1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第十三章
能 量 方 法
2
第十三章 能量方法
本章内容,
1 概述
2 杆件变形能的计算
3 变形能的普遍表达式
4 互等定理
5 卡氏定理
6 虚功原理
7 单位载荷法 莫尔积分
8 计算莫尔积分的图乘法
3
§ 13,1 概述
? 能量原理
与功和能有关的定理，统称为 能量原理 。
运用能量原理求解问题的方法称为 能量法 。
? 功能原理
外力的功等于变形能,
WU ?
§ 13,2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩
WU ? lP ??
2
1
EA
lP
2
2
?
P
l
?l
4
§ 13,2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩
WU ? lP ??
2
1
EA
lP
2
2
?
? 轴力 N是 x的函数时
EA
xxNU
2
d)(d 2?
?? l EA
xxNU
2
d)(2
? 应变能密度
??
2
1?u
E2
2?
?
P
l
?l
5
?? l EA
xxNU
2
d)(2
? 应变能密度
??
2
1?u
E2
2?
?
2 纯剪切
??
2
1?u
G2
2?
?? 应变能密度
3 扭转
WU ? ?m
2
1?
pGI
lm
2
2
?
6
3 扭转
WU ? ?m
2
1?
pGI
lm
2
2
?
? 扭矩 T是 x的函数时
?? l
pGI
xxT
U
2
d)(2
4 弯曲
? 纯弯曲时
转角
EI
m
x
?
d
d ?
7
4 弯曲
? 纯弯曲时
转角
EI
m
x
?
d
d ?
x
EI
m dd ??
纯弯曲时各截面的弯矩相等,m为常数。
??
l
x
EI
m
0
d?
EI
ml??
变形能 WU ?
?m
2
1?
EI
lm
2
2
?
8
??
l
x
EI
m
0
d?
EI
ml??
变形能 WU ?
?m
2
1?
EI
lm
2
2
?
? 横力弯曲时
对细长梁,剪力 引起的变形能与 弯矩 引起的变
形能相比很小，通常可忽略不计。
横力弯曲时，弯矩是 x的函数。
EI
xxMU
2
d)(d 2?
?? l EI xxMU 2 d)(
2
9
EI
xxMU
2
d)(d 2? ??
l EI
xxMU
2
d)(2
5 用 广义力 和 广义位移 表示变形能
WU ? ?P
2
1?
,
2
1 lPU ??可将
统一写为
,
2
1 ?mU ? ?mU
2
1?
6 非线性弹性材料的变形能
WU ?,d1
0
???? P ????? 1
0
du
10
例 1 (书例 10.1)
已知, 圆截面半圆
曲杆,P,R,EI,
GIp 。
求, A点的垂直位
移。
解, 1 求内力
? 截面 mn,取左段
T M
,s in ?PRM ? )c o s1( ??? PRT
2 变形能
EI
RMU
2
d)(d 2 ???
pGI
RT
2
d)(2 ??
?
11
1 求内力
? 截面 mn,取左段
,s in ?PRM ? )c o s1( ??? PRT
2 变形能
EI
RMU
2
d)(d 2 ???
pGI
RT
2
d)(2 ??
?
T M
EI
RP
2
ds in 232 ???
pGI
RP
2
d)c o s1( 232 ???
?
??
? ??
0
232
2
ds in
EI
RPU ? ?? ? ??
0
232
2
d)c o s1(
pGI
RP
12
??
? ??
0
232
2
ds in
EI
RPU ? ?? ? ??
0
232
2
d)c o s1(
pGI
RP
EI
RP
4
32 ?
?
pGI
RP
4
3 32 ?
?
3 外力的功
APW ?2
1?
由 U=W，得,
?AP ?
2
1
EI
RP
4
32 ?
pGI
RP
4
3 32 ?
?
EI
PR
A 2
3?
? ?
pGI
PR
2
3 3?
?
13
例 2 (书例 10.2)
已知, 应变能密度公式。
求,横力弯曲时的
弯曲变形能 和 剪切
变形能 公式。
解, 应变能密度为
,
2
2
1 Eu
??
G
u
2
2
2
??
y处应力,)(
I
yxM??
Ib
SxQ z*)(??
14
解, 应变能密度为
,
2
2
1 Eu
??
G
u
2
2
2
??
y处应力
,)(
I
yxM??
Ib
SxQ z*)(??
,
2
)(
2
22
1 EI
yxMu ?
22
2*2
2 2
))((
bGI
SxQu z?
VuU V?? d11
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
xA
EI
yxM
dd
2
)(
2
22
? 弯曲变形能
15
VuU V?? d11
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
xAy
EI
xM
dd
2
)( 2
2
2
?? l xEI xMU d2 )(
2
1
与前面导出的 弯曲
变形能 公式相同。
I
22
2*2
2 2
))((
bGI
SxQu z?
? 弯曲变形能
? 剪切应变能密度
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
xA
EI
yxM
dd
2
)(
2
22
16
22
2*2
2 2
))((
bGI
SxQu z?
? 剪切变形能
? 剪切应变能密度
?? V z VbGI
SxQU d
2
))((
22
2*2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
z xA
b
S
GI
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
??
l A
z xA
b
S
I
A
GA
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2 记为 k
17
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
z xA
b
S
GI
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
??
l A
z xA
b
S
I
A
GA
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2
记为 k
?? l xGA
xQkU d
2
)(2
2
?? A z Ab
S
I
Ak d)(
2
2*
2
其中的系数
对矩形截面,5/6?k 圆截面,9/10?k 薄壁 圆环 2?k
18
例 3 (书例 10.3)
已知, 矩形截面简支
梁。
求,比较 弯曲 和 剪切
变形能 的大小。
解, 由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。
)2/0(,2/)( lxPxQ ???? 剪力方程
)2/0(,)2/()( lxxPxM ???? 弯矩方程
? 弯曲变形能
??
2/
0
2
1 d)2(2
12 l xxP
EI
U
EI
lP
96
32
?
19
? 弯曲变形能
??
2/
0
2
1 d)2(2
12 l xxP
EI
U
EI
lP
96
32
?
? 剪切变形能
??
2/
0
2
2 d)2(22
l
xP
GA
kU
GA
lkP
8
2
?
? 两种变形能之比
2
1
2 12
G A l
E I k
U
U ?
? 对矩形截面,5/6?k 12// 2hAI ?
又,
)1(2 ??
? EG
2
1
2 ))(1(
5
12
l
h
U
U ???
20
? 两种变形能之比
2
1
2 12
G A l
E I k
U
U ?
? 对矩形截面,5/6?k 12// 2hAI ?
又,
)1(2 ??
? EG
2
1
2 ))(1(
5
12
l
h
U
U ???
? 取 ? =0.3
当 h/l = 1/5 时, 125.0/
12 ?UU
当 h/l = 1/10 时, 0312.0/
12 ?UU
? 所以，对长梁,剪切变形能 可 忽略不计 。
21
§ 13,3 变形能的普遍表达式
1 变形能的普遍表达式
10 ?? ?
? 比例加载
比例系数 ?
? 时广义力的大小为,
nPP ??,,1 ?
? 线弹性 体
? 无刚体位移
? 广义力 P1,?,Pn
? 力作用点 沿力的方向 的
广义位移 ?1,?,? n
22
???? d,,d1 n?
? 时广义力的大小为,
当 ? 有 d? 时,位移的增量为, n
PP ??,,1 ?
则功的增量为,
?????? ddd 11 nnPPW ????? ?
?????? 1011 d)( ???? nnPPW ?
力的总功为,
nnPP ?? ????? 2
1
2
1
11 ?
23
?????? 1011 d)( ???? nnPPW ?
力的总功为,
nnPP ?? ????? 2
1
2
1
11 ?
由功能原理，变形能为,
WU ?
nnPP ?? ????? 2
1
2
1
11 ?
?? 变形能的普遍表达式
注意, ? i 是 P1,P2,?,Pn 共同 作用 下 的位移。
取一微段为研究对象
2 组合变形时的变形能
24
2 组合变形时的变形能
取一微段为研究对象
由 变形能的普遍表达
式，有,
?Ud )d()(
2
1 lxN ? ?d)(
2
1 xM? ?d)(
2
1 xT?
EA
xxN
2
d)(2?
EI
xxM
2
d)(2?
pGI
xxT
2
d)(2
?
积分可得杆的总变形能
?? l EA
xxNU
2
d)(2
?? l
pGI
xxT
2
d)(2
?? l EI xxM 2 d)(
2
25
积分可得杆的总变形能
?? l EA
xxNU
2
d)(2
?? l
pGI
xxT
2
d)(2
?? l EI xxM 2 d)(
2
注, 1) 上式中忽略了剪切变形能；
2) 若为非圆截面杆，则扭转变形能中的 Ip
应改为 It ；
3) 不同内力分量引起的变形能可以叠加,
同一内力分量的变形能不能叠加。
26
§ 13,4 互等定理
1 功的互等定理
? 两种加载方式下的
变形能
1) 先加第一组，再加
第二组。
? 线弹性 体上作用有
两组力。
第一组为 P1,?,Pm ;
第二组为 Q1,?,Qn。
27
1) 先加第一组，再加第二组
? 加完第一组力时的功为,
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加完第二组力时，第二
组力的功为,
QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加第二组力时，第一组
力的功为,
PmmP PP ?? ???? ?11
? 总的功为三项之和,
28
PmmP PPU ?? 2
1
2
1
111 ??? ?
QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ??? ?
? 加第二组力时，第一组
力的功为,
PmmP PP ?? ???? ?11
? 总的功为三项之和,
PmmP PP ?? ????? ?11
2) 先加第二组，再加第一组
29
2) 先加第二组，再加第一组
? 加完第二组力时的功为,
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加完第一组力时，第一
组力的功为,
QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加第一组力时，第二组
力的功为,
QnnQ QQ ?? ???? ?11
? 总的功为三项之和,
30
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ??? ?
QnnQ QQU ?? 2
1
2
1
112 ??? ?
? 加第一组力时，第二组
力的功为,
? 总的功为三项之和,
? 变形能与加载次序无关，所以,
QnnQ QQ ?? ???? ?11
QnnQ QQ ?? ????? ?11
21 UU ?
31
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ??? ? QnnQ QQU ?? 2
1
2
1
112 ??? ?
? 变形能与加载次序无关，所以,
QnnQ QQ ?? ????? ?11
21 UU ?
PmmP PPU ?? 2
1
2
1
111 ??? ? QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ??? ?
PmmP PP ?? ????? ?11
QnnQ QQ ?? ????? ?11 PmmP PP ?? ???? ?11
这就是 功的互等定理,即,
32
QnnQ QQ ?? ????? ?11 PmmP PP ?? ???? ?11
这就是 功的互等定理,即,
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等
于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2 位移互等定理
当仅有两个力 P1和 P2作用时,
P1
P2
记 P1作用时，在 P2作用点产
生的沿 P2作用线方向的位移
为 ? 21,
? 21
33
2 位移互等定理
当仅有两个力 P1和 P2作用时,
P1
P2
记 P1作用时，在 P2作用点产
生的沿 P2作用线方向的
位移为 ? 21,
? 21 ? 12
而 P2作用时，在 P1作用点产生的
沿 P1作用线方向的位移为 ? 12,
则由功的互等定理，有,
212121 ?? PP ?
当 P1 = P2 时，则有
2112 ?? ?
34
P1
P2
? 21 ? 12
则由功的互等定理，有,
212121 ?? PP ?
当 P1 = P2 时，则有
2112 ?? ?
即, 当 P1 = P2 时,P1作用点沿 P1方向由于 P2的作
用而引起的位移，等于 P2作用点沿 P2方向由于 P1
的作用而引起的位移。 ?? 位移互等定理
说明,1) 位移应理解为 广义位移 ；
2) 功的互等定理和位移互等定理只对 线弹
性 材料和结构成立。
35
例 4 (书例 10.4)
已知, 静不定梁,P,
a,l 。
求,用功的互等定理
求 B处反力。
解, ? 取静定基
? 相当系统如图
RB
? 取第一组力, P,RB
? 假想作用第二组力
为, X=1。
? 设第一组力在 X作用点 B引起的位移为 ? B 。
?B
36
? 取第一组力, P,RB
? 假想作用第二组力
为, X=1。
? 设第一组力在 X作
用点 B引起的位移
为 ? B 。
RB ?
B
? 由变形协调条件,0?
B?
? 第二组力 X在 P,RB作用点引起的位移为 ?1,?2。
由上册书 p.224 表 6.1中的 2，可得,
),3(
6
2
1 alEI
a ???
EI
l
3
3
2 ??
37
RB ?
B 由上册书 p.224 表 6.1
中的 2，可得,
),3(
6
2
1 alEI
a ???
EI
l
3
3
2 ??
? 第一组力在第二组力引起的位移上的功为,
EI
lR B
3
3
?21 ?? BRP ? )3(
6
2
al
EI
Pa ??
? 第二组力在第一组力引起的位移上的功为,
0?BX ?
38
? 第一组力在第二组力引起的位移上的功为,
EI
lR B
3
3
?21 ?? BRP ? )3(
6
2
al
EI
Pa ??
? 第二组力在第一组力引起的位移上的功为,
0?BX ?
? 由功的互等定理，二者应相等,
0
3
3
??
EI
lR B)3(
6
2
al
EI
Pa ?
)3(
2 3
2
al
l
aPR
B ??
39
§ 13,5 卡氏定理
1 卡氏第一定理
设 ?i有一增量 ??i,
其它各 ?j不变,
则 Pi作的功为 Pi ??i,其它各 Pj不作功，则,
iiPU ???? i
i
PU ?
?
?
?
两边取极限，得,
i
i
PU ?
?
?
?
注,卡氏第一定理适用于非线性材料及结构,
是一个普遍定理，有较重要的理论价值。
? 卡氏第一定理
40
2 卡氏第二定理
两边取极限，得,
i
i
PU ?
?
?
?
注,卡氏第一定理适用于非线性材料及结构,
是一个普遍定理，有较重要的理论价值。
? 卡氏第一定理
设 Pi有一增量 ?Pi,
其它各 Pj不变,
则 Pi的增量 ?Pi所
作的功为 ?Pi ??i /2，其它各 Pi所作的功为 Pi ??i 。
但由于 ?i 一般是未知的，使用不方便。
41
忽略高阶微量 ?Pi ??i /2，有,
2 卡氏第二定理
设 Pi有一增量 ?Pi,
其它各 Pj不变,
则 Pi的增量 ?Pi所
作的功为 ?Pi ??i /2，其它各 Pi所作的功为 Pi ??i 。
iiPU ????? 2
1
11 ??? P 22 ??? P ?? ???? iiP ?
11 ???? PU 22 ??? P ?? ???? iiP ?
? 为应用功的互等定理，取两组力
42
忽略高阶微量 ?Pi ??i /2，有,
11 ???? PU 22 ??? P ?? ???? iiP ?
? 为应用功的互等定理，取两组力
将 P1,P2,……,Pn
看作第一组力,
?Pi 看作第二组力。
第一组力在第二组
由功的互等定理,有
力 ?Pi 作用点引起的位移为 ?i,
第二组力在第一组力 作用点引起的位移为
??1,??2,……,??n。
43
将 P1,P2,……,Pn
看作第一组力,
?Pi 看作第二组力,
第一组力在第二组
由功的互等定理,有
力 ?Pi 作用点引起的位移为 ?i,
第二组力在第一组力 作用点引起的位移为
??1,??2,……,??n。
11 ??P 22 ??? P ?? ???? iiP ? iiP ???
U?
iiPU ???? i
iP
U ??
?
?
44
由功的互等定理,有
11 ??P 22 ??? P ?? ???? iiP ? iiP ???
U?
iiPU ???? i
iP
U ??
?
?
两边取极限，得,
i
iP
U ??
?
?
注,推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理,
所以它只适用于 线弹性 材料及结构。
? 卡氏第二定理
3 几种常见情况
? 横力弯曲
45
3 几种常见情况
? 横力弯曲
横力弯曲的变形能
?? l EI xxMU 2 d)(
2
代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
??
?
?
??
?
?
?
?
? ?
l
i EI
xxM
P 2
d)(2
交换求导和积分的次序，有
? ???? l
i
i xP
xM
EI
xM d)()(?
? 桁架、拉、压杆
设有 n根杆，则变形能为,
46
?
?
?
n
j j
jj
EA
lN
U
1
2
2代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
? 桁架、拉、压杆
设有 n根杆，则变形能为,
?
? ?
?
??
n
j i
j
j
jj
P
N
EA
lN
1
? 扭转
代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
扭转变形能为,
?? l
pGI
xxT
U
2
d)(2
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
?
47
? 组合变形
代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
扭转变形能为,
?? l
pGI
xxT
U
2
d)(2
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
?
若 Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则
i
i P
U
?
???
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
??
? ?
?
??
n
j i
j
j
jj
P
N
EA
lN
1
? ???? l
i
x
P
xM
EI
xM d)()(
48
i
i P
U
?
???
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
??
? ?
?
??
n
j i
j
j
jj
P
N
EA
lN
1
? ???? l
i
x
P
xM
EI
xM d)()(
? 用卡氏定理解题的一般步骤
1) 求约束反力；
2) 分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程 ）；
3) 对广义力 求偏导数；
4) 将内力方程和偏导数代入 卡氏定理，积分。
49
例 1 (书例 10.5)
已知, EI,m,P,a,l 。
求, fC,?A。
解, ? 求反力
AB段
,P
l
a
l
mR
A ?? l
malPR
B
??? )(
? 分段列弯矩方程
RB RA
mxRxM A ?? 111 )( mxP
l
a
l
m ???
1)(
BC段
222 )( PxxM ??
50
AB段
? 分段列弯矩方程
mxRxM A ?? 111 )( mxP
l
a
l
m ???
1)(
BC段
222 )( PxxM ??
RB RA
? 求偏导数
?
?
?
P
xM )( 11
?
?
?
m
xM )( 11
?
?
?
P
xM )( 22 ?
?
?
m
xM )( 22
1xl
a?
l
x1 1?
2x? 0
51
? 求偏导数
,)( 111 x
l
a
P
xM ??
?
?
1)( 111 ??
?
?
l
x
m
xM
,)( 222 x
P
xM ??
?
?
0)( 22 ?
?
?
m
xM
? 由卡氏定理
P
Uf
C ?
??
? ???? L xP xMEI xM d)()(
RB RA
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
?Cf ?
?
??l x
P
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
P
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
52
? 由卡氏定理
P
Uf
C ?
?? ?
?
???
L
x
P
xM
EI
xM d)()(
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
?Cf ?
?
