1
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第七章
应力和应变分析 强度理论
2
第七章 应力和应变分析 强度理论
本章内容,
1 应力状态概述
2 二向和三向应力状态的实例
3 二向应力状态分析 ?? 解析法
4 二向应力状态分析 ?? 图解法
5 三向应力状态
6 位移与应变分量
7 平面应变状态分析
8 广义胡克定律
3
10 强度理论概述
11 四种常用强度理论
12 莫尔强度理论
13 构件含裂纹时的断裂准则
9 复杂应力状态的变形比能
3 二向应力状态分析 ?? 解析法
4 二向应力状态分析 ?? 图解法
5 三向应力状态
6 位移与应变分量
7 平面应变状态分析
8 广义胡克定律
4
§ 7,1 应力状态概述
1 问题的提出
? 低碳钢和铸铁的拉伸实验
? 低碳钢的拉伸实验 ? 铸铁的拉伸实验
问题,为什么低碳钢拉伸时会出现 45o 滑移线？
5
? 低碳钢和铸铁的扭转实验
? 低碳钢的扭转实验 ? 铸铁的扭转实验
问题,为什么铸铁扭转时会沿 45o 螺旋面断开？
所以，不仅要研究 横截面 上的应力，而且也要研
究 斜截面 上的应力。
6
2 应力的三个重要概念
? 应力的 点 的概念
? 应力的 面 的概念
同一物体内 不同 点 的应力各不相同，此即
应力的 点 的概念 。
MzN
Q
7
? 应力的 面 的概念
过同一点的 不同方向 的截 面 上的应力各不相同,
此即 应力的 面 的概念 。
所以，讲到应力，应指明是 哪一 点 在 哪一方向 面
上的应力 。
? 应力状态的概念
过一点的 不同方向面 上的应力的 集合,称为这
一点的 应力状态 。
8
? 应力状态的概念
过一点的 不同方向面 上的应力的集合，称为这
一点的 应力状态 。
9
3 一点应力状态的描述
? 单元体
? 单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；
? 单元体的 特点
10
? 单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；
? 单元体的 特点
? 单元体的每一个面上，应力均匀分布；
? 单元体中相互平行的两个面上，应力相同。
4 主应力及应力状态的分类
? 主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为 主应力 ；
11
4 主应力及应力状态的分类
? 主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为 主应力 ；
主应力所在的平面称为 主平面 ；
主平面的外法线方向称为 主方向 。
主应力用 ?1,?2,?3 表示 (?1 ? ?2 ? ?3 ) 。
? 应力状态分类 ? 单向应力状态
12
? 应力状态分类
? 单向应力状态 ? 二向应力状态 (平面应力状态 )
? 三向应力状态 (空间应力状态 )
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
? 简单应力状态 ? 复杂应力状态
x
y
?x
?y?yx
?xy
13
§ 7,2 二向和三向 应力状态的实例
1 二向应力状态的实例
? 薄壁圆筒
已知, p,D,
t。
? 求 ?'
端部总压力
4
2D
pP ??
A
P???
Dt
D
p
?
?
4
2
?
t
pD
4
?
14
? 求 ?'
A
P???
Dt
D
p
?
?
4
2
?
t
pD
4
?
? 求 ?''
取研究对象
如图。
15
? 求 ?''
计算 N力
0?? Y
?N2 ?d
2
Dlp ? ?sin???
0
plD?
2
pl DN ?
即：内压力在 y方向的投
影等于内压乘以投影面
积。
16
2
pl DN ?
所以
A
N????
lt
N
?
?
t
pD
2
????
17
t
pD
2
????
可以看出,轴向应力 ??
是 环向应力 ???的一半。
对于薄壁圆筒，有,
20
Dt ?
,
4 t
pD???
p10?? ??,5 p?? ?
所以，可以 忽略 内表面受到的内压 p和外表面受
到的大气压强，近似作为 二向应力状态 处理。
18
2 三向应力状态的实例
? 滚珠轴承
19
例 2 (书例 8.1)
已知,蒸汽锅炉,
t=10mm,D=1m,
p=3MPa 。
解,
求,三个主应力。
前面已得到
t
pD
2
????
t
pD
4
??? M P a,75? M P a150?
?? ???1 M P a,150? ?? ??2 M P a,75? 03 ??
