1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第二章
拉伸、压缩与剪切
（ 1）
2
第二章 拉伸、压缩与剪切
本章内容,
1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力
和应力
3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的
应力
4 材料在拉伸时的力学性能
5 材料在压缩时的力学性能
3
6 温度和时间对材料力学性能的影响
7 失效、安全系数和强度计算
8 轴向拉伸或压缩时的变形
9 轴向拉伸或压缩时的变形能
10 拉伸、压缩静不定问题
11 温度应力和装配应力
12 应力集中的概念
13 剪切和挤压的实用计算
4
§ 2,1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是受拉或受压的。
5
直杆 受拉或受压时的 特点,
? 受力特点,
F F
F F
? 变形特点,
这样的杆件称为拉（压）杆。
这样的力称为 轴向拉力 或 轴向压力 。
外力合力的作用线与杆轴线重合；
杆件变形主要是沿轴线方向的伸
长或缩短。
6
§ 2,2 轴向拉伸或压缩时
横截面上的内力和应力 1,内力
求内力的方法,截面法 。
例子
取截面 m-m
由平衡条件
可知,
内力的合力
作用线沿轴线
拉力为 正 ； 压力为 负 。
? 轴力图
?? 轴力 。
轴力的 正负号规定,
7
例 1
已知, F1=40kN,
F2=30kN,F3=20
kN。
解,
0?? X
1
1
2
2
3
3
F1 F2 F
3
A B C D
? 1-1截面，取右边，受力如图。
求, 1-1,2-2和 3-3截面的轴力,并作杆的轴力图 。
1
1
F1 F2 F
3
B C D
FN1
1 1 2 3F N F F F? ? ?
( k N )50?
? 2-2截面,取右边,受力如图。
2
2
F2 F
3
C D
FN2
8
0?? X
1
1
2
2
3
3
F1 F2 F
3
A B C D
FN3
2 2 3NF F F??
( k N )10?
? 2-2截面,取右边,受力如图。 2
2
F2 F
3
C D
FN2
? 3-3截面,取右边,受力如图。 3
3
F3
D 0?? X 33NFF?? ( k N )20??
? 轴力图
x
FN (kN)
50
10
20
1 5 0 ( k N )NF ?
9
例 2
已知, F=10kN,均布
轴向载荷 q =30kN/m,
杆长 l =1m。
解,建立坐标如图,
求,杆的轴力图 。
q F
A B
取 x处截面,取左边,受力如图
x
x F F
Nx
0?? X NxF q x F?? 1 0 3 0NxFx??
? 轴力图
x
FN (kN)
10
20
10
2,横截面上的 正 应力
根据轴力还不能确定杆的 强度 。
为了得到 正应力 分布规律，先研究杆件变形。
? 杆的 变形
变形后 a' b',c' d'
F F
F
a
b
d'
F a'
b'
c'
c
d
变形前 为 平面 的横截面，变形后仍保持为 平面,
而且仍垂直于轴线。
(1) 仍为直线 ;
(2) 仍互相平行且垂直于轴线 ;
? 平面 假设
11
F
?
N
F
a
b
d'
F a'
b'
c'
c
d
由平面假设
? 平面 假设
各纵向纤维
变形 相同
各纵向纤维
受力 相同
正应力在横截面上 均匀分布
横截面上分布的平行力系的合力应为轴力 N 。
NF ?
? 正应力公式
Ad? A???
A
NF
A
? ?
12
? 正应力公式
NF
A
? ?说明
? 此公式对受压的情况也成立；
? 正应力的正负号规定,
横截面上的正应力也近似为均匀
分布，可有,
? 对变截面杆,
?x ?x ?x ?x
()()
()
NFxx
Ax
? ?
当截面变化缓慢时,
13
? 杆端加载方式对正应力分布的影响
圣维南原理
若用与外力系静力等
效的合力代替原力系,
则这种代替对构件内应
力与应变的影响只限于
原力系作用区域附近 很
小的范围内。
对于杆件，此范围相当
于横向尺寸的 1～ 1.5倍。
即,离端面不远处，应力分布就成为均匀的。
14
例 3 旋转式吊车
已知, 角钢截面面为 10.86
cm2,P=130kN,? = 30?。
求, AB杆横截面上的应力。
解,
0?? Y
NAB
PN AB ??s in ( k N )260?ABN
(1) 求内力
NAC
取节点 A,受力如图。
P
? A AB杆各截面轴力相同。
A
N AB??
21086.10
102 6 0
4
3
??
??
?
( P a )107.1 1 9 6??
( M P a )7.1 1 9?
(2) 求 AB杆应力
15
§ 2,3 直杆 轴向拉伸或压缩时
斜截面上的应力
有时拉 (压 )杆件沿斜截面发生破坏。
? 横截面上的正应力, F F k
k
?
NF
A
? ? F
A
?
F F? k
k
? 斜截面 k-k
? 应力仍为均匀分布
? 内力仍为 F FF
? ?
? 斜截面面积, ?
? c o s/AA ?
因此，需要确定斜截面上的应力。
16
k
k
F F? ? 斜截面 k-k
? 应力仍为均匀分布
? 内力仍为 F FF
? ?
? 斜截面面积, ?
? c o s/AA ?
? 斜截面上的全应力,
Fp
A
?
?
?
? F
A?
?
p?
??
t?
?
c o sF
A
?? ?? c o s?
?
? 斜截面上的正应力和切应力
?? ?? c o sp? ?? 2c o s?
?t ?? s inp? ??? c o ss in?
?? 2s in
2
?
17
p?
??
t?
? ?
? ?角斜截面上的正应力和切应力
??? ? 2c o s?
??t ? 2s in
2
?
? 正负号规定
? ?的 正负号,
? t?的 正负号,
从横截面的法线到斜截面的法
线,逆时针 为 正, 顺时针 为 负 。
? ??的 正负号, 拉应力 为 正, 压应力 为 负 。
绕所保留的截面,顺 时针 为 正,
逆 时针 为 负 。
? 讨论
18
F?
??
t?
? ?
? ?角斜截面上的正应力和切应力
??? ? 2c o s?
??t ? 2s in
2
?
? 讨论
? ?=0?时 (横截面 ),
m a x?? ?? ? 0??t
? ?=45? (斜截面 ):,
2
??
? ? m a x?? tt ?
,??
2
??
? ?=90? (纵向截面 ):,0?
?? 0??t
? 结论, ?max 发生在 横截面 上,
tmax发生在 ?=45?斜截面 上,
?? ?m a x
2/m a x ?t ?
19
§ 2,4 材料在 拉伸时的力学性能
材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面
的特性称材料的 力学性能,也称 机械性质 。
研究材料的力学性能的目的是确定材料的一些
重要 性能指标,以作为计算材料 强度, 刚度 和
选用材料的依据。
材料的机械性质通过 试验 测定，通常为 常温静
载试验 。试验方法应按照国家标准进行。
? 试件和试验设备
? 试件 l ?? 标距
d ?? 直径
20
? 试件和试验设备
? 试件 l ?? 标距
d ?? 直径
l = 10d
?? 长试件；
l = 5d
?? 短试件。
? 试验设备
液压式试验机
电子拉力试验机
21
一,低碳钢拉伸时的力学性能
工程上常用的材料品种很多，材力中主要讨论
塑性材料
脆性材料
? 拉伸图
?? 典型代表, 低碳钢 金属材料 。
?? 典型代表, 铸铁
22
? 拉伸图 ? ? -? 曲线
23
? ? -? 曲线
1 弹性阶段
(ob段 )
oa段, 为直线
直线 斜率,
?ta n?E
?? E?
这就是著名的 胡克定律 。
E ? 弹性模量,具有应力的量纲,常用单位, GPa
a点的应力,
比例极限 ?P
当 ? < ?P 时成立。
24
ab段,
不再是直线。
在 b点以下,
卸载后变形
可以完全恢
复。
? 弹性变形
b点的应力,
弹性极限 ?e
当应力超过 ?e 时，将产生 塑性变形 。
屈服极限 ?s 2 屈服阶段 (bc段 ) ? 强度的重要指标
25
恢复抵抗变
形的能力
?? 强化。
e点的应力,
强度极限 ?b
3 强化阶段
4 局部变形阶段 (ef 段 )
(ce段 )
?? 强度的
另一重要指标。
颈缩现象。 名义应力
A
P?? 下降。
26
5 延伸率和断面收缩率
为度量材料塑性变形的能力，定义两个指标。
? 延伸率
%10 01 ???
l
ll?
这里,l为试件标线间的标距,l1为试件拉断后
量得的标线间的长度。
? 断面收缩率 %1 001 ???
A
AA?
这里,A为试件原横截面面积,A1为试件拉断
后颈缩处的最小截面面积。
通常,? ? 5% 的材料，为塑性材料；
? ? 5% 的材料，为脆性材料。
27
6 卸载定律和冷作硬化
? 卸载过程
? 卸载后 再加载
dd'为直线
dd' // ao
gddoog ????
d'g ??
弹性应变；
od' ??