??l x
P
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
P
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
1110 d
1
xx
l
a
mx
l
Pa
l
m
EI
l
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? ?
20 2
2 d)( xx
EI
Pxa? ????
??
?
?
??
?
?
???
363
1 32 Pam a llPa
EI
53
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
1110 d
1
xx
l
a
mx
l
Pa
l
m
EI
l
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? ?
20 2
2 d)( xx
EI
Pxa? ????
??
?
?
??
?
?
???
363
1 32 Pam a llPa
EI
?Cf ?
?
??l x
P
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
P
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
? 求 ?C
m
U
A ?
??? ?
?
???
L
x
m
xM
EI
xM d)()(
54
? ????
l
x
m
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
m
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
? 求 ?C
m
U
A ?
??? ?
?
???
L
x
m
xM
EI
xM d)()(
? ?????? ????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? l x
l
x
mx
l
Pa
l
m
EI 0 1
1
1 d1
1
20 2 d)0()(
1 xPx
EI
a
? ??? ?????? ?? 631 P almlEI
RB RA
55
? ?????? ????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? l
A xl
x
mx
l
Pa
l
m
EI 0 1
1
1 d1
1
?
20 2 d)0()(
1 xPx
EI
a
? ??? ?????? ?? 631 P almlEI
? 问题
RB RA
本例中求 fC,?A。
题中正好 C点作用
有 P,A点作用有 m。
若没有 P力作用或没
有力偶 m作用，则怎样求出 fC 或 ?A？
56
a
a
2a
A
B
C D
m
例 2 (书例 10.6)
已知, EI为常数,m 。
求, ?C 及 D点的水平位
移 ?x,轴力及剪力不计 。
解, 1 为求 ?C,加 m2
,
2
2
a
mmR
Ay
??
? 分段列弯矩方程并求对 m2的偏导数
m2
? 求反力
RAy
RD
a
mmR
D 2
2??
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
积分求出
)(
3
2
2mmEI
a
C ???
57
? 将弯矩方程和偏导数
代入卡氏定理
积分求出
)(
3
2
2mmEI
a
C ???
实际上并无 m2,所以
令 m2 =0，得,
通常在 积分前 即令 m2 =0，可使积分简单。
EI
am
C 3
2??
a
a
2a
A
B
C D
m
m2
RAy
RD
58
a
a
2a
A
B
C D
m
Pa
RAx
2 为求 ?x,加 Pa
RAy
RD,
aAx PR ?
? 分段列弯矩方程并求
对 Pa的偏导数
? 求反力
aDAy Pa
mRR ???
2
? 在弯矩方程和偏导数中，令 Pa = 0
积分求出
EI
ma
x 6
17 2??
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
59
§ 13,6 虚功原理
微小位移
力在虚位移上所作的功。
分为,
弹性体的虚位移：满足 约束条件 和 连续条件 的
微小位移。
小变形
2 虚功
1 虚位移
外力的虚功 ; 内力的虚功 ?? 虚变形能
3 虚功原理
外力的虚功等于内力的虚功。
ie WW ?? ?
即,
60
3 虚功原理
外力的虚功等于内力的虚功。
ie WW ?? ?
即,
4 外力虚功表达式
? 广义力 P1,?,
Pn; q(x)
? 力作用点 沿力的
? 外力的虚功
)(;,,,***2*1 xvvvv n?
? ? ? ???????
lnne
xxvxqvPvPvPW d***22*11 ??
方向 的广义虚位移
61
? 外力的虚功
? ? ? ???????
lnne
xxvxqvPvPvPW d***22*11 ??
5 内力虚功表达式
? 取微段考虑
? 内力在 刚体虚位移
上的虚功为零
? 内力在 虚变形 上作
虚功
? 不同内力的虚功可
以叠加
微段上内力的虚功为
62
? 不同内力的虚功可
以叠加
** d)d( ?MlN ??
** dd ?? TQ ??
积分可得物体上内力
的总虚功为
? ?? ????? **** ddd)d( ???? TQMlNW i
微段上内力的虚功为
(忽略高阶微量后 )
63
积分可得物体上内力的总虚功为
? ?? ????? **** ddd)d( ???? TQMlNW i
6 虚功方程
? ?? ????? **** ddd)d( ??? TQMlN
将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得,
? ? ? ??????
lnn
xxvxqvPvPvP d***22*11 ?
? 虚功原理可用于 线弹性 材料，也可用于 非线
性弹性 材料。
68
§ 13,7 单位载荷法 莫尔积分
为求出结构上某
一点沿某方向的
位移 △,
1 单位载荷法
取结构在 外载
荷 作用下产生
加一 单位载荷 。
???1
由虚位移原理 的 真实位移 作为 虚位移,
??? ??? ?? d)(d)()d()( xQxMlxN
69
取结构在 外载荷 作用下产生的 真实位移 作为 虚
位移, 由虚位移原理
???1
为 单位载荷 引起的内力 ; 其中,
??? ??? ?? d)(d)()d()( xQxMlxN
)(),(),( xQxMxN
?? d,d),d( l? 为外载荷引起的 真实位移,
? 几种简化形式
? 以弯曲为主的杆
??? l xM ?d)(
? 拉压杆
? ??? l lxN )d()(
? 轴力为常量时
? ??? l lN )d( lN ??
70
? 几种简化形式
? 以弯曲为主的杆
??? l xM ?d)(
? 拉压杆
? ??? l lxN )d()(
? 轴力为常量时
? ??? l lN )d( lN ??
? n根杆 (桁架 )
?
?
???
n
i
ii lN
1
? 扭转 ???
l
xT ?d)(
? 注, 1) 单位载荷法可用于 非线性弹性 材料 ;
71
? 扭转 ???
l
xT ?d)(
? 注, 1) 单位载荷法可用于 非线性弹性 材料 ;
2) 若求出的 △ 为正，则表示 △ 与单位力的
方向相同。
3) 单位力和位移均为 广义 的。
2 莫尔积分
对于 线弹性材料,单位载荷法中的位移为
EI
xM
x
)(
d
d ?? x
EI
xM d)(d ??
72
2 莫尔积分
对于 线弹性材料,单位载荷法中的位移为
EI
xM
x
)(
d
d ?? x
EI
xM d)(d ??
,d)()d( x
EA
xNl ?? x
GI
xT
p
d
)(
d ??
则,
??? l xM ?d)(
? ??? l lxN )d()(
??? l xEI
xMxM
d
)()(
??? l xEA
xNxN
d
)()(
73
则,
??? l xM ?d)(
? ??? l lxN )d()(
??? l xEI
xMxM
d
)()(
??? l xEA
xNxN
d
)()(
?
?
???
n
i
ii lN
1
??? l xT ?d)(
?
?
??
n
i i
iii
EA
lNN
1
??? l
p
x
GI
xTxT
d
)()(
这些公式统称为 莫尔定理,积分称为 莫尔积分 。
74
??? l xEI
xMxM
d
)()(
??? l xEA
xNxN
d
)()( ?
?
??
n
i i
iii
EA
lNN
1
??? l
p
x
GI
xTxT
d
)()(
这些公式统称为 莫尔定理,积分称为 莫尔积分 。
或,
式中：加一杠的内力是 单位力 引起的内力；
未加杠的内力是 原外力 引起的内力。
显然，莫尔积分仅适用于 线弹性 结构。
75
? 求相对位移
加一对方向相反的单位力。
BA ??????? 11
76
例 3 (书例 10.11)
已知, P,l,?,截面积 A,
求, B点垂直位移。
解, 单位载荷法可求解
材料非线性问题。
? 对杆系
? 求杆的伸长
,?? C?应力应变关系为
其中,C为常数,?,? 皆
取绝对值 。
?
?
???
n
i
iiv lN
1
2211 lNlN ????
N1
N2
? 取 B点，受力如图
77
? 对杆系
? 求杆的伸长
?
?
???
n
i
ii lN
1
2211 lNlN ????
N2
? 由平衡方程,
s in1 ?
PN ?
?c o t2 PN ?
? 应力
A
N 1
1 ?? A
N 2
2 ??,s in ?A
P?
A
P ?c ot?
? 取 B点，受力如图
(压力 )
(压应力 )
78
? 应力
A
N 1
1 ?? A
N 2
2 ??,s in ?A
P?
A
P ?c ot?
? 应变
2
2
1
1 C
?? ?,
s in 222
2
?AC
P?
22
22 c o t
AC
P ??
2
2
2
2 C
?? ?
? 杆的伸长
11 ?BDll ??
?? c o ss in 222
2
AC
lP?
22 ?ll ?? 22
22 c o t
AC
lP ??
79
? 杆的伸长
11 ?BDll ??
?? c o ss in 222
2
AC
lP?
22 ?ll ?? 22
22 c o t
AC
lP ??
? 单位载荷引起的轴力
1N
2N
? 取 B点，受力如图
? 由平衡方程
,
s in
1
1 ??N
?c o t2 ?N
2211 lNlNv ?????
??
?
c o ss in
c o s1
3
4
22
2 ?
?
AC
lP
80
例 4 (书例 10.12)
已知, P,l,a,E,I1,I2,
不计轴力和剪力的影响。
求, A点垂直位移 ?y及
B截面的转角 ? B 。
解, 1 实际载荷的弯矩
? AB段
在 A点加 y方向单位力
,)( 11 PxxM ??
l
a
C
EI2
B A
EI1
x1
x 2 P
? BC段 PaxM ??)(
2
2 求 ? y C
B A x1
x 2 1
81
1 实际载荷的弯矩
? AB段
在 A点加 y方向单位力
,)( 11 PxxM ??
