1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第十四章
静 不 定 结 构
2
§ 13,8 计算莫尔积分的图乘法
杆件为 等截面 直杆 。 ? 图乘法的条件
? 用图乘法计算莫尔积分
? 简要复习
??? l xEI xMxM d)()(
EI
M C?? ?
式中,?为 M(x)弯矩图的面积；
CM
为 )(xM 图中与 )(xM 图的形心 C对应
的纵坐标。
3
用图乘法时，应注意,
1 当弯矩图有变化时，应分段图乘；
2 当 EI 有变化时，应分段图乘；
3 作弯矩图时，可用叠加法，分别进行图乘。
4
第十四章 静不定结构
§ 14,1 静不定结构概述
1 静不定结构
? 外力静不定 ? 内力静不定 ? 混合静不定
2 静不定次数的确定
静不定次数 = 未知力个数 - 独立平衡方程数
(1) 外力静不定次数的确定
根据约束的性质及力系的类型来确定。
? 新课
5
(2) 内力静不定次数的确定
? 平面桁架
未知力个数 = 约束反力数 + 杆件数
独立方程数 = 节点数 乘以 2
? 刚架
对于闭口的平面刚架，为三次内力静不定；
每增加一个闭合框架，就增加三次静不定。
6
3 静定基和相当系统
? 静定基 (基本静定系 )
静不定系统在解除某些约束后得到的静定系统,
静定基不唯一。
? 相当系统
在静定基上作用外载荷和被解除约束的约束反
力的系统。 ?? 与静不定系统 静力等效 。
7
§ 14,2 用力法解静不定结构
1 力法与位移法
? 力法 ? 位移法
2 力法解静不定
? 例子
? 静不定次数 1次
? 静定基
? 相当系统
? 变形协调条件
01 ??
8
? 位移的表示
??1 P1?
11 X??
? △ 1X1的表示
在 B点沿 X1的方
向加单位力
11?
1111 1 ???? XX
对线弹性结构，有,
? 代入变形协调条件，得到,
P1? 111 ??? X 01111 ??? PX?0?
9
? 代入变形协调条件，得到,
P1? 0111 ??? ?X
这就是求解一次静不定问题的 力法正则方程 。
其中每一项的物理意义是 位移 。
01111 ??? PX?
△ 1P 表示,
??? lP xEI xMxM d)()(11
注意：外载荷中不包括 X1。
在 X1作用点沿 X1方向
由于 外载荷 作用而 引起的位移。
可用莫尔积分表示为,
10
01111 ??? PX?
△ 1P 表示,
在 X1作用点沿 X1方向
由于 外载荷 作用而 引起的位移。
?11 表示,
在 X1作用点沿 X1方向由
于 X1处的 单位载荷 引起
的位移。
??? lP xEI xMxM d)()(11可用莫尔积分表示为,
注意：外载荷中不包括 X1。
11
?11 表示,
在 X1作用点沿 X1方向由
于 X1处的 单位载荷 引起
可用莫尔积分表示为,
?? l xEI xMxM d)()( 1111?
的位移。
? 对本例
,
3
3
11 EI
l?? )3(
6
2
1 alEI
Pa
P ????
)3(
2 3
2
1 all
PaX ??
用莫尔积分法，或图乘法可求出
由正则方程解出,
12
3 N次力法正则方程
先以三次静不定问题为例
相当系统
)3,2,1(0 ??? ii变形协调条件,
13
)3,2,1(0 ??? ii
变形协调条件,
PXXX 13132121111 ?????? ??? 0?
PXXX 23232221212 ?????? ??? 0?
PXXX 33332321313 ?????? ??? 0?
同理，对 N次静不定问题，有
0Δ 11212111 ????? Pnn XXX ??? ?
0Δ 22222121 ????? Pnn XXX ??? ?
??????????
0Δ2211 ????? nPnnnnn XXX ??? ?
14
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
2211
22222121
11212111
nPnnnnn
Pnn
Pnn
ΔXXX
ΔXXX
ΔXXX
???
???
???
?
??
?
?
同理，对 N次静不定问题，有
其中的常数项 △ iP 表示,
在 Xi作用点沿 Xi方向由于 外载荷 而 引起的位移。
??? l iiP xEI xMxM d)()(
可用莫尔积分表示为,
15
其中的常数项 △ iP 表示,
在 Xi作用点沿 Xi方向由于 外载荷 而 引起的位移。
??? l ii xEI xMxM d)()(P
可用莫尔积分表示为,
其中的系数 ?ij 表示,
在 Xi作用点沿 Xi方向由于 Xj处的 单位载荷 引起的
位移。
根据位移互等定理，有,
jiij ?? ?
?ij可用莫尔积分表示为,
?? l jiij xEI
xMxM
d
)()(
?
