1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第五章
弯 曲 应 力
2
第五章 弯曲应力
本章内容,
1 纯弯曲
2 纯弯曲时的正应力
3 横力弯曲时的正应力
4 弯曲切应力
5* 关于弯曲理论的基本假设
6 提高弯曲强度的措施
3
4
§ 5,1 纯弯曲
? 横力弯曲
梁的横截面上同时有弯
矩和剪力的弯曲。
? 纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩
时的弯曲。
横截面上只有正应
力而无切应力。
? 纯弯曲的 变形特征
5
? 纯弯曲的 变形特征
6
? 纯弯曲的 变形特征
? 基本假设 1,平面假设
变形前为平面的横截
面变形后仍为平面,
且仍垂直于梁的轴线。
? 中性层 与 中性轴
? 基本假设 2,
纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
7
? 中性层 与 中性轴
8
§ 5,2 纯弯曲时的正应力
1 变形几何关系
取坐标系如图,z轴为 中性轴 ；
y轴为对称轴。
? 纵向线 bb变形后
的长度为,
?? d)( ybb ????
? 纵向线 bb变形前的长度
为求出距中性层 y处的 应变,
取长 dx的梁段研究,
中性层长度不变,所以有,
9
? 纵向线 bb变形后
的长度为,
?? d)( ybb ????
? bb变形前的长度
?bb OO OO ??? ?? d?
? 纵向线 bb的应变为
??
????
?
d
dd)( ??
?
y
?
y
?
即,纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截
面高度呈线性分布。
中性层长度不变,所以
10
2 物理关系
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极
限时，由胡克定律有,
?? E?
?
?
y
E?
即,纯弯曲时横截面上任一点的正
应力与它到中性轴的距离 y成正比。
也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
3 静力关系
11
N
Mz
3 静力关系
My AN A?? d?
0?? X
AzM
Ay ?
? d?
AyM
Az ?
? d?
对横截面上的内力系，有,
由梁段的平衡有, 0?N
0?? ym 0?yM
0?? zm MM z ?
12
AN
A?
? d?
AzM
Ay ?
? d?
AyM
Az ?
? d?
由梁段的平衡有,,0?N,0?
yM MM z ?
对横截面上的内力系，有,
所以
AN
A?
? d? 0? 0d ?? A
yE
A ?
0d ?? AyE
A?
0d ?? Ay
A
0?zS
z 轴通过形心。 即,中性 轴通过形心 。
13
,d AzM
Ay ?
? ? AyM Az ?? d?
,0?yM MM z ?
由
AN
A?
? d? 0?
0d ??? AzyE
A ?
0d ?? Ayz
A
即,
中性 轴通过形心 。
由
AzM
Ay ?
? d?0?
因为 y轴是对称轴，上式自然满足。
0?yzI
14
,d AzM
Ay ?
? ? AyM Az ?? d?
,0?yM MM z ?
由
?? 梁的 抗弯刚度
MM z ? Ay
A?
? d?
AyyEM
A?
?? d
?
AyE
A?
? d2
? z
IE
?
?
zEI
M?
?
1
将上式代入
?
? yE?
zI
My??
15
? 由于推导过程并未用到 矩形 截面条件，因而
公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且
载荷作用在对称面内的情况。
? 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截
面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。
? 公式是从 纯弯曲 梁推得，是否适用于一般情
形（横力弯曲）？
纯弯曲时正应力公式
zI
My??
? 公式的适用性
16
§ 5,3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲时，横截面上有切应力 平面假设
不再成立
此外,横力弯曲时 纵向纤维无挤压假设 也不成立,
由 弹性力学 的理论，有 结论,
当梁的长度 l与横截面的高度 h的比值,
h
l 5?
则用 纯弯曲 的正应力公式计算 横力弯曲 时的正应
力有足够的精度。
l / h > 5 的梁称为 细长梁 。
17
? 最大正应力
横力弯曲时，弯矩是变化的。
zI
yM m a xm a x
m a x ??
引入符号,
m a xy
IW z?
则有,
W
M m a x
m a x ??
?? 抗弯截面系数
? 比较 拉压,
A
N m a x
m a x ??
tW
T m a x
m a x ??
扭转,
18
? 两种常用截面的抗弯截面系数
? 矩形截面
,
12
3bh
I z ?
6
2bh
W ?
2m a x
hy ?
? 圆形截面
,
64
4d
I z ??
32
3d
W ??
2m a x
dy ?
19
? 弯曲强度条件
注意,当截面变化时，还需综合考虑 W的值。
W
M m a x
m a x ?? ][??
20
例 1 ( 书例 5.1)
已知,板长 3a
=150mm，材料
的许用应力 [?]
=140MPa。
解,
求, 最大允许
压紧力 P。
压板可简化为
如图的外伸梁。
由微分关系,AC段,BC段的弯矩图为斜直线。
(1) 求弯矩图
21
BMM ?m a x
且 B截面最薄弱。
由微分关系,AC
段,BC段的弯矩
图为斜直线。
(1) 求弯矩图
作出弯矩图。
(2) 确定危险截面
Pa?
B为危险截面。
(3) 计算 B截面 W
22
BMM ?m a x
(3) 计算 B截面 W
Pa?B为危险截面。
看成组合物体
21 zzz III ??
12
02.003.0 3??
12
02.00 1 4.0 3??
