1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第八章
组 合 变 形
2
第八章 组合变形
本章内容,
1 组合变形和叠加原理
2 拉伸或压缩与弯曲的组合
3 偏心压缩和截面核心
4 扭转与弯曲的组合
5 组合变形的普遍情况
3
§ 8,1 组合变形与叠加原理
1 组合变形
? 基本变形
? 拉伸、压缩 ? 剪切 ? 弯曲 ? 扭转
? 组合变形
有两种或两种以上的
基本变形同时发生。
? 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生
基本变形的载荷，然后应
用 叠加原理 。
4
2 叠加原理
如果内力、应力、变形等与外力成 线性关系,
则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应
力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷
单独作用下的内力、应力、变形等的 叠加 而
得到，且与各组载荷的 加载次序 无关。
? 叠加原理成立的 条件
(1) 应力应变关系为线性关系，即 满足胡克定
律 ；
(2) 变形是 小变形,可以用 原始尺寸原理 。
下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。
5
§ 8,2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例 1 (书例 9.1)
已知, P = 8kN,
AB为工字钢,
材料为 A3钢,
[?] = 100MPa。
解,
求, 工字钢型号 。
AB受力如图
这是组合变形问
题 ? 压弯组合。
6
取 AB,受 力如图
这是组合变形问题
? 压弯组合。
? 求约束反力
0)( ?? FAM
kN42?F
k N,40?H
kN8.12?V
? 内力图
? 危险截面
C 截面
7
k N,40?H
kN8.12?V
? 内力图
? 危险截面
C 截面
k N m,12?CM kN40?N
? 设计截面的一般步骤
? 先根据 弯曲正应力 选择工字钢型号；
? 再按组合变形的 最大正应力 校核强度，必要
时选择大一号或大二号的工字钢；
? 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
8
k N m,12?CM kN40?N
? 设计截面的一般步骤
? 先按 弯曲正应力 选择工字钢型号；
? 再按组合变形的 最大正应力 校核强度，必要
时选择大一号或大二号的工字钢；
? 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
? 按 弯曲正应力 选择工字钢型号
W
M C?? 3cm120?][??
][?
CMW ?
选 16号工字钢,cm1 4 1 3?W 2cm13.26?A
? 按 最大正应力 校核强度
9
? 按 弯曲正应力 选择工字钢型号
W
M C?? 3cm120?][??
][?
CMW ?
选 16号工字钢,cm1 4 1 3?W 2cm13.26?A
? 按 最大正应力 校核强度
?m a xc?
W
M
A
N C? M P a5.1 0 0? ][??
可以使用
? 本题不需要校核剪切强度
拉 (压 )弯组合变形时，危险点的 应力状态 是
单向 应力状态 。
10
例 2 (书例 9.2)
已知, 铸铁框架, [?t]=30
MPa,[?c]=160MPa。
解,
求,许可载荷 P (kN)。
这是组合变形问题
?? 拉弯组合。
? 求内力 (作用于截面形心 )
? 几何参数
,m1015 23???A
c m,5.7?oz
4cm5 3 1 0?
yI
11
? 几何参数
,m1015 23???A
c m,5.7?oz
4cm5 3 1 0?
yI
? 危险截面 各截面相同
? 应力分布
? 求内力 (作用于截面形心 )
k N,PN ?
k N m105.42 2 PM y ???
取研究对象如图
12
? N引起的应力
A
N??? M P a
15
P?
? My引起的应力
y
oy
t I
zM
???m a x? M Pa
53 10
5.742 5 P??
y
y
c I
zM 1
m a x ????? M Pa53 10
5.1242 5 P???
? 危险截面 各截面相同
? 应力分布
13
y
y
c I
zM 1
m a x ?????
M Pa
53 10
5.1242 5 P???
? 最大拉应力
m a xm a x tt ??? ?????
15
P? M Pa
53 10
5.742 5 P??
? 最大压应力
m a xm a x cc ??? ?????
15
P? M Pa
5 31 0
5.124 25 P??
