1
第十章 动载荷
本章内容,
1 概述
2 动静法的应用
3 强迫振动的应力计算
4 杆件受冲击时的应力和变形
5 冲击韧性
2
§ 10,1 概述
1 动载荷
? 静载荷 载荷从零开始缓慢地增加到最终值。
可认为构件始终处于平衡状态 。
? 动载荷 随时间明显变化的载荷，即具有较大
加载速率的载荷。
? 实验表明,
在动载荷作用下，只要应力不超过比例极限,
胡克定律仍成立，且弹性模量与静载时相同。
2 动载荷问题分类
3
1) 构件有加速度时的应力计算 ;
2) 冲击问题；
3) 振动问题；
4) 交变载荷。
2 动载荷问题分类
4
§ 10,2 动静法的应用
1 动静法
即为理论力学中介绍的 达朗伯原理 。
2 匀加速平动构件中的动应力分析
? 例子
设杆以匀加速度 a作平动,
加上惯性力系。
a
截面积为 A，比重为 ? 。
qd
R R
l
b
分布载荷中，包括自重
和惯性力。 则,?
dq ag
A ?? )1(
g
aA ?? ??A
5
a
qd
R R
l
b 分布载荷中，包括自重 和惯性力。
则,
?dq a
g
A ?? )1(
g
aA ?? ??A
? 加速度为零时,?Aq ?
st
? 加速度为 a时,
)1(std
g
aqq ??
记,
g
aK ?? 1
d
?? 动荷系数
若忽略自重，则
g
aK ?
d
6
? 加速度为 a时,
)1(std
g
aqq ??
记,
g
aK ?? 1
d
?? 动荷系数
若忽略自重，则
g
aK ?
d
? 对线性系统
内力、应力、应变和变形都与外力成 线性 关系 。
? 动载荷问题的求解
1) 求出动荷系数；
2) 按静载荷求解应力、应变、变形等；
3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
7
? 动载荷问题的求解
1) 求出动荷系数；
2) 按静载荷求解应力、应变、变形等；
3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如,
按 静载 求出某点的应力为
st?
stdd ?? K?
则 动载 下该点的应力为
按 静载 求出某点的挠度为
stv
stdd vKv ?
则 动载 下该点的挠度为
? 强度条件
stdd ?? K? ][??
8
? 强度条件
stdd ?? K? ][??
3 匀角速度转动构件中的动应力分析
设圆环以均角速度 ?转动,
加上惯性力系。
厚度 t 远小于直径 D,
截面积为 A，比重为 ? 。
ω qd
2
n ?Ra ? 2
2
?D?
nd ag
Aq ?? 2
2
??
g
DA?
9
2
n ?Ra ?
2
2
?D?
nd ag
Aq ?? 2
2
??
g
DA?
ω qd
? 取半圆，求内力 Nd Nd
由以前的结论，有,
?d2 N
2
d
d
DqN ? 22
4
?
?
g
DA
?
? 动应力
A
N d
d ?? g
D
4
22??
?
g
v 2?
?
Dq ?d
10
由以前的结论，有,
DqN ?? dd2
2
d
d
DqN ? 22
4
?
?
g
DA
?
? 动应力
A
N
d
d??
g
D
4
22??
?
g
v 2?
?
? 强度条件
g
v 2
d
?
? ? ][??
? 可看出,要保证圆环的强度，只能限制圆环的
转速，增大截面积 A并不能提高圆环的强度。
11
例 3 (书例 12.1)
已知, n=100r/min,
转动惯量 Ix＝ 0.5
kN·m·s2。轴直径
d=100mm。刹车
时在 10秒内均匀
减速停止转动。
求, 轴内最大动应力 。
解, ? 角速度
30
πn?? r a d/ s
3
π10?
? 角加速度
t
01 ??? ?? 2r a d/ s
3
π??
12
?xd Im ??
? 角速度
30
πn?? r a d/ s
3
π10?
? 角加速度
t
01 ??? ?? 2r a d/ s
3
π??
? 惯性力矩
mkN
3
π0,5 ??
? 由动静法
? ? 0xm df mm ?
13
? 由动静法
? ? 0xm
df mm ?
? 轴内扭矩
dmT ? mkN
3
π0,5 ??
? 最大剪应力
t
m a x W
T?? Pa1067.2 6?? M P a67.2?