48 m1007.1 ???
m a xy
IW z?
2
8
101
1007.1
?
?
?
?? 36 m1007.1 ???
23
BMM ?m a x
(3) 计算 B截面 W
Pa?B为危险截面。
36 m1007.1 ???W
(4) 由强度条件计算 P
W
M m a x
m a x ?? ][??
][m a x ?WM ? ][?WPa ?
a
WP ][??
2
68
105
101 4 01007.1
?
?
?
???? kN3?
24
例 2 ( 书例 5.2)
已知, [?]=
100 MPa,
P = 25.3 kN。
解,
求, 校核 心
轴 的强度。
计算简
图如图。
(1) 求弯矩图
支反力 k N,6.23?
AR kN27?BR
25
(1)求弯矩图
(2) 确定危
险截面
? I截面
? II截面
? III截面
支反力
kN6.23?AR
kN27?BR
(3) 强度校 核
? I截面
m a xMM I ? mkN72.4 ??
26
(3) 强度校 核
? I截面
m a xMM I ? mkN72.4 ??
32
3
1dW
I
??
32
)1095( 33???? ? 36 m101.84 ???
I
I
I W
M?? M P a1.56? ][??
? II截面 mkN42.3 ??
IIM
27
? II截面
32
3
2dW
II
??
32
)1085( 33???? ? 36 m103.60 ???
II
II
II W
M?? M P a7.56? ][??
? III截面
mkN42.3 ??IIM
mkN64.4 ??IIIM
28
? III截面
32
3
3dW
III
??
32
)1088( 33???? ? 36 m109.66 ???
III
III
III
M
W
? ? M P a4.69? ][??
? 结论
mkN64.4 ??IIIM
? 注意
满足强度要求。
最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。
29
例 3 ( 书例 5.3)
已知, T形截面 铸
铁 梁, [?t]= 30
MPa,[?c]=160
MPa。 Iz=763cm4,
且 |y1|=52mm。
解,
求, 校核梁的强度。
(1) 求弯矩图
? 支反力 k N,5.2?
AR kN5.10?BR
? 作出弯矩图
30
(1) 求弯矩图
? 支反力
k N,5.2?AR
kN5.10?BR
? 作出弯矩图
最大正弯矩为,
mkN5.2 ??CM
最大负弯矩为,
mkN4 ???BM
(2) 确定危 险截面 ? B截面 ? C截面
31
(2) 确定危 险截面 ? B截面 ? C截面
最大正弯矩为, mkN5.2 ??
CM
最大负弯矩为, mkN4 ???
BM
(3) 强度校核
? B截面
z
B
t I
yM 1
1 ??
M
M P a2.27?
M P a30][ ?t??
z
B
c I
yM 2
1 ?? M P a2.46? M P a1 6 0][ ?c??
32
(3) 强度校核
? B截面
z
B
t I
yM 1
1 ??
M
M P a2.27?
z
B
c I
yM 2
1 ?? M P a2.46?
? C截面
z
C
t I
yM 2
2 ??
M P a8.28?
显然,?2c< ?1c
M P a30][ ?t??
M
? 结论 满足强度要求。
33
§ 5,4 弯曲切应力
横力弯曲时,横截面上既有正应力,又有切应力。
推导切应力公式的方法,
假设切应力的分布规律，然后根据 平衡条件 求出
1 矩形截面梁
切应力。
按截面形状，分别讨论。
? 切应力分布假设
(1) 各点切应力方向平行
于剪力 Q;
34
1 矩形截面梁
? 切应力分布假设
(1) 各点切应力方向平行
于剪力 Q;
(2) 切应力沿宽度均匀分布。
? 用平衡条件导出切应力公式
? 取研究对象
35
? 用平衡条件导出切应力公式
? 取研究对象
36
? 由切应力互等
定理
?? ??
? 右截面上的 N2
?? 1 d2 A AN ?
A1为右截面 pn1的
面积。
zI
yMM 1)d( ???
右截面正应力为,
37
? 右截面上的 N2
?? 1 d2 A AN ?
zI
ydMM 1)( ???
其中,
?
??
1
d)d( 12
A
z
A
I
yMMN
?
??
1
d)d( 1
A
z
Ay
I
MM *)d(
z
z
S
I
MM ??
?? 1 d1* Az AyS ?? y以下 的面积对中性轴的静矩。
38
? 右截面上的 N2
其中,
*
2
)d(
z
z
S
I
MMN ??
?? 1 d1* Az AyS
? 左截面上的 N1
同理可得, *
1 z
z
S
I
MN ?
? 上表面上的 dQ' xbQ dd ? ???
dQ'
? x方向平衡条件
0?? X 0d12 ???? QNN
39
*
2
)d(
z
z
S
I
MMN ??
*
1 z
z
S
I
MN ?
xbQ dd ? ???
dQ'
? x方向平衡条件
0?? X 0d12 ???? QNN
*)d(
z
z
S
I
MM ? *
z
z
S
I
M? 0d ??? xb?
*d
z
z
S
I
M 0d ??? xb?
bI
S
x
M
z
z
*
d
d
????
40
dQ'
? 由微分关系
*d
z
z
S
I
M 0d ??? xb?
bI
S
x
M
z
z
*
d
d
????
Q
x
M ?
d
d
bI
QS
z
z
*
???