塑性应变。
先沿 d'd 直线,然后沿 def曲线。
在 d'd 段满足胡克定律。
28
? 卸载后 再加载 先沿 d'd 直线,然后沿 def曲线。
在 d'd 段 满足 胡克定律 。
? 冷作硬化
材料进入强化
阶段以后的卸
载再加载历史,
使材料的比例
极限提高，而
塑性变形能力
降低，这一现
象称为 冷作硬
化 。
29
二、其它塑性材料拉
伸时的力学性能
? 名义屈服极限
与低碳钢相比
共同之处,
断裂破坏前经历较大
的塑性变形；
不同之处,
有的没有明显的四个
阶段。
合金钢 20Cr
高碳钢 T10A
螺纹钢 16Mn
低碳钢 A3
黄铜 H62
30
对于没有明显的屈服
阶段的塑性材料，工
程上规定, 用产生 0.2
%塑性应变时的应力
作屈服指标，称为 名
义屈服极限,用 ?P0.2
表示。
? 名义屈服极限
?P0.2
31
三、铸铁拉伸时的力学性能
32
? 抗拉强度很低。
? 特点,
? 无屈服过程；
? 拉断前，塑性变
形很小；
? b
? 弹性模量
割线弹性模量
? 强度指标,
强度极限 ?b
? -? 曲线
33
§ 2,5 材料在压缩 时的力学性能
? E,?s与拉伸
时大致相同。
? 因越压越扁,
得不到 ?b 。
金属的 压缩试件, 短圆柱，其高度与直径之比为
1,低碳钢压缩
时的 ? -? 曲线
1.5~3。
34
2,铸铁压缩时的 ? -? 曲线
? 抗压 强度极
限 比 抗拉 强度
极限 高 4~5倍。
? 破坏断面与
轴线大约成
45?~55?的倾
角。
35
? 小结
比例极限 ?P
弹性极限 ?e
屈服极限 ?s
强度极限 ?b
? 弹性模量 E
延伸率 ?,断面收缩率 ?
? 材料的力学性能指标
? 塑性材料 抗拉强度 和 抗压强度 相同。
? 脆性材料 抗压强度 远大于 抗拉强度 。
? 弹性指标
? 强度指标
? 塑性指标
名义屈服极限 ?P0.2
36
几
种
常
用
材
料
的
主
要
力
学
性
能
37
§ 2,6 温度和时间对材料 力学性能的影响
1、高温对材料的力学性能有影响 ;
2、长期在高温下工作的构件，会产生 蠕变
和 松弛 ;
3,蠕变,应力保持不变，应变随时间增加
而增加的现象 ;
4,松弛,应变保持不变，应力随时间增加
而降低的现象。
几个概念,
38
§ 2,7 失效、安全系数和强度计算
1 失效
失效 — 由于材料的力学行为而使构件丧失正
常功能的现象。
? 强度失效 ? 由于 断裂 或 屈服 引起的失效
? 刚度失效 ? 由于 过量的弹性变形 引起的失效
? 屈曲失效 (失稳 )
? 由于 突然失去平衡状态 而引起的失效
? 其它失效形式
? 疲劳失效 ? 蠕变失效 ? 松弛失效
39
2 拉压构件材料的强度失效判据
? 塑性材料 以屈服极限 ?s 为失效判据
? 脆性材料
受拉时：以强度极限 ?b拉 为失效判据 ;
受压时：以强度极限 ?b压 为失效判据。
3 许用应力与安全系数
? 塑性材料
? 脆性材料
ns ? 塑性材料的
安全系数 s
s
n
?? ?][
b
b
n
?? ?][ nb ? 脆性材料的
安全系数
40
3 许用应力与安全系数
? 塑性材料 ? 脆性材料
s
s
n
?? ?][
b
b
n
?? ?][
? 安全系数的确定
?材料素质（质量、均匀性、塑性、脆性）；
?载荷情况（峰值载荷、动静、不可预见性 )；
?构件简化过程和计算方法的精确度；
?零件的重要性、制造维修的难易程度；
?减轻重量（飞机、手提设备等）。
塑性材料,ns = 1.2 ~ 2.5
脆性材料,nb = 2 ~ 3.5
一般地,
41
4 拉压构件的强度条件
A
N m a x
m a x ??
注意：对于非等直杆,?max 还与截面积 A有关。
? 强度问题的三种类型
? 强度校核
? 截面设计
? 确定许可载荷
][??
A
N m a x
m a x ?? ][??
][
m a x
?
NA ?
][m a x ?AN ?
42
例 1 (上次课的例 3)
已知, 角钢截面面为 10.86
cm2,P =130kN,? = 30?。
角钢的 [?]=150 MPa。
求,校核 AB杆的强度。
解,已求出 AB杆的应力
A
N AB??
][?? ?
( M P a )7.1 1 9?
显然有,
所以 AB杆满足强度要求。
讨论,若 P=150kN，则,
M P a3.1 6 1?? ][??
43
讨论,
若 P=150kN，则,
M P a3.1 6 1?? ][??
强度不足，应重新设计。
? 减小 P的值
? 增大 AB杆的面积
? 工程中允许工作应力 ? 略大于许用应力 [?],
但不得超过 [?]的 5% 。
44
例 2 气动夹具 (书例 2.4)
解,取杆,受力如图。
2
4
DpP ???
PN ?
kN24.9?
轴力
已知, D＝ 140mm,
p = 0.6MPa,20钢,
[?] = 80MPa。
求,活塞杆直径 d,
P P
][?
NA ?
近似地
kN24.9?
所以
24 m1016.1 ???
P N
45
)(
4
22 dDpP ??? ?
A
P??
P P
][?
NA ?
所以
24 m1016.1 ???
4
2d
A ??而
m0 1 2 2.0?d
取 1 2, 1 m md ?
?再校核 kN023.9?
7 9, 7 2 M P a? M P a80? ][??
满足强度条件 1 2, 1 m md ?,所以就取,
46
例 3 杆系结构
解,?求轴力
已知, 杆 AB,AC材料相
同,[?] = 160 MPa,A1＝
706.9 mm2,A2＝ 314 mm2,
求,许可载荷 P。
取节点 A，受力如图。
0?? X ?? 30s in1N
0?? Y ?30c o s1N
?45s in2N
31
2
1 ??
PN P732.0?
?? 45c o s2N P?
47
0?? X ?? 30s in1N
0?? Y PNN ???? 45c o s30c o s 21
?? 45s in2N
31
2
1 ??
PN
31
2
2 ??
PNP732.0? P518.0?
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113? kN1.113732.0 ?P
kN5.1 5 41 ?P
(1)
][22 ??? AN kN3.50? kN3.505 1 8.0 ?P
kN1.972 ?P
(2)
所以，许可载荷 P的值应为,kN1.97?P
48
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113? kN1.113732.0 ?P
kN5.1 5 41 ?P
(1)
][22 ??? AN kN3.50? kN3.505 1 8.0 ?P
kN1.972 ?P
(2)
所以，许可载荷 P的值应为,kN1.97?P
? 法二
? 列出平衡方程同前
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113?(1) kN1.113m a x1 ?N
][22 ??? AN kN3.50?(2) kN3.50m a x2 ?N
49
? 法二
? 列出平衡方程同前
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113?(1) kN1.113m a x1 ?N
][22 ??? AN kN3.50?
(2)
kN3.50m a x2 ?N
将上两式代入平衡方程，可解出许可载荷 P,
kN5.1 3 3?P显然，与前一种方法解出的 P = 97.1 kN 不同。
为什么？ 哪一种方法不正确？ 错在哪里？
两杆中的内力，并 不一定 第二种方法不正确。
同时达到 最大允许轴力。
50
§ 2,8 轴向 拉伸或压缩时的变形
1,轴向变形
? 直杆轴向拉压时变形的特点
轴向变形量
下面建立 变形 与 力 之间的关系
lll ??? 1
? 应变
l
l???
51
1,轴向 变形
轴向变形量
lll ??? 1
? 应变
l
l??? ? 应力
A
N??
? 应力 -应变关系 ?? E?
A
N
EA
Nll ??
l
lE ??
EA
Pl? ?? 胡克定律的
另一种形式
EA ?? 抗拉 (或抗压 )刚度
注意,上式只在应力不超过比例极限时成立。
52
2,横向 变形
横向变形量
bbb ??? 1
? 横向应变
b
b????
? 试验证明
?
?
? ??
??? ???上式也可写成,
? ?? 泊松比 或横向变形系数。
当应力不超过比例极限时，有,
53
几种常用材料的 E和 ?的约值 (表 2,2)
54
3,变截面杆的轴向变形
取一微段,
?? )(d l
积分得,
微段的伸长
)(
d)(
xEA
xxN
??? l xEA xxNl )( d)(
55
例 1 变截面杆
已知, BD段 A1=2cm2,
AD段 A2=4cm2,P1=5kN,
P2=10kN,E=120GPa 。
图中尺寸为 cm。
求, AB杆的变形。
解,
( k N )51 ??N
(1) 求轴力
BD段
N1
( k N )52 ??NCD段
N2
( k N )53 ?NAC段
N3
56
( k N )51 ??N
(1) 求轴力
BD段
( k N )52 ??NCD段
( k N )53 ?NAC段
(2) 求变形
1
11
EA
lNl
BD ?? 49
3
10210120
5.0105
????
???? )m(1005.1 4????
2
22
EA
lNl
CD ?? 49
3
10410120
5.0105
????
???? )m(1052.0 4????
3
33
EA
lNl
AC ?? 49
3
10410120
5.0105
????
??? )m(1052.0 4???
57
(2) 求变形
1
11
EA
lNl
BD ?? 49
3
10210120
5.0105
????
???? )m(1005.1 4????
2
22
EA
lNl
CD ?? 49
3
10410120
5.0105
????
???? )m(1052.0 4????
3
33
EA
lNl
AC ?? 49
3
10410120
5.0105
????
??? )m(1052.0 4???
AB杆的变形
ACCDBDAB llll ???????
)m(1005.1 4????
58
例 2 (书例 2,7)
已知, BC杆, d=20mm,
BD杆, 8号槽钢。 [?]= 160
MPa,E=200GPa,P=60kN。
求,校核强度及 B点位移。
解,
( k N )451 ?N
(1) 求轴力
取 B点
( k N )752 ?N
(拉 )
261 m103 1 4 ???ABC杆面积
(压 )
(2) 计算应力
262 m108.1 0 2 4 ???ABD杆面积 查型钢表 (p.414)得
59
261 m103 1 4 ???ABC杆面积
(2) 计算应力
262 m108.1 0 2 4 ???A
BD杆面积 查型钢表 得 (p,414)
应力
M P a1 43
1
1
1 ?? A
N?