16
? 解静不定问题的一般步骤
1) 判定 静不定 次数 ；
2) 选择 静定基,得到 相当系统 ；
3) 分解载荷, 分别 将 外载荷,各 单位载荷 作
用在 静定基 上；
4) 画出各载荷下的内力 (弯矩 )图或写出内力
(弯矩 )方程；
5) 用图乘法或莫尔积分等求出 △ iP 和 ?ij ；
6) 求解正则方程，解出未知力。
17
例 1 (书例 11.4)
已知, q,a,EI为常数。
求, 静不定问题 。
解, ? 静不定次数 3次
? 静定基 ? 相当系统
? 分解载荷
? 外载荷
? 单位载荷
18
? 分解载荷 ? 外载荷
? 单位载荷
? 用图乘法
求系数
? 外载荷的
弯矩图 2
2
1 qa
PM
19
? 用图乘法求系数
? 外载荷的弯矩图
? 单位载荷的弯矩图
a
1M 2M
a
a
2
2
1 qa
PM
20
? 单位载荷的弯矩图 a
1M
a
2M
a
1
1
3M
? 计算常数项 △ iP
△ 1P 为 MP图与 M1图 互乘
21
2
2
1 qa
PM
a
1M
a
? 计算常数项 △ iP
[11
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]( a??
EI
qa
6
4
??
△ 1P 为 MP图与 M1图 互乘
△ 2P 为 MP图与 M2图 互乘
22
2
2
1 qa
PM
[11
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]( a??
EI
qa
6
4
??
△ 1P 为 MP图与 M1图 互乘
△ 2P 为 MP图与 M2图 互乘
2M
a
[12
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ??
)]
4
3( a??
EI
qa
8
4
??
23 22
1 qa
PM
[12
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ??
)]
4
3( a??
EI
qa
8
4
??
△ 2P 为 MP图与 M2图 互乘
△ 3P 为 MP图与 M3图 互乘
1
1
3M
[13
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]1(??
EI
qa
6
3
??
24
2
2
1 qa
PM
[13
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]1(??
EI
qa
6
3
??
△ 3P 为 MP图与 M3图 互乘
? 计算系数 ? ij
1
1
3M
?11 为 M1图与 M1图 自乘
25
(111
EI
?? aa ??
2
1
a
3
2?
EI
a
3
4 3?
2M
a
? 计算系数 ?i j
a
1M
a
?11 为 M1图与 M1图 自乘
aa ?? )a?
(122
EI
?? aa ??
2
1
)
3
2 a?
EI
a
3
3
?
26
2M
a
(122
EI
?? aa ??
2
1
)
3
2 a?
EI
a
3
3
?
1
1
3M
(133
EI
?? 1?a 1?
EI
a2?
?33 为 M3图与 M3图 自乘
1?? a )1?
27
2M
a
(133
EI
?? 1?a 1?
EI
a2?
?33 为 M3图与 M3图 自乘
1?? a )1?
(12112
EI
?? ?? aa? )
2
1 a?
EI
a
2
3
?
?12 为 M1图与 M2图 互乘
a
1M
a
28
(12112
EI
?? ?? aa? )
2
1 a?
EI
a
2
3
?
?12 为 M1图与 M2图 互乘
a
1M
a
(13113
EI
?? ?? aa ?
2
1 1?
EI
a
2
3 2?
?13 为 M1图与 M3图 互乘
1
1
3M
aa ?? )1?
29
(13113
EI
?? ?? aa ?
2
1 1?
EI
a
2
3 2?
?13 为 M1图与 M3图 互乘
1
1
3M
aa ?? )1?
(13223
EI
?? ?? aa ?
2
1 )1?
EI
a
2
2
?
?23 为 M2图与 M3图 互乘
2M
a
30
(13223
EI
?? ?? aa ?
2
1 )1?
EI
a
2
2
?
?23 为 M2图与 M3图 互乘
? 将求出的系数和常数代入正则方程，有,
2
321 938 qaXaXaX ???
,
161
qaX ??
2
321 312812 qaXaXaX ???
2
321 1239 qaXaXaX ???
,
16
7
2
qaX ?
48
2
3
qaX ?
31
例 2 (书例 11.2)
已知, P,a,各杆 EA相同。
求, 各杆内力 。
解, ? 静不定次数 1次
? 静定基 ? 相当系统
这里,?1的物理意义是 4号
杆切口处的 相对位移 。
P
1
5
4
3
2
a
a
6
P
1
5
4
3
2
6
X1 ? 正则方程
??1 PX 1111 ???
所以应有,0
1111 ??? PX?
32
这里,?1的物理意义是 4号
杆切口处的 相对位移 。
P
1
5
4
3
2
6
X1 ? 正则方程
??1 PX 1111 ???
所以应有,0
1111 ??? PX?