14
? 最大压应力
m a xm a x cc ??? ?????
15
P? M Pa
5 31 0
5.124 25 P??
? 最大拉应力
15m a x
P
t ?? M Pa53 10
5.742 5 P??
? 由抗拉强度条件
M P a30][m a x ?? tt ?? kN1.45?P
? 由抗压强度条件
M P a1 6 0][m a x ?? cc ?? kN3.1 7 1?P
? 结论 kN1.45?P
15
§ 8,3 偏心压缩和截面核心
? 偏心压缩
设 O为形心,
y轴和 z轴均
为形心主惯
性轴。
力作用点 A的
坐标,yp,zp,
弯矩,
pz PyM ?? py PzM ??
16
弯矩,
pz PyM ??
py PzM ??
坐标为 y,z 的 B点的应力,
A
P????
z
z
I
yM????
y
y
I
zM
?????
z
p
I
yPy ?
??
y
p
I
zPz ?
??
? 应力
17
A
P????
z
z
I
yM????
y
y
I
zM
?????
z
p
I
yPy ?
??
y
p
I
zPz ?
??
惯性矩可表为,
,2yy AiI ? 2zz AiI ?
)1( 22
y
p
z
p
i
zz
i
yy
A
P
?????
? 中性轴位置
设中性轴上的点的坐标为 y0,z0。
18
)1( 22
y
p
z
p
i
zz
i
yy
A
P
?????
? 中性轴位置
设中性轴上的点的坐标
为 y0,z0。
在上式中令 ?为零，得,
0)1( 2 02 0 ????
y
p
z
p
i
zz
i
yy
A
P
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy ?? 中性轴 方程
19
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy
?? 中性轴 方程
设中性轴在 y轴和 z轴上的
截距为 ay,az,则有,
,
2
p
z
y y
i
a ??
p
y
z z
i
a
2
??
由上可知,
1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；
2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压,
一部分受拉；
20
由上可知,
1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；
2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压,
一部分受拉；
3) 在截面的周边上，切
线与中性轴平行的点
的应力为极值。
? 截面核心
在土木工程中，对于受
偏心压缩的混凝土、大
理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。
21
? 截面核心
在土木工程中，对于受
偏心压缩的混凝土、大
理石等柱子，要求在横
截面上不出现拉应力。
使横截面上不出现拉应力
的 压力作用点的 集合,称
为 截面核心 。
要使坐标为 r,s 的 C点的应
力为零，则由
22
要使坐标为 r,s 的 C点的应
力为零，则由
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy
122 ???
y
p
z
p
i
sz
i
ry
使横截面上不出现拉应力
的 压力作用点的 集合,称
为 截面核心 。
?? 直线 pq的方程
23
要使坐标为 r,s 的 C点的应
力为零，则由
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy
122 ???
y
p
z
p
i
sz
i
ry
?? 直线 pq的方程
当压力作用点在 直线 pq上移动时,C点的应力保
持为零。 中性轴通过 C点,但方位不断变化。
? 截面核心 的确定
24
当压力作用点在 直线 pq上移动时,C点的应力保
持为零。 中性轴通过 C点,但方位不断变化。
? 截面核心 的确定
? 设 AE为 中性轴
中性轴的截距为 ay,az,
由,
,
2
p
z
y y
i
a ??
p
y
z z
i
a
2
??
a点坐标
,
2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
?? ? 设 AB为 中性轴 b点
25
? 截面核心 的确定
? 设 AE为 中性轴
中性轴的截距为 ay,az,
由,
,
2
p
z
y y
i
a ??
p
y
z z
i
a
2
??
a点坐标
,
2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
?? ? 设 AB为 中性轴 b点
? 同理可确定 c,d,e点。 ? 连线可得到截面核心。
26
例 3 (书例 9.3)
已知, 矩形截面
解,
求,截面核心。
对矩形截面
? 设 AB为中性轴
,
12
2
2 bi
y ?
,
2
ha
y ??
,
6
hy
a ?
12
2
2 hi
z ?
a点坐标
AB直线的截距为,??
za
0?az
由：,2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
??