? BC段 PaxM ??)(
2
2 求 ? y
C
B A x1
x 2 1
? 单位载荷的弯矩
AB段,)(
11 xxM ??
BC段 axM ??)(
2
? 代入莫尔积分公式
??
a
y xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
82
? 代入莫尔积分公式
??
a
y xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
? ???
a
xPxx
EI 0 1111
d))((
1
? ???
l
xPaa
EI 0 22
d))((
1
1
3
3 EI
Pa
?
2
2
EI
lPa
?
? AB段,)(
11 PxxM ??
? BC段 PaxM ??)(
2
,)( 11 xxM ??
axM ??)( 2
83
1
3
3 EI
Pa
y ??
2
2
EI
lPa
?
在 B点加单位力偶矩
2 求 ? B
C
B A x1
x 2
1
? 单位载荷的弯矩
AB段,0)(
1 ?xM
BC段 1)(
2 ?xM
? 代入莫尔积分公式
??
a
B xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
84
? 代入莫尔积分公式
??
a
B xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
0? ? ??? l xPa
EI 0 22
d)(1
1
2EI
P al
??
? AB段,)(
11 PxxM ??
? BC段 PaxM ??)(
2
,0)( 1 ?xM
1)( 2 ?xM
C
B A x1
x 2
1
? 这里的负号表示
转向为顺时针的
85
例 5 (书例 10.13)
已知, 平面桁架如图,
P,a,各杆 EA相等。
求, AC两点间的相对
位移 ? AC 。
解, 1 实际载荷的轴力
? 用节点法可求出各杆的
轴力。
在 A,C两点沿 AC方向加
一对方向相反的单位力。
2 加单位力
P A
F
D
C
B
E
1
5
4
3
2
6
7
9
8
a
a
a
86
在 A,C两点沿 AC方向加
一对方向相反的单位力。
2 加单位力
1
A
F
D
C
B
E
1
5
4
3
2
6
7
9
8
a
a
a
1 ? 用节点法可求出在这一
对单位力作用下，各杆
的轴力。
3 代入莫尔积分公式
?
?
?
9
1i i
iii
AC EA
lNN
?
EA
Pa)
2
32( ??
87
例 6 (书例 10.14)
已知, 活塞环如图,P,
R,EI。
求,切口处的张开量。
解, ? 对曲杆，可近似用
对直杆的公式。
? 只考虑弯矩的影响
1 实际载荷的弯矩
由于对称性，只需列出半圆部分的弯矩。
? 处截面, )c o s1()( ?? ??? PRM
P
P
A
B
?
88
1 实际载荷的弯矩
由于对称性，只需列出
半圆部分的弯矩。
? 处截面,
)c o s1()( ?? ??? PRM
在 A,B两点沿 AB方向加
一对方向相反的单位力。
2 加单位力
P
P
A
B
?
A
B
?
1
1
? 单位载荷的弯矩
? 处截面,
)c o s1()( ?? ??? RM
89
1 实际载荷的弯矩
)c o s1()( ?? ??? PRM
P
P
A
B
?
? 单位载荷的弯矩
)c o s1()( ?? ??? RM
3 代入莫尔积分公式
2 加单位力
??
?
????
0
d)()(2 R
EI
MM
AB
? ??? ? ?0 )c os1(2 REI ?? d)]c o s1([ RPR ??? EIPR
33?
?
90
§ 13,8 计算莫尔积分的图乘法
杆件为 等截面 直杆 。 ? 图乘法的条件
莫尔积分
对 等截面 直杆, EI,GIp 或 EA 为常量。
所以需要计算积分
?? l xEI xMxMΔ d)()(
?? l xxMxMEIΔ d)()(1
成为
?l xxMxM d)()(
? 用图乘法计算莫尔积分
91
所以需要计算积分
?l xxMxM d)()(
? 用图乘法计算莫尔积分
? 通常 )(xM 是 x的线性函数
? 设直线与 x轴的夹角为 ?
?t a n)( ?? xxM
则有,
上述积分可表示为,
?l xxMxM d)()(
? ?? l xxMx d)(t a n ? ??? l xxxM d)(t a n ?
M(x)弯矩图的面积对 y轴的静矩。
92
?l xxMxM d)()(
? ?? l xxMx d)(t a n ?
??? l xxxM d)(t a n ?
M(x)弯矩图的面积对 y轴
的静矩。
记 M(x)弯矩图的面积为 ?。
??
l
xxxM d)( Cx??
?l xxMxM d)()( ?? t a nCx?? CM?? ?
根据静矩的计算公式，有,
93
??
l
xxxM d)( Cx??
?l xxMxM d)()(
?? t a nCx??
CM?? ?
式中,
CM
为 )(xM 图中与 )(xM 图的形心位置 C
所对应处的纵坐标。
? 莫尔积分的图乘公式为
?? l xEI xMxMΔ d)()( EIM C?? ?
94
? 莫尔积分的图乘公式为
?? l xEI xMxMΔ d)()(
EI
M C?? ?
? 此式对 轴力 和 扭矩 也适用
即：莫尔积分的计算，可用 载荷的弯矩图 的 面
积 与该图形形心位置所对应之处的单位载荷 (直
线 )的弯矩图 的 幅度 之积代替。
? 几种常用图形的面积和形心位置
95
? 几种常用图形的面积和形心位置 (书 p.57)
顶点
顶点 顶点
96
例 5 (书例 13.15)
已知, F,q,a,l,
EI。
求, A截面转角。
解, 用图乘法。
? 外载荷的弯矩
图 (叠加法）
? 单位载荷的弯
矩图
F
l a
A B C
q
A B C
1
Fa
2
8
1 ql
1
?1
?2
?3
? 面积
M
M
97
? 面积
Faa ???
2
1
1?
Fal ???
2
1
2?
2
3 8
1
3
2 qll ???
? 高度
,11 ?M
3
2
2 ?M
2
1
3 ?M
F
l a
A B C
q
A B C
1
Fa
2
8
1 ql
1
?1
?2
?3 M
M
C1 C2
C3
1M 2M
3M
98
? 高度
,11 ?M
3
2
2 ?M
2
1
3 ?M
? 图乘
)(1 332211 MMM
EIA
???? ???
EI
ql
a
l
EI
Fa
24
)
32
1( 32 ????
A B C
1
Fa
2
8
1 ql
1
?1
?2
?3 M
M
C1 C2
C3
1M 2M
3M
99
A B C
q
2
l
2
l
A B C
?1 ?2 M 28
1 ql
M
1
4
l
CM
C1 C C2
CM
例 6 (书例 13.16)
已知, q,l,EI。
求,中点的挠度。
解, 用图乘法。
? 外载荷的弯
矩图
? 单位载荷的弯
矩图
? )( xM 图有折点
应 分段 图乘。
100
?
)( xM 图有折点
应 分段 图乘。
? 面积
?1?
823
2 2qll ??
? 高度
48
5 lM
C ??
24
3ql
?
32
5l?
? 图乘
)(1 21 CCC MM
EI
w ?? ??
2??
EI
ql
384
5 4?
?1 ?2 M 281 ql
M
4
l
CM
C1 C C2
CM
101
例 7
已知, q,a,l,EI为常数。
求, ?Cx 及 ?C, 轴力及剪
力不计 。
解, 用图乘法。
? 外载荷的弯矩图
l
a
C
B
A
q
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2
? 面积
?1?
23
1 2qaa ??
6
3qa
?
?2?
2
2qa
l ? lqa 2
2
1?
102
? 外载荷的弯矩图
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2 ? 面积 ?1?,
6
3qa
?2? lqa 2
2
1
? 求 ?Cx
? 单位载荷的弯矩图
C B
A
1M 1
l
12M
lM
2
1
12 ?
)(1 122 M
EICx
?? ??
)
22
1(1 2 llqa
EI
??
EI
lqa
4
22
?
103
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2
C B
A
1M 1
l
12M
)(1 122 M
EICx
?? ??
)
22
1(1 2 llqa
EI
??
EI
lqa
4
22
?
? 求 ?C
? 单位载荷的弯矩图
121 ?M
C B
A
2M 1
1
1
122 ?M 21M
22M
104
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2 ? 求 ?C
? 单位载荷的弯矩图
,121 ?M 122 ?M
)(1 222211 MM
EIC
???? ???
1
6
1(1 3 ?? qa
EI
)
3
(
2
2
la
EI
qa ??
)1
2
1 2 ?? lqa
? 面积 ?
1?,
6
3qa
?2? lqa 2
2
1
C B
A
2M 1
1
1
21M
22M
105
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2
? 正负号 问题
)(1 222211 MM
EIC
???? ???
1
6
1(1 3 ?? qa
EI
)
3
(
2
2
la
EI
qa ??
)1
2
1 2 ?? lqa
C B
A
2M 1
1
1
21M
22M
对刚架,外载荷 的弯矩图与
单位载荷 的弯矩图在 同侧 的,
乘积取 正号 ；
分别在 两侧 的，乘积取 负号 。
106
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第十三章
能 量 方 法
2
第十三章 能量方法
本章内容,
1 概述
2 杆件变形能的计算
3 变形能的普遍表达式
4 互等定理
5 卡氏定理
6 虚功原理
7 单位载荷法 莫尔积分
8 计算莫尔积分的图乘法
3
§ 13,1 概述
? 能量原理
与功和能有关的定理，统称为 能量原理 。
运用能量原理求解问题的方法称为 能量法 。
? 功能原理
外力的功等于变形能,
WU ?