14
§ 10,4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题
撞击，打桩，铆接，突然刹车等。
特点,冲击物 在极短瞬间速度发生剧变,被冲
击物 在此瞬间受到很大冲击力的作用。
2 求解冲击问题的 基本假设
例如,
锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。
是重力的 335倍。
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳,
15
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳,
2 求解冲击问题的 基本假设
二者合为一个运动系统；
③ 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,
冲击应力瞬间传遍整个构件；
④ 材料服从虎克定律；
⑤ 冲击过程中,能量损耗 很小，可 略去不计 。
3 求解冲击问题的 能量法
? 线弹性系统
任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。
16
3 求解冲击问题的 能量法
? 线弹性系统
任一线弹性杆件或结构都可简化为 线性弹簧 。
EA
Pll ??
l
l
EAP ??
等价弹簧的弹性
系数
l
EAk ?
17
等价弹簧的弹性系数
l
EAk ?
EA
Pll ?? l
l
EAP ??
? 能量法
设冲击物重为 Q,冲击
开始时的初动能为 T。
被冲击物的最大变形
为 △ d
忽略能量损失,由机
械能守恒定律有,
dUVT ??
18
? 能量法
设冲击物重为 Q,冲击
开始时的初动能为 T。
被冲击物的最大变形
为 △ d
忽略能量损失，由机
械能守恒定律，有,
dUVT ??以最大变形时重物的位置为 零势位置 。
则初位置的 势能 为,
dQV ??
设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为,
dP
19
则初位置的 势能 为,
dQV ??设达到最大变形时,
弹簧所受的动载荷为,
dP则变形能为,
ddd PU ?? 2
1
由,
dUVT ?? ddd PQT ????
2
1
? 为求出 ?d,将 Pd用 Q表示
在线弹性范围内，有,
st
dd
Q
P
?
?
?
st
d
?
?
?
20
ddd PQT ???? 2
1
? 为求出 ?d,将 Pd用 Q表示
在线弹性范围内，有,
st
dd
Q
P
?
?
?
st
d
?
?
?
QP
st
d
d ?
?
? QU
st
d
d ?
?
?
2
2
1
代入机械能守恒定律，化简得,
0222 ???????
Q
T st
dstd
解此一元二次方程得,
21
代入机械能守恒定理，化简得,
0222 ???????
Q
T st
dstd
解此一元二次方程得,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
st
std Q
T2
11
引入记号,
st
d
dK ?
??
stQ
T
?
???
2
11
? 冲击动
荷系数
则,,
stdd K ???,QKP dd ? stdd K ?? ?
22
引入记号,
st
d
dK ?
??
stQ
T
?
???
2
11
? 冲击动
荷系数
则,,
stdd K ???,QKP dd ? stdd K ?? ?
? 几种常见情况下的 冲击动荷系数
(1) 垂直冲击 (自由落体 )
这时，公式中的 T为,
QhT ?
st
d
h
K
?
???
2
11
23
(1) 垂直冲击 (自由落体 )
这时，公式中的 T为,
QhT ?
st
d
h
K
?
???
2
11
(2) 水平冲击
设接触时的速度
为 v,则动能,
2
2
1 v
g
QT ?
以重物所在的水平面为零势面,
则势能, 0?V
24
(2) 水平冲击
设接触时的速度
为 v,则动能,
2
2
1 v
g
QT ?
以重物所在的水平面为零势面,
则势能, 0?V
忽略能量损失，由机械能守恒定律，有,
dUVT ??
2
2
1 v
g
Q
ddP ?? 2
1 Q
st
d
?
?
?
2
2
1
25
dUVT ??
2
2
1 v
g
Q
ddP ?? 2
1 Q
st
d
?
?
?
2
2
1
??d st
stg
v
??
?
2
即,
st
d g
v
K
?
?
2
(3) 突加载荷
对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于
构件上的载荷,
26
(3) 突加载荷
对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于
构件上的载荷,
由垂直冲击公式
st
d
h
K
?
???
2
11
2?dK
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形
均为静载时的 两倍 。
? 讨论 减小冲击载荷和冲击应力的措施
27
2?dK
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形
均为静载时的 两倍 。
? 讨论 减小冲击载荷和冲击应力的措施
由冲击动荷系数公式
,
2
11
st
d Q
T
K
?
???
可以看出：要使 Kd小，应使 △ st 大。
即：应使结构上 受冲击点 的静位移尽量地大。
在满足 刚度 和 强度 要求的前提下
st
d g
v
K
?
?