27
? 设 AB为中性轴
,
2
ha
y ??
a点坐标
AB直线 的截距为,
??za
,
6
hy
a ? 0?az
由：,2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
??
? 设 BC为中性轴 b点坐标,
? 同理可确定 c,d点坐标
,0?by
6
bz
a ?
连线得 截面核心 。
28
§ 8,4 扭转与弯曲的组合
常见的弯扭组合变形的构件主要有
? 圆轴类 ? 曲杆类
这里主要考虑 圆形截面 杆的弯扭组合变形。
? 例子
29
? 例子
30
31
? 内力图如图
? 危险截面
E截面
E截面的内力
2
DPT ??
l
abPM r
y ?m a x
l
P abM
z ?m a x
32
E截面的内力
2
DPT ??
l
abPM r
y ?m a x
l
P abM
z ?m a x
? 对圆截面杆
可将两个方向的弯矩按
矢量合成。
2
m a x
2
m a x zy MMM ??
33
? 对圆截面杆
可将两个方向的弯矩按
矢量合成。
2
m a x
2
m a x zy MMM ??
? 危险点的应力
? 扭转切应力
tW
T??
? 弯曲正应力
W
M??
? 弯曲切应力 一般可忽略
34
? 危险点的应力
? 扭转切应力
tW
T??
? 弯曲正应力
W
M??
? 弯曲切应力 一般可忽略
? 危险点的应力状态
? 相当应力
22
3 4 ??? ??r
22
4 3 ??? ??r
35
tW
T??
W
M??
? 相当应力,4 22
3 ??? ??r
22
4 3 ??? ??r
? 用内力表示的相当应力
对圆截面杆
,
32
3D
W ??
16
3D
W t ?? WW t 2?
22
3
2
4 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
W
T
W
M
r?
221 TM
W
??
同样可得 22
4 75.0
1 TM
Wr
???
36
22
3
2
4 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
W
T
W
M
r?
221 TM
W
??
同样可得 22
4 75.0
1 TM
Wr
???
? 矩形截面 杆的弯扭组合变形问题
? 两个方向的弯矩不宜合成，可
分别计算应力。
? 扭转切应力按矩形截面扭转公
式计算。
2m a x hb
T
?
? ?
37
例 3 (书例 9.5)
已知, 传动轴,45号钢,d=35mm,[?]=85 Mpa,
输入功率 N= 2.2kW,n=966r/min。 D=132mm,
F+f = 600N。齿轮 E的 d1=50mm。
求, 校核轴的强度 。
38
解,
? 求外力
n
Nm 95 49?
Nm7.21?
? 力偶矩
? 皮带张力
mDfF ??
2
)(
又 600?? fF
N,465?F N135?f
? 齿轮作用力
mdP n ??
2
20c os 1 N925?nP
? 将各力向轴线简化
39
N,465?F
N135?f
? 齿轮作用力
mdP n ??
2
20c os 1
N925?nP
? 将各力向轴
线简化
N,870?P N,316?rP
N,5 4 2?? yy fF N2 5 7?? xx fF
? 画出内力图
,mm ??
40
? 将各力向轴
线简化
N,870?P
N,316?rP
N,5 4 2?? yy fF
N2 5 7?? xx fF
? 画出内力图
? 危险截面
B截面
? B截面内力
,mm ??
41
? 危险截面
B截面
? B截面内力
m,N7.21?T
22
zy MMM ??
Nm7.26?
? 强度校核
按第三强度理论校核
22
3
1 TM
Wr
??? M P a18.3? ][?? 安全
42
例 3 (书例 9.6)
已知, 曲轴,碳钢,
各几何尺寸已知。
P =32kN,F = 17
kN,曲柄的惯性
力 C=3kN,平衡重
的惯性力 C1=7kN,
[?]= 120 MPa 。
求, 校核曲轴的
强度 。
解, ? 求外力
43
解, ? 求外力
k N,2021 ?? RR
?zM
Nm1 0 2 0?? Frm
mN1 1 7 0?
k N,5.821 ?? HH
对主轴的扭矩
(1) 连杆轴颈的强度计算
? 危险截面 连杆轴颈的中点
? 计算内力
2/1 LR ?
