1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第四章
弯 曲 内 力
2
第四章 弯曲内力
本章内容,
1 弯曲的概念和实例
2 受弯杆件的简化
3 剪力和弯矩
4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
6 平面曲杆的弯曲内力
3
§ 4,1 弯曲 的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。
F1 F2
4
? 弯曲变形 F1 F2
载荷 垂直于 杆的轴线,
以 弯曲变形 为主的杆件
轴线由 直线 曲线
称为 梁 。
? 对称弯曲
若梁
(1) 具有纵向对称
面 ;
(2) 所有外力都作
用在纵向对称
则轴线变形后也是该对称面内的曲线。 面内。
5
§ 4,2 受弯杆件的简化
1 支座的几种基本形式
? 固定铰支座
6
1 支座的几种基本形式
? 固定铰支座
? 可动铰支座
? 向心轴承
7
? 向心轴承
? 向心止推轴承
8
? 固定端约束
FAx
FAy
2 载荷的简化
? 集中力 ? 集中力偶 ? 分布载荷
3 静定梁的基本形式
主要研究 等直梁 。
9
3 静定梁的基本形式
主要研究 等直梁 。
? 简支梁
? 外伸梁
? 悬臂梁
10
§ 4,3 剪力和弯矩
下面求解梁弯曲时的内力。
? 例子
已知, q = 20
kN/m,尺寸
如图。
求, D截面处的内力。
x
求内力的方法 —— 截面法。 解, 建立 x坐标如图。
(1) 求支座反力
RA
RAx
RC
取整体，受力如图。
0?? X 0?AxR
11
(1) 求支座反力 取整体，受力如图。
0?? X 0?AxR
x
RA RC
RAx
0)( ?? FCM kN80?AR
0?? Y kN40?CR
(2) 求 D截面内力
从 D处截开，取左段。 x
RA
QD
横截面上的内力如图。
RAx N
MD
12
0?? X AxRN ??
0)( ?? FDM 2/xqxxRM AD ???
0?? Y qxRQ AD ??
(2) 求 D截面内力
从 D处截开，取左段。
横截面上的内力如图。
0?
x
RA
QD
MD
N RAx
x2080 ??
21080 xx ??规律
Q = 截面一侧所有横向外力代数和
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
13
x
RA RC
RAx
若从 D处截开，取右段。
横截面上的内力如图。 x
RA
QD
MD
N RAx
RC
QD
MD
计算可得 QD,MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力 和 弯矩 的正负号规则如何？
14
? 剪力 和 弯矩 的正负号规定
Q
Q
? 剪力
使其作用的一
段梁产生顺时
针转动的剪力
为正。
? 弯矩
使梁产生上凹
(下凸 )变形的
弯矩为正。
15
§ 4,4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
? 剪力方程
x
RA
RAx
RC
)( xQQ ?
? 弯矩方程 )( xMM ?
2/xqxxRM AD ???
qxRQ AD ??
? 上例中
? 剪力图和弯矩图
16
例 2 (书例 4,2)
已知,简支梁如图。
解,
求,剪力方程，弯矩
方程，并作剪力图和
弯矩图。
(1) 求支反力
,
l
PbR
A ?
需分段求解。
l
PaR
B ?
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
分为两段,AC和 CB段。
? AC段 取 x截面，左段受力如图。
17
需分段求解。
l
PbxQ ?)(
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
分为两段,AC和 CB段。
? AC段
取 x截面，左段受力如图。
Q
M
由平衡方程，可得,
)0( ax ??
x
l
PbxM ?)( )0( ax ??
? CB段
x
取 x截面,
18
l
PaxQ ??)(
由平衡方程，可得,
)( lxa ??
)()( xl
l
PaxM ??
)( lxa ??
? CB段
x 取 x截面,
x
Q
M
左段受力如图。
(3) 画 剪力图和弯矩图
19
(3) 画 剪力图和
弯矩图
l
PbxQ ?)( )0( ax ??
xlPbxM ?)( )0( ax ??
l
PaxQ ??)( )( lxa ??
)()( xllPaxM ??
)( lxa ??