§ 13,2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩
WU ? lP ??
2
1
EA
lP
2
2
?
P
l
?l
4
§ 13,2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩
WU ? lP ??
2
1
EA
lP
2
2
?
? 轴力 N是 x的函数时
EA
xxNU
2
d)(d 2?
?? l EA
xxNU
2
d)(2
? 应变能密度
??
2
1?u
E2
2?
?
P
l
?l
5
?? l EA
xxNU
2
d)(2
? 应变能密度
??
2
1?u
E2
2?
?
2 纯剪切
??
2
1?u
G2
2?
?? 应变能密度
3 扭转
WU ? ?m
2
1?
pGI
lm
2
2
?
6
3 扭转
WU ? ?m
2
1?
pGI
lm
2
2
?
? 扭矩 T是 x的函数时
?? l
pGI
xxT
U
2
d)(2
4 弯曲
? 纯弯曲时
转角
EI
m
x
?
d
d ?
7
4 弯曲
? 纯弯曲时
转角
EI
m
x
?
d
d ?
x
EI
m dd ??
纯弯曲时各截面的弯矩相等,m为常数。
??
l
x
EI
m
0
d?
EI
ml??
变形能 WU ?
?m
2
1?
EI
lm
2
2
?
8
??
l
x
EI
m
0
d?
EI
ml??
变形能 WU ?
?m
2
1?
EI
lm
2
2
?
? 横力弯曲时
对细长梁,剪力 引起的变形能与 弯矩 引起的变
形能相比很小，通常可忽略不计。
横力弯曲时，弯矩是 x的函数。
EI
xxMU
2
d)(d 2?
?? l EI xxMU 2 d)(
2
9
EI
xxMU
2
d)(d 2? ??
l EI
xxMU
2
d)(2
5 用 广义力 和 广义位移 表示变形能
WU ? ?P
2
1?
,
2
1 lPU ??可将
统一写为
,
2
1 ?mU ? ?mU
2
1?
6 非线性弹性材料的变形能
WU ?,d1
0
???? P ????? 1
0
du
10
例 1 (书例 10.1)
已知, 圆截面半圆
曲杆,P,R,EI,
GIp 。
求, A点的垂直位
移。
解, 1 求内力
? 截面 mn,取左段
T M
,s in ?PRM ? )c o s1( ??? PRT
2 变形能
EI
RMU
2
d)(d 2 ???
pGI
RT
2
d)(2 ??
?
11
1 求内力
? 截面 mn,取左段
,s in ?PRM ? )c o s1( ??? PRT
2 变形能
EI
RMU
2
d)(d 2 ???
pGI
RT
2
d)(2 ??
?
T M
EI
RP
2
ds in 232 ???
pGI
RP
2
d)c o s1( 232 ???
?
??
? ??
0
232
2
ds in
EI
RPU ? ?? ? ??
0
232
2
d)c o s1(
pGI
RP
12
??
? ??
0
232
2
ds in
EI
RPU ? ?? ? ??
0
232
2
d)c o s1(
pGI
RP
EI
RP
4
32 ?
?
pGI
RP
4
3 32 ?
?
3 外力的功
APW ?2
1?
由 U=W，得,
?AP ?
2
1
EI
RP
4
32 ?
pGI
RP
4
3 32 ?
?
EI
PR
A 2
3?
? ?
pGI
PR
2
3 3?
?
13
例 2 (书例 10.2)
已知, 应变能密度公式。
求,横力弯曲时的
弯曲变形能 和 剪切
变形能 公式。
解, 应变能密度为
,
2
2
1 Eu
??
G
u
2
2
2
??
y处应力,)(
I
yxM??
Ib
SxQ z*)(??
14
解, 应变能密度为
,
2
2
1 Eu
??
G
u
2
2
2
??
y处应力
,)(
I
yxM??
Ib
SxQ z*)(??
,
2
)(
2
22
1 EI
yxMu ?
22
2*2
2 2
))((
bGI
SxQu z?
VuU V?? d11
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
xA
EI
yxM
dd
2
)(
2
22
? 弯曲变形能
15
VuU V?? d11
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
xAy
EI
xM
dd
2
)( 2
2
2
?? l xEI xMU d2 )(
2
1
与前面导出的 弯曲
变形能 公式相同。
I
22
2*2
2 2
))((
bGI
SxQu z?
? 弯曲变形能
? 剪切应变能密度
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
xA
EI
yxM
dd
2
)(
2
22
16
22
2*2
2 2
))((
bGI
SxQu z?
? 剪切变形能
? 剪切应变能密度
?? V z VbGI
SxQU d
2
))((
22
2*2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
z xA
b
S
GI
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
??
l A
z xA
b
S
I
A
GA
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2 记为 k
17
? ? ?
?
?
?
?
?
?
l A
z xA
b
S
GI
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
??
l A
z xA
b
S
I
A
GA
xQ
dd
)(
2
)(
2
2*
2
2
记为 k
?? l xGA
xQkU d
2
)(2
2
?? A z Ab
S
I
Ak d)(
2
2*
2
其中的系数
对矩形截面,5/6?k 圆截面,9/10?k 薄壁 圆环 2?k
18
例 3 (书例 10.3)
已知, 矩形截面简支
梁。
求,比较 弯曲 和 剪切
变形能 的大小。
解, 由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。
)2/0(,2/)( lxPxQ ???? 剪力方程
)2/0(,)2/()( lxxPxM ???? 弯矩方程
? 弯曲变形能
??
2/
0
2
1 d)2(2
12 l xxP
EI
U
EI
lP
96
32
?
19
? 弯曲变形能
??
2/
0
2
1 d)2(2
12 l xxP
EI
U
EI
lP
96
32
?
? 剪切变形能
??
2/
0
2
2 d)2(22
l
xP
GA
kU
GA
lkP
8
2
?
? 两种变形能之比
2
1
2 12
G A l
E I k
U
U ?
? 对矩形截面,5/6?k 12// 2hAI ?
又,
)1(2 ??
? EG
2
1
2 ))(1(
5
12
l
h
U
U ???
20
? 两种变形能之比
2
1
2 12
G A l
E I k
U
U ?
? 对矩形截面,5/6?k 12// 2hAI ?
又,
)1(2 ??
? EG
2
1
2 ))(1(
5
12
l
h
U
U ???
? 取 ? =0.3
当 h/l = 1/5 时, 125.0/
12 ?UU
当 h/l = 1/10 时, 0312.0/
12 ?UU
? 所以，对长梁,剪切变形能 可 忽略不计 。
21
§ 13,3 变形能的普遍表达式
1 变形能的普遍表达式
10 ?? ?
? 比例加载
比例系数 ?
? 时广义力的大小为,
nPP ??,,1 ?
? 线弹性 体
? 无刚体位移
? 广义力 P1,?,Pn
? 力作用点 沿力的方向 的
广义位移 ?1,?,? n
22
???? d,,d1 n?
? 时广义力的大小为,
当 ? 有 d? 时,位移的增量为, n
PP ??,,1 ?
则功的增量为,
?????? ddd 11 nnPPW ????? ?
?????? 1011 d)( ???? nnPPW ?
力的总功为,
nnPP ?? ????? 2
1
2
1
11 ?
23
?????? 1011 d)( ???? nnPPW ?
力的总功为,
nnPP ?? ????? 2
1
2
1
11 ?
由功能原理，变形能为,
WU ?
nnPP ?? ????? 2
1
2
1
11 ?
?? 变形能的普遍表达式
注意, ? i 是 P1,P2,?,Pn 共同 作用 下 的位移。
取一微段为研究对象
2 组合变形时的变形能
24
2 组合变形时的变形能
取一微段为研究对象
由 变形能的普遍表达
式，有,
?Ud )d()(
2
1 lxN ? ?d)(
2
1 xM? ?d)(
2
1 xT?
EA
xxN
2
d)(2?
EI
xxM
2
d)(2?
pGI
xxT
2
d)(2
?
积分可得杆的总变形能
?? l EA
xxNU
2
d)(2
?? l
pGI
xxT
2
d)(2
?? l EI xxM 2 d)(
2
25
积分可得杆的总变形能
?? l EA
xxNU
2
d)(2
?? l
pGI
xxT
2
d)(2
?? l EI xxM 2 d)(
2
注, 1) 上式中忽略了剪切变形能；
2) 若为非圆截面杆，则扭转变形能中的 Ip
应改为 It ；
3) 不同内力分量引起的变形能可以叠加,
同一内力分量的变形能不能叠加。
26
§ 13,4 互等定理
1 功的互等定理
? 两种加载方式下的
变形能
1) 先加第一组，再加
第二组。
? 线弹性 体上作用有
两组力。
第一组为 P1,?,Pm ;
第二组为 Q1,?,Qn。
27
1) 先加第一组，再加第二组
? 加完第一组力时的功为,
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加完第二组力时，第二
组力的功为,
QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加第二组力时，第一组
力的功为,
PmmP PP ?? ???? ?11
? 总的功为三项之和,
28
PmmP PPU ?? 2
1
2
1
111 ??? ?
QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ??? ?
? 加第二组力时，第一组
力的功为,
PmmP PP ?? ???? ?11
? 总的功为三项之和,
PmmP PP ?? ????? ?11
2) 先加第二组，再加第一组
29
2) 先加第二组，再加第一组
? 加完第二组力时的功为,
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加完第一组力时，第一
组力的功为,
QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ?? ?