?yM Nm553?2/1 LH ?
Mz
My
T
2/)( 1 lCC ???
Qz
Qy
取左半部分
44
?zM
mN1 1 7 0?
? 危险截面 连杆轴颈的中点
2/)(2/ 11 lCCLR ????
?yM Nm553?2/1 LH ?
22
yz MMM ?? Nm1290?
?T Nm510?rH ?1
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
???
Mz
My
T
Qz
Qy
? 计算内力 取左半部分
45
22
yz MMM ?? Nm1290?
?T Nm510?rH ?1
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
??? M P a111? ][??
(2) 主轴颈的强度计算
? 危险截面 II-II截面
Mz
My
T
Qz
Qy
?zM Nm440?aR ?2
?yM Nm187?aH ?2
? 计算内力 取右段
46
(2) 主轴颈的强度计算
? 危险截面 II-II截面
Mz
My
T
Qz
Qy
?zM Nm440?aR ?2
?yM Nm187?aH ?2
22
yz MMM ?? Nm478?
?T Nm1020?m
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
??? M P a4.47? ][??
? 计算内力 取右段
47
(3) 曲柄的强度计算
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
??? M P a4.47? ][??
? 危险截面
III-III截面
? 取下半部分
? 计算内力
?N kN13?12 CR ?
?xM
Nm765?
2/2 dHm ??
Qz
Qx
48
? 取下半部分
? 计算内力
?N kN13?12 CR ?
?xM
Nm765?
2/2 dHm ??
?zM
Nm660?
)2/(2 baR ?
TM y ?
Nm281?
)2/(2 baH ??
?zQ kN5.8?2H
Qz
Qx
?xQ 0
六个内力分量中，只有一个为零。
49
? 计算内力
k N,13?N
Nm7 6 5?xM
Nm6 6 0?zM
Nm281?? TM y
k N,5.8?zQ
Qz
Qx
0?xQ
A点,
? 强度校核
? 危险点 B点。
? A点
?A?
单向应力状态
bh
N
x
x
W
M?
z
z
W
M? M P a106? ][??
50
Qz
Qx
A点,
? 强度校核
? 危险点 B点。
? A点
?A?
单向应力状态
bh
N
x
x
W
M?
z
z
W
M?
M P a106? ][??
? B点
?B?
平面应力状态
bh
N
z
z
W
M? M P a86?
? 扭转切应力
2m a x hb
T
?
? ?
51
? B点
?B?
平面应力状态
bh
N
z
z
W
M? M P a86?
? 扭转切应力
2m a x hb
T
?
? ?
系数 ?根据比值 h/b查表 3.2(p.116)
确定。
本题中,
mm,102?h mm,22?b 64.4/ ?bh
52
本题中,
mm,102?h mm,22?b 64.4/ ?bh
作线性插值，得,287.0?? M P a8.19
1 ??
? 弯曲切应力
? 扭转切应力
2m a x hb
T
?
? ?
系数 ?根据比值 h/b查表 3.2(p.116) 确定。
53
? 扭转切应力 287.0?? M P a8.19
1 ??
? 弯曲切应力
Qz
Qx bh
Q z
2
3
2 ??
21 ??? ??
M P a68.5?
M P a5.25?
B点的两种 切应力方
向相同。
B点的应力状态如图。
22
4 3 ??? ??r
M P a7.96? ][?? 安全
54
§ 8,5 拉伸（压缩）与扭转的组合
x
y
z
F
T
22
3 4?
????
?? ????
?? ??
r
t
FT
AW
55
§ 8,6 拉伸（压缩）、弯曲与扭转的组合
x
y
z
F
My
Mz T
22
3 4?
????
? ? ? ????