20
例 3 (书例 4,3)
已知,悬臂梁如图。
解,
求,剪力方程，弯
矩方程，并作剪力
图和弯矩图。
(1) 求支反力
,qlR A ?
为使计算简单,
2
2
1 qlM
A ?
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
取 x截面，右段受力如图。
21
为使计算简单,
(2) 求 剪力方程和
弯矩方程
取 x截面，右段
受力如图。 Q
M
)()( xlqxQ ??
由平衡方程，可得,
?)( xM
2
xl ?? 2)(
2
1 xlq ???)( xlq ??
22
)()( xlqxQ ??
2)(
2
1)( xlqxM ???
(3) 画 剪力图和
弯矩图
23
? 作剪力图和弯矩图的 步骤
(1) 求支座反力；
(2) 建立坐标系 (一般以梁的左端点为原点 )；
(3) 分段 ?? 在 载荷变化处 分段；
(4) 列出每一段的剪力方程和弯矩方程；
(5) 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和
弯矩图。
24
例 4
已知,外伸梁如图。
解,
求,剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图,
(1) 求支反力
k N,10?AR kN5?BR
25
(1) 求支反力
k N,10?AR
kN5?BR
需分段求解。
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
分为 3段,CA,AD和 DB段。
PxQ ??)(
? CA段 取 x截面,左段 受力如图。
由平衡方程，可得,
m)6.00( ?? x
PxxM ??)( m)6.00( ?? x
x
kN3??
x3??
26
? CA段
取 x截面,左
段 受力如图。
由平衡方程,
可得,
m)6.00( ?? x
xxM 3)( ?? m)6.00( ?? x
x
kN3)( ??xQ
PRxQ A ??)(
? AD段 取 x截面,左段 受力如图。
由平衡方程，可得,
m)2.16.0( ?x?
PxxM ??)(
m)2.16.0( ?x?
kN7?
67 ?? x
)6.0( ??? xR A
27
x
PRxQ A ??)(
? AD段 取 x截面,左段 受力如图。
由平衡方程，可得,
m)2.16.0( ?x?
)6.0()( ????? xRPxxM A
m)2.16.0( ?x?
kN7?
67 ?? x
? DB段 取 x截面，右段受力如图。
)4.2()( xqxQ ?? m)4.22.1( ?x?x1019 ??BR?
28
x
? DB段 取 x截面，右段受力如图。
BRxqxQ ??? )4.2()( m)4.22.1( ?x?x1019 ??
)4.2()( xRxM A ??
m)2.16.0( ?x? 2)4.2(5512 xx ????
2)4.2(
2
1 xq ??
(3) 画 剪力图和弯矩图
29
(3) 画 剪力图和弯矩图
END
30
§ 4,5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
对图示的直梁,
考察 dx 微段的
受力与平衡。
31
考察 dx微段的受力与
平衡
0?? Y
)(xQ
)](d)([ xQxQ ??
0)(dd)( ?? xQxxq )(
d
)(d xq
x
xQ ?
0)( ?? FCM
C
)( xM? xxQ d)(? )](d)([ xMxM ??
2
dd)( xxxq ??
xxq d)(?
0?
0?
32
)(
d
)(d xq
x
xQ ?
0)( ?? FCM C
)( xM?
xxQ d)(?
)](d)([ xMxM ??
0
2
dd)( ??? xxxq
略去高阶微量 )(d xM xxQ d)(? 0?
)(
d
)(d xQ
x
xM ?
还可有,)(
d
)(d
2
2
xq
x
xM ?
33
)(
d
)(d xq
x
xQ ?
)(
d
)(d xQ
x
xM ?
)(
d
)(d
2
2
xq
x
xM ?