? 加第一组力时，第二组
力的功为,
QnnQ QQ ?? ???? ?11
? 总的功为三项之和,
30
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ??? ?
QnnQ QQU ?? 2
1
2
1
112 ??? ?
? 加第一组力时，第二组
力的功为,
? 总的功为三项之和,
? 变形能与加载次序无关，所以,
QnnQ QQ ?? ???? ?11
QnnQ QQ ?? ????? ?11
21 UU ?
31
PmmP PP ?? 2
1
2
1
11 ??? ? QnnQ QQU ?? 2
1
2
1
112 ??? ?
? 变形能与加载次序无关，所以,
QnnQ QQ ?? ????? ?11
21 UU ?
PmmP PPU ?? 2
1
2
1
111 ??? ? QnnQ QQ ?? 2
1
2
1
11 ??? ?
PmmP PP ?? ????? ?11
QnnQ QQ ?? ????? ?11 PmmP PP ?? ???? ?11
这就是 功的互等定理,即,
32
QnnQ QQ ?? ????? ?11 PmmP PP ?? ???? ?11
这就是 功的互等定理,即,
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等
于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2 位移互等定理
当仅有两个力 P1和 P2作用时,
P1
P2
记 P1作用时，在 P2作用点产
生的沿 P2作用线方向的位移
为 ? 21,
? 21
33
2 位移互等定理
当仅有两个力 P1和 P2作用时,
P1
P2
记 P1作用时，在 P2作用点产
生的沿 P2作用线方向的
位移为 ? 21,
? 21 ? 12
而 P2作用时，在 P1作用点产生的
沿 P1作用线方向的位移为 ? 12,
则由功的互等定理，有,
212121 ?? PP ?
当 P1 = P2 时，则有
2112 ?? ?
34
P1
P2
? 21 ? 12
则由功的互等定理，有,
212121 ?? PP ?
当 P1 = P2 时，则有
2112 ?? ?
即, 当 P1 = P2 时,P1作用点沿 P1方向由于 P2的作
用而引起的位移，等于 P2作用点沿 P2方向由于 P1
的作用而引起的位移。 ?? 位移互等定理
说明,1) 位移应理解为 广义位移 ；
2) 功的互等定理和位移互等定理只对 线弹
性 材料和结构成立。
35
例 4 (书例 10.4)
已知, 静不定梁,P,
a,l 。
求,用功的互等定理
求 B处反力。
解, ? 取静定基
? 相当系统如图
RB
? 取第一组力, P,RB
? 假想作用第二组力
为, X=1。
? 设第一组力在 X作用点 B引起的位移为 ? B 。
?B
36
? 取第一组力, P,RB
? 假想作用第二组力
为, X=1。
? 设第一组力在 X作
用点 B引起的位移
为 ? B 。
RB ?
B
? 由变形协调条件,0?
B?
? 第二组力 X在 P,RB作用点引起的位移为 ?1,?2。
由上册书 p.224 表 6.1中的 2，可得,
),3(
6
2
1 alEI
a ???
EI
l
3
3
2 ??
37
RB ?
B 由上册书 p.224 表 6.1
中的 2，可得,
),3(
6
2
1 alEI
a ???
EI
l
3
3
2 ??
? 第一组力在第二组力引起的位移上的功为,
EI
lR B
3
3
?21 ?? BRP ? )3(
6
2
al
EI
Pa ??
? 第二组力在第一组力引起的位移上的功为,
0?BX ?
38
? 第一组力在第二组力引起的位移上的功为,
EI
lR B
3
3
?21 ?? BRP ? )3(
6
2
al
EI
Pa ??
? 第二组力在第一组力引起的位移上的功为,
0?BX ?
? 由功的互等定理，二者应相等,
0
3
3
??
EI
lR B)3(
6
2
al
EI
Pa ?
)3(
2 3
2
al
l
aPR
B ??
39
§ 13,5 卡氏定理
1 卡氏第一定理
设 ?i有一增量 ??i,
其它各 ?j不变,
则 Pi作的功为 Pi ??i,其它各 Pj不作功，则,
iiPU ???? i
i
PU ?
?
?
?
两边取极限，得,
i
i
PU ?
?
?
?
注,卡氏第一定理适用于非线性材料及结构,
是一个普遍定理，有较重要的理论价值。
? 卡氏第一定理
40
2 卡氏第二定理
两边取极限，得,
i
i
PU ?
?
?
?
注,卡氏第一定理适用于非线性材料及结构,
是一个普遍定理，有较重要的理论价值。
? 卡氏第一定理
设 Pi有一增量 ?Pi,
其它各 Pj不变,
则 Pi的增量 ?Pi所
作的功为 ?Pi ??i /2，其它各 Pi所作的功为 Pi ??i 。
但由于 ?i 一般是未知的，使用不方便。
41
忽略高阶微量 ?Pi ??i /2，有,
2 卡氏第二定理
设 Pi有一增量 ?Pi,
其它各 Pj不变,
则 Pi的增量 ?Pi所
作的功为 ?Pi ??i /2，其它各 Pi所作的功为 Pi ??i 。
iiPU ????? 2
1
11 ??? P 22 ??? P ?? ???? iiP ?
11 ???? PU 22 ??? P ?? ???? iiP ?
? 为应用功的互等定理，取两组力
42
忽略高阶微量 ?Pi ??i /2，有,
11 ???? PU 22 ??? P ?? ???? iiP ?
? 为应用功的互等定理，取两组力
将 P1,P2,……,Pn
看作第一组力,
?Pi 看作第二组力。
第一组力在第二组
由功的互等定理,有
力 ?Pi 作用点引起的位移为 ?i,
第二组力在第一组力 作用点引起的位移为
??1,??2,……,??n。
43
将 P1,P2,……,Pn
看作第一组力,
?Pi 看作第二组力,
第一组力在第二组
由功的互等定理,有
力 ?Pi 作用点引起的位移为 ?i,
第二组力在第一组力 作用点引起的位移为
??1,??2,……,??n。
11 ??P 22 ??? P ?? ???? iiP ? iiP ???
U?
iiPU ???? i
iP
U ??
?
?
44
由功的互等定理,有
11 ??P 22 ??? P ?? ???? iiP ? iiP ???
U?
iiPU ???? i
iP
U ??
?
?
两边取极限，得,
i
iP
U ??
?
?
注,推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理,
所以它只适用于 线弹性 材料及结构。
? 卡氏第二定理
3 几种常见情况
? 横力弯曲
45
3 几种常见情况
? 横力弯曲
横力弯曲的变形能
?? l EI xxMU 2 d)(
2
代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
??
?
?
??
?
?
?
?
? ?
l
i EI
xxM
P 2
d)(2
交换求导和积分的次序，有
? ???? l
i
i xP
xM
EI
xM d)()(?
? 桁架、拉、压杆
设有 n根杆，则变形能为,
46
?
?
?
n
j j
jj
EA
lN
U
1
2
2代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
? 桁架、拉、压杆
设有 n根杆，则变形能为,
?
? ?
?
??
n
j i
j
j
jj
P
N
EA
lN
1
? 扭转
代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
扭转变形能为,
?? l
pGI
xxT
U
2
d)(2
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
?
47
? 组合变形
代入卡氏第二定理
i
i P
U
?
???
扭转变形能为,
?? l
pGI
xxT
U
2
d)(2
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
?
若 Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则
i
i P
U
?
???
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
??
? ?
?
??
n
j i
j
j
jj
P
N
EA
lN
1
? ???? l
i
x
P
xM
EI
xM d)()(
48
i
i P
U
?
???
x
P
xT
GI
xT
l
ip
d
)()(
? ?
?
??
? ?
?
??
n
j i
j
j
jj
P
N
EA
lN
1
? ???? l
i
x
P
xM
EI
xM d)()(
? 用卡氏定理解题的一般步骤
1) 求约束反力；
2) 分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程 ）；
3) 对广义力 求偏导数；
4) 将内力方程和偏导数代入 卡氏定理，积分。
49
例 1 (书例 10.5)
已知, EI,m,P,a,l 。
求, fC,?A。
解, ? 求反力
AB段
,P
l
a
l
mR
A ?? l
malPR
B
??? )(
? 分段列弯矩方程
RB RA
mxRxM A ?? 111 )( mxP
l
a
l
m ???
1)(
BC段
222 )( PxxM ??
50
AB段
? 分段列弯矩方程
mxRxM A ?? 111 )( mxP
l
a
l
m ???
1)(
BC段
222 )( PxxM ??
RB RA
? 求偏导数
?
?
?
P
xM )( 11
?
?
?
m
xM )( 11
?
?
?
P
xM )( 22 ?
?
?
m
xM )( 22
1xl
a?
l
x1 1?
2x? 0
51
? 求偏导数
,)( 111 x
l
a
P
xM ??
?
?
1)( 111 ??
?
?
l
x
m
xM
,)( 222 x
P
xM ??
?
?
0)( 22 ?
?
?
m
xM
? 由卡氏定理
P
Uf
C ?
??
? ???? L xP xMEI xM d)()(
RB RA
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
?Cf ?
?
??l x
P
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
P
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
52
? 由卡氏定理
P
Uf
C ?
?? ?
?
???
L
x
P
xM
EI
xM d)()(
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
?Cf ?
?