?? ??
r
t
F M T
A W W
56
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第八章
组 合 变 形
2
第八章 组合变形
本章内容,
1 组合变形和叠加原理
2 拉伸或压缩与弯曲的组合
3 偏心压缩和截面核心
4 扭转与弯曲的组合
5 组合变形的普遍情况
3
§ 8,1 组合变形与叠加原理
1 组合变形
? 基本变形
? 拉伸、压缩 ? 剪切 ? 弯曲 ? 扭转
? 组合变形
有两种或两种以上的
基本变形同时发生。
? 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生
基本变形的载荷，然后应
用 叠加原理 。
4
2 叠加原理
如果内力、应力、变形等与外力成 线性关系,
则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应
力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷
单独作用下的内力、应力、变形等的 叠加 而
得到，且与各组载荷的 加载次序 无关。
? 叠加原理成立的 条件
(1) 应力应变关系为线性关系，即 满足胡克定
律 ；
(2) 变形是 小变形,可以用 原始尺寸原理 。
下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。
5
§ 8,2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例 1 (书例 9.1)
已知, P = 8kN,
AB为工字钢,
材料为 A3钢,
[?] = 100MPa。
解,
求, 工字钢型号 。
AB受力如图
这是组合变形问
题 ? 压弯组合。
6
取 AB,受 力如图
这是组合变形问题
? 压弯组合。
? 求约束反力
0)( ?? FAM
kN42?F
k N,40?H
kN8.12?V
? 内力图
? 危险截面
C 截面
7
k N,40?H
kN8.12?V
? 内力图
? 危险截面
C 截面
k N m,12?CM kN40?N
? 设计截面的一般步骤
? 先根据 弯曲正应力 选择工字钢型号；
? 再按组合变形的 最大正应力 校核强度，必要
时选择大一号或大二号的工字钢；
? 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
8
k N m,12?CM kN40?N
? 设计截面的一般步骤
? 先按 弯曲正应力 选择工字钢型号；
? 再按组合变形的 最大正应力 校核强度，必要
时选择大一号或大二号的工字钢；
? 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
? 按 弯曲正应力 选择工字钢型号
W
M C?? 3cm120?][??
][?
CMW ?
选 16号工字钢,cm1 4 1 3?W 2cm13.26?A
? 按 最大正应力 校核强度
9
? 按 弯曲正应力 选择工字钢型号
W
M C?? 3cm120?][??
][?
CMW ?
选 16号工字钢,cm1 4 1 3?W 2cm13.26?A
? 按 最大正应力 校核强度
?m a xc?
W
M
A
N C? M P a5.1 0 0? ][??
可以使用
? 本题不需要校核剪切强度
拉 (压 )弯组合变形时，危险点的 应力状态 是
单向 应力状态 。
10
例 2 (书例 9.2)
已知, 铸铁框架, [?t]=30
MPa,[?c]=160MPa。
解,
求,许可载荷 P (kN)。
这是组合变形问题
?? 拉弯组合。
? 求内力 (作用于截面形心 )
? 几何参数
,m1015 23???A
c m,5.7?oz
4cm5 3 1 0?
yI
11
? 几何参数
,m1015 23???A
c m,5.7?oz
4cm5 3 1 0?
yI
? 危险截面 各截面相同
? 应力分布
? 求内力 (作用于截面形心 )
k N,PN ?
k N m105.42 2 PM y ???
取研究对象如图
12
? N引起的应力
A
N??? M P a
15
P?
? My引起的应力
y
oy
t I
zM
???m a x? M Pa
53 10
5.742 5 P??
y
y
c I
zM 1
m a x ????? M Pa53 10
5.1242 5 P???
? 危险截面 各截面相同
? 应力分布
13
y
y
c I
zM 1
m a x ?????
M Pa
53 10
5.1242 5 P???
? 最大拉应力
m a xm a x tt ??? ?????
15
P? M Pa
53 10
5.742 5 P??
? 最大压应力
m a xm a x cc ??? ?????
15
P? M Pa
5 31 0
5.124 25 P??
14
? 最大压应力
m a xm a x cc ??? ?????
15
P? M Pa
5 31 0
5.124 25 P??
