1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第六章
弯 曲 变 形
2
第六章 弯曲变形
本章内容,
1 工程中的弯曲变形问题
2 挠曲线的微分方程
3 用积分法求弯曲变形
4 用叠加法求弯曲变形
5 简单静不定梁
6 提高弯曲刚度的一些措施
3
§ 6,1 工程中的弯曲变形问题
? 对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。
? 大多数情况下，要求梁的变形不能过大；
? 一些特殊情况下，要利用弯曲变形。
§ 6,2 挠曲线的微分方程
? 求解静不定问题需要计算梁的变形。
? 挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。
对称弯曲时，是一条平面曲线。
4
§ 6,2 挠曲线的微分方程
1 基本概念
梁的轴线变形后的曲线。
对称弯曲时，是一条平面曲线。
? 弯曲变
形的度量
? 挠度
横截面形
心沿 y方向
的位移，用 v表示。
? 挠曲线
5
? 挠度
横截面形心沿 y方向
的位移，用 v表示。
? 转角
变形后，横截面相对其原来位置转过的角度。
用 ? 表示。转角 ? 以 逆时针 为 正 。
? 挠曲线方程 )( xfv ?
转角即为挠曲线在该点的切线与 x轴的夹角。
x
v
d
dt a n ??
6
2 挠曲线的微分方程
上一章中，已得到：忽略剪力对变形的影响时,
梁对称弯曲时的曲率为
? 由 高等数学 公式
EI
xM
x
)(
)(
1
?
?
?
)(
1
x?
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
7
,
)(
)(
1
EI
xM
x
?
?
?
)(
1
x?
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
EI
xM )(?
这就是挠曲线的微分方程。
8
? 挠曲线的近似微分方程
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
EI
xM )(?
在小变形的情况下,
1
d
d ??
x
v
2
2
d
d
x
v?
EI
xM )(?
? 方程中正负号的确定
9
? 挠曲线的近似微分方程
在小变形的情况下,
1
d
d ??
x
v
2
2
d
d
x
v?
EI
xM )(?
? 方程中正负号的确定
所以方程中
应 取 正号 。
EI
xM )(?
2
2
d
d
x
v
10
? 挠曲线的近似微分方程
在小变形的情况下,
1
d
d ??
x
v
2
2
d
d
x
v?
EI
xM )(?
? 方程中正负号的确定 方程中应取正号。
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
转角, ?? ta n?
注意, 挠曲线的近似微分方程仅适用于 小变形 的
平面弯曲 问题。
x
v
d
d?
11
§ 6,3 用积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程
积分一次，得
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
x
v
d
d??
再积分一次，得
DCxxx
EI
xMv ??
?
?
??
?
?? ?? dd)(
其中,C,D为积分常数
? 边界条件
Cx
EI
xM ?? ? d)(
，由 边界条件 确定。
12
? 边界条件
几种典型的边界条件
? 简支梁
? 悬臂梁
,0)0( ?v 0)( ?lv
,0)0( ?v 0)0( ??v
? 连续条件
? 弯曲变形的 对称点 处
0??? v?
在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。
13
? 梁的刚度条件,][
m a x ff ? ][m a x ?? ?
? 连续条件
在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。
DD vv 21 ?
D点和 C点
的连续条件
各为什么？
D点,
C点,
DD 21 ?? ?
,32 DD vv ? DD 32 ?? ?
? 中间铰处，挠度连续，转角不连续。
0?
14
例 2 (书例 6.3)
已知,简支梁
受集中力作用。
解,
求,转角和挠
曲线方程。
(1) 求支反力，列弯矩方程
? 支反力
,
l
PbR
A ? l
PaR
B ?
? 弯矩方程
AC段,
11 xl
PbM ? )0(
1 ax ??
15
(1) 求支反力，列弯矩方程
? 弯矩方程
AC段,
11 xl
PbM ?
)0( 1 ax ??
CB段,
)( 222 axPx
l
PbM ??? )(
2 bxa ??
(2) 列近似微分方程，积分
AC段,
11 xl
PbvEI ???
,
2
1
1
2
11 Cxl
PbvEI ???
111
3
11 6
1 DxCx
l
PbE I v ???
16
(2) 列近似微分方程，积分
AC段,
11 xl
PbvEI ???
,
2
1
1
2
11 Cxl
PbvEI ???
111
3
11 6
1 DxCx
l
PbE I v ???
CB段,
)( 222 axPx
l
PbvEI ?????