20
例 3 (书例 8.2)
已知,球形容器,t,D,p 。
解,
求, 容器壁内的 应力。
t
pD
4
??
4
2D
pP ???
Dt?? ?
,21 ??? ?? 03 ??
取研究对象如图。
与薄壁圆筒的情况类似，有,
0?? Y P?
4
2D
p ???
所以,
21
§ 7,3 二向 应力状态分析 ?? 解析法
? 二向应力状态的表示
? 应力状态分析
在已知过一点的某些截面上
的应力时，求出过该点的任
一截面上的应力，从而求出
主应力和主平面。
yx?
? 切应力的下标
作用面的法线 切应力的方向
22
? 二向应力状态的表示
yx?
? 切应力的下标
作用面的法线 切应力的方向
? 正负号规定
? 正应力
?x?x
拉为正 压为负
?x ?x
23
? 切应力
使单元体顺时针方向转动
为正；反之为负。
? x y' '
? yx
? xy
? 截面的 方向角
由 x正向 逆时针 转到截面的
外法线 n的正向的 ?角为正 ;
反之为负。
n
y
x ?
24
? 方向角为 ?的截面上的应力
以单元体的一部分为研究
对象。
由平衡条件
0?? nF
Ad?? ??? s in)c o sd( Axy?
??? c o s)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ayx?
??? s in)s ind( Ay? 0?
0?? tF
25
0?? nF
Ad?? ??? s in)c o sd( Axy?
??? c o s)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ayx?
??? s in)s ind( Ay? 0?
0?? tF
Ad?? ??? c o s)c o sd( Axy?
??? s in)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ay?
??? s in)s ind( Ayx? 0?
26
0?? tF
Ad?? ??? c o s)c o sd( Axy?
??? s in)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ay?
??? s in)s ind( Ayx? 0?
由切应力互等定理,?xy与 ?yx 大小相等。
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
27
? 最大正应力和最小正应力
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
?
?
? ?
d
d
令,
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
可以看出：当 ?=?0 时,0?
??
)2c o s2s i n
2
(2 ???
??
xy
yx ???
??2??
0
d
d ?
?
? ?
取极值的正应力为主应力。
28
令,
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
可以看出：当 ?=?0 时,0?
??
0
d
d ?
?
? ?
取极值的正应力为主应力。
若 ?0 满足上式，则 ?0 +90o也满足上式，代入
公式可得,
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
29
若 ?0 满足上式，则 ?0 +90o也满足上式，代入
公式可得,
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
? 正应力的不变量
30
? 正应力的不变量
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
?截面上的正应力为,
? +90o 截面上的正应力为,
)2s i n ()2c o s (
2290
?????
????
? ? ???
?
?
?
??? xyyxyx
???
????
2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
?? ?? 90?? ?? yx ?? ?
任意两个互相垂直的 截面上的 正应力之和 为 常数,
31
? 最大切应力和最小切应力
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
?
?
??
d
d
令,
xy
yx
?
??
?
2
2t a n 1
?
?
??? 2c o s)( yx ?
0
d
d ?
?
? ?
?? 2s in2 xy?
若 ?1 满足上式，则 ?1 +90o也满足上式，代入
2
2
m i n
m a x
2
xy
yx
?
??
?
?
???
?
?
??
?
? ?
??
?
?
?
公式可得,
32
若 ?1 满足上式，则 ?1 +90o也满足上式，代入
2
2
m i n
m a x
2
xy
yx
?
??
?
?
???
?
?
??
?
? ?
??
?
?
?
公式可得,
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
)(
2
1
m i nm a x ?? ???
? 切应力的极值称为 主切应力
? 主切应力所在的平面称为 主剪平面
? 主剪平面上的正应力
33
? 切应力的极值称为 主切应力
? 主切应力所在的平面称为 主剪平面
? 主剪平面上的正应力
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
xy
yx
?
??
?
2
2t a n 1
?
?
将 ?1 和 ?1 +90o 代入公式可得,
??? 9011 ?? ?? )(
2
1
m i nm a x ?? ?? )(2
1
yx ?? ?? ??
即,主剪平面上的正应力为 平均正应力 。
34
xy
yx
?
??
?
2
2t a n 1
?
?