? 最大拉应力
15m a x
P
t ?? M Pa53 10
5.742 5 P??
? 由抗拉强度条件
M P a30][m a x ?? tt ?? kN1.45?P
? 由抗压强度条件
M P a1 6 0][m a x ?? cc ?? kN3.1 7 1?P
? 结论 kN1.45?P
15
§ 8,3 偏心压缩和截面核心
? 偏心压缩
设 O为形心,
y轴和 z轴均
为形心主惯
性轴。
力作用点 A的
坐标,yp,zp,
弯矩,
pz PyM ?? py PzM ??
16
弯矩,
pz PyM ??
py PzM ??
坐标为 y,z 的 B点的应力,
A
P????
z
z
I
yM????
y
y
I
zM
?????
z
p
I
yPy ?
??
y
p
I
zPz ?
??
? 应力
17
A
P????
z
z
I
yM????
y
y
I
zM
?????
z
p
I
yPy ?
??
y
p
I
zPz ?
??
惯性矩可表为,
,2yy AiI ? 2zz AiI ?
)1( 22
y
p
z
p
i
zz
i
yy
A
P
?????
? 中性轴位置
设中性轴上的点的坐标为 y0,z0。
18
)1( 22
y
p
z
p
i
zz
i
yy
A
P
?????
? 中性轴位置
设中性轴上的点的坐标
为 y0,z0。
在上式中令 ?为零，得,
0)1( 2 02 0 ????
y
p
z
p
i
zz
i
yy
A
P
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy ?? 中性轴 方程
19
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy
?? 中性轴 方程
设中性轴在 y轴和 z轴上的
截距为 ay,az,则有,
,
2
p
z
y y
i
a ??
p
y
z z
i
a
2
??
由上可知,
1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；
2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压,
一部分受拉；
20
由上可知,
1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；
2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压,
一部分受拉；
3) 在截面的周边上，切
线与中性轴平行的点
的应力为极值。
? 截面核心
在土木工程中，对于受
偏心压缩的混凝土、大
理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。
21
? 截面核心
在土木工程中，对于受
偏心压缩的混凝土、大
理石等柱子，要求在横
截面上不出现拉应力。
使横截面上不出现拉应力
的 压力作用点的 集合,称
为 截面核心 。
要使坐标为 r,s 的 C点的应
力为零，则由
22
要使坐标为 r,s 的 C点的应
力为零，则由
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy
122 ???
y
p
z
p
i
sz
i
ry
使横截面上不出现拉应力
的 压力作用点的 集合,称
为 截面核心 。
?? 直线 pq的方程
23
要使坐标为 r,s 的 C点的应
力为零，则由
12 02 0 ???
y
p
z
p
i
zz
i
yy
122 ???
y
p
z
p
i
sz
i
ry
?? 直线 pq的方程
当压力作用点在 直线 pq上移动时,C点的应力保
持为零。 中性轴通过 C点,但方位不断变化。
? 截面核心 的确定
24
当压力作用点在 直线 pq上移动时,C点的应力保
持为零。 中性轴通过 C点,但方位不断变化。
? 截面核心 的确定
? 设 AE为 中性轴
中性轴的截距为 ay,az,
由,
,
2
p
z
y y
i
a ??
p
y
z z
i
a
2
??
a点坐标
,
2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
?? ? 设 AB为 中性轴 b点
25
? 截面核心 的确定
? 设 AE为 中性轴
中性轴的截距为 ay,az,
由,
,
2
p
z
y y
i
a ??
p
y
z z
i
a
2
??
a点坐标
,
2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
?? ? 设 AB为 中性轴 b点
? 同理可确定 c,d,e点。 ? 连线可得到截面核心。
26
例 3 (书例 9.3)
已知, 矩形截面
解,
求,截面核心。
对矩形截面
? 设 AB为中性轴
,
12
2
2 bi
y ?
,
2
ha
y ??
,
6
hy
a ?
12
2
2 hi
z ?
a点坐标
AB直线的截距为,??
za
0?az
由：,2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
??