P
1
5
4
3
2
6
? 分解载荷
,1 PN ??,2 PN ??
,03 ?N,04 ?N
,25 PN ? 06 ?N
? 外载荷 作用时的内力
33
? 外载荷作用时的内力
,1 PN ??,2 PN ??
,03 ?N,04 ?N
,25 PN ? 06 ?N
? 单位载荷作用时的内力
,11 ?N,12 ?N
,13 ?N,14 ?N
,25 ??N 26 ??N
1
5
4
3
2
6
P
1
5
4
3
2
6
X1
1
?
?
??
6
1
1
i i
iii
P EA
lNN
? 计算 △ 1P
34
?
?
??
6
1
1
i i
iii
P EA
lNN
? 计算 △ 1P
EA
Pa)21(2 ?
??
?
?
?
6
1
11
i i
iii
EA
lNN
?
? 计算 ?11
EA
a)21(4 ?
?
? 代入正则方程，解得,
11
1
1 ?
PX ???
2
P?
? 由叠加原理，各杆的内力,
ii
P
i NXNN 1??
35
例 3 (书例 11.3)
已知, 四分之一圆曲
杆,P,a,EI为常数 。
求, 弯矩图 。
解, ? 静不定次数 1次
? 静定基 ? 相当系统
? 对曲杆，不能用图乘
法，用 莫尔积分 求。
? 正则方程
01111 ??? PX?
P
A
B
a 45°
45°
A
B
45°
45°
? 分解载荷
P
X1
36
? 分解载荷
? 外载荷
BC段 0?M
)4/0( ?? ??CA段
)4/s in ( ?? ?? PaM
)2/4/( ??? ??
A
B
?
P
C
? 单位载荷的弯矩方程
?s inaM ??
)2/0( ?? ??
A
B
? 1 C
? 单位载荷
? 外载荷的弯矩方程
37
? 单位载荷的弯矩方程
?s inaM ??
)2/0( ?? ??
A
B
? 1 C
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
??? SP sEI xMxM d)()(1
? ??
2/
4/
)]4/s i n ([1
?
?
??Pa
EI
)s in( ?a?? ?da
EI
Pa
28
3?
??
38
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
??? SP sEI xMxM d)()(1
? ??
2/
4/
)]4/s i n ([1
?
?
??Pa
EI
)s in( ?a?? ?da
EI
Pa
28
3?
??
? 用 莫尔积分 求 ?11
?? S sEI xMxM d)()(11? ? ??
2/
0
2)s in(1 ? ?a
EI
?da
39
? 用 莫尔积分 求 ?11
?? S sEI xMxM d)()(11? ? ??
2/
0
2)s in(1 ? ?a
EI
?da
EI
a
4
3?
?
? 代入正则方程，得,
221
P
X ?
1
3
4
X
EI
a?
EI
Pa
28
3?
? 0?
? 由叠加原理，可得到弯矩方程
40
? 代入正则方程，得,
221
PX ?
1
3
4
X
EI
a?
EI
Pa
28
3?
? 0?
? 由叠加原理，可得到弯矩方程
BC段 MXM
1?
)4/0( ?? ??
?s in
22
Pa
??
CA段 MXMM
P 1??
)4/s in ( ?? ?? Pa ?s in
22
Pa
?
)2/4/( ??? ??
41
§ 14,3 对称及反对称性质的利用
1 对称结构的对称变形和反对称变形
? 对称结构
若结构的几何尺寸、形
状，构件材料及约束条
件均对称于某一轴，则
称此结构为 对称结构 。
? 对称载荷
若载荷的作用位置，大小和方向也对称于结构
的对称轴，则称为 对称载荷 。
42
? 对称载荷
若载荷的作用位置，大小和
方向也对称于结构的对称轴,
则称为 对称载荷 。
? 反对称载荷
若载荷的作用位置，大小对
称于结构的对称轴，但方向
反对称，则称为 反对称载荷 。
? 对称结构在对称载荷作用下
对称变形
43
? 对称结构在对称载荷作用下
对称变形
? 对称结构在反对称载荷作用下
反对称变形
2 对称结构受 对称载荷 时的特点
结论,
对称结构受对称载荷作用时,
在对称截面上,反对称 内力
（剪力）为零。
证明,从对称截面截开。
44
证明,从对称截面截开。
即要证明,X3 = 0
由正则方程
0Δ 1313212111 ???? PXXX ???
0Δ 2323222121 ???? PXXX ???
0Δ 3333232131 ???? PXXX ???
? 用图乘法可证明 △ 3P,?31和 ?32 均为零。
45
? 用图乘法可证明 △ 3P,?31和 ?32 均为零。
画出弯矩图 。
0Δ 3 ?P
031 ??
由 MP和 M3图
由 M1和 M3图
032 ??