将 ?1 和 ?1 +90o 代入公式可得,
??? 9011 ?? ?? )(
2
1
m i nm a x ?? ?? )(2
1
yx ?? ?? ??
即,主剪平面上的正应力为 平均正应力 。
,
2
2t a n 0
yx
xy
??
?
?
?
??
? 主平面 与 主剪平面 的关系
由 ?0 和 ?1 的公式可得,12t a n2t a n
10 ??? ??
2
22 01 ??? ?? 401
??? ??
即,主平面 与 主剪平面 的夹角为 45o。
35
例 4 (书例 8.3)
已知, 圆轴受
扭转。
解,
求,应力状态及
分析铸铁件受扭
时的破坏现象。
? 最大切应力
? 取单元体 ABCD tW
T??
纯切应力状态,0?
x?,0?y? ?? ?xy
36
? 取单元体 ABCD
纯切应力状态
,0?x?,0?y? ?? ?xy
? 主应力
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
???
? 主方向
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0 ???
??? 450? 或 ??? 1350?
37
? 主应力 ?
?
?
??
?
?
?
m i n
m a x
? 主方向
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
???
??? 450? 或 ??? 1350?
? 主应力排序
m a x1 ?? ?,??,02 ?? m i n3 ?? ? ???
? 铸铁件破
坏现象
38
例 5 (书例 8.4)
已知, A点应力
? = -70MPa,
? = 50MPa。
解,
求, A点主应力和
主平面，及其它点
的应力状态。
? A点单元体
? 取 x轴向上为正
,0?x? M Pa,70??y?
M P a50??xy?
39
? 取 x轴向上为正
,0?x? M Pa,70??y?
M P a50??xy?
? 主应力
2
2
m i n
m a x
22 xy
yxyx ?????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
M P a,26m a x ??
2
2
)50(
2
)70(0
2
)70(0
???
?
?
?
?
? ??????
M P a96m i n ???
40
? 主应力
M P a,26m a x ??
M P a96m i n ???
M P a,261 ??
M P a963 ???
,02 ??
? 主方向
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
?? 5.270? 或 ?? 5.1170?
)70(0
)50(2
??
???? 429.1?
? 其它几点的应力状态
41
单向拉伸
? 其它几点的应力状态
单向压缩
纯剪切
42
主拉应力 ?1迹线
? 主应力迹线
主压应力 ?3迹线
43
§ 7,4 二向 应力状态分析 ?? 图解法
1 应力圆 (莫尔圆 ) 方程
由公式 ????????
? 2s i n2c o s22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
平方相加，得
2
2
2
2
22 xy
yxyx ???????
?? ???
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
? ?
?
44
2
2
2
2
22 xy
yxyx ???????
?? ???
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
? ?
?
这是以 ??,??为变量的 圆 的方程 。
? ?x y?
2
? ? 22 421 xyyxR ??? ???
R
?
?
O C
45
?
?
O
2 应力圆的画法
?y
?yx
?xy
x ?
D
D?
R
? ?x y?
2
C
D (?x,?xy)
D? (?
y,?yx)
? ? 22 421 xyyxR ??? ???
46
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系
(1) 点面对应
应力圆上某一点
的坐标值对应着
单元体某一方向面上的正应力和切应力 ;
47
(2) 基准相当
(3) 转向一致
半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
D点和 x面是基准 ;
48
(3) 转向一致
半径旋转方向与
方向面法线旋转
方向一致；
(4) 角度成双
半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。
49
4 应力圆的应用
? 确定主应力、主方向
应力圆与横轴的交
点 A1,B1处，剪应
力为零。
它们的横坐标即为
主应力。
从半径 CD转到 CA1
的角度即为从 x轴转
到主平面的角度的
两倍。
50
? 主应力
即为 A1,B1处的正应力。
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
圆心坐标 应力圆半径
51
? 主方向
CA
DA??
02t a n ?
2/)( yx
xy
??
?
?
??
yx
xy
??
?
?
??
2
52
? 确定面内最大切应力
主剪面对应于应力圆
上的 G1和 G2点。
面内最大切应力的值
等于应力圆的半径。
2
2
m a x
2
xy
yx
?
??
? ???
?
?
??
?
? ?
? )(
2
1
m i nm a x ?? ??
53
?x
?x
A
D
?
?
o d a c
x'
y
y'
45o x
b
e
B
E
? 单向应力状态的应力圆
2× 45o
2× 45o
54
B
E ??’ ?