M P a1 6 0][ ???
M Pa2.73
2
2
2 ?? A
N? M P a1 6 0][ ???
11 BBl ??
BC杆变形
(3) 计算杆的变形
1
11
EA
lN? m1086.0 3???
60
11 BBl ??
BC杆变形
(3) 计算杆的变形
1
11
EA
lN? m1086.0 3???
m22 ?? DBlBD杆变形
2
22
EA
lN? m107 3 2.0 3???
(4) 计算 B点位移
? 确定变形后 B点的位置 B3
22 BBl ??
? B点水平位移
11 lBB ?? m1086.0
3???
61
(4) 计算 B点位移
? 确定变形后 B点的位置 B3
? B点水平位移
11 lBB ?? m1086.0
3???
? B点垂直位移
?31 BB 41BB 34 BB?
?s in2BB? ?cot42 BB?
?s in2l?? ?c o s( 2BB? )1BB? ?cot
?s in2l?? ?c o s( 2l?? )1l?? ?cot
,5/4s in ?? 4/3c o t ??,5/3c o s ??
?31 BB m1056.1 3?? ?3BB m1078.1 3??
62
§ 2,9 轴向 拉伸或压缩的变形能
弹性体在外力作用下，因变形而储存
的能量称为变形能（或应变能）。
1 变形能
? 力的功
当应力小于
比例极限时
? 力的元功
P
l
?l
)d(d lPW ??
)(d10 lPW l ??? ?
?力的总功
lPW ??
2
1
P
dP
拉伸曲线 P
?l d(?l)
?l1
P 1
?l
63
当应力小于
比例极限时
P
l
?l
)(d10 lPW l ??? ?
?力的总功
lPW ??
2
1
P
dP
拉伸曲线 P
?l d(?l)
?l1
P 1
?l
? 变形能
WU ? lP ??
2
1由能量守恒原理
64
单位体积内的变形能 。
2 比能 (应变能密度 )
zy dd?
?
d?
拉伸曲线 ?
? d?
?1
? 1
?
单元体上下
两面的 力为,
当应力有一个增量 d? 时,
x方向伸长的 增量为,
取一单元体,?
dx
dy
dz
?
x方向的伸长 为, xd?
xdd ?
则元功为, zy dd?
力所作的功为,
xzyW ddddd 10 ??? ???
xdd ??
65
?
d?
拉伸曲线 ?
? d?
?1
? 1
?
?
dx
dy
dz
? 则力所作的功为,
xzyW ddddd 10 ??? ???
Vdd10 ?????
Vd)d( 10 ?????
所以, WU dd ? Vd)d(
10 ?????
比能,
V
Uu
d
d? ??? d
10??
当应力小于比例极限时 ??
2
1?u
66
比能,
V
Uu
d
d? ??? d
10??
当应力小于比例极限时
??
2
1?u
由胡克定律 ?? E?
2
2
1 ?Eu ? 或,
E
u
2
2?
?
? 由比能求应变能
? 应力分布 均匀 时 uVU ?
? 应力分布 不 均匀 时
?? V VuU d
67
? 推广到多杆系统 ?
?
?
n
i ii
ii
AE
lN
U
1
2
2
2 2 2
22 2 2
N A l N lU u V V
E E A E A
?? ? ? ?
? 应力分布 均匀 时
WU ? lP ??
2
1由能量守恒原理
有 2
1
1
22
n
ii
i ii
Nl
Pl
EA?
?? ?
68
例 3 (书例 2,9)
解,
已知, BD杆外径 90mm，壁
厚 2.5mm，杆长 l=3m。 E =
210 GPa。 BC是两条钢索,
每根截面积 172 mm2,E1=
177GPa。 P = 30kN,不考虑
立柱变形。
求, B点垂直位移。
解三角形得 BC=l1=2.20m,CD=1.55m
BC,BD的 截面积分别为
A1＝ 344mm2,A=687mm2
取 B点，受力如图,
69
取 B点，受力如图,
N1?1.41P,N2?1.93P
N1
P N2
外力 P所作的功等于 BC及 BD
杆的变形能，所以
P ?
?PW
2
1?
11
1
2
1
2 AE
lN
?
EA
lN
2
2
2?
P31093.14 ???? m1048.4 3???
70
§ 2,10 拉伸、压缩静不定问题
?静定问题 —— 未知力（内力或外力）个
数等于独立的平衡方程数 ;
?静不定问题 —— 未知力个数多于独立 的平
衡方程数 ;
?静不定次数 —— 未知力个数与独立平衡方程
数之差，也称静不定度数 ;
?多余约束 —— 保持结构静定 多余的约束。
? 关于静不定的基本概念
71
?静力平衡方程 －力的平衡关系。
?变形协调方程 － 变形与约束的协调关系。
?物理关系 － 力与变形的关系。
? 求解静不定问题的基本方法
例 1 (书 p.50)
已知, 1,2杆相同，抗拉
刚度为 E1A1,3杆的抗拉
刚度为 E3A3,长为 l,?角。
求,各杆的内力。
P
2 1 3
A
D C B
??
l
静不定的次数？ 1次 静不定。 解,
72
例 1 (书 p.50)
已知, 1,2杆相同，抗拉
刚度为 E1A1,3杆的抗拉
刚度为 E3A3,长为 l,?角。
求,各杆的内力。
P
2 1 3
A
D C B
??
l
解,
(1) 静平衡方程
取 A点，受力如图。
y
x
P
N3
N1 ?N2 ?
0?? X 0s ins in 21 ?? ?? NN
21 NN ?
0?? Y 0c o s2 13 ??? PNN ?
静不定次数？ 1次。
73
2 1 3
A
D C B
??
(1) 静平衡方程
21 NN ?
0c o s2 13 ??? PNN ?
?l1
?l2 ?
A'
?
(2) 变形协调方程
?l3
21 ll ??? 2
1 3
A
D C B
??
?l1 ?l2 ?
A'
?
?l3
?c o s3l??法二
(3) 物理关系
?? 1l
?c os11
1
AE
lN
(1)
(2)
(3)
74
(1) 静平衡方程
21 NN ?
0c o s2 13 ??? PNN ?
(2) 变形协调方程
21 ll ??? ?c o s3l??
(3) 物理关系 ??
1l
?c os11
1
AE
lN
?? 3l
33
3
AE
lN
物理关系代入变形协调方程
?c os11
1
AE
lN
?c os
33
3
AE
lN
?
与平衡方程联立，可解出,
(1)
(2)
(3)
(4)
75
(1) 静平衡方程
21 NN ?
0c o s2 13 ??? PNN ?
物理关系代入变形协调方程
?c os11
1
AE
lN
?c os
33
3
AE
lN
?
与平衡方程联立，可解出,
,
c o s2
c o s
11
333
2
21
AE
AE
P
NN
?
??
?
?
?
3
33
11
3
c o s21
AE
AE
P
N
?
?
(1)
(2)
(4)
76
例 2
已知,等直杆,EA,P;a,b。
求,两端的约束反力。
解,
(1) 静平衡方程
取杆，受力如图。
0?? Y PRR ?? 21
A
C
B
P
a
b
P
R2
R1
(2) 变形协调方程
ACl?
而 AB杆总长度不变,
AC段受拉，拉伸变形为
BCAC ll ???
BCl?
BC段受压，压缩变形为
所以
静不定次数？ 1次。
77
(1) 静平衡方程
PRR ?? 21 A
C
B
P
a
b
P
R2
R1
(2) 变形协调方程
1RN AC ?
AC段轴力
BCAC ll ???
BC段轴力
所以
(3) 物理关系
2RN BC ?
?? ACl
EA
aN AC ??
BCl EA
bN BC,1
EA
aR?
EA
bR 2?
由物理关系和 变形协调方程，得 bRaR
21 ?
78
(1) 静平衡方程
PRR ?? 21 A
C
B
P
a
b
P
R2
R1
(2) 变形协调方程
BCAC ll ???
(3) 物理关系
?? ACl ?? BCl,1
EA
aR
EA
bR2
由物理关系和变形协调方程，得 bRaR
21 ?
与平衡方程联立，解得,
,1
ba
PaR
?
?
ba
PbR
?
?2
79
例 3 (书例 2,11)
已知, AB为刚性梁,1,
2两杆的横截面面积相等,
材料相同,P力已知。
求, 1,2两杆的内力。
解, 静不定次数？
(1) 静平衡方程
1次。
取 AB杆，受力如图。
0)( ?? FAM
FAy
FAx
N1 N2
032c o s21 ???? aPaNaN ?
03cos2 21 ??? PNN ?
80
FAy
FAx
N1 N2
(2) 变形协调方程
12 l???
(1) 静平衡方程
?l1 ?l2
?
?? c o s2 ?? l
?
1
2 2
c os
ll ???
?
03cos2 21 ??? PNN ?
(3) 物理关系
?? 1l,1
EA
lN ??
2l ?c os
2
EA
lN
81
FAy
FAx
N1 N2
(2) 变形协调方程
(1) 静平衡方程
1
2 2
c os
ll ???
?
03cos2 21 ??? PNN ?
(3) 物理关系
?? 1l,1
EA
lN ??
2l ?c os
2
EA
lN
联立解出
,
1c o s4
3
31 ?? ?
PN
1c o s4
c o s6
3
2
2 ?? ?