? 由切应力互等定理，得
bI
QS
z
z
*
??
? 计算 Sz*
41
? 由切应力互等定理，得
bI
QS
z
z
*
??
? 计算 Sz*
可用公式
11* yAS z ??
?*zS )
2
( yhb ? )]
2
(
2
1[ yhy ???
)
4
(
2
2
2
* yhbS
z ??
)
2
( yhb ?? )
2
(
2
1 yh ?? 所以,
)
4
(
2
2
2
y
h
I
Q
z
???
42
)
4
(
2
2
2
* yhbS
z ??
所以,)
4
(
2
2
2
y
h
I
Q
z
??? ? 距中性层 y处 的切应力公式
? 切应力分布
切应力沿截面高度按抛物
线规律变化。
0??在上下边缘处
m a x?? ?
在中性层处
zI
Qh
8
2
?
因为
12
3bh
I z ?
bh
Q
2
3
m a x ??
43
m a x?? ?
在中性层处
zI
Qh
8
2
?
因为
12
3bh
I z ?
bh
Q
2
3
m a x ??
即：最大切应力是平均剪应
力的 1.5倍。
2 工字形截面梁
工字形截面梁由 腹板 和 翼缘 组成。
? 腹板 的切应力
腹板是矩形，切应力公式同矩形
截面梁。
44
2 工字形截面梁
? 腹板 的切应力
腹板是矩形，切应力公式同
bI
QS
z
z
*
??
矩形截面梁,
? 计算 Sz*
?*zS )
22
( hHB ? )]
22
(
2
1
2
[ hHh ???
)
2
( yhb ?? )]
2
(
2
1[ yhy ???
45
? 计算 Sz*
?*zS )
22
( hHB ? )]
22
(
2
1
2
[ hHh ???
)
2
( yhb ?? )]
2
(
2
1[ yhy ???
)
4
(
2
)(
8
2
2
22 yhbhHB ????
则，距中性层 y处的切应力公式为,
)]
4
(
2
)(
8
[ 2
2
22 yhbhHB
bI
Q
z
?????
切应力分布如图。
46
距中性层 y处的切应力公式为,
)]
4
(
2
)(
8
[ 2
2
22 yhbhHB
bI
Q
z
?????
切应力分布如图。
? 最大切应力发生在 中性轴 处
]
8
)(
8
[
22
m a x
h
bB
BH
bI
Q
z
????
? 最小切应力发生在 y=± h/2 处
)
88
(
22
m i n
BhBH
bI
Q
z
???
47
? 最大切应力发生在 中性轴 处
]
8
)(
8
[
22
m a x
h
bB
BH
bI
Q
z
????
? 最小切应力发生在 y=± h/2 处
)
88
(
22
m i n
BhBH
bI
Q
z
???
? 腹板切应力的 近似公式
因为, (1)腹板切应力近似为均匀分布 ;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式,
hb
Q??
48
? 腹板切应力的 近似公式
因为, (1)腹板切应力近似为均匀分布 ;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式,
hb
Q??
? 翼缘 的切应力
? 特点
(1) 除了有平行于剪力 Q的切应力
分量外，还有与剪力 Q垂直的
切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。
49
3 圆形截面梁
? 切应力分布的 特点
(1) 边缘各点的切应力与圆周
相切；
(2) y轴上各点 的切应力沿 y轴。
? 假设
(1) AB弦上各点的切应力作用
线通过同一点 p；
(2) AB弦上各点的切应力沿 y轴的分量 ?y相等。
所以，对 ?y可用矩形截面梁的公式
bI
QS
z
z
y
*
??
50
所以，对 ?y可用矩形截面梁的
bI
QS
z
z
y
*
??
公式
式中,b为 AB弦的长度,Sz*为
AB弦以外的面积对 z轴的静矩。
? 最大切应力
最大切应力发生在中性轴上。
中性轴上的切应力的方向？
?
?
3
4
2
1 2* RRS
z ??
中性轴处 Rb 2?
3*
3
2 RS
z ?
51
?
?
3
4
2
1 2* RRS
z ??
最大切应力是平均切应力的
1.33倍。
中性轴处 Rb 2?
bI
QS
z
z
y
*
??
2m a x 3
4
R
Q
?
? ?
64
4D
I z ??
3*
3
2 RS
z ?
4
4R?
?
52
4 弯曲切应力 强度条件
? 强度条件
弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为,
正应力最大处，切应力为零，是 单向拉压 状态；
切应力最大处，正应力为零，是 纯剪切 状态。
53
弯曲切应力强度条件为
bI
SQ
z
z
*
m a xm a x
m a x ?? ][??
? 实心截面梁正应力与切应力的比较
zW
Pl?
m a x?
bI
PS
z
z
*
m a x ??
正应力最大处，切应力为零，是 单向拉压 状态；
切应力最大处，正应力为零，是 纯剪切 状态。
54
? 实心截面梁正应力与切应力的比较
,m a x
zW
Pl??
bI
PS
z
z
*
m a x ??
? 对矩形截面梁
h
l4
m a x
m a x ?
?
?
? 对圆形截面梁
d
l6
m a x
m a x ?
?
?
55
? 对矩形截面梁
h
l4
m a x
m a x ?
?
?
? 对圆形截面梁
d
l6
m a x
m a x ?
?
?