2
28
可以看出：要使 Kd小，应使 △ st 大。
即：应使结构上受冲击点的静位移尽量地大。
在满足 刚度 和 强度 要求的前提下
? 工程实例
气缸
29
? 冲击问题的一般解题步骤
? 注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满
足 条件（冲击前无应力和变形），则需要应
用机械能守恒定律进行计算。
2) △ st 是结构上 被冲击点 的静位移。
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △ st ；
3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 ?st ；
5) 计算动应力 ?d = Kd ?st,
30
例 1
已知, 悬臂梁,EI,l,Q,h。
求, △ B 和 ?dmax。
解, ? 垂直冲击问题
? B点 静位移
l
A
B
h
EI
Ql
st 3
3
??
? 垂直冲击 动荷系数
st
d
h
K
?
???
2
11
3
6
11
Ql
hE I
???
? B点动位移
stdB K ???
31
? 最大静弯矩 QlM
st ?m a x
? B点动位移
stdB K ???
EI
Ql
Ql
h E I
3
6
11
3
3
???
?
?
?
?
?
?
???
? 最大静应力
W
M st
st
m a x
m a x ??
Ql?
? 最大动应力
m a xm a x stdd K ?? ?
W
Ql
Ql
h E I
???
?
?
?
?
?
?
???
3
6
11
32
例 2 (书例 12.4 )
已知, AC杆在水平面内
以 匀角速度 ? 绕 A点转
动，因在 B点卡住而突
然停止转动。集中质量
重 Q,AC杆, l,EI,W。
求,最大冲击应力 ?d。
解, ? 速度发生突然变化，是冲击问题。
? 静位移
EI
llQl
st 3
)( 21???
? 因为不计杆的质量，所以相当于 水平冲击 问题,
33
? 静位移
EI
llQl
st 3
)( 21???
? 水平冲击 动荷系数
st
d g
v
K
?
?
2
stg
l
?
?
22?
? 最大静弯矩发生在 B点 )(
1m a x llQM st ??
2
1
2
)(
3
llgQ
E I l
?
?
?
34
? 最大静弯矩发生在 B点 )(
1m a x llQM st ??
2
1
2
)(
3
llgQ
E I l
K d
?
?
?
? 最大静应力
W
M st
st
m a x
m a x ?? W
llQ )( 1??
? 最大动应力
m a xstdd K ?? ? 2
1
2
)(
3
llgQ
E I l
?
?
?
W
llQ )( 1??
g
E I l Q
W
3?
?
35
谢 谢 大 家 !
第十章 动载荷
本章内容,
1 概述
2 动静法的应用
3 强迫振动的应力计算
4 杆件受冲击时的应力和变形
5 冲击韧性
2
§ 10,1 概述
1 动载荷
? 静载荷 载荷从零开始缓慢地增加到最终值。
可认为构件始终处于平衡状态 。
? 动载荷 随时间明显变化的载荷，即具有较大
加载速率的载荷。
? 实验表明,
在动载荷作用下，只要应力不超过比例极限,
胡克定律仍成立，且弹性模量与静载时相同。
2 动载荷问题分类
3
1) 构件有加速度时的应力计算 ;
2) 冲击问题；
3) 振动问题；
4) 交变载荷。
2 动载荷问题分类
4
§ 10,2 动静法的应用
1 动静法
即为理论力学中介绍的 达朗伯原理 。
2 匀加速平动构件中的动应力分析
? 例子
设杆以匀加速度 a作平动,
加上惯性力系。
a
截面积为 A，比重为 ? 。
qd
R R
l
b
分布载荷中，包括自重
和惯性力。 则,?
dq ag
A ?? )1(
g
aA ?? ??A
5
a
qd
R R
l
b 分布载荷中，包括自重 和惯性力。
则,
?dq a
g
A ?? )1(
g
aA ?? ??A
? 加速度为零时,?Aq ?
st
? 加速度为 a时,
)1(std
g
aqq ??
记,
g
aK ?? 1
d
?? 动荷系数
若忽略自重，则
g
aK ?
d
6
? 加速度为 a时,
)1(std
g
aqq ??
记,
g
aK ?? 1
d
?? 动荷系数
若忽略自重，则
g
aK ?
d
? 对线性系统
内力、应力、应变和变形都与外力成 线性 关系 。
? 动载荷问题的求解
1) 求出动荷系数；
2) 按静载荷求解应力、应变、变形等；
3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
7
? 动载荷问题的求解
1) 求出动荷系数；
2) 按静载荷求解应力、应变、变形等；
3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如,
按 静载 求出某点的应力为
st?
stdd ?? K?
则 动载 下该点的应力为
按 静载 求出某点的挠度为
stv
stdd vKv ?
则 动载 下该点的挠度为
? 强度条件
stdd ?? K? ][??