??l x
P
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
P
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
1110 d
1
xx
l
a
mx
l
Pa
l
m
EI
l
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? ?
20 2
2 d)( xx
EI
Pxa? ????
??
?
?
??
?
?
???
363
1 32 Pam a llPa
EI
53
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
1110 d
1
xx
l
a
mx
l
Pa
l
m
EI
l
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? ?
20 2
2 d)( xx
EI
Pxa? ????
??
?
?
??
?
?
???
363
1 32 Pam a llPa
EI
?Cf ?
?
??l x
P
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
P
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
? 求 ?C
m
U
A ?
??? ?
?
???
L
x
m
xM
EI
xM d)()(
54
? ????
l
x
m
xM
EI
xM
0 1
1111 d)()( ?
?
??? a x
m
xM
EI
xM
0 2
2222 d)()(
? 求 ?C
m
U
A ?
??? ?
?
???
L
x
m
xM
EI
xM d)()(
? ?????? ????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? l x
l
x
mx
l
Pa
l
m
EI 0 1
1
1 d1
1
20 2 d)0()(
1 xPx
EI
a
? ??? ?????? ?? 631 P almlEI
RB RA
55
? ?????? ????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?? l
A xl
x
mx
l
Pa
l
m
EI 0 1
1
1 d1
1
?
20 2 d)0()(
1 xPx
EI
a
? ??? ?????? ?? 631 P almlEI
? 问题
RB RA
本例中求 fC,?A。
题中正好 C点作用
有 P,A点作用有 m。
若没有 P力作用或没
有力偶 m作用，则怎样求出 fC 或 ?A？
56
a
a
2a
A
B
C D
m
例 2 (书例 10.6)
已知, EI为常数,m 。
求, ?C 及 D点的水平位
移 ?x,轴力及剪力不计 。
解, 1 为求 ?C,加 m2
,
2
2
a
mmR
Ay
??
? 分段列弯矩方程并求对 m2的偏导数
m2
? 求反力
RAy
RD
a
mmR
D 2
2??
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
积分求出
)(
3
2
2mmEI
a
C ???
57
? 将弯矩方程和偏导数
代入卡氏定理
积分求出
)(
3
2
2mmEI
a
C ???
实际上并无 m2,所以
令 m2 =0，得,
通常在 积分前 即令 m2 =0，可使积分简单。
EI
am
C 3
2??
a
a
2a
A
B
C D
m
m2
RAy
RD
58
a
a
2a
A
B
C D
m
Pa
RAx
2 为求 ?x,加 Pa
RAy
RD,
aAx PR ?
? 分段列弯矩方程并求
对 Pa的偏导数
? 求反力
aDAy Pa
mRR ???
2
? 在弯矩方程和偏导数中，令 Pa = 0
积分求出
EI
ma
x 6
17 2??
? 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
59
§ 13,6 虚功原理
微小位移
力在虚位移上所作的功。
分为,
弹性体的虚位移：满足 约束条件 和 连续条件 的
微小位移。
小变形
2 虚功
1 虚位移
外力的虚功 ; 内力的虚功 ?? 虚变形能
3 虚功原理
外力的虚功等于内力的虚功。
ie WW ?? ?
即,
60
3 虚功原理
外力的虚功等于内力的虚功。
ie WW ?? ?
即,
4 外力虚功表达式
? 广义力 P1,?,
Pn; q(x)
? 力作用点 沿力的
? 外力的虚功
)(;,,,***2*1 xvvvv n?
? ? ? ???????
lnne
xxvxqvPvPvPW d***22*11 ??
方向 的广义虚位移
61
? 外力的虚功
? ? ? ???????
lnne
xxvxqvPvPvPW d***22*11 ??
5 内力虚功表达式
? 取微段考虑
? 内力在 刚体虚位移
上的虚功为零
? 内力在 虚变形 上作
虚功
? 不同内力的虚功可
以叠加
微段上内力的虚功为
62
? 不同内力的虚功可
以叠加
** d)d( ?MlN ??
** dd ?? TQ ??
积分可得物体上内力
的总虚功为
? ?? ????? **** ddd)d( ???? TQMlNW i
微段上内力的虚功为
(忽略高阶微量后 )
63
积分可得物体上内力的总虚功为
? ?? ????? **** ddd)d( ???? TQMlNW i
6 虚功方程
? ?? ????? **** ddd)d( ??? TQMlN
将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得,
? ? ? ??????
lnn
xxvxqvPvPvP d***22*11 ?
? 虚功原理可用于 线弹性 材料，也可用于 非线
性弹性 材料。
68
§ 13,7 单位载荷法 莫尔积分
为求出结构上某
一点沿某方向的
位移 △,
1 单位载荷法
取结构在 外载
荷 作用下产生
加一 单位载荷 。
???1
由虚位移原理 的 真实位移 作为 虚位移,
??? ??? ?? d)(d)()d()( xQxMlxN
69
取结构在 外载荷 作用下产生的 真实位移 作为 虚
位移, 由虚位移原理
???1
为 单位载荷 引起的内力 ; 其中,
??? ??? ?? d)(d)()d()( xQxMlxN
)(),(),( xQxMxN
?? d,d),d( l? 为外载荷引起的 真实位移,
? 几种简化形式
? 以弯曲为主的杆
??? l xM ?d)(
? 拉压杆
? ??? l lxN )d()(
? 轴力为常量时
? ??? l lN )d( lN ??
70
? 几种简化形式
? 以弯曲为主的杆
??? l xM ?d)(
? 拉压杆
? ??? l lxN )d()(
? 轴力为常量时
? ??? l lN )d( lN ??
? n根杆 (桁架 )
?
?
???
n
i
ii lN
1
? 扭转 ???
l
xT ?d)(
? 注, 1) 单位载荷法可用于 非线性弹性 材料 ;
71
? 扭转 ???
l
xT ?d)(
? 注, 1) 单位载荷法可用于 非线性弹性 材料 ;
2) 若求出的 △ 为正，则表示 △ 与单位力的
方向相同。
3) 单位力和位移均为 广义 的。
2 莫尔积分
对于 线弹性材料,单位载荷法中的位移为
EI
xM
x
)(
d
d ?? x
EI
xM d)(d ??
72
2 莫尔积分
对于 线弹性材料,单位载荷法中的位移为
EI
xM
x
)(
d
d ?? x
EI
xM d)(d ??
,d)()d( x
EA
xNl ?? x
GI
xT
p
d
)(
d ??
则,
??? l xM ?d)(
? ??? l lxN )d()(
??? l xEI
xMxM
d
)()(
??? l xEA
xNxN
d
)()(
73
则,
??? l xM ?d)(
? ??? l lxN )d()(
??? l xEI
xMxM
d
)()(
??? l xEA
xNxN
d
)()(
?
?
???
n
i
ii lN
1
??? l xT ?d)(
?
?
??
n
i i
iii
EA
lNN
1
??? l
p
x
GI
xTxT
d
)()(
这些公式统称为 莫尔定理,积分称为 莫尔积分 。
74
??? l xEI
xMxM
d
)()(
??? l xEA
xNxN
d
)()( ?
?
??
n
i i
iii
EA
lNN
1
??? l
p
x
GI
xTxT
d
)()(
这些公式统称为 莫尔定理,积分称为 莫尔积分 。
或,
式中：加一杠的内力是 单位力 引起的内力；
未加杠的内力是 原外力 引起的内力。
显然，莫尔积分仅适用于 线弹性 结构。
75
? 求相对位移
加一对方向相反的单位力。
BA ??????? 11
76
例 3 (书例 10.11)
已知, P,l,?,截面积 A,
求, B点垂直位移。
解, 单位载荷法可求解
材料非线性问题。
? 对杆系
? 求杆的伸长
,?? C?应力应变关系为
其中,C为常数,?,? 皆
取绝对值 。
?
?
???
n
i
iiv lN
1
2211 lNlN ????
N1
N2
? 取 B点，受力如图
77
? 对杆系
? 求杆的伸长
?
?
???
n
i
ii lN
1
2211 lNlN ????
N2
? 由平衡方程,
s in1 ?
PN ?
?c o t2 PN ?
? 应力
A
N 1
1 ?? A
N 2
2 ??,s in ?A
P?
A
P ?c ot?
? 取 B点，受力如图
(压力 )
(压应力 )
78
? 应力
A
N 1
1 ?? A
N 2
2 ??,s in ?A
P?
A
P ?c ot?
? 应变
2
2
1
1 C
?? ?,
s in 222
2
?AC
P?
22
22 c o t
AC
P ??
2
2
2
2 C
?? ?
? 杆的伸长
11 ?BDll ??
?? c o ss in 222
2
AC
lP?
22 ?ll ?? 22
22 c o t
AC
lP ??
79
? 杆的伸长
11 ?BDll ??
?? c o ss in 222
2
AC
lP?
22 ?ll ?? 22
22 c o t
AC
lP ??
? 单位载荷引起的轴力
1N
2N
? 取 B点，受力如图
? 由平衡方程
,
s in
1
1 ??N
?c o t2 ?N
2211 lNlNv ?????
??
?
c o ss in
c o s1
3
4
22
2 ?
?
AC
lP
80
例 4 (书例 10.12)
已知, P,l,a,E,I1,I2,
不计轴力和剪力的影响。
求, A点垂直位移 ?y及
B截面的转角 ? B 。
解, 1 实际载荷的弯矩
? AB段
在 A点加 y方向单位力
,)( 11 PxxM ??
l
a
C
EI2
B A
EI1
x1
x 2 P
? BC段 PaxM ??)(
2
2 求 ? y C
B A x1
x 2 1
81
1 实际载荷的弯矩
? AB段
在 A点加 y方向单位力
,)( 11 PxxM ??