所以，对 实心截面梁 通常不需要校核剪切强度。
? 需要校核剪切强度几种情况
(1) 弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在
支座附近作用有较大的集中力；
(2) 非标准的腹板较高且较薄的工字梁；
(3) 梁上的焊缝、铆钉或胶合面。
56
例 1 ( 书例 5.4)
已知,由木板胶合而成的
梁。
解,
求, 胶合面上沿 x方向单位
长度的剪力。
无法直接用公式。
取一微段,
与推导剪应
力公式的方
法相同，有
57
取一微段,
与推导切应力公式相同，有
*
2
)d(
z
z
S
I
MMN ??,*
1 z
z
S
I
MN ?
0?? X 12 NN ? 0d2 ?? xq ?
z
z
I
S
x
M
q
*
d
d
2
1
??
z
z
I
QS *
2
1
?
58
例 2 (书例 5.5)
已知, l =2m,
a=0.2m,q=10
kN/m,P =200
kN,[?]=160
MPa,[?]=100MPa。
解,
求, 选择工字钢型号 。
(1) 求剪力图和弯矩图
? 支反力 k N,2 1 0?
AR kN2 1 0?BR
? 作出剪力图和弯矩图
59
? 作出剪力图和弯矩图
最大弯矩
mkN45m a x ??M
最大剪力
kN2 1 0m a x ?Q
? 先根据最大弯矩
选择工字钢型号
][
m a x
?
MW
z ?
3cm281?
? 查型钢表 (p,416)
60
? 查型钢表 (p,416) 3cm2 8 1?
zW
单位为, cm
61
? 查型钢表 (p,416) 3cm2 8 1?
zW
? 选 22a工字钢
,cm309 3?zW
? 校核剪切强度
查型钢表得，对 22a工字钢,
cm9.18* ?
z
z
S
I
腹板厚度,cm75.0?? db
bI
SQ
z
z
*
m a x
m a x ?? M P a148? M P a1 0 0][ ???
所以，选 22a工字钢，剪切强度不够，需重选。
62
所以，选 22a工字钢，剪切强度不够，需重选。
63
? 查型钢表 (p,416),重选 25b工字钢,
,cm423 3?zW c m,3.21
* ?
z
z
S
I cm0.1?? db
bI
SQ
z
z
*
m a x
m a x ?? M P a6.98? M P a1 0 0][ ???
所以，选 25b工字钢可同时满足正应力和切应力
强度条件。
注：若选 25a工字钢，则,M P a5.1 2 1
m a x ??
64
§ 5,6 提高弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。
弯曲正应力强度为,
1 减小最大弯矩
从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大
弯矩 Mmax和提高抗弯截面系数 W。
(1) 合理布置支座的位置
W
M m a x
m a x ?? ][??
65
1 减小最大弯矩
(1) 合理布置支座的位置
66
? 工程例子
(2) 合理布置载荷
67
(2) 合理布置载荷
68
2 提高抗弯截面系数
在截面积 A相同的条件下，提高抗弯截面系数。
? 矩形截面梁的放置
? 几种常用截面的比较 用比值 来衡量 AW
69
? 几种常用截面的比较 用比值 AW 来衡量
可看出：材料远离中性轴的截面 (环形、槽形,
工字形等 )比较经济合理。
70
可看出：材料远离中性轴的截面 (环形、槽形,
工字形等 )比较经济合理。
? 根据 材料特性 选择合理截面
71
? 根据 材料特性 选择合理截面
? 抗拉和抗压强度 相等 的材料
可采用关于中性轴上下对称的截面，如,
矩形、工字形、圆形等。
? 抗拉和抗压强度 不相等 的材料
可采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如,
72
上次例 1 (书例 5.3)
已知, T形截面 铸
铁 梁, [?t]= 30
MPa,[?c]=160
MPa。 Iz=763cm4,
且 |y1|=52mm。 求, 校核梁的强度。
问题, T形截面是否放反了？
没放反。
Mmax是
负的。
73
3 等强度梁的概念
对如图的简支梁,
? 等强度梁
这就是等强度梁的抗弯截面系数应满足的关系。
)(
)(
m a x xW
xM??
只有中点处的截
面上达到最大正
应力。
][??
][
)()(
?
xMxW ?
? 中点受集中力作用的简支等强度梁
74
? 中点受集中力作用的简支等强度梁
弯矩方程为,
PxxM
2
1)( ?
)
2
0( lx ??
横截面采用 矩形截面
(1) 高度为常数 h，确定宽度 b = b(x)
][
)()(
?
xMxW ?
][2
1
?
Px?
6
)( 2hxb?
x
h
Pxb
2][
3)(
?
?
75
(1) 高度为常数 h，确定宽度 b = b(x)
][
)()(
?
xMxW ?
][2
1
?
Px?
6
)( 2hxb?
x
h
Pxb
2][
3)(
?
?
? 根据剪切强度设计 最小宽度
76
? 根据剪切强度设计 最小宽度
剪力
2
PQ ?
A
Q
2
3
m a x ?? hb
P
m i n
2/
2
3? ][??
][4
3
m i n ?h
Pb ?
77
(2) 宽度为常数 b，确定高度 h = h(x)
,
][
3
)( x
b
P
xh
?
?
同理可得
][4
3
m i n ?b
Ph ?