?’
?? ??
x'
y'
?
?
o d a c
b
e
2× 45o
2× 45o
?x
?x
B
E
55
o
?
?
?
?
a (0,? )
d (0,-? )
A
D
b e c 2× 45o
2× 45o
??'＝ ? ??＝ ?
B E
? 纯切应力状态的应力圆
56
例 3 (书例 8.5)
已知, ?x =80MPa,?y =
-40MPa,?xy = -60MPa,
?yx = 60MPa 。
解,
求,用应力圆求主应力
和主方向。
作应力圆,
60,80 ??? xyx ??
由 D点
60,40 ??? yxy ??
由 D'点
画出应力圆
57
60,80 ??? xyx ??
由
D点
60,40 ??? yxy ??
由
D'点 画出应力圆
58
2
yxOC ?? ??
? 圆心坐标
2
)40(80 ???
20?
? 半径
2
2
2
xy
yxR ??? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
2
2
)60(
2
)40(80
???
?
?
?
?
? ??? 85.84? 85?
59
11 OA??
ROC ??3?
? 主平面
从 D点 (x轴 )逆时针转 45o至 A1点,
?? 452 0?
? 圆心坐标 20?OC
? 半径 85?R
ROC ??
M P a105?
M P a65??
E
由几何关系 OCOECE ?? 2080 ?? 60?
x?
xyED ??
60?
?? 5.220?
60
E
? 主平面
从 D点 (x轴 )逆时针转 45o至 A1点,
?? 452 0?
由几何关系 OCOECE ?? 2080 ?? 60?
xyED ??
60?
?? 5.220?
61
例 4 (书例 8.6)
已知, ?x = 0,?y = -40MPa,
?xy = 0 。
解,
求,斜截面 de上的正应力和
切应力。
作应力圆,
0,0 ?? xyx ??
由 O点
0,40 ??? yxy ??
由 B1点
画出应力圆
62
0,0 ?? xyx ??
由
O点
0,40 ??? yxy ??
由
B1点
画出应力圆
2/1OBOC ?
? 圆心坐标
? 半径
20?
OCR ? 20?
63
)( CDOC ?????
DE????
20?OC
? 圆心坐标
? 半径
20?R
? 单元体上
?0= -60o的
面所 对应的
点为 E点
D
M P a30?? )60c o s( ???? RR
M P a3.17?? ??? 60s inR
64
§ 7,5 三向 应力状态
? 三向应力状态
三个主应力均不为零的应力状态。
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
65
? 特例
至少有一个主应力的大小方向为已知。
?z
?x
?y
?xy
?yx ?y
?xy
?yx
?x
?z
平面应力 状态即为这种特例之一。
66
?1
?2
?3
? 三向应力状态的应力圆
设三个主应力均已知。
?
?
III
II
I ?
3
?2
?1
I
平行于 ?1的方向面－其上之应力与 ?1
无关，于是由 ?2, ?3可作出应力圆 I
平行于 2的方向面－其上之应力与 2
无关，于是由 1, ?3可作出应力圆 II
平行于 3的方向面－其上之应力与 3
无关，于是由, 2可作出应力圆 III
II
?2
1
3
III
?2
1 ?3 ?2 ?1
任一方向面上的应力位于阴影区内。
67
? 最大切应力 ?
?
III
II
I
?3 ?2 ?1
??
? ' ' ' ?max =
? ' '
在三组特殊方向面
中都有各自的 面内
最大切应力,即,
2
21 ??? ???
2
32 ??? ????
2
31 ??? ?????
2
31
m a x
??
?
?
?
68
200
300
50
?
?
o 3
? 2? 1?
?max
? 平面应力状态作为三向应力状态的特例
2
31
m a x
??
?
?
?
2
1??
69
平面应力状态作为三向应力状态的特例,
应 注意,
(1)
2
31
m a x
??
?
?
?
0????? 可能是 ?1,也可能是 ?2或 ?3, ????(2)
按三个主应力的 代数值 排序确定 ?1,?2,?3 。
(3)
70
§ 7,6 位移与应变分量
? 任一方向的应变
比较
§ 7,7 平面应变状态分析
?
?
?
????
? ? 2s i n
2
2c o s
22
xyyxyx ?????