? q(x),Q(x)和 M(x)间的 微分关系
上次例 3 (书例 4,3)
? 由 微分关系 可得以下
结论
34
? 由 微分关系 可得以下 结论
(1) 若 q(x) = 0 上次例 2 (书例 4,2)
Q(x) =常数,
剪力图为 水平线 ；
M(x) 为一次函数,
弯矩图为 斜直线 。
(2) 若 q(x) = 常数
Q(x)为一次函数,
剪力图为 斜直线 ；
M(x) 为二次函数,
弯矩图为 抛物线 。
35
上次例 3 (书例 4,3) (2) 若 q(x) = 常数
Q(x)为一次函数,
剪力图为 斜直线 ；
M(x) 为二次函数,
弯矩图为 抛物线 。
当 q(x) > 0(向上 )时,
抛物线 是 下凸 的；
当 q(x) < 0(向下 )时,
抛物线 是 上凸 的；
(3) 在剪力 Q为 零 处,
弯矩 M取 极值 。
36
(3) 在剪力 Q为 零 处,
弯矩 M取 极值 。
注意, 以上结论只在该
段梁上 无 集中力
或 集中力偶 作用
时才成立 。
37
(4) 在 集中力 作用点,上次例 2 (书例 4,2)
剪力图有 突变, 突变值
即为集中力的数值，突
变的方向沿着集中力的
方向 (从左向右观察 )；
弯矩图在该处为 折点 。
(5) 在 集中力偶 作用点,
对剪力图形状无影响；
弯矩图有 突变, 突变值
即为集中力偶的数值。
38
集中力偶为 逆
时针 时，向 下
跳 (从左向右
看 );
顺时针 时,
向 上跳 (从
左向右看 ),
(5) 在 集中力偶 作用点,
对剪力图形状无影响；
弯矩图有 突变, 突变值 即为集中力偶的数值。
上次例 4
39
? 根据 微分关系 作剪力图和弯矩图
(1) 求支反力；
(2) 建立坐标系 (一般以梁的左端点为原点 )；
(3) 分段 ?? 确定 控制面 ；
(4) 求出控制面上的 Q,M值；
(5) 根据 微分关系 连线，作出剪力图和弯矩图。
40
例 1
已知,简支梁
如图。
解,
求,利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。
(1) 求支反力
(2) 坐标系
x
Q Q
A B C
(3) 确定控制面
(4) 计算控制面的 Q和 M
2
qa
2/qa
2
qa
(5) 连线
x
41
? 作弯矩图
2
8
1 qa
2
8
1 qa
42
例 2
已知,悬臂梁
如图。
解,
求,利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。
(1) 求支反力,0?
DR 2qaM D ??
MD
RD
(2) 坐标系
(3) 确定控制面
x
(4) 计算控制面的 Q和 M
B处：,qaQ ?? 2/2qaM ??
43
MD
RD
x
(4) 计算控制
面的 Q和 M
B处,
,qaQ ??
2/2qaM ??
x
Q Q
(5) 连线 qa
D处,
,0?Q
2qaM ??
44
(4) 计算控制
面的 Q和 M
B处,
,qaQ ??
2/2qaM ??
? 弯矩图
2
2
1 qa 2qa
D处,
,0?Q
2qaM ??
45
例 3
已知,外伸梁
如图。
解,
求,利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。
(1) 求支反力,qaR
B ? qaR D ?
方向如图。
46
例 4 (上次的例 4 )
已知,外伸梁如图。
解,
求, 利用微分关系作剪力图和弯矩图。
(1) 求支反力
k N,10?AR kN5?BR
47
(2) 画 剪力图和弯矩图
END
48
例 5
( 书习题 4.13(a) )
已知,内力图。
解,
求,利用微分
关系找出图中
的错误并改正。
qaR A
4
1?
? 支反力
qaR B
4
7?
RA RB
2
4
5 qa
2
32
49 qa
49
例 6
( 书习题 4.16(a) )
已知,剪力图，且
梁上无集中力偶。
解,
求,载荷图和弯
矩图。
3kN
4kN
2kN 3kN
q=1kN/m
50
弯矩图 3kN
4kN
2kN 3kN
q=1kN/m
6kNm
4kNm 4.5kNm M
51
例 7 (书习题 4.19 )
已知, q,P。
解,
求,用 叠加法 作弯矩图。 RA R
B
RA1 RB1
RA2 RB2
l
PbqlR
A ?? 2
1
? 约束反力
l
PaqlR
B ?? 2
1
若梁分别受到这两种载
荷的作用,
52
RA RB
RA1 RB1
RA2 RB2
l
PbqlR
A ?? 2
1
? 约束反力
l
PaqlR
B ?? 2
1
若梁分别受到这两种载
荷的作用,
,
2
1
1 qlR A ?