?PN
82
§ 2,11 温度应力与装配应力
1,温度应力
由于温度变化引起的应力，称为 温度应力
或 热应力 。
温度应力仅存在于静不定结构中。
– 化工管道
– 桥梁
– 裸露的输气管及水管
? 由温度引起的变形 lTl
T ???? ?
其中,?为材料的线膨胀系数； ?T为温度
变化值； l为杆的长度。
83
? 由温度引起的变形 lTl
T ???? ?
碳钢的 线膨胀系数, ? = 12.5 x 10-6 (1/ ?C)
例 4
已知, ? = 12.5 x10-6
(1/ ?C), E=200GPa。
求,温度应力。
解, 取杆，受力如图。
(1) 静平衡方程
BA RR ?
其中,?为材料的线膨胀系数； ?T为温度
变化值； l为杆的长度。
84
例 4
已知, ? = 12.5 x10-6
(1/ ?C), E=200GPa。
求,温度应力。
解, 取杆，受力如图。
(1) 静平衡方程
BA RR ?
(2) 变形协调方程
RT ll ???
(3) 物理关系
,lTl T ???? ?
EA
lRl B
R ??
lT ???
EA
lR B? TEAR
B ?? ?
85
(1) 静平衡方程
BA RR ?
(2) 变形协调方程
RT ll ???
(3) 物理关系
,lTl T ???? ?
EA
lRl B
R ??
lT ???
EA
lR B? TEAR
B ?? ?
A
R B
T ??
TE ?? ? M P a5.2 T??
当 ?T =80?C 时,M P a2 0 0?
T?
而低碳钢的 ?s仅 235MPa，许用应力 [?]通常仅
120 MPa 左右。所以温度应力是非常大的。
86
伸缩节
波纹管伸缩节
87
伸缩缝
火车钢轨伸缩缝
梳状伸缩缝 叠合伸缩缝
88
江阴长江大桥的伸缩缝
伸缩缝
当温度从 -20 ?C到 60 ?C时，桥面伸长将达 1.34m
89
例 5 (书例 2,12)
已知, ACB为刚性杆,
钢杆 AD的 A1=100mm2,
l1=330mm,E1= 200
GPa,?1=12.5?10-6/?C;
铜杆 BE的 A2=200mm2,
l2=220mm,E2=100
GPa,?2=16.5?10-6/?C,
温升 30 ?C。
求, 两杆的轴力。
解, (1) 静平衡方程
取 AB杆，受力如图。
0)( ?? FCM 150240 21 NN ?
90
(1) 静平衡方程
150240 21 NN ?
(2) 变形协调方程
11 llAA T ?????
A'
B'
TllBB 22 ?????
150
240?
?
?
BB
AA
150
240
22
11 ?
???
???
T
T
ll
ll
(3) 物理关系
111 lTl T ???? ? m101 2 4 6???
91
(1) 静平衡方程
150240 21 NN ?
(2) 变形协调方程
150
240
22
11 ?
???
???
T
T
ll
ll
(3) 物理关系
111 lTl T ???? ? m101 2 4 6???
222 lTl T ???? ? m101 0 9 6???
11
11
1 AE
lNl ??
16100165.0 N???
22
22
2 AE
lNl ??
2610011.0 N???
联立解得, k N,68.6
1 ?N kN7.6102 ?N
结果为正,
表示两杆
的确受压。
92
2,装配应力
由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构
存在应力，称 装配应力 。
装配应力仅存在于静不定结构中。
已知, 三杆长为 l,
截面积、材料均相
同，中间杆短于名
义长度,加工误差
为 ?= l / 2000。
求, 装配 应力。
例 6 (书例 2,13)
93
已知, 三杆长为 l,
截面积、材料均相
同，中间杆短于名
义长度,加工误差
为 ?= l / 2000。
求, 装配 应力。
解, 分析变形。
(1) 静平衡方程
212 NN ?
例 6 (书例 2,13)
取螺栓，受力如图。
(2) 变形协调方程
????? 21 ll
2000
l?
94
(1) 静平衡方程
212 NN ?
(2) 变形协调方程
????? 21 ll
2000
l?
(3) 物理关系
,11
EA
lNl ??
EA
lNl 2
2 ??
联立解得,
,
60 001
EAN ?
30002
EAN ?
M P a,3.331 ?? M P a7.662 ??
95
§ 2,12 应力集中的概念
由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应
力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平
均值的应力，这种现象称为 应力集中 。
96
? 应力集中与圣维南原理
? 理论应力集中系数
?
? m a x?k
这里,?为截面上的平均应力。
k 的值可以查手册。
当宽度远大于圆孔直径时,k = 3。
97
? 应力集中的影响
? 静载荷时
? 塑性材料 —— 产生屈服后，应力重新分配。
应力趋于平均。
这种情况下，可不考
虑应力集中的影响。
98
? 静载荷时
? 塑性材料 —— 产生屈服后，应力重新分配,
应力趋于平均。
这种情况下，可 不考虑 应力集中的影响。
? 脆性材料 —— 应力集中部位的应力首先达
到强度极限而破坏。
应力集中的 危害严重 。
? 灰口铸铁 —— 内部缺陷是产生应
力集中的 主要因素,外形变化是
次要因素 。
? 动载荷时
99
? 动载荷时
在交变应力或冲击载荷作用下，应力集中对
塑性材料和脆性材料的强度都有严重影响。
? 塑性材料 －在交变应力作用下，应力集中部
位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。
100
§ 2,13 剪切与挤压的实用计算
1,剪切的实用计算
? 钢杆的受剪
101
? 键的受剪
102
? 剪切件的特点
? 受力的特点
杆件两侧作用有两个大
小相等，方向相反，作
用线相距很近的外力。
? 变形的特点
两外力作用线间的截面
发生错动。
? 剪力
受剪面 上的剪力
PQ ?
103
? 剪力
简化假设, 切应力在 受剪面 上 均匀 分布。
受剪面 上的剪力
PQ ?
? 切应力计算
A
Q?t名义切应力, 受剪面的面积。
? 强度条件
A
Q?t ][t?
104
例 1 (书例 2,14)
已知, 插销材
料为 20钢,[t]
=30MPa，直径
d=20mm,t = 8
mm,1.5t =12
mm,P =15kN。
求, 校核插销的剪切强度,
解, 插销受力如图。
具有两个剪切面,双剪问题 。
取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。
105
解, 插销受力如图。
具有两个剪切面,
0?? X 2/PQ ?
双剪问题 。
取两个剪切面之间的杆为研究
对象，受力如图。
剪切面的面积
4
2d
A
?
?
A
Q?t M P a9.23? M P a30][ ?? t
结论：满足剪切强度要求。
106
例 2 (书例 2,15)
已知,钢板厚 t =10mm,
其剪切极限应力 tu=300
MPa。
求, 要冲出直径 d =25
mm的孔，需多大冲剪
力 P？
解, 剪切面是哪一个面？
剪切面的面积
tdA ?? ? 2mm785?
uAP t? kN236?
107
2,挤压的实用计算
? 挤压
? 接触面上由于挤
压力太大而产生
塑性变形，形成
的破坏称 挤压破
坏 。
连接件和被连接件接触面相互压紧的现象 。
? 应力分布
? 简化假设
108
? 简化假设
应力在 挤压面 上 均匀
分布。
? 挤压应力
有效挤压面 面积等于实际 挤压面面积在垂直于
总挤压力作用线的平面上的投影。
bs
bs A
P??
挤压面上传递的力
有效挤压面 的面积。
? 有效挤压面 面积的计算
109
实际挤压面
有效挤压面 面积等于实际 挤压面面积在垂直于
总挤压力作用线的平面上的投影。
? 有效挤压面 面积的计算
有效挤压面
对 圆截面杆,
tdA bs ??
110
对 圆截面杆,
tdA bs ??
对 平键,
lhA bs ??
2
1
? 挤压强度条件
bs
bs A
P?? ][
bs??
许用挤压应力通常大于许用
应力，一般地
])[2~7.1(][ ?? ?bs
111
例 3 (书例 2,16)
已知, d=70mm,键的尺寸为 b?h?l
=20?12?100mm，力偶 m= 2 kNm,
键的 [t]=60 MPa,[?bs]=100 MPa。
求,校核键的强度。
解, 1) 校核键的 剪切 强度
? 剪切面上的剪力
? ? 0)( FOM mdQ ?? 2/
取键的下半部分和轴，受力如图 Foy
Fox
d
mQ 2?
112
Foy
Fox
1) 校核键的 剪切 强度
? 剪切面上的剪力
? ? 0)( FOM mdQ ?? 2/
取键的下半部分和轴，受力如图
d
mQ 2?
? 剪切面 的面积
blA ?
? 切应力
A
Q?t
bld
m
?
? 2
113
Foy
Fox
? 切应力
A
Q?t
bld
m
?
? 2 M P a6.28?
M P a60][ ?t?
满足剪切强度要求。
2) 校核键的挤压强度
? 挤压力
取键的上半部
分，受力如图
QP ?
114
2) 校核键的挤压强度
? 挤压力
取键的上半部分，受力如图
QP ?
? 有效挤压面 hlA
bs 2
1?
? 挤压应力
bs
bs A
P
?? M P a3.95?
][ bs??
满足挤压强度要求。
115
例 4 (书例 2,17)
题目同书例 2,14
已知, [t] =30
MPa，直径 d =
20 mm,t = 8mm,
1.5t =12 mm,P =
解, 插销受力如图。
中段较危险,应校核中段的强度。
15kN。 [?bs] = 100 MPa。
求, 校核挤压强度,
? 有效挤压面 tdA
bs 5.1??
116
? 有效挤压面 tdA
bs 5.1??
? 挤压应力
bs
bs A
P
?? M P a5.62? ][ bs??