2
2
2
2
22 )(2
1
2
1 CaxPx
l
PbvEI ?????
222
3
2
3
22 )(6
1
6
1 DxCaxPx
l
PbE I v ?????
17
(3) 确定积分常数
? 连续条件
)()( 21 avav ???
? 边界条件
)()( 21 avav ?
,21 CC ?
21 DD ?
01 ?x 时,;01 ?v lx ?2 时,02 ?v
代入相应的方程，得, 0
21 ?? DD
21 CC ? )(
6
22 bl
l
Pb ???
18
? 边界条件 0
1 ?x
时,;0
1 ?v lx ?2
时,0
2 ?v
代入相应的方程，得, 0
21 ?? DD
21 CC ? )(
6
22 bl
l
Pb ???
将求得的积分常数代回方程，得,
AC段,
,)3(
6
2
1
22
1 xbll
PbvEI ?????
)(
6
2
1
221
1 xbll
P b xE I v ????
CB段,
])(3)3[(
6
2
2
2
2
22
2 axb
lxbl
l
PbvEI ???????
19
将求得的积分常数代回方程，得,
AC段,
,)3(
6
2
1
22
1 xbll
PbvEI ?????
)(
6
2
1
221
1 xbll
P b xE I v ????
CB段,
])(3)3[(
6
2
2
2
2
22
2 axb
lxbl
l
PbvEI ???????
])()3[(
6
3
22
2
2
22
2 axb
lxxbl
l
PbE I v ??????
(4) 求最大转角和最大挠度
20
(4) 求最大转角和最大挠度
? 最大转角
由图，最大转角
可能发生在 A点
或 B点。
E I l
blPb
A 6
)( 22 ????
E I l
blP ab
6
)( ???
E I l
alP a b
B 6
)( ???
? 最大挠度
21
? 最大挠度
经分析，最大挠
度发生在 AC段。
01 ??v令,
3
22
0
bl
x
?
?
322
m a x )(39 blEI l
Pbf ???
经讨论知，不论 P力作用在何处，最大挠度总发
生在中点附近 (或中点 )。所以可 近似地 以中点的
挠度作为最大挠度。
22
本例中 (书例 6.3)
书上 p,222,
采取了 一些措施
AC段,
11 xl
PbM ?
? 关于确定积分常数
CB段,)(
222 axPxl
PbM ???
(1) 列弯矩方程
措施 1 各段的坐标原点为同一点：左端点。
措施 2 积分时，保留 (x2-a) 作为自变量。
23
? 关于确定积分常数
措施 1 各段的坐标原点为同一点：左端点。
措施 2 积分时，保留 (x2-a) 作为自变量。
措施 3 有 分布载荷 时，需将其延长到梁的右端,
并在延长部分加上等值反向的分布载荷。
措施 4 有 集中力偶 时，采用 m(xi-ai)0 的形式。
24
§ 6,4 用叠加法求弯曲变形
? 叠加法
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
在 线弹性 小变形 的条件下，得到挠曲线近似
这是一个 线性 的常微分方程。
微分方程
在第四章中，证明了在 小变形 的条件下，弯矩与
外载荷成线性关系，可用叠加法求弯矩图。
设,)()()(
21 xMxMxM ??
25
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
这是一个 线性 的常微分方程。
挠曲线近似微分方程
设,)()()(
21 xMxMxM ??
,)(
d
d 1
2
1
2
EI
xM
x
v ?
EI
xM
x
v )(
d
d 2
2
2
2
?
则共同作用时,
)(
d
d
2
2
xM
x
vEI ? )()(
21 xMxM ?? 2
1
2
d
d
x
vEI?
2
2
2
d
d
x
vEI?
2
21
2
d
)(d
x
vvEI ??
26
则共同作用时,
)(
d
d
2
2
xM
x
vEI ? )()(
21 xMxM ?? 2
1
2
d
d
x
vEI?
2
2
2
d
d
x
vEI?
2
21
2
d
)(d
x
vvEI ??
即：共同作用下的挠度等于分别在 M1(x), M2(x)
单独作用下的挠度的代数和。
综合以上讨论得到,
在 线弹性 小变形 的条件下,外载荷 与 挠度 (力与
位移 )成线性关系，可用 叠加法 计算梁的挠度。
21 vvv ??