,2
l
PbR
A ?
qlR B
2
1
1 ?
l
PaR
B ?2
53
RA RB
RA1 RB1
RA2 RB2
若梁分别受到这两种载
荷的作用,
,
2
1
1 qlR A ?
,2
l
PbR
A ?
qlR B
2
1
1 ?
l
PaR
B ?2
可以看出,
21 AAA RRR ??
21 BBB RRR ??
? 弯矩方程
54
RA RB
? 弯矩方程
AC段,
x
l
Pbqxq l xM ??? 2
2
1
2
1
CB段,2
2
1
2
1 qxql xM ?? )( xl
l
Pa ??
? 结论
在 小变形 的情况下，约束反力和内力都是外载
荷的 线性函数,可以使用 叠加法 。
? 叠加法作 弯矩图
55
? 叠加法作 弯矩图
+
=
+
=
5/2,5/3,lblaqlP ???
56
? 刚架的内力图
刚节点
刚节点
? 在连接两部分的
节点处夹角不变。
? 特点 内力分量中，除了剪力
和弯矩外，通常还有轴
力。
? 内力的正负号与观察位置
N N Q
Q 无关 无关
57
? 内力的正负号与观察位置
N N
Q
Q
有关
无关
无关
? 弯矩画在受压侧
58
(1) 可分段建立坐标系；
(2) 轴力、剪力画在内侧或
外侧均可，但需标出正
负号；
(3) 弯矩画在受压侧。
? 刚架内力图的画法
59
例 8 刚架
已知, q,a。
解,
求,内力图。
(1) 求支反力
(2) 求内力
结果如图。
BC段, Q
N
M
0?? X
0?N
0?? Y qaQ
2
1??
D
0)( ?? FDM xqaM ??
2
1
x
60
(2) 求内力
BC段,
0?N
qaQ
2
1??
xqaM ??
2
1
Q
N
M
D x
AC段,
0?? Y qaN
2
1?
0?? X qyqaQ ??
N
Q
M
y
0)( ?? FEM 2
2
1 qyyqaM ???
E
61
(2) 求内力
BC段, 0?N qaQ
2
1??
xqaM ??
2
1
AC段,
qaN
2
1? qyqaQ ??
2
2
1 qyyqaM ???
(3) 轴力图
Q (4) 剪力图 qa
2
1
qa
62
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
特点,
在刚节点处,弯矩值 连续 ;
BC段,
xqaM ??
2
1
AC段,
yqaM ??
2
2
1 qy?
Q qa
2
1
qa
M
2
2
1 qa
2
2
1 qa
63
特点,
在刚节点处,弯矩值 连续 ;
Q1
N1
M1
N2
Q2
M2
12 NQ ? 0?
21 NQ ??
0?? M0?? X
0?? Y 21 MM ?
可以利用刚节点的平衡,
对内力图进行校核。
64
§ 4,6 平面曲杆的弯曲内力
? 平面曲杆
平面曲杆的内力图的画法
与刚架的内力图的画法类
似。
轴线为平面曲线的杆或梁。
? 例子
已知, P,a 。
求,横截面上的内力及弯
矩图。
解, 取 m-n截面，取右段，受力如图。
65
? 例子
已知, P,a 。
求,横截面上的内力及弯
矩图。
解, 取 m-n截面，取右段,
受力如图。
x'
y'
o
?
? 0??? Y
?c o s2 P ?s inP? 0?? N
?? c o s2s in PPN ??
0??? X
Q??s in2 P ?c o sP? 0?
66
?? s in2c o s PPQ ??
x'
y'
o
?
?
?? c o s2s in PPN ??
0??? X
0?? Q?sinP ?c o sP?
0?? M
0)( ?? FoM
)c o s(2 ?aaP ??
?s inPa?
)c o s(2 ?aaPM ??
?s inPa?