?
?
?
??? ?
2c o s
2
2s i n
22
xyyx ???
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
71
? 主要结论
? 主应变方向 与 主应力方向 相同
? 主应变 ?1,?2,?3与主应力 ?1,?2,?3
一一对应
? 与 应力圆 类似，存在 应变圆,与应力圆
有相同的特点，不同点是 ? 的坐标有系
数 1/2
72
? 实验应力分析：应变片与应变花
73
§ 7,8 广义胡克定律
? 单向应力状态下的胡克定律
?? E? 或
? 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律
E
?? ?
?? G? 或
G
?? ?
? 横向变形与泊松比
x?,E
x
x
?? ?
y
x xy ??? ??
E
x????
74
? 广义胡克定律
? 三向应力状态
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
可看作是三组单向应力
状态和三组纯剪切的组
合。
? 叠加原理
用叠加原理的 条件,
(1) 各向同性材料； (2) 小变形；
(3) 变形在线弹性范围内。
? x方向的线应变 ?x ?x引起的部分,
E
x
x
?? ?
1
75
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
? x方向的线应变 ?x
?x引起的部分,
E
x
x
?? ?
1
?y引起的部分,
E
y
x
?
?? ??2
?z引起的部分,
E
z
x
??? ??
3
叠加得,
E
x
x
?? ?
E
y???
E
z???
)]([1 zyxx
E
????? ???
76
叠加得,
E
x
x
?? ?
E
y???
E
z???
)]([1 zyxx
E
????? ???
同理可得,
)]([1 xzyy
E
????? ???
)]([1 yxzz
E
????? ???
剪应变为：,
G
xy
xy
?
? ?,
G
yz
yz
?
? ?
G
zx
zx
?? ?
这六个公式即为 广义胡克定律 。
77
)]([1 3211 ????? ???
E
)]([1 1322 ????? ???
E
)]([1 2133 ????? ???
E
,0?xy?,0?yz? 0?zx?
? 用 主应力 表示的 广义胡克定律
从前三式中可解出三个主应力
78
)]()1[(
)21)(1( 3211
?????
??
? ???
??
? E
)]()1[(
)21)(1( 1322
?????
??
? ???
??
? E
)]()1[(
)21)(1( 2133
?????
??
? ???
??
? E
从前三式中可解出三个主应力
79
例 5
已知, 受扭圆轴,d,
E,?,测得 ?45o 。
解,
求,外加扭矩的值。
在测点取单元体
? 纯切应力状态
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
要求出 45o方向的应变，需
先求出 45o方向的应力。
,02 ?? ?? ??345o方向为主应力方向
3
16
d
T
?
?
80
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
,02 ?? ?? ??3
45o方向为主应力方向
由广义胡克定律
145 ?? ?? )]([
1
321 ???? ??? E ?
?
E
?? 1
3
16
d
T
?
?
??45? ??
E
?1
3
161
d
T
E ?
?
?
?
?
)1(16
3
45
?
??
?
? ?
dE
T
?? 测扭矩的方法
81
? 体积胡克定律
? 单元体
变形前体积
zyxV ddd?
变形后体积
zyxV ddd)1)(1)(1( 3211 ??? ????
zyxV ddd)1( 3211 ??? ????
略去高阶微量
单位体积的改变
82
变形前体积
zyxV ddd?
变形后体积
zyxV ddd)1)(1)(1( 3211 ??? ????
zyxV ddd)1( 3211 ??? ????
略去高阶微量
单位体积的改变
V
VV ?? 1?
321 ??? ??? ? ?? 体积应变
将广义胡克定律 )]()[/1(
3211 ????? ??? E
代入上式得
)]()[/1( 1322 ????? ??? E
)]()[/1( 2133 ????? ??? E
321 ???? ??? )(
21
321 ???
? ????
E
83
单位体积的改变
V
VV ?? 1?
321 ??? ??? ? ?? 体积应变
将广义胡克定律代入上式得
321 ???? ??? )(
21
321 ???
? ????
E
又可写成
3
)21(3 321 ????? ?????
E mE
?? )21(3 ??
记
)21(3 ??
? EK
? 体积弹性模量
K
m?? ?
