?PP y ? ?s inPP z ?
? 固定端处的弯矩,c o s ?PlM
z ?? ?s inPlM y ??
? 规定,弯矩以在第一象限产生拉应力为正
My
Mz
32
? 固定端处的弯矩
,c o s ?PlM z ??
?s inPlM y ??
? 注意,这里弯矩
正负号规定与理力
中不同。
Py
Pz
My
Mz
? 规定,在坐标轴 正向 第一象限处产生 拉应力 的
弯矩为正弯矩。
? 问题 最大 拉应力 发生在何处？
最大 压应力 发生在何处？
? 方法 1 分别判断两个弯矩产生的应力,再叠加。
33
Py
Pz
My
Mz
? 方法 1
分别判断两个弯
矩产生的应力,
再叠加。
? 方法 2
通过中性轴来确
定。
zy
yz
IM
IM
???t a n ?c o t
z
I
??
? 最大拉应力发生在 A点
34
Py
Pz
My
Mz
zy
yz
IM
IM
???t a n
?c o t
z
y
I
I
??
? 最大拉应力发生
在 A点
)
s i nc o s
( m a xm a x
yz
A I
z
I
y
Pl
??
? ??
由
y
y
z
z
I
zM
I
yM
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35
Py
Pz
My
Mz
? 最大拉应力发生
在 A点
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yz
A I
z
I
y
Pl
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? ??
由
y
y
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I
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? 自由端的挠度
用叠加法
z
y
y EI
lP
f
3
3
?
zEI
Pl
3
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36
Py
Pz
My
Mz
? 自由端的挠度
用叠加法
z
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3
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Pl
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y
z
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3
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3
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总挠度和挠度的方向为
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zy fff ??
22
3
)
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()
c o s
(
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Pl ??
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37
总挠度和挠度的方向为
22
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c o s
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Pl ??
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y
z
f
f??ta n ?ta n
y
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I
I?
? 几点 结论
(1) 当 Iy≠Iz 时,? ≠? 。
即：外力作用面与挠度面不重合。 ?? 斜弯曲
38
y
z
f
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y
z
I
I?
? 几点 结论
(1) 当 Iy≠Iz 时,? ≠? 。
即：外力作用面与挠度面 不重合 。
?? 斜弯曲
(2) 当 Iy=Iz 时,? =? 。
即：外力作用面与挠度面 重合 。 ?? 平面弯曲
(3)
?? c ott a n
y
z
z
y
I
I
I
I
????? c o tt a n
z
y
I
I
??
即：中性轴与挠度所在面互相 垂直 。 ?c o t??
39
§ 12,2 开口薄壁杆件的切应力、弯曲中心
? 例子
?可见,
? 非对称截面梁的 横力 弯曲时,梁不仅产生弯
曲，而且产生明显的扭转变形。
? 只有横力通过截面上的 特定点 时，该梁只弯
不扭。 弯曲中心 。
40
?可见,
? 非对称截面梁的 横力 弯曲时,梁不仅产生弯
曲，而且产生明显的扭转变形。
? 只有横力通过截面上的 特定点,且平行于形
心主惯性轴时，该梁只弯不扭。 弯曲中心 。
确定 弯曲中心 有重要的工程意义。
通过分析横截面上的 弯曲切应力。
1,弯曲切应力
怎样确定 弯曲中心？
41
1,弯曲切应力
如图,设 P力通过弯曲
中心 。
则薄壁杆件只弯不扭。
横截面上只有弯曲正
应力和 弯曲切应力,没有
扭转切应力 。
? 与推导矩形截面梁的弯曲
切应力的方法相同。
取 abcd为研究对象。
设切应力沿壁厚均匀分布。
42
取 abcd为研究对象。
0?? X 12 NN ? 0d ??? xt?
设 y,z轴为 形心主惯性轴, P
力 平行于 y轴,即 P 的作用面
平行于形心主惯性平面 xy。
z
z
I
yM
??
所以, 其中, *
2
)d(
z
z
zz S
I
MMN ?? ??
1
d*
Az
AyS
由上节的结果，有,
设切应力沿壁厚均匀分布。
Qy
43
所以,
其中,
*
2
)d(
z
z
zz S
I
MMN ??
?? 1 d* Az AyS
*
1 z
z
z S
I
MN ?同理,
代入平衡方程,
12 NN ? 0d ??? xt?
tI
S
x
M
z
zz
*
d
d
??? 即, tI
SQ
z
zy
*
??
方向如图
Qy
tI
SQ
z
zy
*
?
44
即,
tI
SQ
z
zy
*
?? 方向如图
? 确定弯曲中心的位置 (A点 )
由合力矩定理,,
0)( ?? FBM
zyaQ rAA ?? ? d? za
? 剪力 Qy的作用线 应当通过弯
曲中心，否则会产生扭转。
Qy
对任选的 B点,
有,
45
tI
SQ
y
yz
*
??
? 当 P力平行于 z轴，即 P 的作
用面平行于形心主惯性平面
xz时
Qz
同理可得,
yzaQ rAA ?? ? d?
由 ay,az可以确定弯曲中心的位
置。
? 实心截面 和 闭口截面 梁的弯
曲中心通常在形心的附近。
46
例 1 (书例 7.3)
已知, 槽形截面如图。
解,
求,弯曲中心。
? 设剪力 Qy通过弯曲中心
? 切应力的分布情况
切应力流
取 对称轴为 z轴,
y轴通过形心。
y轴和 z轴为形心主惯
性轴。
? 确定 az
47
? 切应力的分布情况 切应力流
? 设剪力 Qy通过弯曲中心
48
? 切应力公式
? A1的静矩
2
* htS
z ?? ?
tI
SQ
z
zy
*
??
z
y
I
hQ
2
?
? ?
? 切应力的分布情况 切应力流
? 为求 az,可以 B为矩心
? 下翼缘 ? 处的切应力,
49
? 计算 az
0)( ?? FBM
zyaQ rAA ?? ? d?
? ??
b
z
y t
I
hQ
h
0
d
2
?
?
z
y
I
tbhQ
4
22
?
z
z I
tbh
a
4
22
?
? 又,弯曲中心 必在 对称轴 上。 A为 弯曲中心
? 弯曲中心 的位置与材料性质及外载荷无关
所以,弯曲中心 是截面的一个 几何性质 。
z
y
I
hQ
2
?
? ?
50
? 从本例看，为什么当剪力 Q的作用线不 通过弯
曲中心，就会产生扭转。
?向形心简化 ?向 弯曲中心 简化
51
谢 谢 大 家 !