曲杆的弯矩图如图。
67
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第四章
弯 曲 内 力
2
第四章 弯曲内力
本章内容,
1 弯曲的概念和实例
2 受弯杆件的简化
3 剪力和弯矩
4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
6 平面曲杆的弯曲内力
3
§ 4,1 弯曲 的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。
F1 F2
4
? 弯曲变形 F1 F2
载荷 垂直于 杆的轴线,
以 弯曲变形 为主的杆件
轴线由 直线 曲线
称为 梁 。
? 对称弯曲
若梁
(1) 具有纵向对称
面 ;
(2) 所有外力都作
用在纵向对称
则轴线变形后也是该对称面内的曲线。 面内。
5
§ 4,2 受弯杆件的简化
1 支座的几种基本形式
? 固定铰支座
6
1 支座的几种基本形式
? 固定铰支座
? 可动铰支座
? 向心轴承
7
? 向心轴承
? 向心止推轴承
8
? 固定端约束
FAx
FAy
2 载荷的简化
? 集中力 ? 集中力偶 ? 分布载荷
3 静定梁的基本形式
主要研究 等直梁 。
9
3 静定梁的基本形式
主要研究 等直梁 。
? 简支梁
? 外伸梁
? 悬臂梁
10
§ 4,3 剪力和弯矩
下面求解梁弯曲时的内力。
? 例子
已知, q = 20
kN/m,尺寸
如图。
求, D截面处的内力。
x
求内力的方法 —— 截面法。 解, 建立 x坐标如图。
(1) 求支座反力
RA
RAx
RC
取整体，受力如图。
0?? X 0?AxR
11
(1) 求支座反力 取整体，受力如图。
0?? X 0?AxR
x
RA RC
RAx
0)( ?? FCM kN80?AR
0?? Y kN40?CR
(2) 求 D截面内力
从 D处截开，取左段。 x
RA
QD
横截面上的内力如图。
RAx N
MD
12
0?? X AxRN ??
0)( ?? FDM 2/xqxxRM AD ???
0?? Y qxRQ AD ??
(2) 求 D截面内力
从 D处截开，取左段。
横截面上的内力如图。
0?
x
RA
QD
MD
N RAx
x2080 ??
21080 xx ??规律
Q = 截面一侧所有横向外力代数和
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
13
x
RA RC
RAx
若从 D处截开，取右段。
横截面上的内力如图。 x
RA
QD
MD
N RAx
RC
QD
MD
计算可得 QD,MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力 和 弯矩 的正负号规则如何？
14
? 剪力 和 弯矩 的正负号规定
Q
Q
? 剪力
使其作用的一
段梁产生顺时
针转动的剪力
为正。
? 弯矩
使梁产生上凹
(下凸 )变形的
弯矩为正。
15
§ 4,4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
? 剪力方程
x
RA
RAx
RC
)( xQQ ?
? 弯矩方程 )( xMM ?
2/xqxxRM AD ???
qxRQ AD ??
? 上例中
? 剪力图和弯矩图
16
例 2 (书例 4,2)
已知,简支梁如图。
解,
求,剪力方程，弯矩
方程，并作剪力图和
弯矩图。
(1) 求支反力
,
l
PbR
A ?
需分段求解。
l
PaR
B ?
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
分为两段,AC和 CB段。
? AC段 取 x截面，左段受力如图。
17
需分段求解。
l
PbxQ ?)(
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
分为两段,AC和 CB段。
? AC段
取 x截面，左段受力如图。
Q
M
由平衡方程，可得,
)0( ax ??
x
l
PbxM ?)( )0( ax ??
? CB段
x
取 x截面,
18
l
PaxQ ??)(
由平衡方程，可得,
)( lxa ??
)()( xl
l
PaxM ??
)( lxa ??
? CB段
x 取 x截面,
x
Q
M
左段受力如图。
(3) 画 剪力图和弯矩图
19
(3) 画 剪力图和
弯矩图
l
PbxQ ?)( )0( ax ??
xlPbxM ?)( )0( ax ??
l
PaxQ ??)( )( lxa ??
)()( xllPaxM ??
)( lxa ??