? BC段 PaxM ??)(
2
2 求 ? y
C
B A x1
x 2 1
? 单位载荷的弯矩
AB段,)(
11 xxM ??
BC段 axM ??)(
2
? 代入莫尔积分公式
??
a
y xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
82
? 代入莫尔积分公式
??
a
y xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
? ???
a
xPxx
EI 0 1111
d))((
1
? ???
l
xPaa
EI 0 22
d))((
1
1
3
3 EI
Pa
?
2
2
EI
lPa
?
? AB段,)(
11 PxxM ??
? BC段 PaxM ??)(
2
,)( 11 xxM ??
axM ??)( 2
83
1
3
3 EI
Pa
y ??
2
2
EI
lPa
?
在 B点加单位力偶矩
2 求 ? B
C
B A x1
x 2
1
? 单位载荷的弯矩
AB段,0)(
1 ?xM
BC段 1)(
2 ?xM
? 代入莫尔积分公式
??
a
B xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
84
? 代入莫尔积分公式
??
a
B xEI
xMxM
0 1
1
11 d)()(? ??
l
x
EI
xMxM
0 2
2
22 d)()(
0? ? ??? l xPa
EI 0 22
d)(1
1
2EI
P al
??
? AB段,)(
11 PxxM ??
? BC段 PaxM ??)(
2
,0)( 1 ?xM
1)( 2 ?xM
C
B A x1
x 2
1
? 这里的负号表示
转向为顺时针的
85
例 5 (书例 10.13)
已知, 平面桁架如图,
P,a,各杆 EA相等。
求, AC两点间的相对
位移 ? AC 。
解, 1 实际载荷的轴力
? 用节点法可求出各杆的
轴力。
在 A,C两点沿 AC方向加
一对方向相反的单位力。
2 加单位力
P A
F
D
C
B
E
1
5
4
3
2
6
7
9
8
a
a
a
86
在 A,C两点沿 AC方向加
一对方向相反的单位力。
2 加单位力
1
A
F
D
C
B
E
1
5
4
3
2
6
7
9
8
a
a
a
1 ? 用节点法可求出在这一
对单位力作用下，各杆
的轴力。
3 代入莫尔积分公式
?
?
?
9
1i i
iii
AC EA
lNN
?
EA
Pa)
2
32( ??
87
例 6 (书例 10.14)
已知, 活塞环如图,P,
R,EI。
求,切口处的张开量。
解, ? 对曲杆，可近似用
对直杆的公式。
? 只考虑弯矩的影响
1 实际载荷的弯矩
由于对称性，只需列出半圆部分的弯矩。
? 处截面, )c o s1()( ?? ??? PRM
P
P
A
B
?
88
1 实际载荷的弯矩
由于对称性，只需列出
半圆部分的弯矩。
? 处截面,
)c o s1()( ?? ??? PRM
在 A,B两点沿 AB方向加
一对方向相反的单位力。
2 加单位力
P
P
A
B
?
A
B
?
1
1
? 单位载荷的弯矩
? 处截面,
)c o s1()( ?? ??? RM
89
1 实际载荷的弯矩
)c o s1()( ?? ??? PRM
P
P
A
B
?
? 单位载荷的弯矩
)c o s1()( ?? ??? RM
3 代入莫尔积分公式
2 加单位力
??
?
????
0
d)()(2 R
EI
MM
AB
? ??? ? ?0 )c os1(2 REI ?? d)]c o s1([ RPR ??? EIPR
33?
?
90
§ 13,8 计算莫尔积分的图乘法
杆件为 等截面 直杆 。 ? 图乘法的条件
莫尔积分
对 等截面 直杆, EI,GIp 或 EA 为常量。
所以需要计算积分
?? l xEI xMxMΔ d)()(
?? l xxMxMEIΔ d)()(1
成为
?l xxMxM d)()(
? 用图乘法计算莫尔积分
91
所以需要计算积分
?l xxMxM d)()(
? 用图乘法计算莫尔积分
? 通常 )(xM 是 x的线性函数
? 设直线与 x轴的夹角为 ?
?t a n)( ?? xxM
则有,
上述积分可表示为,
?l xxMxM d)()(
? ?? l xxMx d)(t a n ? ??? l xxxM d)(t a n ?
M(x)弯矩图的面积对 y轴的静矩。
92
?l xxMxM d)()(
? ?? l xxMx d)(t a n ?
??? l xxxM d)(t a n ?
M(x)弯矩图的面积对 y轴
的静矩。
记 M(x)弯矩图的面积为 ?。
??
l
xxxM d)( Cx??
?l xxMxM d)()( ?? t a nCx?? CM?? ?
根据静矩的计算公式，有,
93
??
l
xxxM d)( Cx??
?l xxMxM d)()(
?? t a nCx??
CM?? ?
式中,
CM
为 )(xM 图中与 )(xM 图的形心位置 C
所对应处的纵坐标。
? 莫尔积分的图乘公式为
?? l xEI xMxMΔ d)()( EIM C?? ?
94
? 莫尔积分的图乘公式为
?? l xEI xMxMΔ d)()(
EI
M C?? ?
? 此式对 轴力 和 扭矩 也适用
即：莫尔积分的计算，可用 载荷的弯矩图 的 面
积 与该图形形心位置所对应之处的单位载荷 (直
线 )的弯矩图 的 幅度 之积代替。
? 几种常用图形的面积和形心位置
95
? 几种常用图形的面积和形心位置 (书 p.57)
顶点
顶点 顶点
96
例 5 (书例 13.15)
已知, F,q,a,l,
EI。
求, A截面转角。
解, 用图乘法。
? 外载荷的弯矩
图 (叠加法）
? 单位载荷的弯
矩图
F
l a
A B C
q
A B C
1
Fa
2
8
1 ql
1
?1
?2
?3
? 面积
M
M
97
? 面积
Faa ???
2
1
1?
Fal ???
2
1
2?
2
3 8
1
3
2 qll ???
? 高度
,11 ?M
3
2
2 ?M
2
1
3 ?M
F
l a
A B C
q
A B C
1
Fa
2
8
1 ql
1
?1
?2
?3 M
M
C1 C2
C3
1M 2M
3M
98
? 高度
,11 ?M
3
2
2 ?M
2
1
3 ?M
? 图乘
)(1 332211 MMM
EIA
???? ???
EI
ql
a
l
EI
Fa
24
)
32
1( 32 ????
A B C
1
Fa
2
8
1 ql
1
?1
?2
?3 M
M
C1 C2
C3
1M 2M
3M
99
A B C
q
2
l
2
l
A B C
?1 ?2 M 28
1 ql
M
1
4
l
CM
C1 C C2
CM
例 6 (书例 13.16)
已知, q,l,EI。
求,中点的挠度。
解, 用图乘法。
? 外载荷的弯
矩图
? 单位载荷的弯
矩图
? )( xM 图有折点
应 分段 图乘。
100
?
)( xM 图有折点
应 分段 图乘。
? 面积
?1?
823
2 2qll ??
? 高度
48
5 lM
C ??
24
3ql
?
32
5l?
? 图乘
)(1 21 CCC MM
EI
w ?? ??
2??
EI
ql
384
5 4?
?1 ?2 M 281 ql
M
4
l
CM
C1 C C2
CM
101
例 7
已知, q,a,l,EI为常数。
求, ?Cx 及 ?C, 轴力及剪
力不计 。
解, 用图乘法。
? 外载荷的弯矩图
l
a
C
B
A
q
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2
? 面积
?1?
23
1 2qaa ??
6
3qa
?
?2?
2
2qa
l ? lqa 2
2
1?
102
? 外载荷的弯矩图
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2 ? 面积 ?1?,
6
3qa
?2? lqa 2
2
1
? 求 ?Cx
? 单位载荷的弯矩图
C B
A
1M 1
l
12M
lM
2
1
12 ?
)(1 122 M
EICx
?? ??
)
22
1(1 2 llqa
EI
??
EI
lqa
4
22
?
103
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2
C B
A
1M 1
l
12M
)(1 122 M
EICx
?? ??
)
22
1(1 2 llqa
EI
??
EI
lqa
4
22
?
? 求 ?C
? 单位载荷的弯矩图
121 ?M
C B
A
2M 1
1
1
122 ?M 21M
22M
104
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2 ? 求 ?C
? 单位载荷的弯矩图
,121 ?M 122 ?M
)(1 222211 MM
EIC
???? ???
1
6
1(1 3 ?? qa
EI
)
3
(
2
2
la
EI
qa ??
)1
2
1 2 ?? lqa
? 面积 ?
1?,
6
3qa
?2? lqa 2
2
1
C B
A
2M 1
1
1
21M
22M
105
C B
A
M
2
2qa
2
2qa
C2
C1 ?1
?2
? 正负号 问题
)(1 222211 MM
EIC
???? ???
1
6
1(1 3 ?? qa
EI
)
3
(
2
2
la
EI
qa ??
)1
2
1 2 ?? lqa
C B
A
2M 1
1
1
21M
22M
对刚架,外载荷 的弯矩图与
单位载荷 的弯矩图在 同侧 的,
乘积取 正号 ；
分别在 两侧 的，乘积取 负号 。
106
谢 谢 大 家 !