满足挤压强度要求。
117
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第二章
拉伸、压缩与剪切
（ 1）
2
第二章 拉伸、压缩与剪切
本章内容,
1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力
和应力
3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的
应力
4 材料在拉伸时的力学性能
5 材料在压缩时的力学性能
3
6 温度和时间对材料力学性能的影响
7 失效、安全系数和强度计算
8 轴向拉伸或压缩时的变形
9 轴向拉伸或压缩时的变形能
10 拉伸、压缩静不定问题
11 温度应力和装配应力
12 应力集中的概念
13 剪切和挤压的实用计算
4
§ 2,1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是受拉或受压的。
5
直杆 受拉或受压时的 特点,
? 受力特点,
F F
F F
? 变形特点,
这样的杆件称为拉（压）杆。
这样的力称为 轴向拉力 或 轴向压力 。
外力合力的作用线与杆轴线重合；
杆件变形主要是沿轴线方向的伸
长或缩短。
6
§ 2,2 轴向拉伸或压缩时
横截面上的内力和应力 1,内力
求内力的方法,截面法 。
例子
取截面 m-m
由平衡条件
可知,
内力的合力
作用线沿轴线
拉力为 正 ； 压力为 负 。
? 轴力图
?? 轴力 。
轴力的 正负号规定,
7
例 1
已知, F1=40kN,
F2=30kN,F3=20
kN。
解,
0?? X
1
1
2
2
3
3
F1 F2 F
3
A B C D
? 1-1截面，取右边，受力如图。
求, 1-1,2-2和 3-3截面的轴力,并作杆的轴力图 。
1
1
F1 F2 F
3
B C D
FN1
1 1 2 3F N F F F? ? ?
( k N )50?
? 2-2截面,取右边,受力如图。
2
2
F2 F
3
C D
FN2
8
0?? X
1
1
2
2
3
3
F1 F2 F
3
A B C D
FN3
2 2 3NF F F??
( k N )10?
? 2-2截面,取右边,受力如图。 2
2
F2 F
3
C D
FN2
? 3-3截面,取右边,受力如图。 3
3
F3
D 0?? X 33NFF?? ( k N )20??
? 轴力图
x
FN (kN)
50
10
20
1 5 0 ( k N )NF ?
9
例 2
已知, F=10kN,均布
轴向载荷 q =30kN/m,
杆长 l =1m。
解,建立坐标如图,
求,杆的轴力图 。
q F
A B
取 x处截面,取左边,受力如图
x
x F F
Nx
0?? X NxF q x F?? 1 0 3 0NxFx??
? 轴力图
x
FN (kN)
10
20
10
2,横截面上的 正 应力
根据轴力还不能确定杆的 强度 。
为了得到 正应力 分布规律，先研究杆件变形。
? 杆的 变形
变形后 a' b',c' d'
F F
F
a
b
d'
F a'
b'
c'
c
d
变形前 为 平面 的横截面，变形后仍保持为 平面,
而且仍垂直于轴线。
(1) 仍为直线 ;
(2) 仍互相平行且垂直于轴线 ;
? 平面 假设
11
F
?
N
F
a
b
d'
F a'
b'
c'
c
d
由平面假设
? 平面 假设
各纵向纤维
变形 相同
各纵向纤维
受力 相同
正应力在横截面上 均匀分布
横截面上分布的平行力系的合力应为轴力 N 。
NF ?
? 正应力公式
Ad? A???
A
NF
A
? ?
12
? 正应力公式
NF
A
? ?说明
? 此公式对受压的情况也成立；
? 正应力的正负号规定,
横截面上的正应力也近似为均匀
分布，可有,
? 对变截面杆,
?x ?x ?x ?x
()()
()
NFxx
Ax
? ?
当截面变化缓慢时,
13
? 杆端加载方式对正应力分布的影响
圣维南原理
若用与外力系静力等
效的合力代替原力系,
则这种代替对构件内应
力与应变的影响只限于
原力系作用区域附近 很
小的范围内。
对于杆件，此范围相当
于横向尺寸的 1～ 1.5倍。
即,离端面不远处，应力分布就成为均匀的。
14
例 3 旋转式吊车
已知, 角钢截面面为 10.86
cm2,P=130kN,? = 30?。
求, AB杆横截面上的应力。
解,
0?? Y
NAB
PN AB ??s in ( k N )260?ABN
(1) 求内力
NAC
取节点 A,受力如图。
P
? A AB杆各截面轴力相同。
A
N AB??
21086.10
102 6 0
4
3
??
??
?
( P a )107.1 1 9 6??
( M P a )7.1 1 9?
(2) 求 AB杆应力
15
§ 2,3 直杆 轴向拉伸或压缩时
斜截面上的应力
有时拉 (压 )杆件沿斜截面发生破坏。
? 横截面上的正应力, F F k
k
?
NF
A
? ? F
A
?
F F? k
k
? 斜截面 k-k
? 应力仍为均匀分布
? 内力仍为 F FF
? ?
? 斜截面面积, ?
? c o s/AA ?
因此，需要确定斜截面上的应力。
16
k
k
F F? ? 斜截面 k-k
? 应力仍为均匀分布
? 内力仍为 F FF
? ?
? 斜截面面积, ?
? c o s/AA ?
? 斜截面上的全应力,
Fp
A
?
?
?
? F
A?
?
p?
??
t?
?
c o sF
A
?? ?? c o s?
?
? 斜截面上的正应力和切应力
?? ?? c o sp? ?? 2c o s?
?t ?? s inp? ??? c o ss in?
?? 2s in
2
?
17
p?
??
t?
? ?
? ?角斜截面上的正应力和切应力
??? ? 2c o s?
??t ? 2s in
2
?
? 正负号规定
? ?的 正负号,
? t?的 正负号,
从横截面的法线到斜截面的法
线,逆时针 为 正, 顺时针 为 负 。
? ??的 正负号, 拉应力 为 正, 压应力 为 负 。
绕所保留的截面,顺 时针 为 正,
逆 时针 为 负 。
? 讨论
18
F?
??
t?
? ?
? ?角斜截面上的正应力和切应力
??? ? 2c o s?
??t ? 2s in
2
?
? 讨论
? ?=0?时 (横截面 ),
m a x?? ?? ? 0??t
? ?=45? (斜截面 ):,
2
??
? ? m a x?? tt ?
,??
2
??
? ?=90? (纵向截面 ):,0?
?? 0??t
? 结论, ?max 发生在 横截面 上,
tmax发生在 ?=45?斜截面 上,
?? ?m a x
2/m a x ?t ?
19
§ 2,4 材料在 拉伸时的力学性能
材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面
的特性称材料的 力学性能,也称 机械性质 。
研究材料的力学性能的目的是确定材料的一些
重要 性能指标,以作为计算材料 强度, 刚度 和
选用材料的依据。
材料的机械性质通过 试验 测定，通常为 常温静
载试验 。试验方法应按照国家标准进行。
? 试件和试验设备
? 试件 l ?? 标距
d ?? 直径
20
? 试件和试验设备
? 试件 l ?? 标距
d ?? 直径
l = 10d
?? 长试件；
l = 5d
?? 短试件。
? 试验设备
液压式试验机
电子拉力试验机
21
一,低碳钢拉伸时的力学性能
工程上常用的材料品种很多，材力中主要讨论
塑性材料
脆性材料
? 拉伸图
?? 典型代表, 低碳钢 金属材料 。
?? 典型代表, 铸铁
22
? 拉伸图 ? ? -? 曲线
23
? ? -? 曲线
1 弹性阶段
(ob段 )
oa段, 为直线
直线 斜率,
?ta n?E
?? E?
这就是著名的 胡克定律 。
E ? 弹性模量,具有应力的量纲,常用单位, GPa
a点的应力,
比例极限 ?P
当 ? < ?P 时成立。
24
ab段,
不再是直线。
在 b点以下,
卸载后变形
可以完全恢
复。
? 弹性变形
b点的应力,
弹性极限 ?e
当应力超过 ?e 时，将产生 塑性变形 。
屈服极限 ?s 2 屈服阶段 (bc段 ) ? 强度的重要指标
25
恢复抵抗变
形的能力
?? 强化。
e点的应力,
强度极限 ?b
3 强化阶段
4 局部变形阶段 (ef 段 )
(ce段 )
?? 强度的
另一重要指标。
颈缩现象。 名义应力
A
P?? 下降。
26
5 延伸率和断面收缩率
为度量材料塑性变形的能力，定义两个指标。
? 延伸率
%10 01 ???
l
ll?
这里,l为试件标线间的标距,l1为试件拉断后
量得的标线间的长度。
? 断面收缩率 %1 001 ???
A
AA?
这里,A为试件原横截面面积,A1为试件拉断
后颈缩处的最小截面面积。
通常,? ? 5% 的材料，为塑性材料；
? ? 5% 的材料，为脆性材料。
27
6 卸载定律和冷作硬化
? 卸载过程
? 卸载后 再加载
dd'为直线
dd' // ao
gddoog ????
d'g ??
弹性应变；
od' ??