20
例 3 (书例 4,3)
已知,悬臂梁如图。
解,
求,剪力方程，弯
矩方程，并作剪力
图和弯矩图。
(1) 求支反力
,qlR A ?
为使计算简单,
2
2
1 qlM
A ?
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
取 x截面，右段受力如图。
21
为使计算简单,
(2) 求 剪力方程和
弯矩方程
取 x截面，右段
受力如图。 Q
M
)()( xlqxQ ??
由平衡方程，可得,
?)( xM
2
xl ?? 2)(
2
1 xlq ???)( xlq ??
22
)()( xlqxQ ??
2)(
2
1)( xlqxM ???
(3) 画 剪力图和
弯矩图
23
? 作剪力图和弯矩图的 步骤
(1) 求支座反力；
(2) 建立坐标系 (一般以梁的左端点为原点 )；
(3) 分段 ?? 在 载荷变化处 分段；
(4) 列出每一段的剪力方程和弯矩方程；
(5) 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和
弯矩图。
24
例 4
已知,外伸梁如图。
解,
求,剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图,
(1) 求支反力
k N,10?AR kN5?BR
25
(1) 求支反力
k N,10?AR
kN5?BR
需分段求解。
(2) 求 剪力方程和弯矩方程
分为 3段,CA,AD和 DB段。
PxQ ??)(
? CA段 取 x截面,左段 受力如图。
由平衡方程，可得,
m)6.00( ?? x
PxxM ??)( m)6.00( ?? x
x
kN3??
x3??
26
? CA段
取 x截面,左
段 受力如图。
由平衡方程,
可得,
m)6.00( ?? x
xxM 3)( ?? m)6.00( ?? x
x
kN3)( ??xQ
PRxQ A ??)(
? AD段 取 x截面,左段 受力如图。
由平衡方程，可得,
m)2.16.0( ?x?
PxxM ??)(
m)2.16.0( ?x?
kN7?
67 ?? x
)6.0( ??? xR A
27
x
PRxQ A ??)(
? AD段 取 x截面,左段 受力如图。
由平衡方程，可得,
m)2.16.0( ?x?
)6.0()( ????? xRPxxM A
m)2.16.0( ?x?
kN7?
67 ?? x
? DB段 取 x截面，右段受力如图。
)4.2()( xqxQ ?? m)4.22.1( ?x?x1019 ??BR?
28
x
? DB段 取 x截面，右段受力如图。
BRxqxQ ??? )4.2()( m)4.22.1( ?x?x1019 ??
)4.2()( xRxM A ??
m)2.16.0( ?x? 2)4.2(5512 xx ????
2)4.2(
2
1 xq ??
(3) 画 剪力图和弯矩图
29
(3) 画 剪力图和弯矩图
END
30
§ 4,5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
对图示的直梁,
考察 dx 微段的
受力与平衡。
31
考察 dx微段的受力与
平衡
0?? Y
)(xQ
)](d)([ xQxQ ??
0)(dd)( ?? xQxxq )(
d
)(d xq
x
xQ ?
0)( ?? FCM
C
)( xM? xxQ d)(? )](d)([ xMxM ??
2
dd)( xxxq ??
xxq d)(?
0?
0?
32
)(
d
)(d xq
x
xQ ?
0)( ?? FCM C
)( xM?
xxQ d)(?
)](d)([ xMxM ??
0
2
dd)( ??? xxxq
略去高阶微量 )(d xM xxQ d)(? 0?
)(
d
)(d xQ
x
xM ?
还可有,)(
d
)(d
2
2
xq
x
xM ?
33
)(
d
)(d xq
x
xQ ?
)(
d
)(d xQ
x
xM ?
)(
d
)(d
2
2
xq
x
xM ?