8
? 强度条件
stdd ?? K? ][??
3 匀角速度转动构件中的动应力分析
设圆环以均角速度 ?转动,
加上惯性力系。
厚度 t 远小于直径 D,
截面积为 A，比重为 ? 。
ω qd
2
n ?Ra ? 2
2
?D?
nd ag
Aq ?? 2
2
??
g
DA?
9
2
n ?Ra ?
2
2
?D?
nd ag
Aq ?? 2
2
??
g
DA?
ω qd
? 取半圆，求内力 Nd Nd
由以前的结论，有,
?d2 N
2
d
d
DqN ? 22
4
?
?
g
DA
?
? 动应力
A
N d
d ?? g
D
4
22??
?
g
v 2?
?
Dq ?d
10
由以前的结论，有,
DqN ?? dd2
2
d
d
DqN ? 22
4
?
?
g
DA
?
? 动应力
A
N
d
d??
g
D
4
22??
?
g
v 2?
?
? 强度条件
g
v 2
d
?
? ? ][??
? 可看出,要保证圆环的强度，只能限制圆环的
转速，增大截面积 A并不能提高圆环的强度。
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例 3 (书例 12.1)
已知, n=100r/min,
转动惯量 Ix＝ 0.5
kN·m·s2。轴直径
d=100mm。刹车
时在 10秒内均匀
减速停止转动。
求, 轴内最大动应力 。
解, ? 角速度
30
πn?? r a d/ s
3
π10?
? 角加速度
t
01 ??? ?? 2r a d/ s
3
π??
12
?xd Im ??
? 角速度
30
πn?? r a d/ s
3
π10?
? 角加速度
t
01 ??? ?? 2r a d/ s
3
π??
? 惯性力矩
mkN
3
π0,5 ??
? 由动静法
? ? 0xm df mm ?
13
? 由动静法
? ? 0xm
df mm ?
? 轴内扭矩
dmT ? mkN
3
π0,5 ??
? 最大剪应力
t
m a x W
T?? Pa1067.2 6?? M P a67.2?
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§ 10,4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题
撞击，打桩，铆接，突然刹车等。
特点,冲击物 在极短瞬间速度发生剧变,被冲
击物 在此瞬间受到很大冲击力的作用。
2 求解冲击问题的 基本假设
例如,
锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。
是重力的 335倍。
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳,
15
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳,
2 求解冲击问题的 基本假设
二者合为一个运动系统；
③ 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,
冲击应力瞬间传遍整个构件；
④ 材料服从虎克定律；
⑤ 冲击过程中,能量损耗 很小，可 略去不计 。
3 求解冲击问题的 能量法
? 线弹性系统
任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。
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3 求解冲击问题的 能量法
? 线弹性系统
任一线弹性杆件或结构都可简化为 线性弹簧 。
EA
Pll ??
l
l
EAP ??
等价弹簧的弹性
系数
l
EAk ?
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等价弹簧的弹性系数
l
EAk ?
EA
Pll ?? l
l
EAP ??
? 能量法
设冲击物重为 Q,冲击
开始时的初动能为 T。
被冲击物的最大变形
为 △ d
忽略能量损失,由机
械能守恒定律有,
dUVT ??
18
? 能量法
设冲击物重为 Q,冲击
开始时的初动能为 T。
被冲击物的最大变形
为 △ d
忽略能量损失，由机
械能守恒定律，有,
dUVT ??以最大变形时重物的位置为 零势位置 。
则初位置的 势能 为,
dQV ??
设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为,
dP
19
则初位置的 势能 为,
dQV ??设达到最大变形时,
弹簧所受的动载荷为,
dP则变形能为,
ddd PU ?? 2
1
由,
dUVT ?? ddd PQT ????
2
1
? 为求出 ?d,将 Pd用 Q表示
在线弹性范围内，有,
st
dd
Q
P
?
?
?
st
d
?
?
?
20
ddd PQT ???? 2
1
? 为求出 ?d,将 Pd用 Q表示
在线弹性范围内，有,
st
dd
Q
P
?
?
?
st
d
?
?
?
QP
st
d
d ?
?
? QU
st
d
d ?
?
?
2
2
1
代入机械能守恒定律，化简得,
0222 ???????
Q
T st
dstd
解此一元二次方程得,
21
代入机械能守恒定理，化简得,
0222 ???????
Q
T st
dstd
解此一元二次方程得,
?
?
?
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?
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?????
st
std Q
T2
11
引入记号,
st
d
dK ?