78
鱼腹梁
79
叠板弹簧
80
? 机械上常用的 等强度轴
81
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第五章
弯 曲 应 力
2
第五章 弯曲应力
本章内容,
1 纯弯曲
2 纯弯曲时的正应力
3 横力弯曲时的正应力
4 弯曲切应力
5* 关于弯曲理论的基本假设
6 提高弯曲强度的措施
3
4
§ 5,1 纯弯曲
? 横力弯曲
梁的横截面上同时有弯
矩和剪力的弯曲。
? 纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩
时的弯曲。
横截面上只有正应
力而无切应力。
? 纯弯曲的 变形特征
5
? 纯弯曲的 变形特征
6
? 纯弯曲的 变形特征
? 基本假设 1,平面假设
变形前为平面的横截
面变形后仍为平面,
且仍垂直于梁的轴线。
? 中性层 与 中性轴
? 基本假设 2,
纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
7
? 中性层 与 中性轴
8
§ 5,2 纯弯曲时的正应力
1 变形几何关系
取坐标系如图,z轴为 中性轴 ；
y轴为对称轴。
? 纵向线 bb变形后
的长度为,
?? d)( ybb ????
? 纵向线 bb变形前的长度
为求出距中性层 y处的 应变,
取长 dx的梁段研究,
中性层长度不变,所以有,
9
? 纵向线 bb变形后
的长度为,
?? d)( ybb ????
? bb变形前的长度
?bb OO OO ??? ?? d?
? 纵向线 bb的应变为
??
????
?
d
dd)( ??
?
y
?
y
?
即,纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截
面高度呈线性分布。
中性层长度不变,所以
10
2 物理关系
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极
限时，由胡克定律有,
?? E?
?
?
y
E?
即,纯弯曲时横截面上任一点的正
应力与它到中性轴的距离 y成正比。
也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
3 静力关系
11
N
Mz
3 静力关系
My AN A?? d?
0?? X
AzM
Ay ?
? d?
AyM
Az ?
? d?
对横截面上的内力系，有,
由梁段的平衡有, 0?N
0?? ym 0?yM
0?? zm MM z ?
12
AN
A?
? d?
AzM
Ay ?
? d?
AyM
Az ?
? d?
由梁段的平衡有,,0?N,0?
yM MM z ?
对横截面上的内力系，有,
所以
AN
A?
? d? 0? 0d ?? A
yE
A ?
0d ?? AyE
A?
0d ?? Ay
A
0?zS
z 轴通过形心。 即,中性 轴通过形心 。
13
,d AzM
Ay ?
? ? AyM Az ?? d?
,0?yM MM z ?
由
AN
A?
? d? 0?
0d ??? AzyE
A ?
0d ?? Ayz
A
即,
中性 轴通过形心 。
由
AzM
Ay ?
? d?0?
因为 y轴是对称轴，上式自然满足。
0?yzI
14
,d AzM
Ay ?
? ? AyM Az ?? d?
,0?yM MM z ?
由
?? 梁的 抗弯刚度
MM z ? Ay
A?
? d?
AyyEM
A?
?? d
?
AyE
A?
? d2
? z
IE
?
?
zEI
M?
?
1
将上式代入
?
? yE?
zI
My??
15
? 由于推导过程并未用到 矩形 截面条件，因而
公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且
载荷作用在对称面内的情况。
? 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截
面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。
? 公式是从 纯弯曲 梁推得，是否适用于一般情
形（横力弯曲）？
纯弯曲时正应力公式
zI
My??
? 公式的适用性
16
§ 5,3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲时，横截面上有切应力 平面假设
不再成立
此外,横力弯曲时 纵向纤维无挤压假设 也不成立,
由 弹性力学 的理论，有 结论,
当梁的长度 l与横截面的高度 h的比值,
h
l 5?
则用 纯弯曲 的正应力公式计算 横力弯曲 时的正应
力有足够的精度。
l / h > 5 的梁称为 细长梁 。
17
? 最大正应力
横力弯曲时，弯矩是变化的。
zI
yM m a xm a x
m a x ??
引入符号,
m a xy
IW z?
则有,
W
M m a x
m a x ??
?? 抗弯截面系数
? 比较 拉压,
A
N m a x
m a x ??
tW
T m a x
m a x ??
扭转,
18
? 两种常用截面的抗弯截面系数
? 矩形截面
,
12
3bh
I z ?
6
2bh
W ?
2m a x
hy ?
? 圆形截面
,
64
4d
I z ??
32
3d
W ??
2m a x
dy ?
19
? 弯曲强度条件
注意,当截面变化时，还需综合考虑 W的值。
W
M m a x
m a x ?? ][??
20
例 1 ( 书例 5.1)
已知,板长 3a
=150mm，材料
的许用应力 [?]
=140MPa。
解,
求, 最大允许
压紧力 P。
压板可简化为
如图的外伸梁。
由微分关系,AC段,BC段的弯矩图为斜直线。
(1) 求弯矩图
21
BMM ?m a x
且 B截面最薄弱。
由微分关系,AC
段,BC段的弯矩
图为斜直线。
(1) 求弯矩图
作出弯矩图。
(2) 确定危险截面
Pa?
B为危险截面。
(3) 计算 B截面 W
22
BMM ?m a x
(3) 计算 B截面 W
Pa?B为危险截面。
看成组合物体
21 zzz III ??
12
02.003.0 3??
12
02.00 1 4.0 3??