? q(x),Q(x)和 M(x)间的 微分关系
上次例 3 (书例 4,3)
? 由 微分关系 可得以下
结论
34
? 由 微分关系 可得以下 结论
(1) 若 q(x) = 0 上次例 2 (书例 4,2)
Q(x) =常数,
剪力图为 水平线 ；
M(x) 为一次函数,
弯矩图为 斜直线 。
(2) 若 q(x) = 常数
Q(x)为一次函数,
剪力图为 斜直线 ；
M(x) 为二次函数,
弯矩图为 抛物线 。
35
上次例 3 (书例 4,3) (2) 若 q(x) = 常数
Q(x)为一次函数,
剪力图为 斜直线 ；
M(x) 为二次函数,
弯矩图为 抛物线 。
当 q(x) > 0(向上 )时,
抛物线 是 下凸 的；
当 q(x) < 0(向下 )时,
抛物线 是 上凸 的；
(3) 在剪力 Q为 零 处,
弯矩 M取 极值 。
36
(3) 在剪力 Q为 零 处,
弯矩 M取 极值 。
注意, 以上结论只在该
段梁上 无 集中力
或 集中力偶 作用
时才成立 。
37
(4) 在 集中力 作用点,上次例 2 (书例 4,2)
剪力图有 突变, 突变值
即为集中力的数值，突
变的方向沿着集中力的
方向 (从左向右观察 )；
弯矩图在该处为 折点 。
(5) 在 集中力偶 作用点,
对剪力图形状无影响；
弯矩图有 突变, 突变值
即为集中力偶的数值。
38
集中力偶为 逆
时针 时，向 下
跳 (从左向右
看 );
顺时针 时,
向 上跳 (从
左向右看 ),
(5) 在 集中力偶 作用点,
对剪力图形状无影响；
弯矩图有 突变, 突变值 即为集中力偶的数值。
上次例 4
39
? 根据 微分关系 作剪力图和弯矩图
(1) 求支反力；
(2) 建立坐标系 (一般以梁的左端点为原点 )；
(3) 分段 ?? 确定 控制面 ；
(4) 求出控制面上的 Q,M值；
(5) 根据 微分关系 连线，作出剪力图和弯矩图。
40
例 1
已知,简支梁
如图。
解,
求,利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。
(1) 求支反力
(2) 坐标系
x
Q Q
A B C
(3) 确定控制面
(4) 计算控制面的 Q和 M
2
qa
2/qa
2
qa
(5) 连线
x
41
? 作弯矩图
2
8
1 qa
2
8
1 qa
42
例 2
已知,悬臂梁
如图。
解,
求,利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。
(1) 求支反力,0?
DR 2qaM D ??
MD
RD
(2) 坐标系
(3) 确定控制面
x
(4) 计算控制面的 Q和 M
B处：,qaQ ?? 2/2qaM ??
43
MD
RD
x
(4) 计算控制
面的 Q和 M
B处,
,qaQ ??
2/2qaM ??
x
Q Q
(5) 连线 qa
D处,
,0?Q
2qaM ??
44
(4) 计算控制
面的 Q和 M
B处,
,qaQ ??
2/2qaM ??
? 弯矩图
2
2
1 qa 2qa
D处,
,0?Q
2qaM ??
45
例 3
已知,外伸梁
如图。
解,
求,利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。
(1) 求支反力,qaR
B ? qaR D ?
方向如图。
46
例 4 (上次的例 4 )
已知,外伸梁如图。
解,
求, 利用微分关系作剪力图和弯矩图。
(1) 求支反力
k N,10?AR kN5?BR
47
(2) 画 剪力图和弯矩图
END
48
例 5
( 书习题 4.13(a) )
已知,内力图。
解,
求,利用微分
关系找出图中
的错误并改正。
qaR A
4
1?
? 支反力
qaR B
4
7?
RA RB
2
4
5 qa
2
32
49 qa
49
例 6
( 书习题 4.16(a) )
已知,剪力图，且
梁上无集中力偶。
解,
求,载荷图和弯
矩图。
3kN
4kN
2kN 3kN
q=1kN/m
50
弯矩图 3kN
4kN
2kN 3kN
q=1kN/m
6kNm
4kNm 4.5kNm M
51
例 7 (书习题 4.19 )
已知, q,P。
解,
求,用 叠加法 作弯矩图。 RA R
B
RA1 RB1
RA2 RB2
l
PbqlR
A ?? 2
1
? 约束反力
l
PaqlR
B ?? 2
1
若梁分别受到这两种载
荷的作用,
52
RA RB
RA1 RB1
RA2 RB2
l
PbqlR
A ?? 2
1
? 约束反力
l
PaqlR
B ?? 2
1
若梁分别受到这两种载
荷的作用,
,
2
1
1 qlR A ?