27
? 叠加法的基础
要求记住,1,2,4,6,8,10。
熟记简单载荷作用下的挠度和转角。
见教材 p,224 表 6.1 。
? 叠加法的两种类型
(1) 载荷叠加法
将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后,
进行叠加；
(2) 变形叠加法
在内力不变的前提下，将梁分解 (或刚化 )为
几段，求出各段的变形，然后进行叠加。
28
例 1
已知, q,l,EI
= 常数。
解,
求, vC,?B。
分解为三个
简单载荷。
29
? 由 p,224 表 6.1 中的 10
EI
qlv
C 3 8 4
5 4
1 ??
EI
ql
B 24
3
1 ??
? 由表 6.1 中的 8
30
? 由 p,224 表 6.1 中的 10
EI
qlv
C 3 8 4
5 4
1 ??
EI
ql
B 24
3
1 ??
? 由表 6.1 中的 8
EI
Plv
C 48
3
2 ??
EI
Pl
B 16
2
2 ??
EI
ql
48
4
??
EI
ql
16
3
?
31
? 由表 6.1 中的 8
EI
Plv
C 48
3
2 ??
EI
Pl
B 16
2
2 ??
? 由表 6.1 中的 6
EI
mlv
C 16
2
3 ??
EI
ml
B 33 ??
EI
ql
16
4
?
EI
ql
3
3
??
EI
ql
48
4
??
EI
ql
16
3
?
32
? 由表 6.1 中的 6
EI
mlv
C 16
2
3 ??
EI
ml
B 33 ??
EI
ql
16
4
?
EI
ql
3
3
??
? 叠加
321 CCCC vvvv ???
321 BBBB ???? ???
EI
ql
384
11 4?
EI
ql
48
11 3??
33
例 2
已知, q,l,EI
= 常数。
解,
求, vC,?C。
表中没有对应
的情况。
方法,凑成 表中相
应的情况。
再分为两种载荷。
? 由 p,188 表 6.1
中的 4
34
再分为两种载荷。
? 由 p,188 表 6.1
中的 4
EI
qlv
C 8
4
1 ??
EI
ql
C 6
3
1 ???
? 由 p,224 表 6.1
中的 4
EI
lqv
B 8
)2/( 4
2 ? EI
lq
B 6
)2/( 3
2 ??,128
4
EI
ql?
EI
ql
48
3
?
35
? 由 p,188 表 6.1
中的 4
EI
lqv
B 8
)2/( 4
2 ? EI
lq
B 6
)2/( 3
2 ??,128
4
EI
ql?
EI
ql
48
3
?
? 注意，变形后
BC为直线。
22212 CCC vvv ??
EI
ql
128
4
?
2Bv? 2/2 lB ?? ?
248
3 l
EI
ql ??
EI
ql
384
7 4?
22 BC ?? ? EI
ql
48
3
?
36
22212 CCC vvv ??
EI
ql
128
4
?
2Bv? 2/2 lB ?? ?
248
3 l
EI
ql ??
EI
ql
384
7 4?
22 BC ?? ? EI
ql
48
3
?
所以
21 CCC ??? ?? EI
ql
48
7 3??
21 CCC vvv ??
EI
ql
384
41 4??
37
例 3 (书例 6.5)
已知, P1,P2,a,
l,EI = 常数。
解,
求, vC,?B。
简化为外伸
梁如图。
将 AC梁分为两
个部分。
简支梁在 B处的
内力,
1PQ ?
aPM 1?
38
将 AC梁分为两
个部分。
简支梁在 B处的
内力,
1PQ ?
aPM 1?
? 求 ?B
? 由 p,188 表 6.1中的 6
EI
Ml
MB 3)( ?? EI
alP
3
3
1?
? 由表 6.1中的 8
EI
lP
PB 16)(
2
2
2
???
所以
2)()( PBMBB ??? ?? EI
alP
3
3
1?
EI
lP
16
2
2?
Q不引起变形。
39
所以
2)()( PBMBB ??? ??
EI
alP
3
3
1?
EI
lP
16
2
2?
? 求 vC
? 由表 6.1中的 2
C点的位移由两部分组成,
由 B截面转角引起的位移和由悬臂梁 BC的变形
BC av ??1 EI
laP
3
32
1?
EI
alP
16
2
2?
EI
aPv
C 3
3
1
2 ?
引起的位移。
40
? 求 vC
? 由表 6.1中的 2
C点的位移由两部分组成,
由 B截面转角引起的位移和由悬臂梁 BC的变形
BC av ??1 EI
laP
3
32
1?
EI
alP
16
2
2?
EI
aPv
C 3
3
1
2 ?
引起的位移。
21 CCC vvv ??
)(
3
2
1 la
EI
aP ??
EI
alP
16
2
2?