由 M2和 M3图
033 ??又
03 ?X所以
46
3 对称结构受 反对称 载荷 时的特点
结论,
对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面
上,对称内力 （弯
矩和轴力）为零。
注意,
上述结论只对 对称截面
处成立，对其它截面不
成立。
47
4 可转化为 对称载荷 或 反对称 载荷 的情况
+
48
例 1 (书例 14.5)
已知, 等截面圆环,P,a,EI
为常数 。
求, 直径 AB的长度变化 。
解, ? 静不定次数 3次
? 因为结构和载荷关于 CD对称
所以在 C,D截面上,
P
P
A
D C
B
a
N0
M0 M0
N0
P
A
C D
反对称内力 ? 剪力 Q=0。
? 又因为结构和载荷
关于 AB对称
所以,C,D截面上的
内力也关于 AB对称。
49
N0
M0 M0
N0
P
A
C D
? 又因为结构和载荷
关于 AB对称
所以,C,D截面上的
内力也关于 AB对称。
0?? Y由
20
PN ?
C,D截面上的内力相等。
? 由半圆环关于 AB的对称性
可取四分之一圆环研究。
M0
N0
D
A
50
? 由半圆环关于 AB的对称性
可取四分之一圆环研究。
这样，就简化为一次静不
定问题。
M0
N0
D
A
P
P
A
D C
B
a
? 对整体，由变形的对称性可知,
A,B,C,D截面的转角为零。
所以对 四分之一圆环 AD,
可将 A处看作受固定端约束。
而将 D截面转角为零作为 变
形协调条件 。
51
这样，就简化为一次
静不定问题。
记未知约束力偶 M0为
X1,N0 用 P/2 代替 。
X1 D
A
2
P? 求解静不定问题
? 正则方程
01111 ??? PX?
? 载荷分解
)c o s1(
2
??? PaM P
? 外载荷的弯矩方程
D
A
2
P
? 1 D
A
?
M0
N0
D
A
52
? 载荷分解
)c o s1(
2
??? PaM P
? 外载荷的弯矩方程
D
A
2
P
? 1 D
A
?
? 单位载荷的弯矩方程 1??M
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
? ??? S PP sEI MM d1
? ??
2/
0
)c o s1(
2
1 ? ?Pa
EI
)1(?? ?da )1
2
(
2
3
??? ?
EI
Pa
53
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
? ??? S PP sEI MM d1
? ??
2/
0
)c o s1(
2
1 ? ?Pa
EI
)1(?? ?da
2
( 1 )
22
Pa
EI
?
? ? ?
? 用 莫尔积分 求 ?11
? ?? S sEI MM d11? ? ??
2/
0
2)1(1 ?
EI
?da
EI
a
2
??
? 代入正则方程，解得,
)1
2
1(
1 ??? PaX
54
? 代入正则方程，解得,
)1
2
1(
1 ??? PaX
? 求 AB两点的相对位移
1PM M X??
? 外载荷的弯矩方程
由叠加原理,AD段的弯矩方程
)c os1(
2
??? Pa )1
2
1(
?
?? Pa
P
P
A
D C
B
a
?
? 在 A,B两点加一对单位力
)
2
c os1( ?
?
?? Pa
55
1PM M X??
由叠加原理,AD段的弯矩方程
)c os1(
2
??? Pa )1
2
1(
?
?? Pa
1
1
A
D C
B
a
?
? 在 A,B两点加一对单位力
? 单位载荷的弯矩方程
只需在上式中，令 P = 1
)
2
c o s1(
1
?
?
?? aM
)
2
c os1( ?
?
?? Pa
56
1
1
A
D C
B
a
?
? 单位载荷的弯矩方程
只需在上式中，令 P = 1
)
2
c o s1(
1
?
?
?? aM
? 用 莫尔积分 求相对位移
? ??
2/
0
1 d4 ? ?? a
EI
MM
?
?
?
?
d)
2
c o s1
(
4 22/
0
3
? ?? EI
Pa
)2
4
(
3
?
? ??
EI
Pa
57
例 2 (书例 14.6)
已知, 刚架如图,q,a 。
求, 约束反力 。
解, ? 静不定次数 1次
? 取静定基
解除在 C截面处对相对转动
的约束,则 C处的约束成为
? 又因为 结构对称 而 载荷 反对称
所以,C截面上的对称内力 MC和 NC均为零。
则,C处的铰链成为可动铰支座。
q
q
a a
A B
EI EI
C
MC
代之以力偶 MC 。 铰链。
58
? 又因为 结构对称 而 载荷 反对称
所以,C截面上的对称内力 MC和 NC均为零。
则,C处的铰链成为可动铰支座。
q
q
a a
A B
EI EI
C
MC q
A
EI
C
a
成为静定
结构
59
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第十四章
静 不 定 结 构
2
§ 13,8 计算莫尔积分的图乘法
杆件为 等截面 直杆 。 ? 图乘法的条件
? 用图乘法计算莫尔积分
? 简要复习
??? l xEI xMxM d)()(
EI
M C?? ?