? 体积胡克定律
84
例
已知, 受扭圆轴,d,
E,?,测得 ?45o 。
解,
求,外加扭矩的值。
在测点取单元体
? 纯切应力状态
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
要求出 45o方向的应变，需
先求出 45o方向的应力。
,02 ?? ?? ??345o方向为主应力方向
3
16
d
T
?
?
85
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
,02 ?? ?? ??3
45o方向为主应力方向
由广义胡克定律
145 ?? ?? )]([
1
321 ???? ??? E ?
?
E
?? 1
3
16
d
T
?
?
??45? ??
E
?1
3
161
d
T
E ?
?
?
?
?
)1(16
3
45
?
??
?
? ?
dE
T
?? 测扭矩的方法
86
例 1 (书例 7.9)
已知, 孔, d1=50.01mm
柱, d2=50mm,P=300
kN,钢块不变形。
E=200GPa,? =0.3。
解,
求,圆柱的主应力。
? 柱受到的压应力
3 153
P MP
A
? ? ? ? ?
87
3 153
P MP
A
? ? ? ? ?
2
5,0 0 1 5 0,0 0 0 2
5
? ???
? ? ? ?2 2 3 1 311 ppEE? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
32 8, 4 3
1
Ep M P? ? ?
?
?? ? ?
?
径向的应变
由广义胡克定律
可得
88
32 8, 4 3
1
Ep M P? ? ?
?
?? ? ?
?
圆柱的主应力为,
12 8, 4 3p M P?? ? ? ? ? ?
3 153 MP? ??
89
§ 7,9 复杂应力状态的变形比能
1 单向应力状态下的比能
??
2
1?u
? 功能原理
2 三向应力状态下的比能
dy
dx dz
2?
1?
3?
? 变形能 与 加载方式 无关
WU ?
112
1 ???u
222
1 ???
332
1 ???
为将 变形能 用主应力表示，将广义胡克定律
90
2 三向应力状态下的比能
112
1 ???u
222
1 ???
332
1 ???
为将 变形能 用主应力表示，将广义胡克定律
代入上式，化简得
)]()[/1( 3211 ????? ??? E
)]()[/1( 1322 ????? ??? E
)]()[/1( 2133 ????? ??? E
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
91
3 体积 改变比能 和 形状 改变比能
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
m?
m?
m?
m?? ?1
m?? ?2
m?? ?3
+
2?
1?
3?
体积改变,形状不变； 体积不变,形状改变
92
3 体积 改变比能 和 形状 改变比能
m?
m?
m?
m?? ?1
m?? ?2
m?? ?3
+
2?
1?
3?
体积改变,形状不变； 体积不变,形状改变
因 体积 改变 而贮存的变形能 ? 体积改变比能
因 形状 改变 而贮存的变形能 ? 形状改变比能
vu
fu
93
? 体积改变比能
m?
m?
m?
mmu ??2
1
v ? mm ??2
1?
mm ??2
1?
)]([1 mmmm
E
????? ???
mm E ?
?? 21 ??
mmu ??2
3
v ?
2
2
)21(3
mE ?
???
2
321v )(6
21 ???? ????
E
u
94
2
321v )(6
21 ???? ????
E
u
? 形状改变比能
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
vuuu f ??
)(
3
1
133221
2
3
2
2
2
1 ?????????
? ???????
E
u f
或
])()()[(
6
1 2
13
2
32
2
21 ??????
? ???????
E
u f
95
例 2 (书例 8.10)
已知, 纯剪切应力状态 。
解,
求,导出 E,G,? 之间的
关系。
第 3章已求出纯剪切时
? 用本节公式求纯剪时的应变能
G
u
2
2?
?
,1 ?? ?,02 ?? ?? ??3纯剪切时
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
96
? 用本节公式求纯剪时的应变能
,1 ?? ?,02 ?? ?? ??3纯剪切时
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
? ?? ?????? )(002)(0
2
1 22 ????????
E
? ?22 22
2
1 ??? ??
E
21 ??
E
??
第 3章已求出纯剪切时
G
u
2
2?
?
EG
??? 1
2
1
)1(2 ??