27
? 设 AB为中性轴
,
2
ha
y ??
a点坐标
AB直线 的截距为,
??za
,
6
hy
a ? 0?az
由：,2
y
z
a a
i
y ??
z
y
a a
i
z
2
??
? 设 BC为中性轴 b点坐标,
? 同理可确定 c,d点坐标
,0?by
6
bz
a ?
连线得 截面核心 。
28
§ 8,4 扭转与弯曲的组合
常见的弯扭组合变形的构件主要有
? 圆轴类 ? 曲杆类
这里主要考虑 圆形截面 杆的弯扭组合变形。
? 例子
29
? 例子
30
31
? 内力图如图
? 危险截面
E截面
E截面的内力
2
DPT ??
l
abPM r
y ?m a x
l
P abM
z ?m a x
32
E截面的内力
2
DPT ??
l
abPM r
y ?m a x
l
P abM
z ?m a x
? 对圆截面杆
可将两个方向的弯矩按
矢量合成。
2
m a x
2
m a x zy MMM ??
33
? 对圆截面杆
可将两个方向的弯矩按
矢量合成。
2
m a x
2
m a x zy MMM ??
? 危险点的应力
? 扭转切应力
tW
T??
? 弯曲正应力
W
M??
? 弯曲切应力 一般可忽略
34
? 危险点的应力
? 扭转切应力
tW
T??
? 弯曲正应力
W
M??
? 弯曲切应力 一般可忽略
? 危险点的应力状态
? 相当应力
22
3 4 ??? ??r
22
4 3 ??? ??r
35
tW
T??
W
M??
? 相当应力,4 22
3 ??? ??r
22
4 3 ??? ??r
? 用内力表示的相当应力
对圆截面杆
,
32
3D
W ??
16
3D
W t ?? WW t 2?
22
3
2
4 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
W
T
W
M
r?
221 TM
W
??
同样可得 22
4 75.0
1 TM
Wr
???
36
22
3
2
4 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
W
T
W
M
r?
221 TM
W
??
同样可得 22
4 75.0
1 TM
Wr
???
? 矩形截面 杆的弯扭组合变形问题
? 两个方向的弯矩不宜合成，可
分别计算应力。
? 扭转切应力按矩形截面扭转公
式计算。
2m a x hb
T
?
? ?
37
例 3 (书例 9.5)
已知, 传动轴,45号钢,d=35mm,[?]=85 Mpa,
输入功率 N= 2.2kW,n=966r/min。 D=132mm,
F+f = 600N。齿轮 E的 d1=50mm。
求, 校核轴的强度 。
38
解,
? 求外力
n
Nm 95 49?
Nm7.21?
? 力偶矩
? 皮带张力
mDfF ??
2
)(
又 600?? fF
N,465?F N135?f
? 齿轮作用力
mdP n ??
2
20c os 1 N925?nP
? 将各力向轴线简化
39
N,465?F
N135?f
? 齿轮作用力
mdP n ??
2
20c os 1
N925?nP
? 将各力向轴
线简化
N,870?P N,316?rP
N,5 4 2?? yy fF N2 5 7?? xx fF
? 画出内力图
,mm ??
40
? 将各力向轴
线简化
N,870?P
N,316?rP
N,5 4 2?? yy fF
N2 5 7?? xx fF
? 画出内力图
? 危险截面
B截面
? B截面内力
,mm ??
41
? 危险截面
B截面
? B截面内力
m,N7.21?T
22
zy MMM ??
Nm7.26?
? 强度校核
按第三强度理论校核
22
3
1 TM
Wr
??? M P a18.3? ][?? 安全
42
例 3 (书例 9.6)
已知, 曲轴,碳钢,
各几何尺寸已知。
P =32kN,F = 17
kN,曲柄的惯性
力 C=3kN,平衡重
的惯性力 C1=7kN,
[?]= 120 MPa 。
求, 校核曲轴的
强度 。
解, ? 求外力
43
解, ? 求外力
k N,2021 ?? RR
?zM
Nm1 0 2 0?? Frm
mN1 1 7 0?
k N,5.821 ?? HH
对主轴的扭矩
(1) 连杆轴颈的强度计算
? 危险截面 连杆轴颈的中点
? 计算内力
2/1 LR ?