41
例 4
已知, P,l,EI,
EA。
解,
求, vE 。
(1) 将刚架看成
是刚体
则 AB相当于简
(2) 刚架变形
支梁。
1Ev
2Ev 2/Bv?
? 思路
42
(1) 将刚架看成
是刚体
则 AB相当于简
(2) 刚架变形
支梁。
1Ev
2Ev 2/Bv?
? 求 vB
(3) CD看成 刚体
1Bv
(4) BC看成 刚体
43
? 求 vB
(3) CD看
成 刚体
1Bv
(4) BC看
成 刚体
,2Bv 3Bv
? 具体计算
? 对 BC，由表 6.1中的 2
EI
lPv
B 3
2/ 3
1
??
? CD的压缩变形
EA
lPv
B
?? 2/
2
44
? 具体计算
? 对 BC，由表 6.1中的 2
EI
lPv
B 3
2/ 3
1
??
? CD的压缩变形
EA
lPv
B
?? 2/
2
? CD的弯曲变形，由表 6.1中的 1
EI
lP
C
22/ ?
??
所以,
CB lv ???3 EI
lP 32/ ??
321 BBBB vvvv ???
EI
Pl
3
2 3?
EA
Pl
2
?
45
? CD的弯曲变形，由表 6.1中的 1
EI
lP
C
22/ ?
??
所以,
CB lv ???3 EI
lP 32/ ??
321 BBBB vvvv ???
EI
Pl
3
2 3?
EA
Pl
2
?
? 对简支梁 AB,
EI
Plv
E 48
3
1 ?
又,
BE vv 2
1
2 ?
由表 6.1中的 8
46
EI
Plv
B 3
2 3?
EA
Pl
2
?
? 对简支梁 AB,
EI
Plv
E 48
3
1 ?
又,
BE vv 2
1
2 ?
由表 6.1中的 8
21 EEE vvv ??
EI
Pl
48
3
?
EI
Pl
3
3
?
EA
Pl
4
?
47
§ 6,5 简单静不定梁
本节讨论简单静不定梁的求解。
? 例子
车床上被加工的
工件。
?计算简图如图
是一次静不定
问题。
? 基本概念
? 静定基
48
? 基本概念
? 静定基 将静不定系统中的 多余约束 解除
后，得到的“静定基本系统”。
? 相当系统 在静定基上加上外载荷以及多余约
束力，便得到 受力 和 变形 与静不定
系统完全相同的“相当系统”。
? 本例中
? 解除 B处可
动支座约束,
得到 静定基 。
49
? 解除 B处可动
支座约束，得
到 静定基 。
? 在静定基上
加上 P和 RB,得
到 相当系统 。
P
RB
? 求 B点挠度
用叠加法
50
? 在静定基上
加上 P和 RB,得
到 相当系统 。
P
RB
? 变形协调条件
? 求 B点挠度
BRBPBB fff )()( ??
0?
用叠加法
BRBPBB fff )()( ??
? 具体计算 B点挠度
51
? 变形协调条件
0?
BRBPBB fff )()( ??
? 具体计算 B点挠度
由表 6.1中的 3
)3(
6
)(
2
al
EI
Paf
PB ??
由表 6.1中的 2
EI
lRf B
RB B 3)(
3
??
代入变形协调条件，可解出 )3(
2 3
3
2
2
l
a
l
aPR
B ??
求出 RB后，就可象求解静定梁一样求解了。
52
? 说明
静定基不是唯一的，可有多种选法。
53
§ 6,6 提高弯曲刚度的一些措施
提高弯曲刚度的措施,
梁的挠曲线微分方程为
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
1 改善结构形式,
减小弯矩值
力不传到轴上,
而由箱体承受。
54
1 改善结构形式，减小弯矩值
? 缩小跨度或增加约束
梁受集中力作用
时，挠度与跨度
(l)的三次方成正
比。
2 选择合理的截
面形状
? 弹性模量与
抗弯刚度
55
? 弹性模量与抗弯刚度
? 抗弯刚度 EI除与截面形状有关外，还与弹
性模量有关。
? 钢材的弹性模量较大，故用钢材制造的构
件有较大的抗弯刚度。
56
? 钢材的弹性模量较大，故用钢材制造的构
件有较大的抗弯刚度。
? 高强度合金钢与低碳钢的弹性模量接近,
故选用高强度合金钢可提高构件的 强度,
但不能提高其 刚度 。
57
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第六章
弯 曲 变 形
2
第六章 弯曲变形
本章内容,
1 工程中的弯曲变形问题
2 挠曲线的微分方程
3 用积分法求弯曲变形
4 用叠加法求弯曲变形
5 简单静不定梁
6 提高弯曲刚度的一些措施
3
§ 6,1 工程中的弯曲变形问题
? 对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。
? 大多数情况下，要求梁的变形不能过大；
? 一些特殊情况下，要利用弯曲变形。
§ 6,2 挠曲线的微分方程
? 求解静不定问题需要计算梁的变形。
? 挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。
对称弯曲时，是一条平面曲线。
4
§ 6,2 挠曲线的微分方程
1 基本概念
梁的轴线变形后的曲线。
对称弯曲时，是一条平面曲线。
? 弯曲变
形的度量
? 挠度
横截面形
心沿 y方向
的位移，用 v表示。
? 挠曲线
5
? 挠度
横截面形心沿 y方向
的位移，用 v表示。
? 转角
变形后，横截面相对其原来位置转过的角度。
用 ? 表示。转角 ? 以 逆时针 为 正 。
? 挠曲线方程 )( xfv ?