,2
l
PbR
A ?
qlR B
2
1
1 ?
l
PaR
B ?2
53
RA RB
RA1 RB1
RA2 RB2
若梁分别受到这两种载
荷的作用,
,
2
1
1 qlR A ?
,2
l
PbR
A ?
qlR B
2
1
1 ?
l
PaR
B ?2
可以看出,
21 AAA RRR ??
21 BBB RRR ??
? 弯矩方程
54
RA RB
? 弯矩方程
AC段,
x
l
Pbqxq l xM ??? 2
2
1
2
1
CB段,2
2
1
2
1 qxql xM ?? )( xl
l
Pa ??
? 结论
在 小变形 的情况下，约束反力和内力都是外载
荷的 线性函数,可以使用 叠加法 。
? 叠加法作 弯矩图
55
? 叠加法作 弯矩图
+
=
+
=
5/2,5/3,lblaqlP ???
56
? 刚架的内力图
刚节点
刚节点
? 在连接两部分的
节点处夹角不变。
? 特点 内力分量中，除了剪力
和弯矩外，通常还有轴
力。
? 内力的正负号与观察位置
N N Q
Q 无关 无关
57
? 内力的正负号与观察位置
N N
Q
Q
有关
无关
无关
? 弯矩画在受压侧
58
(1) 可分段建立坐标系；
(2) 轴力、剪力画在内侧或
外侧均可，但需标出正
负号；
(3) 弯矩画在受压侧。
? 刚架内力图的画法
59
例 8 刚架
已知, q,a。
解,
求,内力图。
(1) 求支反力
(2) 求内力
结果如图。
BC段, Q
N
M
0?? X
0?N
0?? Y qaQ
2
1??
D
0)( ?? FDM xqaM ??
2
1
x
60
(2) 求内力
BC段,
0?N
qaQ
2
1??
xqaM ??
2
1
Q
N
M
D x
AC段,
0?? Y qaN
2
1?
0?? X qyqaQ ??
N
Q
M
y
0)( ?? FEM 2
2
1 qyyqaM ???
E
61
(2) 求内力
BC段, 0?N qaQ
2
1??
xqaM ??
2
1
AC段,
qaN
2
1? qyqaQ ??
2
2
1 qyyqaM ???
(3) 轴力图
Q (4) 剪力图 qa
2
1
qa
62
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
特点,
在刚节点处,弯矩值 连续 ;
BC段,
xqaM ??
2
1
AC段,
yqaM ??
2
2
1 qy?
Q qa
2
1
qa
M
2
2
1 qa
2
2
1 qa
63
特点,
在刚节点处,弯矩值 连续 ;
Q1
N1
M1
N2
Q2
M2
12 NQ ? 0?
21 NQ ??
0?? M0?? X
0?? Y 21 MM ?
可以利用刚节点的平衡,
对内力图进行校核。
64
§ 4,6 平面曲杆的弯曲内力
? 平面曲杆
平面曲杆的内力图的画法
与刚架的内力图的画法类
似。
轴线为平面曲线的杆或梁。
? 例子
已知, P,a 。
求,横截面上的内力及弯
矩图。
解, 取 m-n截面，取右段，受力如图。
65
? 例子
已知, P,a 。
求,横截面上的内力及弯
矩图。
解, 取 m-n截面，取右段,
受力如图。
x'
y'
o
?
? 0??? Y
?c o s2 P ?s inP? 0?? N
?? c o s2s in PPN ??
0??? X
Q??s in2 P ?c o sP? 0?
66
?? s in2c o s PPQ ??
x'
y'
o
?
?
?? c o s2s in PPN ??
0??? X
0?? Q?sinP ?c o sP?
0?? M
0)( ?? FoM
)c o s(2 ?aaP ??
?s inPa?
)c o s(2 ?aaPM ??
?s inPa?
曲杆的弯矩图如图。
67
谢 谢 大 家 !