式中,?为 M(x)弯矩图的面积；
CM
为 )(xM 图中与 )(xM 图的形心 C对应
的纵坐标。
3
用图乘法时，应注意,
1 当弯矩图有变化时，应分段图乘；
2 当 EI 有变化时，应分段图乘；
3 作弯矩图时，可用叠加法，分别进行图乘。
4
第十四章 静不定结构
§ 14,1 静不定结构概述
1 静不定结构
? 外力静不定 ? 内力静不定 ? 混合静不定
2 静不定次数的确定
静不定次数 = 未知力个数 - 独立平衡方程数
(1) 外力静不定次数的确定
根据约束的性质及力系的类型来确定。
? 新课
5
(2) 内力静不定次数的确定
? 平面桁架
未知力个数 = 约束反力数 + 杆件数
独立方程数 = 节点数 乘以 2
? 刚架
对于闭口的平面刚架，为三次内力静不定；
每增加一个闭合框架，就增加三次静不定。
6
3 静定基和相当系统
? 静定基 (基本静定系 )
静不定系统在解除某些约束后得到的静定系统,
静定基不唯一。
? 相当系统
在静定基上作用外载荷和被解除约束的约束反
力的系统。 ?? 与静不定系统 静力等效 。
7
§ 14,2 用力法解静不定结构
1 力法与位移法
? 力法 ? 位移法
2 力法解静不定
? 例子
? 静不定次数 1次
? 静定基
? 相当系统
? 变形协调条件
01 ??
8
? 位移的表示
??1 P1?
11 X??
? △ 1X1的表示
在 B点沿 X1的方
向加单位力
11?
1111 1 ???? XX
对线弹性结构，有,
? 代入变形协调条件，得到,
P1? 111 ??? X 01111 ??? PX?0?
9
? 代入变形协调条件，得到,
P1? 0111 ??? ?X
这就是求解一次静不定问题的 力法正则方程 。
其中每一项的物理意义是 位移 。
01111 ??? PX?
△ 1P 表示,
??? lP xEI xMxM d)()(11
注意：外载荷中不包括 X1。
在 X1作用点沿 X1方向
由于 外载荷 作用而 引起的位移。
可用莫尔积分表示为,
10
01111 ??? PX?
△ 1P 表示,
在 X1作用点沿 X1方向
由于 外载荷 作用而 引起的位移。
?11 表示,
在 X1作用点沿 X1方向由
于 X1处的 单位载荷 引起
的位移。
??? lP xEI xMxM d)()(11可用莫尔积分表示为,
注意：外载荷中不包括 X1。
11
?11 表示,
在 X1作用点沿 X1方向由
于 X1处的 单位载荷 引起
可用莫尔积分表示为,
?? l xEI xMxM d)()( 1111?
的位移。
? 对本例
,
3
3
11 EI
l?? )3(
6
2
1 alEI
Pa
P ????
)3(
2 3
2
1 all
PaX ??
用莫尔积分法，或图乘法可求出
由正则方程解出,
12
3 N次力法正则方程
先以三次静不定问题为例
相当系统
)3,2,1(0 ??? ii变形协调条件,
13
)3,2,1(0 ??? ii
变形协调条件,
PXXX 13132121111 ?????? ??? 0?
PXXX 23232221212 ?????? ??? 0?
PXXX 33332321313 ?????? ??? 0?
同理，对 N次静不定问题，有
0Δ 11212111 ????? Pnn XXX ??? ?
0Δ 22222121 ????? Pnn XXX ??? ?
??????????
0Δ2211 ????? nPnnnnn XXX ??? ?
14
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
2211
22222121
11212111
nPnnnnn
Pnn
Pnn
ΔXXX
ΔXXX
ΔXXX
???
???
???
?
??
?
?
同理，对 N次静不定问题，有
其中的常数项 △ iP 表示,
在 Xi作用点沿 Xi方向由于 外载荷 而 引起的位移。
??? l iiP xEI xMxM d)()(
可用莫尔积分表示为,
15
其中的常数项 △ iP 表示,
在 Xi作用点沿 Xi方向由于 外载荷 而 引起的位移。
??? l ii xEI xMxM d)()(P
可用莫尔积分表示为,
其中的系数 ?ij 表示,
在 Xi作用点沿 Xi方向由于 Xj处的 单位载荷 引起的
位移。
根据位移互等定理，有,
jiij ?? ?
?ij可用莫尔积分表示为,
?? l jiij xEI
xMxM
d
)()(
?