转角即为挠曲线在该点的切线与 x轴的夹角。
x
v
d
dt a n ??
6
2 挠曲线的微分方程
上一章中，已得到：忽略剪力对变形的影响时,
梁对称弯曲时的曲率为
? 由 高等数学 公式
EI
xM
x
)(
)(
1
?
?
?
)(
1
x?
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
7
,
)(
)(
1
EI
xM
x
?
?
?
)(
1
x?
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
EI
xM )(?
这就是挠曲线的微分方程。
8
? 挠曲线的近似微分方程
2/3
2
2
2
d
d
1
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
v
EI
xM )(?
在小变形的情况下,
1
d
d ??
x
v
2
2
d
d
x
v?
EI
xM )(?
? 方程中正负号的确定
9
? 挠曲线的近似微分方程
在小变形的情况下,
1
d
d ??
x
v
2
2
d
d
x
v?
EI
xM )(?
? 方程中正负号的确定
所以方程中
应 取 正号 。
EI
xM )(?
2
2
d
d
x
v
10
? 挠曲线的近似微分方程
在小变形的情况下,
1
d
d ??
x
v
2
2
d
d
x
v?
EI
xM )(?
? 方程中正负号的确定 方程中应取正号。
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
转角, ?? ta n?
注意, 挠曲线的近似微分方程仅适用于 小变形 的
平面弯曲 问题。
x
v
d
d?
11
§ 6,3 用积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程
积分一次，得
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
x
v
d
d??
再积分一次，得
DCxxx
EI
xMv ??
?
?
??
?
?? ?? dd)(
其中,C,D为积分常数
? 边界条件
Cx
EI
xM ?? ? d)(
，由 边界条件 确定。
12
? 边界条件
几种典型的边界条件
? 简支梁
? 悬臂梁
,0)0( ?v 0)( ?lv
,0)0( ?v 0)0( ??v
? 连续条件
? 弯曲变形的 对称点 处
0??? v?
在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。
13
? 梁的刚度条件,][
m a x ff ? ][m a x ?? ?
? 连续条件
在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。
DD vv 21 ?
D点和 C点
的连续条件
各为什么？
D点,
C点,
DD 21 ?? ?
,32 DD vv ? DD 32 ?? ?
? 中间铰处，挠度连续，转角不连续。
0?
14
例 2 (书例 6.3)
已知,简支梁
受集中力作用。
解,
求,转角和挠
曲线方程。
(1) 求支反力，列弯矩方程
? 支反力
,
l
PbR
A ? l
PaR
B ?
? 弯矩方程
AC段,
11 xl
PbM ? )0(
1 ax ??
15
(1) 求支反力，列弯矩方程
? 弯矩方程
AC段,
11 xl
PbM ?
)0( 1 ax ??
CB段,
)( 222 axPx
l
PbM ??? )(
2 bxa ??
(2) 列近似微分方程，积分
AC段,
11 xl
PbvEI ???
,
2
1
1
2
11 Cxl
PbvEI ???
111
3
11 6
1 DxCx
l
PbE I v ???
16
(2) 列近似微分方程，积分
AC段,
11 xl
PbvEI ???
,
2
1
1
2
11 Cxl
PbvEI ???
111
3
11 6
1 DxCx
l
PbE I v ???
CB段,
)( 222 axPx
l
PbvEI ?????
2
2
2
2
22 )(2
1
2
1 CaxPx
l
PbvEI ?????