48 m1007.1 ???
m a xy
IW z?
2
8
101
1007.1
?
?
?
?? 36 m1007.1 ???
23
BMM ?m a x
(3) 计算 B截面 W
Pa?B为危险截面。
36 m1007.1 ???W
(4) 由强度条件计算 P
W
M m a x
m a x ?? ][??
][m a x ?WM ? ][?WPa ?
a
WP ][??
2
68
105
101 4 01007.1
?
?
?
???? kN3?
24
例 2 ( 书例 5.2)
已知, [?]=
100 MPa,
P = 25.3 kN。
解,
求, 校核 心
轴 的强度。
计算简
图如图。
(1) 求弯矩图
支反力 k N,6.23?
AR kN27?BR
25
(1)求弯矩图
(2) 确定危
险截面
? I截面
? II截面
? III截面
支反力
kN6.23?AR
kN27?BR
(3) 强度校 核
? I截面
m a xMM I ? mkN72.4 ??
26
(3) 强度校 核
? I截面
m a xMM I ? mkN72.4 ??
32
3
1dW
I
??
32
)1095( 33???? ? 36 m101.84 ???
I
I
I W
M?? M P a1.56? ][??
? II截面 mkN42.3 ??
IIM
27
? II截面
32
3
2dW
II
??
32
)1085( 33???? ? 36 m103.60 ???
II
II
II W
M?? M P a7.56? ][??
? III截面
mkN42.3 ??IIM
mkN64.4 ??IIIM
28
? III截面
32
3
3dW
III
??
32
)1088( 33???? ? 36 m109.66 ???
III
III
III
M
W
? ? M P a4.69? ][??
? 结论
mkN64.4 ??IIIM
? 注意
满足强度要求。
最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。
29
例 3 ( 书例 5.3)
已知, T形截面 铸
铁 梁, [?t]= 30
MPa,[?c]=160
MPa。 Iz=763cm4,
且 |y1|=52mm。
解,
求, 校核梁的强度。
(1) 求弯矩图
? 支反力 k N,5.2?
AR kN5.10?BR
? 作出弯矩图
30
(1) 求弯矩图
? 支反力
k N,5.2?AR
kN5.10?BR
? 作出弯矩图
最大正弯矩为,
mkN5.2 ??CM
最大负弯矩为,
mkN4 ???BM
(2) 确定危 险截面 ? B截面 ? C截面
31
(2) 确定危 险截面 ? B截面 ? C截面
最大正弯矩为, mkN5.2 ??
CM
最大负弯矩为, mkN4 ???
BM
(3) 强度校核
? B截面
z
B
t I
yM 1
1 ??
M
M P a2.27?
M P a30][ ?t??
z
B
c I
yM 2
1 ?? M P a2.46? M P a1 6 0][ ?c??
32
(3) 强度校核
? B截面
z
B
t I
yM 1
1 ??
M
M P a2.27?
z
B
c I
yM 2
1 ?? M P a2.46?
? C截面
z
C
t I
yM 2
2 ??
M P a8.28?
显然,?2c< ?1c
M P a30][ ?t??
M
? 结论 满足强度要求。
33
§ 5,4 弯曲切应力
横力弯曲时,横截面上既有正应力,又有切应力。
推导切应力公式的方法,
假设切应力的分布规律，然后根据 平衡条件 求出
1 矩形截面梁
切应力。
按截面形状，分别讨论。
? 切应力分布假设
(1) 各点切应力方向平行
于剪力 Q;
34
1 矩形截面梁
? 切应力分布假设
(1) 各点切应力方向平行
于剪力 Q;
(2) 切应力沿宽度均匀分布。
? 用平衡条件导出切应力公式
? 取研究对象
35
? 用平衡条件导出切应力公式
? 取研究对象
36
? 由切应力互等
定理
?? ??
? 右截面上的 N2
?? 1 d2 A AN ?
A1为右截面 pn1的
面积。
zI
yMM 1)d( ???
右截面正应力为,
37
? 右截面上的 N2
?? 1 d2 A AN ?
zI
ydMM 1)( ???
其中,
?
??
1
d)d( 12
A
z
A
I
yMMN
?
??
1
d)d( 1
A
z
Ay
I
MM *)d(
z
z
S
I
MM ??
?? 1 d1* Az AyS ?? y以下 的面积对中性轴的静矩。
38
? 右截面上的 N2
其中,
*
2
)d(
z
z
S
I
MMN ??
?? 1 d1* Az AyS
? 左截面上的 N1
同理可得, *
1 z
z
S
I
MN ?
? 上表面上的 dQ' xbQ dd ? ???
dQ'
? x方向平衡条件
0?? X 0d12 ???? QNN
39
*
2
)d(
z
z
S
I
MMN ??
*
1 z
z
S
I
MN ?
xbQ dd ? ???
dQ'
? x方向平衡条件
0?? X 0d12 ???? QNN
*)d(
z
z
S
I
MM ? *
z
z
S
I
M? 0d ??? xb?
*d
z
z
S
I
M 0d ??? xb?
bI
S
x
M
z
z
*
d
d
????
40
dQ'
? 由微分关系
*d
z
z
S
I
M 0d ??? xb?
bI
S
x
M
z
z
*
d
d
????
Q
x
M ?
d
d
bI
QS
z
z
*
???
? 由切应力互等定理，得
bI
QS
z
z
*
??