塑性应变。
先沿 d'd 直线,然后沿 def曲线。
在 d'd 段满足胡克定律。
28
? 卸载后 再加载 先沿 d'd 直线,然后沿 def曲线。
在 d'd 段 满足 胡克定律 。
? 冷作硬化
材料进入强化
阶段以后的卸
载再加载历史,
使材料的比例
极限提高，而
塑性变形能力
降低，这一现
象称为 冷作硬
化 。
29
二、其它塑性材料拉
伸时的力学性能
? 名义屈服极限
与低碳钢相比
共同之处,
断裂破坏前经历较大
的塑性变形；
不同之处,
有的没有明显的四个
阶段。
合金钢 20Cr
高碳钢 T10A
螺纹钢 16Mn
低碳钢 A3
黄铜 H62
30
对于没有明显的屈服
阶段的塑性材料，工
程上规定, 用产生 0.2
%塑性应变时的应力
作屈服指标，称为 名
义屈服极限,用 ?P0.2
表示。
? 名义屈服极限
?P0.2
31
三、铸铁拉伸时的力学性能
32
? 抗拉强度很低。
? 特点,
? 无屈服过程；
? 拉断前，塑性变
形很小；
? b
? 弹性模量
割线弹性模量
? 强度指标,
强度极限 ?b
? -? 曲线
33
§ 2,5 材料在压缩 时的力学性能
? E,?s与拉伸
时大致相同。
? 因越压越扁,
得不到 ?b 。
金属的 压缩试件, 短圆柱，其高度与直径之比为
1,低碳钢压缩
时的 ? -? 曲线
1.5~3。
34
2,铸铁压缩时的 ? -? 曲线
? 抗压 强度极
限 比 抗拉 强度
极限 高 4~5倍。
? 破坏断面与
轴线大约成
45?~55?的倾
角。
35
? 小结
比例极限 ?P
弹性极限 ?e
屈服极限 ?s
强度极限 ?b
? 弹性模量 E
延伸率 ?,断面收缩率 ?
? 材料的力学性能指标
? 塑性材料 抗拉强度 和 抗压强度 相同。
? 脆性材料 抗压强度 远大于 抗拉强度 。
? 弹性指标
? 强度指标
? 塑性指标
名义屈服极限 ?P0.2
36
几
种
常
用
材
料
的
主
要
力
学
性
能
37
§ 2,6 温度和时间对材料 力学性能的影响
1、高温对材料的力学性能有影响 ;
2、长期在高温下工作的构件，会产生 蠕变
和 松弛 ;
3,蠕变,应力保持不变，应变随时间增加
而增加的现象 ;
4,松弛,应变保持不变，应力随时间增加
而降低的现象。
几个概念,
38
§ 2,7 失效、安全系数和强度计算
1 失效
失效 — 由于材料的力学行为而使构件丧失正
常功能的现象。
? 强度失效 ? 由于 断裂 或 屈服 引起的失效
? 刚度失效 ? 由于 过量的弹性变形 引起的失效
? 屈曲失效 (失稳 )
? 由于 突然失去平衡状态 而引起的失效
? 其它失效形式
? 疲劳失效 ? 蠕变失效 ? 松弛失效
39
2 拉压构件材料的强度失效判据
? 塑性材料 以屈服极限 ?s 为失效判据
? 脆性材料
受拉时：以强度极限 ?b拉 为失效判据 ;
受压时：以强度极限 ?b压 为失效判据。
3 许用应力与安全系数
? 塑性材料
? 脆性材料
ns ? 塑性材料的
安全系数 s
s
n
?? ?][
b
b
n
?? ?][ nb ? 脆性材料的
安全系数
40
3 许用应力与安全系数
? 塑性材料 ? 脆性材料
s
s
n
?? ?][
b
b
n
?? ?][
? 安全系数的确定
?材料素质（质量、均匀性、塑性、脆性）；
?载荷情况（峰值载荷、动静、不可预见性 )；
?构件简化过程和计算方法的精确度；
?零件的重要性、制造维修的难易程度；
?减轻重量（飞机、手提设备等）。
塑性材料,ns = 1.2 ~ 2.5
脆性材料,nb = 2 ~ 3.5
一般地,
41
4 拉压构件的强度条件
A
N m a x
m a x ??
注意：对于非等直杆,?max 还与截面积 A有关。
? 强度问题的三种类型
? 强度校核
? 截面设计
? 确定许可载荷
][??
A
N m a x
m a x ?? ][??
][
m a x
?
NA ?
][m a x ?AN ?
42
例 1 (上次课的例 3)
已知, 角钢截面面为 10.86
cm2,P =130kN,? = 30?。
角钢的 [?]=150 MPa。
求,校核 AB杆的强度。
解,已求出 AB杆的应力
A
N AB??
][?? ?
( M P a )7.1 1 9?
显然有,
所以 AB杆满足强度要求。
讨论,若 P=150kN，则,
M P a3.1 6 1?? ][??
43
讨论,
若 P=150kN，则,
M P a3.1 6 1?? ][??
强度不足，应重新设计。
? 减小 P的值
? 增大 AB杆的面积
? 工程中允许工作应力 ? 略大于许用应力 [?],
但不得超过 [?]的 5% 。
44
例 2 气动夹具 (书例 2.4)
解,取杆,受力如图。
2
4
DpP ???
PN ?
kN24.9?
轴力
已知, D＝ 140mm,
p = 0.6MPa,20钢,
[?] = 80MPa。
求,活塞杆直径 d,
P P
][?
NA ?
近似地
kN24.9?
所以
24 m1016.1 ???
P N
45
)(
4
22 dDpP ??? ?
A
P??
P P
][?
NA ?
所以
24 m1016.1 ???
4
2d
A ??而
m0 1 2 2.0?d
取 1 2, 1 m md ?
?再校核 kN023.9?
7 9, 7 2 M P a? M P a80? ][??
满足强度条件 1 2, 1 m md ?,所以就取,
46
例 3 杆系结构
解,?求轴力
已知, 杆 AB,AC材料相
同,[?] = 160 MPa,A1＝
706.9 mm2,A2＝ 314 mm2,
求,许可载荷 P。
取节点 A，受力如图。
0?? X ?? 30s in1N
0?? Y ?30c o s1N
?45s in2N
31
2
1 ??
PN P732.0?
?? 45c o s2N P?
47
0?? X ?? 30s in1N
0?? Y PNN ???? 45c o s30c o s 21
?? 45s in2N
31
2
1 ??
PN
31
2
2 ??
PNP732.0? P518.0?
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113? kN1.113732.0 ?P
kN5.1 5 41 ?P
(1)
][22 ??? AN kN3.50? kN3.505 1 8.0 ?P
kN1.972 ?P
(2)
所以，许可载荷 P的值应为,kN1.97?P
48
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113? kN1.113732.0 ?P
kN5.1 5 41 ?P
(1)
][22 ??? AN kN3.50? kN3.505 1 8.0 ?P
kN1.972 ?P
(2)
所以，许可载荷 P的值应为,kN1.97?P
? 法二
? 列出平衡方程同前
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113?(1) kN1.113m a x1 ?N
][22 ??? AN kN3.50?(2) kN3.50m a x2 ?N
49
? 法二
? 列出平衡方程同前
? 由强度条件
][11 ??? AN kN1.113?(1) kN1.113m a x1 ?N
][22 ??? AN kN3.50?
(2)
kN3.50m a x2 ?N
将上两式代入平衡方程，可解出许可载荷 P,
kN5.1 3 3?P显然，与前一种方法解出的 P = 97.1 kN 不同。
为什么？ 哪一种方法不正确？ 错在哪里？
两杆中的内力，并 不一定 第二种方法不正确。
同时达到 最大允许轴力。
50
§ 2,8 轴向 拉伸或压缩时的变形
1,轴向变形
? 直杆轴向拉压时变形的特点
轴向变形量
下面建立 变形 与 力 之间的关系
lll ??? 1
? 应变
l
l???
51
1,轴向 变形
轴向变形量
lll ??? 1
? 应变
l
l??? ? 应力
A
N??
? 应力 -应变关系 ?? E?
A
N
EA
Nll ??
l
lE ??
EA
Pl? ?? 胡克定律的
另一种形式
EA ?? 抗拉 (或抗压 )刚度
注意,上式只在应力不超过比例极限时成立。
52
2,横向 变形
横向变形量
bbb ??? 1
? 横向应变
b
b????
? 试验证明
?
?
? ??
??? ???上式也可写成,
? ?? 泊松比 或横向变形系数。
当应力不超过比例极限时，有,
53
几种常用材料的 E和 ?的约值 (表 2,2)
54
3,变截面杆的轴向变形
取一微段,
?? )(d l
积分得,
微段的伸长
)(
d)(
xEA
xxN
??? l xEA xxNl )( d)(
55
例 1 变截面杆
已知, BD段 A1=2cm2,
AD段 A2=4cm2,P1=5kN,
P2=10kN,E=120GPa 。
图中尺寸为 cm。
求, AB杆的变形。
解,
( k N )51 ??N
(1) 求轴力
BD段
N1
( k N )52 ??NCD段
N2
( k N )53 ?NAC段
N3
56
( k N )51 ??N
(1) 求轴力
BD段
( k N )52 ??NCD段
( k N )53 ?NAC段
(2) 求变形
1
11
EA
lNl
BD ?? 49
3
10210120
5.0105
????
???? )m(1005.1 4????
2
22
EA
lNl
CD ?? 49
3
10410120
5.0105
????
???? )m(1052.0 4????
3
33
EA
lNl
AC ?? 49
3
10410120
5.0105
????
??? )m(1052.0 4???
57
(2) 求变形
1
11
EA
lNl
BD ?? 49
3
10210120
5.0105
????
???? )m(1005.1 4????
2
22
EA
lNl
CD ?? 49
3
10410120
5.0105
????
???? )m(1052.0 4????
3
33
EA
lNl
AC ?? 49
3
10410120
5.0105
????
??? )m(1052.0 4???
AB杆的变形
ACCDBDAB llll ???????
)m(1005.1 4????
58
例 2 (书例 2,7)
已知, BC杆, d=20mm,
BD杆, 8号槽钢。 [?]= 160
MPa,E=200GPa,P=60kN。
求,校核强度及 B点位移。
解,
( k N )451 ?N
(1) 求轴力
取 B点
( k N )752 ?N
(拉 )
261 m103 1 4 ???ABC杆面积
(压 )
(2) 计算应力
262 m108.1 0 2 4 ???ABD杆面积 查型钢表 (p.414)得
59
261 m103 1 4 ???ABC杆面积
(2) 计算应力
262 m108.1 0 2 4 ???A
BD杆面积 查型钢表 得 (p,414)
应力
M P a1 43
1
1
1 ?? A
N?