222
3
2
3
22 )(6
1
6
1 DxCaxPx
l
PbE I v ?????
17
(3) 确定积分常数
? 连续条件
)()( 21 avav ???
? 边界条件
)()( 21 avav ?
,21 CC ?
21 DD ?
01 ?x 时,;01 ?v lx ?2 时,02 ?v
代入相应的方程，得, 0
21 ?? DD
21 CC ? )(
6
22 bl
l
Pb ???
18
? 边界条件 0
1 ?x
时,;0
1 ?v lx ?2
时,0
2 ?v
代入相应的方程，得, 0
21 ?? DD
21 CC ? )(
6
22 bl
l
Pb ???
将求得的积分常数代回方程，得,
AC段,
,)3(
6
2
1
22
1 xbll
PbvEI ?????
)(
6
2
1
221
1 xbll
P b xE I v ????
CB段,
])(3)3[(
6
2
2
2
2
22
2 axb
lxbl
l
PbvEI ???????
19
将求得的积分常数代回方程，得,
AC段,
,)3(
6
2
1
22
1 xbll
PbvEI ?????
)(
6
2
1
221
1 xbll
P b xE I v ????
CB段,
])(3)3[(
6
2
2
2
2
22
2 axb
lxbl
l
PbvEI ???????
])()3[(
6
3
22
2
2
22
2 axb
lxxbl
l
PbE I v ??????
(4) 求最大转角和最大挠度
20
(4) 求最大转角和最大挠度
? 最大转角
由图，最大转角
可能发生在 A点
或 B点。
E I l
blPb
A 6
)( 22 ????
E I l
blP ab
6
)( ???
E I l
alP a b
B 6
)( ???
? 最大挠度
21
? 最大挠度
经分析，最大挠
度发生在 AC段。
01 ??v令,
3
22
0
bl
x
?
?
322
m a x )(39 blEI l
Pbf ???
经讨论知，不论 P力作用在何处，最大挠度总发
生在中点附近 (或中点 )。所以可 近似地 以中点的
挠度作为最大挠度。
22
本例中 (书例 6.3)
书上 p,222,
采取了 一些措施
AC段,
11 xl
PbM ?
? 关于确定积分常数
CB段,)(
222 axPxl
PbM ???
(1) 列弯矩方程
措施 1 各段的坐标原点为同一点：左端点。
措施 2 积分时，保留 (x2-a) 作为自变量。
23
? 关于确定积分常数
措施 1 各段的坐标原点为同一点：左端点。
措施 2 积分时，保留 (x2-a) 作为自变量。
措施 3 有 分布载荷 时，需将其延长到梁的右端,
并在延长部分加上等值反向的分布载荷。
措施 4 有 集中力偶 时，采用 m(xi-ai)0 的形式。
24
§ 6,4 用叠加法求弯曲变形
? 叠加法
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
在 线弹性 小变形 的条件下，得到挠曲线近似
这是一个 线性 的常微分方程。
微分方程
在第四章中，证明了在 小变形 的条件下，弯矩与
外载荷成线性关系，可用叠加法求弯矩图。
设,)()()(
21 xMxMxM ??
25
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
这是一个 线性 的常微分方程。
挠曲线近似微分方程
设,)()()(
21 xMxMxM ??
,)(
d
d 1
2
1
2
EI
xM
x
v ?
EI
xM
x
v )(
d
d 2
2
2
2
?
则共同作用时,
)(
d
d
2
2
xM
x
vEI ? )()(
21 xMxM ?? 2
1
2
d
d
x
vEI?
2
2
2
d
d
x
vEI?
2
21
2
d
)(d
x
vvEI ??
26
则共同作用时,
)(
d
d
2
2
xM
x
vEI ? )()(
21 xMxM ?? 2
1
2
d
d
x
vEI?
2
2
2
d
d
x
vEI?
2
21
2
d
)(d
x
vvEI ??
即：共同作用下的挠度等于分别在 M1(x), M2(x)
单独作用下的挠度的代数和。
综合以上讨论得到,
在 线弹性 小变形 的条件下,外载荷 与 挠度 (力与
位移 )成线性关系，可用 叠加法 计算梁的挠度。
21 vvv ??