? 计算 Sz*
41
? 由切应力互等定理，得
bI
QS
z
z
*
??
? 计算 Sz*
可用公式
11* yAS z ??
?*zS )
2
( yhb ? )]
2
(
2
1[ yhy ???
)
4
(
2
2
2
* yhbS
z ??
)
2
( yhb ?? )
2
(
2
1 yh ?? 所以,
)
4
(
2
2
2
y
h
I
Q
z
???
42
)
4
(
2
2
2
* yhbS
z ??
所以,)
4
(
2
2
2
y
h
I
Q
z
??? ? 距中性层 y处 的切应力公式
? 切应力分布
切应力沿截面高度按抛物
线规律变化。
0??在上下边缘处
m a x?? ?
在中性层处
zI
Qh
8
2
?
因为
12
3bh
I z ?
bh
Q
2
3
m a x ??
43
m a x?? ?
在中性层处
zI
Qh
8
2
?
因为
12
3bh
I z ?
bh
Q
2
3
m a x ??
即：最大切应力是平均剪应
力的 1.5倍。
2 工字形截面梁
工字形截面梁由 腹板 和 翼缘 组成。
? 腹板 的切应力
腹板是矩形，切应力公式同矩形
截面梁。
44
2 工字形截面梁
? 腹板 的切应力
腹板是矩形，切应力公式同
bI
QS
z
z
*
??
矩形截面梁,
? 计算 Sz*
?*zS )
22
( hHB ? )]
22
(
2
1
2
[ hHh ???
)
2
( yhb ?? )]
2
(
2
1[ yhy ???
45
? 计算 Sz*
?*zS )
22
( hHB ? )]
22
(
2
1
2
[ hHh ???
)
2
( yhb ?? )]
2
(
2
1[ yhy ???
)
4
(
2
)(
8
2
2
22 yhbhHB ????
则，距中性层 y处的切应力公式为,
)]
4
(
2
)(
8
[ 2
2
22 yhbhHB
bI
Q
z
?????
切应力分布如图。
46
距中性层 y处的切应力公式为,
)]
4
(
2
)(
8
[ 2
2
22 yhbhHB
bI
Q
z
?????
切应力分布如图。
? 最大切应力发生在 中性轴 处
]
8
)(
8
[
22
m a x
h
bB
BH
bI
Q
z
????
? 最小切应力发生在 y=± h/2 处
)
88
(
22
m i n
BhBH
bI
Q
z
???
47
? 最大切应力发生在 中性轴 处
]
8
)(
8
[
22
m a x
h
bB
BH
bI
Q
z
????
? 最小切应力发生在 y=± h/2 处
)
88
(
22
m i n
BhBH
bI
Q
z
???
? 腹板切应力的 近似公式
因为, (1)腹板切应力近似为均匀分布 ;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式,
hb
Q??
48
? 腹板切应力的 近似公式
因为, (1)腹板切应力近似为均匀分布 ;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式,
hb
Q??
? 翼缘 的切应力
? 特点
(1) 除了有平行于剪力 Q的切应力
分量外，还有与剪力 Q垂直的
切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。
49
3 圆形截面梁
? 切应力分布的 特点
(1) 边缘各点的切应力与圆周
相切；
(2) y轴上各点 的切应力沿 y轴。
? 假设
(1) AB弦上各点的切应力作用
线通过同一点 p；
(2) AB弦上各点的切应力沿 y轴的分量 ?y相等。
所以，对 ?y可用矩形截面梁的公式
bI
QS
z
z
y
*
??
50
所以，对 ?y可用矩形截面梁的
bI
QS
z
z
y
*
??
公式
式中,b为 AB弦的长度,Sz*为
AB弦以外的面积对 z轴的静矩。
? 最大切应力
最大切应力发生在中性轴上。
中性轴上的切应力的方向？
?
?
3
4
2
1 2* RRS
z ??
中性轴处 Rb 2?
3*
3
2 RS
z ?
51
?
?
3
4
2
1 2* RRS
z ??
最大切应力是平均切应力的
1.33倍。
中性轴处 Rb 2?
bI
QS
z
z
y
*
??
2m a x 3
4
R
Q
?
? ?
64
4D
I z ??
3*
3
2 RS
z ?
4
4R?
?
52
4 弯曲切应力 强度条件
? 强度条件
弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为,
正应力最大处，切应力为零，是 单向拉压 状态；
切应力最大处，正应力为零，是 纯剪切 状态。
53
弯曲切应力强度条件为
bI
SQ
z
z
*
m a xm a x
m a x ?? ][??
? 实心截面梁正应力与切应力的比较
zW
Pl?
m a x?
bI
PS
z
z
*
m a x ??
正应力最大处，切应力为零，是 单向拉压 状态；
切应力最大处，正应力为零，是 纯剪切 状态。
54
? 实心截面梁正应力与切应力的比较
,m a x
zW
Pl??
bI
PS
z
z
*
m a x ??
? 对矩形截面梁
h
l4
m a x
m a x ?
?
?
? 对圆形截面梁
d
l6
m a x
m a x ?
?
?
55
? 对矩形截面梁
h
l4
m a x
m a x ?
?
?
? 对圆形截面梁
d
l6
m a x
m a x ?
?
?