?yM Nm553?2/1 LH ?
Mz
My
T
2/)( 1 lCC ???
Qz
Qy
取左半部分
44
?zM
mN1 1 7 0?
? 危险截面 连杆轴颈的中点
2/)(2/ 11 lCCLR ????
?yM Nm553?2/1 LH ?
22
yz MMM ?? Nm1290?
?T Nm510?rH ?1
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
???
Mz
My
T
Qz
Qy
? 计算内力 取左半部分
45
22
yz MMM ?? Nm1290?
?T Nm510?rH ?1
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
??? M P a111? ][??
(2) 主轴颈的强度计算
? 危险截面 II-II截面
Mz
My
T
Qz
Qy
?zM Nm440?aR ?2
?yM Nm187?aH ?2
? 计算内力 取右段
46
(2) 主轴颈的强度计算
? 危险截面 II-II截面
Mz
My
T
Qz
Qy
?zM Nm440?aR ?2
?yM Nm187?aH ?2
22
yz MMM ?? Nm478?
?T Nm1020?m
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
??? M P a4.47? ][??
? 计算内力 取右段
47
(3) 曲柄的强度计算
? 强度校核 按第四强度理论
22
4 75.0
1 TM
Wr
??? M P a4.47? ][??
? 危险截面
III-III截面
? 取下半部分
? 计算内力
?N kN13?12 CR ?
?xM
Nm765?
2/2 dHm ??
Qz
Qx
48
? 取下半部分
? 计算内力
?N kN13?12 CR ?
?xM
Nm765?
2/2 dHm ??
?zM
Nm660?
)2/(2 baR ?
TM y ?
Nm281?
)2/(2 baH ??
?zQ kN5.8?2H
Qz
Qx
?xQ 0
六个内力分量中，只有一个为零。
49
? 计算内力
k N,13?N
Nm7 6 5?xM
Nm6 6 0?zM
Nm281?? TM y
k N,5.8?zQ
Qz
Qx
0?xQ
A点,
? 强度校核
? 危险点 B点。
? A点
?A?
单向应力状态
bh
N
x
x
W
M?
z
z
W
M? M P a106? ][??
50
Qz
Qx
A点,
? 强度校核
? 危险点 B点。
? A点
?A?
单向应力状态
bh
N
x
x
W
M?
z
z
W
M?
M P a106? ][??
? B点
?B?
平面应力状态
bh
N
z
z
W
M? M P a86?
? 扭转切应力
2m a x hb
T
?
? ?
51
? B点
?B?
平面应力状态
bh
N
z
z
W
M? M P a86?
? 扭转切应力
2m a x hb
T
?
? ?
系数 ?根据比值 h/b查表 3.2(p.116)
确定。
本题中,
mm,102?h mm,22?b 64.4/ ?bh
52
本题中,
mm,102?h mm,22?b 64.4/ ?bh
作线性插值，得,287.0?? M P a8.19
1 ??
? 弯曲切应力
? 扭转切应力
2m a x hb
T
?
? ?
系数 ?根据比值 h/b查表 3.2(p.116) 确定。
53
? 扭转切应力 287.0?? M P a8.19
1 ??
? 弯曲切应力
Qz
Qx bh
Q z
2
3
2 ??
21 ??? ??
M P a68.5?
M P a5.25?
B点的两种 切应力方
向相同。
B点的应力状态如图。
22
4 3 ??? ??r
M P a7.96? ][?? 安全
54
§ 8,5 拉伸（压缩）与扭转的组合
x
y
z
F
T
22
3 4?
????
?? ????
?? ??
r
t
FT
AW
55
§ 8,6 拉伸（压缩）、弯曲与扭转的组合
x
y
z
F
My
Mz T
22
3 4?
????
? ? ? ????
?? ??
r
t
F M T
A W W
56
谢 谢 大 家 !