27
? 叠加法的基础
要求记住,1,2,4,6,8,10。
熟记简单载荷作用下的挠度和转角。
见教材 p,224 表 6.1 。
? 叠加法的两种类型
(1) 载荷叠加法
将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后,
进行叠加；
(2) 变形叠加法
在内力不变的前提下，将梁分解 (或刚化 )为
几段，求出各段的变形，然后进行叠加。
28
例 1
已知, q,l,EI
= 常数。
解,
求, vC,?B。
分解为三个
简单载荷。
29
? 由 p,224 表 6.1 中的 10
EI
qlv
C 3 8 4
5 4
1 ??
EI
ql
B 24
3
1 ??
? 由表 6.1 中的 8
30
? 由 p,224 表 6.1 中的 10
EI
qlv
C 3 8 4
5 4
1 ??
EI
ql
B 24
3
1 ??
? 由表 6.1 中的 8
EI
Plv
C 48
3
2 ??
EI
Pl
B 16
2
2 ??
EI
ql
48
4
??
EI
ql
16
3
?
31
? 由表 6.1 中的 8
EI
Plv
C 48
3
2 ??
EI
Pl
B 16
2
2 ??
? 由表 6.1 中的 6
EI
mlv
C 16
2
3 ??
EI
ml
B 33 ??
EI
ql
16
4
?
EI
ql
3
3
??
EI
ql
48
4
??
EI
ql
16
3
?
32
? 由表 6.1 中的 6
EI
mlv
C 16
2
3 ??
EI
ml
B 33 ??
EI
ql
16
4
?
EI
ql
3
3
??
? 叠加
321 CCCC vvvv ???
321 BBBB ???? ???
EI
ql
384
11 4?
EI
ql
48
11 3??
33
例 2
已知, q,l,EI
= 常数。
解,
求, vC,?C。
表中没有对应
的情况。
方法,凑成 表中相
应的情况。
再分为两种载荷。
? 由 p,188 表 6.1
中的 4
34
再分为两种载荷。
? 由 p,188 表 6.1
中的 4
EI
qlv
C 8
4
1 ??
EI
ql
C 6
3
1 ???
? 由 p,224 表 6.1
中的 4
EI
lqv
B 8
)2/( 4
2 ? EI
lq
B 6
)2/( 3
2 ??,128
4
EI
ql?
EI
ql
48
3
?
35
? 由 p,188 表 6.1
中的 4
EI
lqv
B 8
)2/( 4
2 ? EI
lq
B 6
)2/( 3
2 ??,128
4
EI
ql?
EI
ql
48
3
?
? 注意，变形后
BC为直线。
22212 CCC vvv ??
EI
ql
128
4
?
2Bv? 2/2 lB ?? ?
248
3 l
EI
ql ??
EI
ql
384
7 4?
22 BC ?? ? EI
ql
48
3
?
36
22212 CCC vvv ??
EI
ql
128
4
?
2Bv? 2/2 lB ?? ?
248
3 l
EI
ql ??
EI
ql
384
7 4?
22 BC ?? ? EI
ql
48
3
?
所以
21 CCC ??? ?? EI
ql
48
7 3??
21 CCC vvv ??
EI
ql
384
41 4??
37
例 3 (书例 6.5)
已知, P1,P2,a,
l,EI = 常数。
解,
求, vC,?B。
简化为外伸
梁如图。
将 AC梁分为两
个部分。
简支梁在 B处的
内力,
1PQ ?
aPM 1?
38
将 AC梁分为两
个部分。
简支梁在 B处的
内力,
1PQ ?
aPM 1?
? 求 ?B
? 由 p,188 表 6.1中的 6
EI
Ml
MB 3)( ?? EI
alP
3
3
1?
? 由表 6.1中的 8
EI
lP
PB 16)(
2
2
2
???
所以
2)()( PBMBB ??? ?? EI
alP
3
3
1?
EI
lP
16
2
2?
Q不引起变形。
39
所以
2)()( PBMBB ??? ??
EI
alP
3
3
1?
EI
lP
16
2
2?
? 求 vC
? 由表 6.1中的 2
C点的位移由两部分组成,
由 B截面转角引起的位移和由悬臂梁 BC的变形
BC av ??1 EI
laP
3
32
1?
EI
alP
16
2
2?
EI
aPv
C 3
3
1
2 ?
引起的位移。
40
? 求 vC
? 由表 6.1中的 2
C点的位移由两部分组成,
由 B截面转角引起的位移和由悬臂梁 BC的变形
BC av ??1 EI
laP
3
32
1?
EI
alP
16
2
2?
EI
aPv
C 3
3
1
2 ?
引起的位移。
21 CCC vvv ??
)(
3
2
1 la
EI
aP ??
EI
alP
16
2
2?