? EG
97
强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度
条件。
§ 7,10 强度理论概述
? 不同材料 在 相同的加载 情况下，破坏 (失效 )
的形式不同。
? 塑性材料,
屈服失效。
? 脆性材料,
断裂失效。
98
? 相同材料 在 不同的加载 情况下，破坏 (失效 )
的形式不同。
? 塑性材料,
当有深切槽
时，发生断
裂。
应力集中导
致根部出现
三向应力状
态。
99
? 脆性材料,
100
? 对 单向应力状态 和 纯剪切 通过实验建立强度
条件
? 对 复杂应力状态 无法通过实验建立强度条件
强度理论 ?? 根据部分实验结果，提出的 假说 。
从而可根据 单向应力状态 的实验结果，建立 复杂
应力状态 下的强度条件。
101
强度理论分为两类,
§ 7,11 四种常用的强度理论
1 最大拉应力理论 (第一强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大拉应力 达到材
料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 失效准则
? 适用于断裂失效情况 ? 适用于屈服失效情况
,1 b?? ?? 单向拉伸失效时,02 ?? 03 ??
? 复杂应力状态时，令
b?? ?1
102
1 最大拉应力理论 (第一强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大拉应力 达到材
料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 失效准则
? 强度条件
b
b
n
?
?? ?? ][1
? 相当应力
11 ?? ?r
,1 b?? ?? 单向拉伸失效时,02 ?? 03 ??
? 复杂应力状态时，令
b?? ?1
103
? 相当应力
11 ?? ?r
? 适用对象 脆性材料受拉，塑性材料受三向拉
伸且 ?1, ?2, ?3 相近。
? 缺点 没有考虑 ?2 和 ?3 的影响，且无法应用于
没有拉应力的情况。
2 最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大伸长线应变 达
到材料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 强度条件
b
b
n
?
?? ?? ][1
104
2 最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大伸长线应变 达
到材料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 失效准则
E
b?? ?
1
)]([1 3211 ????? ???
E
b????? ??? )( 321
? 单向拉伸失效时
? 复杂应力状态时，令
E
b??
105
? 适用对象 脆性材料受压。
? 失效准则
? 强度条件
? 相当应力
b????? ??? )( 321
][)( 321 ????? ???
b
b
n
?
?
)( 3212 ????? ???r
? 缺点 对脆性材料受拉与试验符合不好。
)]([1 3211 ????? ???
E E
b??
E
b?? ?
1
? 单向拉伸失效时
? 复杂应力状态时，令
106
3 最大切应力理论 (第三强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大切应力 达到材
料的某一极限，就发生 塑性屈服 。
? 失效准则
? 单向拉伸失效时
2m a x
s?? ?
2
31
m a x
??? ??? 复杂应力状态时
2
s??
s??? ?? 31
? 强度条件 ][
31 ??? ??
s
s
n
?
?
107
? 失效准则
s??? ?? 31
? 强度条件 ][
31 ??? ??
s
s
n
?
?
? 适用对象 塑性材料的一般受力状态。
? 相当应力
313 ??? ??r
? 缺点 偏于安全；没有考虑 ?2 的影响。
4 形状改变比能理论 (第四强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 形状改变比能 达到
材料的某一极限，就发生 塑性屈服 。
? 失效准则
108
4 形状改变比能理论 (第四强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 形状改变比能 达到
材料的某一极限，就发生 塑性屈服 。
? 失效准则
? 单向拉伸失效时,
1 s?? ?
])()()[(
6
1 2
13
2
32
2
21 ??????
? ???????
E
u f
,02 ?? 03 ??
代入上式得 )2(
6
1 2
sf Eu ?
???
109
? 失效准则
? 单向拉伸失效时,
1 s?? ?
])()()[(
6
1 2
13
2
32
2
21 ??????
? ???????
E
u f
,02 ?? 03 ??
代入上式得 )2(
6
1 2
sf Eu ?
???
? 复杂应力状态时
令上式在复杂应力状态时成立，得
s??????? ?????? ])()()[(2
1 2
13
2
32
2
21
110
? 失效准则
? 复杂应力状态时
令上式在复杂应力状态时成立，得
s??????? ?????? ])()()[(2
1 2
13
2
32
2
21
? 强度条件
? 相当应力
][])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
21 ??????? ??????
111
? 适用对象 塑性材料的一般受力状态。
? 缺点 计算 相当应力 较麻烦。
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
? 强度条件
? 相当应力
][])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
21 ??????? ??????