16
? 解静不定问题的一般步骤
1) 判定 静不定 次数 ；
2) 选择 静定基,得到 相当系统 ；
3) 分解载荷, 分别 将 外载荷,各 单位载荷 作
用在 静定基 上；
4) 画出各载荷下的内力 (弯矩 )图或写出内力
(弯矩 )方程；
5) 用图乘法或莫尔积分等求出 △ iP 和 ?ij ；
6) 求解正则方程，解出未知力。
17
例 1 (书例 11.4)
已知, q,a,EI为常数。
求, 静不定问题 。
解, ? 静不定次数 3次
? 静定基 ? 相当系统
? 分解载荷
? 外载荷
? 单位载荷
18
? 分解载荷 ? 外载荷
? 单位载荷
? 用图乘法
求系数
? 外载荷的
弯矩图 2
2
1 qa
PM
19
? 用图乘法求系数
? 外载荷的弯矩图
? 单位载荷的弯矩图
a
1M 2M
a
a
2
2
1 qa
PM
20
? 单位载荷的弯矩图 a
1M
a
2M
a
1
1
3M
? 计算常数项 △ iP
△ 1P 为 MP图与 M1图 互乘
21
2
2
1 qa
PM
a
1M
a
? 计算常数项 △ iP
[11
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]( a??
EI
qa
6
4
??
△ 1P 为 MP图与 M1图 互乘
△ 2P 为 MP图与 M2图 互乘
22
2
2
1 qa
PM
[11
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]( a??
EI
qa
6
4
??
△ 1P 为 MP图与 M1图 互乘
△ 2P 为 MP图与 M2图 互乘
2M
a
[12
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ??
)]
4
3( a??
EI
qa
8
4
??
23 22
1 qa
PM
[12
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ??
)]
4
3( a??
EI
qa
8
4
??
△ 2P 为 MP图与 M2图 互乘
△ 3P 为 MP图与 M3图 互乘
1
1
3M
[13
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]1(??
EI
qa
6
3
??
24
2
2
1 qa
PM
[13
EIP
?? 2
2
1
3
1 qaa ?? )]1(??
EI
qa
6
3
??
△ 3P 为 MP图与 M3图 互乘
? 计算系数 ? ij
1
1
3M
?11 为 M1图与 M1图 自乘
25
(111
EI
?? aa ??
2
1
a
3
2?
EI
a
3
4 3?
2M
a
? 计算系数 ?i j
a
1M
a
?11 为 M1图与 M1图 自乘
aa ?? )a?
(122
EI
?? aa ??
2
1
)
3
2 a?
EI
a
3
3
?
26
2M
a
(122
EI
?? aa ??
2
1
)
3
2 a?
EI
a
3
3
?
1
1
3M
(133
EI
?? 1?a 1?
EI
a2?
?33 为 M3图与 M3图 自乘
1?? a )1?
27
2M
a
(133
EI
?? 1?a 1?
EI
a2?
?33 为 M3图与 M3图 自乘
1?? a )1?
(12112
EI
?? ?? aa? )
2
1 a?
EI
a
2
3
?
?12 为 M1图与 M2图 互乘
a
1M
a
28
(12112
EI
?? ?? aa? )
2
1 a?
EI
a
2
3
?
?12 为 M1图与 M2图 互乘
a
1M
a
(13113
EI
?? ?? aa ?
2
1 1?
EI
a
2
3 2?
?13 为 M1图与 M3图 互乘
1
1
3M
aa ?? )1?
29
(13113
EI
?? ?? aa ?
2
1 1?
EI
a
2
3 2?
?13 为 M1图与 M3图 互乘
1
1
3M
aa ?? )1?
(13223
EI
?? ?? aa ?
2
1 )1?
EI
a
2
2
?
?23 为 M2图与 M3图 互乘
2M
a
30
(13223
EI
?? ?? aa ?
2
1 )1?
EI
a
2
2
?
?23 为 M2图与 M3图 互乘
? 将求出的系数和常数代入正则方程，有,
2
321 938 qaXaXaX ???
,
161
qaX ??
2
321 312812 qaXaXaX ???
2
321 1239 qaXaXaX ???
,
16
7
2
qaX ?
48
2
3
qaX ?
31
例 2 (书例 11.2)
已知, P,a,各杆 EA相同。
求, 各杆内力 。
解, ? 静不定次数 1次
? 静定基 ? 相当系统
这里,?1的物理意义是 4号
杆切口处的 相对位移 。
P
1
5
4
3
2
a
a
6
P
1
5
4
3
2
6
X1 ? 正则方程
??1 PX 1111 ???
所以应有,0
1111 ??? PX?
32
这里,?1的物理意义是 4号
杆切口处的 相对位移 。
P
1
5
4
3
2
6
X1 ? 正则方程
??1 PX 1111 ???
所以应有,0
1111 ??? PX?