M P a1 6 0][ ???
M Pa2.73
2
2
2 ?? A
N? M P a1 6 0][ ???
11 BBl ??
BC杆变形
(3) 计算杆的变形
1
11
EA
lN? m1086.0 3???
60
11 BBl ??
BC杆变形
(3) 计算杆的变形
1
11
EA
lN? m1086.0 3???
m22 ?? DBlBD杆变形
2
22
EA
lN? m107 3 2.0 3???
(4) 计算 B点位移
? 确定变形后 B点的位置 B3
22 BBl ??
? B点水平位移
11 lBB ?? m1086.0
3???
61
(4) 计算 B点位移
? 确定变形后 B点的位置 B3
? B点水平位移
11 lBB ?? m1086.0
3???
? B点垂直位移
?31 BB 41BB 34 BB?
?s in2BB? ?cot42 BB?
?s in2l?? ?c o s( 2BB? )1BB? ?cot
?s in2l?? ?c o s( 2l?? )1l?? ?cot
,5/4s in ?? 4/3c o t ??,5/3c o s ??
?31 BB m1056.1 3?? ?3BB m1078.1 3??
62
§ 2,9 轴向 拉伸或压缩的变形能
弹性体在外力作用下，因变形而储存
的能量称为变形能（或应变能）。
1 变形能
? 力的功
当应力小于
比例极限时
? 力的元功
P
l
?l
)d(d lPW ??
)(d10 lPW l ??? ?
?力的总功
lPW ??
2
1
P
dP
拉伸曲线 P
?l d(?l)
?l1
P 1
?l
63
当应力小于
比例极限时
P
l
?l
)(d10 lPW l ??? ?
?力的总功
lPW ??
2
1
P
dP
拉伸曲线 P
?l d(?l)
?l1
P 1
?l
? 变形能
WU ? lP ??
2
1由能量守恒原理
64
单位体积内的变形能 。
2 比能 (应变能密度 )
zy dd?
?
d?
拉伸曲线 ?
? d?
?1
? 1
?
单元体上下
两面的 力为,
当应力有一个增量 d? 时,
x方向伸长的 增量为,
取一单元体,?
dx
dy
dz
?
x方向的伸长 为, xd?
xdd ?
则元功为, zy dd?
力所作的功为,
xzyW ddddd 10 ??? ???
xdd ??
65
?
d?
拉伸曲线 ?
? d?
?1
? 1
?
?
dx
dy
dz
? 则力所作的功为,
xzyW ddddd 10 ??? ???
Vdd10 ?????
Vd)d( 10 ?????
所以, WU dd ? Vd)d(
10 ?????
比能,
V
Uu
d
d? ??? d
10??
当应力小于比例极限时 ??
2
1?u
66
比能,
V
Uu
d
d? ??? d
10??
当应力小于比例极限时
??
2
1?u
由胡克定律 ?? E?
2
2
1 ?Eu ? 或,
E
u
2
2?
?
? 由比能求应变能
? 应力分布 均匀 时 uVU ?
? 应力分布 不 均匀 时
?? V VuU d
67
? 推广到多杆系统 ?
?
?
n
i ii
ii
AE
lN
U
1
2
2
2 2 2
22 2 2
N A l N lU u V V
E E A E A
?? ? ? ?
? 应力分布 均匀 时
WU ? lP ??
2
1由能量守恒原理
有 2
1
1
22
n
ii
i ii
Nl
Pl
EA?
?? ?
68
例 3 (书例 2,9)
解,
已知, BD杆外径 90mm，壁
厚 2.5mm，杆长 l=3m。 E =
210 GPa。 BC是两条钢索,
每根截面积 172 mm2,E1=
177GPa。 P = 30kN,不考虑
立柱变形。
求, B点垂直位移。
解三角形得 BC=l1=2.20m,CD=1.55m
BC,BD的 截面积分别为
A1＝ 344mm2,A=687mm2
取 B点，受力如图,
69
取 B点，受力如图,
N1?1.41P,N2?1.93P
N1
P N2
外力 P所作的功等于 BC及 BD
杆的变形能，所以
P ?
?PW
2
1?
11
1
2
1
2 AE
lN
?
EA
lN
2
2
2?
P31093.14 ???? m1048.4 3???
70
§ 2,10 拉伸、压缩静不定问题
?静定问题 —— 未知力（内力或外力）个
数等于独立的平衡方程数 ;
?静不定问题 —— 未知力个数多于独立 的平
衡方程数 ;
?静不定次数 —— 未知力个数与独立平衡方程
数之差，也称静不定度数 ;
?多余约束 —— 保持结构静定 多余的约束。
? 关于静不定的基本概念
71
?静力平衡方程 －力的平衡关系。
?变形协调方程 － 变形与约束的协调关系。
?物理关系 － 力与变形的关系。
? 求解静不定问题的基本方法
例 1 (书 p.50)
已知, 1,2杆相同，抗拉
刚度为 E1A1,3杆的抗拉
刚度为 E3A3,长为 l,?角。
求,各杆的内力。
P
2 1 3
A
D C B
??
l
静不定的次数？ 1次 静不定。 解,
72
例 1 (书 p.50)
已知, 1,2杆相同，抗拉
刚度为 E1A1,3杆的抗拉
刚度为 E3A3,长为 l,?角。
求,各杆的内力。
P
2 1 3
A
D C B
??
l
解,
(1) 静平衡方程
取 A点，受力如图。
y
x
P
N3
N1 ?N2 ?
0?? X 0s ins in 21 ?? ?? NN
21 NN ?
0?? Y 0c o s2 13 ??? PNN ?
静不定次数？ 1次。
73
2 1 3
A
D C B
??
(1) 静平衡方程
21 NN ?
0c o s2 13 ??? PNN ?
?l1
?l2 ?
A'
?
(2) 变形协调方程
?l3
21 ll ??? 2
1 3
A
D C B
??
?l1 ?l2 ?
A'
?
?l3
?c o s3l??法二
(3) 物理关系
?? 1l
?c os11
1
AE
lN
(1)
(2)
(3)
74
(1) 静平衡方程
21 NN ?
0c o s2 13 ??? PNN ?
(2) 变形协调方程
21 ll ??? ?c o s3l??
(3) 物理关系 ??
1l
?c os11
1
AE
lN
?? 3l
33
3
AE
lN
物理关系代入变形协调方程
?c os11
1
AE
lN
?c os
33
3
AE
lN
?
与平衡方程联立，可解出,
(1)
(2)
(3)
(4)
75
(1) 静平衡方程
21 NN ?
0c o s2 13 ??? PNN ?
物理关系代入变形协调方程
?c os11
1
AE
lN
?c os
33
3
AE
lN
?
与平衡方程联立，可解出,
,
c o s2
c o s
11
333
2
21
AE
AE
P
NN
?
??
?
?
?
3
33
11
3
c o s21
AE
AE
P
N
?
?
(1)
(2)
(4)
76
例 2
已知,等直杆,EA,P;a,b。
求,两端的约束反力。
解,
(1) 静平衡方程
取杆，受力如图。
0?? Y PRR ?? 21
A
C
B
P
a
b
P
R2
R1
(2) 变形协调方程
ACl?
而 AB杆总长度不变,
AC段受拉，拉伸变形为
BCAC ll ???
BCl?
BC段受压，压缩变形为
所以
静不定次数？ 1次。
77
(1) 静平衡方程
PRR ?? 21 A
C
B
P
a
b
P
R2
R1
(2) 变形协调方程
1RN AC ?
AC段轴力
BCAC ll ???
BC段轴力
所以
(3) 物理关系
2RN BC ?
?? ACl
EA
aN AC ??
BCl EA
bN BC,1
EA
aR?
EA
bR 2?
由物理关系和 变形协调方程，得 bRaR
21 ?
78
(1) 静平衡方程
PRR ?? 21 A
C
B
P
a
b
P
R2
R1
(2) 变形协调方程
BCAC ll ???
(3) 物理关系
?? ACl ?? BCl,1
EA
aR
EA
bR2
由物理关系和变形协调方程，得 bRaR
21 ?
与平衡方程联立，解得,
,1
ba
PaR
?
?
ba
PbR
?
?2
79
例 3 (书例 2,11)
已知, AB为刚性梁,1,
2两杆的横截面面积相等,
材料相同,P力已知。
求, 1,2两杆的内力。
解, 静不定次数？
(1) 静平衡方程
1次。
取 AB杆，受力如图。
0)( ?? FAM
FAy
FAx
N1 N2
032c o s21 ???? aPaNaN ?
03cos2 21 ??? PNN ?
80
FAy
FAx
N1 N2
(2) 变形协调方程
12 l???
(1) 静平衡方程
?l1 ?l2
?
?? c o s2 ?? l
?
1
2 2
c os
ll ???
?
03cos2 21 ??? PNN ?
(3) 物理关系
?? 1l,1
EA
lN ??
2l ?c os
2
EA
lN
81
FAy
FAx
N1 N2
(2) 变形协调方程
(1) 静平衡方程
1
2 2
c os
ll ???
?
03cos2 21 ??? PNN ?
(3) 物理关系
?? 1l,1
EA
lN ??
2l ?c os
2
EA
lN
联立解出
,
1c o s4
3
31 ?? ?
PN
1c o s4
c o s6
3
2
2 ?? ?