所以，对 实心截面梁 通常不需要校核剪切强度。
? 需要校核剪切强度几种情况
(1) 弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在
支座附近作用有较大的集中力；
(2) 非标准的腹板较高且较薄的工字梁；
(3) 梁上的焊缝、铆钉或胶合面。
56
例 1 ( 书例 5.4)
已知,由木板胶合而成的
梁。
解,
求, 胶合面上沿 x方向单位
长度的剪力。
无法直接用公式。
取一微段,
与推导剪应
力公式的方
法相同，有
57
取一微段,
与推导切应力公式相同，有
*
2
)d(
z
z
S
I
MMN ??,*
1 z
z
S
I
MN ?
0?? X 12 NN ? 0d2 ?? xq ?
z
z
I
S
x
M
q
*
d
d
2
1
??
z
z
I
QS *
2
1
?
58
例 2 (书例 5.5)
已知, l =2m,
a=0.2m,q=10
kN/m,P =200
kN,[?]=160
MPa,[?]=100MPa。
解,
求, 选择工字钢型号 。
(1) 求剪力图和弯矩图
? 支反力 k N,2 1 0?
AR kN2 1 0?BR
? 作出剪力图和弯矩图
59
? 作出剪力图和弯矩图
最大弯矩
mkN45m a x ??M
最大剪力
kN2 1 0m a x ?Q
? 先根据最大弯矩
选择工字钢型号
][
m a x
?
MW
z ?
3cm281?
? 查型钢表 (p,416)
60
? 查型钢表 (p,416) 3cm2 8 1?
zW
单位为, cm
61
? 查型钢表 (p,416) 3cm2 8 1?
zW
? 选 22a工字钢
,cm309 3?zW
? 校核剪切强度
查型钢表得，对 22a工字钢,
cm9.18* ?
z
z
S
I
腹板厚度,cm75.0?? db
bI
SQ
z
z
*
m a x
m a x ?? M P a148? M P a1 0 0][ ???
所以，选 22a工字钢，剪切强度不够，需重选。
62
所以，选 22a工字钢，剪切强度不够，需重选。
63
? 查型钢表 (p,416),重选 25b工字钢,
,cm423 3?zW c m,3.21
* ?
z
z
S
I cm0.1?? db
bI
SQ
z
z
*
m a x
m a x ?? M P a6.98? M P a1 0 0][ ???
所以，选 25b工字钢可同时满足正应力和切应力
强度条件。
注：若选 25a工字钢，则,M P a5.1 2 1
m a x ??
64
§ 5,6 提高弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。
弯曲正应力强度为,
1 减小最大弯矩
从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大
弯矩 Mmax和提高抗弯截面系数 W。
(1) 合理布置支座的位置
W
M m a x
m a x ?? ][??
65
1 减小最大弯矩
(1) 合理布置支座的位置
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? 工程例子
(2) 合理布置载荷
67
(2) 合理布置载荷
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2 提高抗弯截面系数
在截面积 A相同的条件下，提高抗弯截面系数。
? 矩形截面梁的放置
? 几种常用截面的比较 用比值 来衡量 AW
69
? 几种常用截面的比较 用比值 AW 来衡量
可看出：材料远离中性轴的截面 (环形、槽形,
工字形等 )比较经济合理。
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可看出：材料远离中性轴的截面 (环形、槽形,
工字形等 )比较经济合理。
? 根据 材料特性 选择合理截面
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? 根据 材料特性 选择合理截面
? 抗拉和抗压强度 相等 的材料
可采用关于中性轴上下对称的截面，如,
矩形、工字形、圆形等。
? 抗拉和抗压强度 不相等 的材料
可采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如,
72
上次例 1 (书例 5.3)
已知, T形截面 铸
铁 梁, [?t]= 30
MPa,[?c]=160
MPa。 Iz=763cm4,
且 |y1|=52mm。 求, 校核梁的强度。
问题, T形截面是否放反了？
没放反。
Mmax是
负的。
73
3 等强度梁的概念
对如图的简支梁,
? 等强度梁
这就是等强度梁的抗弯截面系数应满足的关系。
)(
)(
m a x xW
xM??
只有中点处的截
面上达到最大正
应力。
][??
][
)()(
?
xMxW ?
? 中点受集中力作用的简支等强度梁
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? 中点受集中力作用的简支等强度梁
弯矩方程为,
PxxM
2
1)( ?
)
2
0( lx ??
横截面采用 矩形截面
(1) 高度为常数 h，确定宽度 b = b(x)
][
)()(
?
xMxW ?
][2
1
?
Px?
6
)( 2hxb?
x
h
Pxb
2][
3)(
?
?
75
(1) 高度为常数 h，确定宽度 b = b(x)
][
)()(
?
xMxW ?
][2
1
?
Px?
6
)( 2hxb?
x
h
Pxb
2][
3)(
?
?
? 根据剪切强度设计 最小宽度
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? 根据剪切强度设计 最小宽度
剪力
2
PQ ?
A
Q
2
3
m a x ?? hb
P
m i n
2/
2
3? ][??
][4
3
m i n ?h
Pb ?
77
(2) 宽度为常数 b，确定高度 h = h(x)
,
][
3
)( x
b
P
xh
?
?
同理可得
][4
3
m i n ?b
Ph ?
78
鱼腹梁
79
叠板弹簧
80
? 机械上常用的 等强度轴
81
谢 谢 大 家 !