P
1
5
4
3
2
6
? 分解载荷
,1 PN ??,2 PN ??
,03 ?N,04 ?N
,25 PN ? 06 ?N
? 外载荷 作用时的内力
33
? 外载荷作用时的内力
,1 PN ??,2 PN ??
,03 ?N,04 ?N
,25 PN ? 06 ?N
? 单位载荷作用时的内力
,11 ?N,12 ?N
,13 ?N,14 ?N
,25 ??N 26 ??N
1
5
4
3
2
6
P
1
5
4
3
2
6
X1
1
?
?
??
6
1
1
i i
iii
P EA
lNN
? 计算 △ 1P
34
?
?
??
6
1
1
i i
iii
P EA
lNN
? 计算 △ 1P
EA
Pa)21(2 ?
??
?
?
?
6
1
11
i i
iii
EA
lNN
?
? 计算 ?11
EA
a)21(4 ?
?
? 代入正则方程，解得,
11
1
1 ?
PX ???
2
P?
? 由叠加原理，各杆的内力,
ii
P
i NXNN 1??
35
例 3 (书例 11.3)
已知, 四分之一圆曲
杆,P,a,EI为常数 。
求, 弯矩图 。
解, ? 静不定次数 1次
? 静定基 ? 相当系统
? 对曲杆，不能用图乘
法，用 莫尔积分 求。
? 正则方程
01111 ??? PX?
P
A
B
a 45°
45°
A
B
45°
45°
? 分解载荷
P
X1
36
? 分解载荷
? 外载荷
BC段 0?M
)4/0( ?? ??CA段
)4/s in ( ?? ?? PaM
)2/4/( ??? ??
A
B
?
P
C
? 单位载荷的弯矩方程
?s inaM ??
)2/0( ?? ??
A
B
? 1 C
? 单位载荷
? 外载荷的弯矩方程
37
? 单位载荷的弯矩方程
?s inaM ??
)2/0( ?? ??
A
B
? 1 C
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
??? SP sEI xMxM d)()(1
? ??
2/
4/
)]4/s i n ([1
?
?
??Pa
EI
)s in( ?a?? ?da
EI
Pa
28
3?
??
38
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
??? SP sEI xMxM d)()(1
? ??
2/
4/
)]4/s i n ([1
?
?
??Pa
EI
)s in( ?a?? ?da
EI
Pa
28
3?
??
? 用 莫尔积分 求 ?11
?? S sEI xMxM d)()(11? ? ??
2/
0
2)s in(1 ? ?a
EI
?da
39
? 用 莫尔积分 求 ?11
?? S sEI xMxM d)()(11? ? ??
2/
0
2)s in(1 ? ?a
EI
?da
EI
a
4
3?
?
? 代入正则方程，得,
221
P
X ?
1
3
4
X
EI
a?
EI
Pa
28
3?
? 0?
? 由叠加原理，可得到弯矩方程
40
? 代入正则方程，得,
221
PX ?
1
3
4
X
EI
a?
EI
Pa
28
3?
? 0?
? 由叠加原理，可得到弯矩方程
BC段 MXM
1?
)4/0( ?? ??
?s in
22
Pa
??
CA段 MXMM
P 1??
)4/s in ( ?? ?? Pa ?s in
22
Pa
?
)2/4/( ??? ??
41
§ 14,3 对称及反对称性质的利用
1 对称结构的对称变形和反对称变形
? 对称结构
若结构的几何尺寸、形
状，构件材料及约束条
件均对称于某一轴，则
称此结构为 对称结构 。
? 对称载荷
若载荷的作用位置，大小和方向也对称于结构
的对称轴，则称为 对称载荷 。
42
? 对称载荷
若载荷的作用位置，大小和
方向也对称于结构的对称轴,
则称为 对称载荷 。
? 反对称载荷
若载荷的作用位置，大小对
称于结构的对称轴，但方向
反对称，则称为 反对称载荷 。
? 对称结构在对称载荷作用下
对称变形
43
? 对称结构在对称载荷作用下
对称变形
? 对称结构在反对称载荷作用下
反对称变形
2 对称结构受 对称载荷 时的特点
结论,
对称结构受对称载荷作用时,
在对称截面上,反对称 内力
（剪力）为零。
证明,从对称截面截开。
44
证明,从对称截面截开。
即要证明,X3 = 0
由正则方程
0Δ 1313212111 ???? PXXX ???
0Δ 2323222121 ???? PXXX ???
0Δ 3333232131 ???? PXXX ???
? 用图乘法可证明 △ 3P,?31和 ?32 均为零。
45
? 用图乘法可证明 △ 3P,?31和 ?32 均为零。
画出弯矩图 。
0Δ 3 ?P
031 ??
由 MP和 M3图
由 M1和 M3图
032 ??