?PN
82
§ 2,11 温度应力与装配应力
1,温度应力
由于温度变化引起的应力，称为 温度应力
或 热应力 。
温度应力仅存在于静不定结构中。
– 化工管道
– 桥梁
– 裸露的输气管及水管
? 由温度引起的变形 lTl
T ???? ?
其中,?为材料的线膨胀系数； ?T为温度
变化值； l为杆的长度。
83
? 由温度引起的变形 lTl
T ???? ?
碳钢的 线膨胀系数, ? = 12.5 x 10-6 (1/ ?C)
例 4
已知, ? = 12.5 x10-6
(1/ ?C), E=200GPa。
求,温度应力。
解, 取杆，受力如图。
(1) 静平衡方程
BA RR ?
其中,?为材料的线膨胀系数； ?T为温度
变化值； l为杆的长度。
84
例 4
已知, ? = 12.5 x10-6
(1/ ?C), E=200GPa。
求,温度应力。
解, 取杆，受力如图。
(1) 静平衡方程
BA RR ?
(2) 变形协调方程
RT ll ???
(3) 物理关系
,lTl T ???? ?
EA
lRl B
R ??
lT ???
EA
lR B? TEAR
B ?? ?
85
(1) 静平衡方程
BA RR ?
(2) 变形协调方程
RT ll ???
(3) 物理关系
,lTl T ???? ?
EA
lRl B
R ??
lT ???
EA
lR B? TEAR
B ?? ?
A
R B
T ??
TE ?? ? M P a5.2 T??
当 ?T =80?C 时,M P a2 0 0?
T?
而低碳钢的 ?s仅 235MPa，许用应力 [?]通常仅
120 MPa 左右。所以温度应力是非常大的。
86
伸缩节
波纹管伸缩节
87
伸缩缝
火车钢轨伸缩缝
梳状伸缩缝 叠合伸缩缝
88
江阴长江大桥的伸缩缝
伸缩缝
当温度从 -20 ?C到 60 ?C时，桥面伸长将达 1.34m
89
例 5 (书例 2,12)
已知, ACB为刚性杆,
钢杆 AD的 A1=100mm2,
l1=330mm,E1= 200
GPa,?1=12.5?10-6/?C;
铜杆 BE的 A2=200mm2,
l2=220mm,E2=100
GPa,?2=16.5?10-6/?C,
温升 30 ?C。
求, 两杆的轴力。
解, (1) 静平衡方程
取 AB杆，受力如图。
0)( ?? FCM 150240 21 NN ?
90
(1) 静平衡方程
150240 21 NN ?
(2) 变形协调方程
11 llAA T ?????
A'
B'
TllBB 22 ?????
150
240?
?
?
BB
AA
150
240
22
11 ?
???
???
T
T
ll
ll
(3) 物理关系
111 lTl T ???? ? m101 2 4 6???
91
(1) 静平衡方程
150240 21 NN ?
(2) 变形协调方程
150
240
22
11 ?
???
???
T
T
ll
ll
(3) 物理关系
111 lTl T ???? ? m101 2 4 6???
222 lTl T ???? ? m101 0 9 6???
11
11
1 AE
lNl ??
16100165.0 N???
22
22
2 AE
lNl ??
2610011.0 N???
联立解得, k N,68.6
1 ?N kN7.6102 ?N
结果为正,
表示两杆
的确受压。
92
2,装配应力
由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构
存在应力，称 装配应力 。
装配应力仅存在于静不定结构中。
已知, 三杆长为 l,
截面积、材料均相
同，中间杆短于名
义长度,加工误差
为 ?= l / 2000。
求, 装配 应力。
例 6 (书例 2,13)
93
已知, 三杆长为 l,
截面积、材料均相
同，中间杆短于名
义长度,加工误差
为 ?= l / 2000。
求, 装配 应力。
解, 分析变形。
(1) 静平衡方程
212 NN ?
例 6 (书例 2,13)
取螺栓，受力如图。
(2) 变形协调方程
????? 21 ll
2000
l?
94
(1) 静平衡方程
212 NN ?
(2) 变形协调方程
????? 21 ll
2000
l?
(3) 物理关系
,11
EA
lNl ??
EA
lNl 2
2 ??
联立解得,
,
60 001
EAN ?
30002
EAN ?
M P a,3.331 ?? M P a7.662 ??
95
§ 2,12 应力集中的概念
由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应
力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平
均值的应力，这种现象称为 应力集中 。
96
? 应力集中与圣维南原理
? 理论应力集中系数
?
? m a x?k
这里,?为截面上的平均应力。
k 的值可以查手册。
当宽度远大于圆孔直径时,k = 3。
97
? 应力集中的影响
? 静载荷时
? 塑性材料 —— 产生屈服后，应力重新分配。
应力趋于平均。
这种情况下，可不考
虑应力集中的影响。
98
? 静载荷时
? 塑性材料 —— 产生屈服后，应力重新分配,
应力趋于平均。
这种情况下，可 不考虑 应力集中的影响。
? 脆性材料 —— 应力集中部位的应力首先达
到强度极限而破坏。
应力集中的 危害严重 。
? 灰口铸铁 —— 内部缺陷是产生应
力集中的 主要因素,外形变化是
次要因素 。
? 动载荷时
99
? 动载荷时
在交变应力或冲击载荷作用下，应力集中对
塑性材料和脆性材料的强度都有严重影响。
? 塑性材料 －在交变应力作用下，应力集中部
位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。
100
§ 2,13 剪切与挤压的实用计算
1,剪切的实用计算
? 钢杆的受剪
101
? 键的受剪
102
? 剪切件的特点
? 受力的特点
杆件两侧作用有两个大
小相等，方向相反，作
用线相距很近的外力。
? 变形的特点
两外力作用线间的截面
发生错动。
? 剪力
受剪面 上的剪力
PQ ?
103
? 剪力
简化假设, 切应力在 受剪面 上 均匀 分布。
受剪面 上的剪力
PQ ?
? 切应力计算
A
Q?t名义切应力, 受剪面的面积。
? 强度条件
A
Q?t ][t?
104
例 1 (书例 2,14)
已知, 插销材
料为 20钢,[t]
=30MPa，直径
d=20mm,t = 8
mm,1.5t =12
mm,P =15kN。
求, 校核插销的剪切强度,
解, 插销受力如图。
具有两个剪切面,双剪问题 。
取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。
105
解, 插销受力如图。
具有两个剪切面,
0?? X 2/PQ ?
双剪问题 。
取两个剪切面之间的杆为研究
对象，受力如图。
剪切面的面积
4
2d
A
?
?
A
Q?t M P a9.23? M P a30][ ?? t
结论：满足剪切强度要求。
106
例 2 (书例 2,15)
已知,钢板厚 t =10mm,
其剪切极限应力 tu=300
MPa。
求, 要冲出直径 d =25
mm的孔，需多大冲剪
力 P？
解, 剪切面是哪一个面？
剪切面的面积
tdA ?? ? 2mm785?
uAP t? kN236?
107
2,挤压的实用计算
? 挤压
? 接触面上由于挤
压力太大而产生
塑性变形，形成
的破坏称 挤压破
坏 。
连接件和被连接件接触面相互压紧的现象 。
? 应力分布
? 简化假设
108
? 简化假设
应力在 挤压面 上 均匀
分布。
? 挤压应力
有效挤压面 面积等于实际 挤压面面积在垂直于
总挤压力作用线的平面上的投影。
bs
bs A
P??
挤压面上传递的力
有效挤压面 的面积。
? 有效挤压面 面积的计算
109
实际挤压面
有效挤压面 面积等于实际 挤压面面积在垂直于
总挤压力作用线的平面上的投影。
? 有效挤压面 面积的计算
有效挤压面
对 圆截面杆,
tdA bs ??
110
对 圆截面杆,
tdA bs ??
对 平键,
lhA bs ??
2
1
? 挤压强度条件
bs
bs A
P?? ][
bs??
许用挤压应力通常大于许用
应力，一般地
])[2~7.1(][ ?? ?bs
111
例 3 (书例 2,16)
已知, d=70mm,键的尺寸为 b?h?l
=20?12?100mm，力偶 m= 2 kNm,
键的 [t]=60 MPa,[?bs]=100 MPa。
求,校核键的强度。
解, 1) 校核键的 剪切 强度
? 剪切面上的剪力
? ? 0)( FOM mdQ ?? 2/
取键的下半部分和轴，受力如图 Foy
Fox
d
mQ 2?
112
Foy
Fox
1) 校核键的 剪切 强度
? 剪切面上的剪力
? ? 0)( FOM mdQ ?? 2/
取键的下半部分和轴，受力如图
d
mQ 2?
? 剪切面 的面积
blA ?
? 切应力
A
Q?t
bld
m
?
? 2
113
Foy
Fox
? 切应力
A
Q?t
bld
m
?
? 2 M P a6.28?
M P a60][ ?t?
满足剪切强度要求。
2) 校核键的挤压强度
? 挤压力
取键的上半部
分，受力如图
QP ?
114
2) 校核键的挤压强度
? 挤压力
取键的上半部分，受力如图
QP ?
? 有效挤压面 hlA
bs 2
1?
? 挤压应力
bs
bs A
P
?? M P a3.95?
][ bs??
满足挤压强度要求。
115
例 4 (书例 2,17)
题目同书例 2,14
已知, [t] =30
MPa，直径 d =
20 mm,t = 8mm,
1.5t =12 mm,P =
解, 插销受力如图。
中段较危险,应校核中段的强度。
15kN。 [?bs] = 100 MPa。
求, 校核挤压强度,
? 有效挤压面 tdA
bs 5.1??
116
? 有效挤压面 tdA
bs 5.1??
? 挤压应力
bs
bs A
P
?? M P a5.62? ][ bs??
满足挤压强度要求。
117
谢 谢 大 家 !