41
例 4
已知, P,l,EI,
EA。
解,
求, vE 。
(1) 将刚架看成
是刚体
则 AB相当于简
(2) 刚架变形
支梁。
1Ev
2Ev 2/Bv?
? 思路
42
(1) 将刚架看成
是刚体
则 AB相当于简
(2) 刚架变形
支梁。
1Ev
2Ev 2/Bv?
? 求 vB
(3) CD看成 刚体
1Bv
(4) BC看成 刚体
43
? 求 vB
(3) CD看
成 刚体
1Bv
(4) BC看
成 刚体
,2Bv 3Bv
? 具体计算
? 对 BC，由表 6.1中的 2
EI
lPv
B 3
2/ 3
1
??
? CD的压缩变形
EA
lPv
B
?? 2/
2
44
? 具体计算
? 对 BC，由表 6.1中的 2
EI
lPv
B 3
2/ 3
1
??
? CD的压缩变形
EA
lPv
B
?? 2/
2
? CD的弯曲变形，由表 6.1中的 1
EI
lP
C
22/ ?
??
所以,
CB lv ???3 EI
lP 32/ ??
321 BBBB vvvv ???
EI
Pl
3
2 3?
EA
Pl
2
?
45
? CD的弯曲变形，由表 6.1中的 1
EI
lP
C
22/ ?
??
所以,
CB lv ???3 EI
lP 32/ ??
321 BBBB vvvv ???
EI
Pl
3
2 3?
EA
Pl
2
?
? 对简支梁 AB,
EI
Plv
E 48
3
1 ?
又,
BE vv 2
1
2 ?
由表 6.1中的 8
46
EI
Plv
B 3
2 3?
EA
Pl
2
?
? 对简支梁 AB,
EI
Plv
E 48
3
1 ?
又,
BE vv 2
1
2 ?
由表 6.1中的 8
21 EEE vvv ??
EI
Pl
48
3
?
EI
Pl
3
3
?
EA
Pl
4
?
47
§ 6,5 简单静不定梁
本节讨论简单静不定梁的求解。
? 例子
车床上被加工的
工件。
?计算简图如图
是一次静不定
问题。
? 基本概念
? 静定基
48
? 基本概念
? 静定基 将静不定系统中的 多余约束 解除
后，得到的“静定基本系统”。
? 相当系统 在静定基上加上外载荷以及多余约
束力，便得到 受力 和 变形 与静不定
系统完全相同的“相当系统”。
? 本例中
? 解除 B处可
动支座约束,
得到 静定基 。
49
? 解除 B处可动
支座约束，得
到 静定基 。
? 在静定基上
加上 P和 RB,得
到 相当系统 。
P
RB
? 求 B点挠度
用叠加法
50
? 在静定基上
加上 P和 RB,得
到 相当系统 。
P
RB
? 变形协调条件
? 求 B点挠度
BRBPBB fff )()( ??
0?
用叠加法
BRBPBB fff )()( ??
? 具体计算 B点挠度
51
? 变形协调条件
0?
BRBPBB fff )()( ??
? 具体计算 B点挠度
由表 6.1中的 3
)3(
6
)(
2
al
EI
Paf
PB ??
由表 6.1中的 2
EI
lRf B
RB B 3)(
3
??
代入变形协调条件，可解出 )3(
2 3
3
2
2
l
a
l
aPR
B ??
求出 RB后，就可象求解静定梁一样求解了。
52
? 说明
静定基不是唯一的，可有多种选法。
53
§ 6,6 提高弯曲刚度的一些措施
提高弯曲刚度的措施,
梁的挠曲线微分方程为
EI
xM
x
v )(
d
d
2
2
?
1 改善结构形式,
减小弯矩值
力不传到轴上,
而由箱体承受。
54
1 改善结构形式，减小弯矩值
? 缩小跨度或增加约束
梁受集中力作用
时，挠度与跨度
(l)的三次方成正
比。
2 选择合理的截
面形状
? 弹性模量与
抗弯刚度
55
? 弹性模量与抗弯刚度
? 抗弯刚度 EI除与截面形状有关外，还与弹
性模量有关。
? 钢材的弹性模量较大，故用钢材制造的构
件有较大的抗弯刚度。
56
? 钢材的弹性模量较大，故用钢材制造的构
件有较大的抗弯刚度。
? 高强度合金钢与低碳钢的弹性模量接近,
故选用高强度合金钢可提高构件的 强度,
但不能提高其 刚度 。
57
谢 谢 大 家 !