由 M2和 M3图
033 ??又
03 ?X所以
46
3 对称结构受 反对称 载荷 时的特点
结论,
对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面
上,对称内力 （弯
矩和轴力）为零。
注意,
上述结论只对 对称截面
处成立，对其它截面不
成立。
47
4 可转化为 对称载荷 或 反对称 载荷 的情况
+
48
例 1 (书例 14.5)
已知, 等截面圆环,P,a,EI
为常数 。
求, 直径 AB的长度变化 。
解, ? 静不定次数 3次
? 因为结构和载荷关于 CD对称
所以在 C,D截面上,
P
P
A
D C
B
a
N0
M0 M0
N0
P
A
C D
反对称内力 ? 剪力 Q=0。
? 又因为结构和载荷
关于 AB对称
所以,C,D截面上的
内力也关于 AB对称。
49
N0
M0 M0
N0
P
A
C D
? 又因为结构和载荷
关于 AB对称
所以,C,D截面上的
内力也关于 AB对称。
0?? Y由
20
PN ?
C,D截面上的内力相等。
? 由半圆环关于 AB的对称性
可取四分之一圆环研究。
M0
N0
D
A
50
? 由半圆环关于 AB的对称性
可取四分之一圆环研究。
这样，就简化为一次静不
定问题。
M0
N0
D
A
P
P
A
D C
B
a
? 对整体，由变形的对称性可知,
A,B,C,D截面的转角为零。
所以对 四分之一圆环 AD,
可将 A处看作受固定端约束。
而将 D截面转角为零作为 变
形协调条件 。
51
这样，就简化为一次
静不定问题。
记未知约束力偶 M0为
X1,N0 用 P/2 代替 。
X1 D
A
2
P? 求解静不定问题
? 正则方程
01111 ??? PX?
? 载荷分解
)c o s1(
2
??? PaM P
? 外载荷的弯矩方程
D
A
2
P
? 1 D
A
?
M0
N0
D
A
52
? 载荷分解
)c o s1(
2
??? PaM P
? 外载荷的弯矩方程
D
A
2
P
? 1 D
A
?
? 单位载荷的弯矩方程 1??M
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
? ??? S PP sEI MM d1
? ??
2/
0
)c o s1(
2
1 ? ?Pa
EI
)1(?? ?da )1
2
(
2
3
??? ?
EI
Pa
53
? 用 莫尔积分 求 △ 1P
? ??? S PP sEI MM d1
? ??
2/
0
)c o s1(
2
1 ? ?Pa
EI
)1(?? ?da
2
( 1 )
22
Pa
EI
?
? ? ?
? 用 莫尔积分 求 ?11
? ?? S sEI MM d11? ? ??
2/
0
2)1(1 ?
EI
?da
EI
a
2
??
? 代入正则方程，解得,
)1
2
1(
1 ??? PaX
54
? 代入正则方程，解得,
)1
2
1(
1 ??? PaX
? 求 AB两点的相对位移
1PM M X??
? 外载荷的弯矩方程
由叠加原理,AD段的弯矩方程
)c os1(
2
??? Pa )1
2
1(
?
?? Pa
P
P
A
D C
B
a
?
? 在 A,B两点加一对单位力
)
2
c os1( ?
?
?? Pa
55
1PM M X??
由叠加原理,AD段的弯矩方程
)c os1(
2
??? Pa )1
2
1(
?
?? Pa
1
1
A
D C
B
a
?
? 在 A,B两点加一对单位力
? 单位载荷的弯矩方程
只需在上式中，令 P = 1
)
2
c o s1(
1
?
?
?? aM
)
2
c os1( ?
?
?? Pa
56
1
1
A
D C
B
a
?
? 单位载荷的弯矩方程
只需在上式中，令 P = 1
)
2
c o s1(
1
?
?
?? aM
? 用 莫尔积分 求相对位移
? ??
2/
0
1 d4 ? ?? a
EI
MM
?
?
?
?
d)
2
c o s1
(
4 22/
0
3
? ?? EI
Pa
)2
4
(
3
?
? ??
EI
Pa
57
例 2 (书例 14.6)
已知, 刚架如图,q,a 。
求, 约束反力 。
解, ? 静不定次数 1次
? 取静定基
解除在 C截面处对相对转动
的约束,则 C处的约束成为
? 又因为 结构对称 而 载荷 反对称
所以,C截面上的对称内力 MC和 NC均为零。
则,C处的铰链成为可动铰支座。
q
q
a a
A B
EI EI
C
MC
代之以力偶 MC 。 铰链。
58
? 又因为 结构对称 而 载荷 反对称
所以,C截面上的对称内力 MC和 NC均为零。
则,C处的铰链成为可动铰支座。
q
q
a a
A B
EI EI
C
MC q
A
EI
C
a
成为静定
结构
59
谢 谢 大 家 !