??
stQ
T
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2
11
? 冲击动
荷系数
则,,
stdd K ???,QKP dd ? stdd K ?? ?
22
引入记号,
st
d
dK ?
??
stQ
T
?
???
2
11
? 冲击动
荷系数
则,,
stdd K ???,QKP dd ? stdd K ?? ?
? 几种常见情况下的 冲击动荷系数
(1) 垂直冲击 (自由落体 )
这时，公式中的 T为,
QhT ?
st
d
h
K
?
???
2
11
23
(1) 垂直冲击 (自由落体 )
这时，公式中的 T为,
QhT ?
st
d
h
K
?
???
2
11
(2) 水平冲击
设接触时的速度
为 v,则动能,
2
2
1 v
g
QT ?
以重物所在的水平面为零势面,
则势能, 0?V
24
(2) 水平冲击
设接触时的速度
为 v,则动能,
2
2
1 v
g
QT ?
以重物所在的水平面为零势面,
则势能, 0?V
忽略能量损失，由机械能守恒定律，有,
dUVT ??
2
2
1 v
g
Q
ddP ?? 2
1 Q
st
d
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2
2
1
25
dUVT ??
2
2
1 v
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Q
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1 Q
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2
2
1
??d st
stg
v
??
?
2
即,
st
d g
v
K
?
?
2
(3) 突加载荷
对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于
构件上的载荷,
26
(3) 突加载荷
对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于
构件上的载荷,
由垂直冲击公式
st
d
h
K
?
???
2
11
2?dK
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形
均为静载时的 两倍 。
? 讨论 减小冲击载荷和冲击应力的措施
27
2?dK
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形
均为静载时的 两倍 。
? 讨论 减小冲击载荷和冲击应力的措施
由冲击动荷系数公式
,
2
11
st
d Q
T
K
?
???
可以看出：要使 Kd小，应使 △ st 大。
即：应使结构上 受冲击点 的静位移尽量地大。
在满足 刚度 和 强度 要求的前提下
st
d g
v
K
?
?
2
28
可以看出：要使 Kd小，应使 △ st 大。
即：应使结构上受冲击点的静位移尽量地大。
在满足 刚度 和 强度 要求的前提下
? 工程实例
气缸
29
? 冲击问题的一般解题步骤
? 注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满
足 条件（冲击前无应力和变形），则需要应
用机械能守恒定律进行计算。
2) △ st 是结构上 被冲击点 的静位移。
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △ st ；
3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 ?st ；
5) 计算动应力 ?d = Kd ?st,
30
例 1
已知, 悬臂梁,EI,l,Q,h。
求, △ B 和 ?dmax。
解, ? 垂直冲击问题
? B点 静位移
l
A
B
h
EI
Ql
st 3
3
??
? 垂直冲击 动荷系数
st
d
h
K
?
???
2
11
3
6
11
Ql
hE I
???
? B点动位移
stdB K ???
31
? 最大静弯矩 QlM
st ?m a x
? B点动位移
stdB K ???
EI
Ql
Ql
h E I
3
6
11
3
3
???
?
?
?
?
?
?
???
? 最大静应力
W
M st
st
m a x
m a x ??
Ql?
? 最大动应力
m a xm a x stdd K ?? ?
W
Ql
Ql
h E I
???
?
?
?
?
?
?
???
3
6
11
32
例 2 (书例 12.4 )
已知, AC杆在水平面内
以 匀角速度 ? 绕 A点转
动，因在 B点卡住而突
然停止转动。集中质量
重 Q,AC杆, l,EI,W。
求,最大冲击应力 ?d。
解, ? 速度发生突然变化，是冲击问题。
? 静位移
EI
llQl
st 3
)( 21???
? 因为不计杆的质量，所以相当于 水平冲击 问题,
33
? 静位移
EI
llQl
st 3
)( 21???
? 水平冲击 动荷系数
st
d g
v
K
?
?
2
stg
l
?
?
22?
? 最大静弯矩发生在 B点 )(
1m a x llQM st ??
2
1
2
)(
3
llgQ
E I l
?
?
?
34
? 最大静弯矩发生在 B点 )(
1m a x llQM st ??
2
1
2
)(
3
llgQ
E I l
K d
?
?
?
? 最大静应力
W
M st
st
m a x
m a x ?? W
llQ )( 1??
? 最大动应力
m a xstdd K ?? ? 2
1
2
)(
3
llgQ
E I l
?
?
?
W
llQ )( 1??
g
E I l Q
W
3?
?
35
谢 谢 大 家 !