? 第三强度理论和第四强度理论的图形
112
? 第三强度理论和第四强度理论的图形
在 二向 应力状态 下，第三强度理论和第四强度
理论的图形为
113
5 小结
? 强度条件可统一写为
11 ?? ?r
][?? ?r
)( 3212 ????? ???r
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
? 第一强度理论和第二强度理论适用于 脆性 材料,
脆性材料受 拉
? 第三强度理论和第四强度理论适用于 塑性 材料,
脆性材料受 压
114
6 几种常见应力状态的相当应力
(1) 单向拉伸 ? ?
,1 ?? ?,02 ?? 03 ??
11 ?? ?r
)( 3212 ????? ???r
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
??
??
??
??
即：在单向拉伸应力状态下，各 相当应力 相同。
115
(2) 纯剪切
,1 ?? ?,02 ?? ?? ??3
11 ?? ?r
)( 3212 ????? ???r
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
??
?? )1( ??
?2?
?3?
?
])()0()0[(
2
1 222
???? ???????
这就是书例 8.12的主要内容。
116
(3) 弯曲时一般位置处的应力状态
?
? ?
22
1 )2(2 ?
??
? ???
,02 ??
11 ?? ?r
)( 3212 ????? ???r
22
3 )2(2 ?
??
? ???
22)
2
(
2
?
??
???
22)
2
()1(
2
)1( ?
?
?
?
? ?????
117
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
22
1 )2(2 ?
??
? ???
,02 ?? 223 )
2
(
2
?
??
? ???
22 4 ?? ??
22 3?? ??
118
谢 谢 大 家 !
材 料 力 学
2011年 10月 16日
第七章
应力和应变分析 强度理论
2
第七章 应力和应变分析 强度理论
本章内容,
1 应力状态概述
2 二向和三向应力状态的实例
3 二向应力状态分析 ?? 解析法
4 二向应力状态分析 ?? 图解法
5 三向应力状态
6 位移与应变分量
7 平面应变状态分析
8 广义胡克定律
3
10 强度理论概述
11 四种常用强度理论
12 莫尔强度理论
13 构件含裂纹时的断裂准则
9 复杂应力状态的变形比能
3 二向应力状态分析 ?? 解析法
4 二向应力状态分析 ?? 图解法
5 三向应力状态
6 位移与应变分量
7 平面应变状态分析
8 广义胡克定律
4
§ 7,1 应力状态概述
1 问题的提出
? 低碳钢和铸铁的拉伸实验
? 低碳钢的拉伸实验 ? 铸铁的拉伸实验
问题,为什么低碳钢拉伸时会出现 45o 滑移线？
5
? 低碳钢和铸铁的扭转实验
? 低碳钢的扭转实验 ? 铸铁的扭转实验
问题,为什么铸铁扭转时会沿 45o 螺旋面断开？
所以，不仅要研究 横截面 上的应力，而且也要研
究 斜截面 上的应力。
6
2 应力的三个重要概念
? 应力的 点 的概念
? 应力的 面 的概念
同一物体内 不同 点 的应力各不相同，此即
应力的 点 的概念 。
MzN
Q
7
? 应力的 面 的概念
过同一点的 不同方向 的截 面 上的应力各不相同,
此即 应力的 面 的概念 。
所以，讲到应力，应指明是 哪一 点 在 哪一方向 面
上的应力 。
? 应力状态的概念
过一点的 不同方向面 上的应力的 集合,称为这
一点的 应力状态 。
8
? 应力状态的概念
过一点的 不同方向面 上的应力的集合，称为这
一点的 应力状态 。
9
3 一点应力状态的描述
? 单元体
? 单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；
? 单元体的 特点
10
? 单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；
? 单元体的 特点
? 单元体的每一个面上，应力均匀分布；
? 单元体中相互平行的两个面上，应力相同。
4 主应力及应力状态的分类
? 主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为 主应力 ；
11
4 主应力及应力状态的分类
? 主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为 主应力 ；
主应力所在的平面称为 主平面 ；
主平面的外法线方向称为 主方向 。
主应力用 ?1,?2,?3 表示 (?1 ? ?2 ? ?3 ) 。
? 应力状态分类 ? 单向应力状态
12
? 应力状态分类
? 单向应力状态 ? 二向应力状态 (平面应力状态 )
? 三向应力状态 (空间应力状态 )
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
? 简单应力状态 ? 复杂应力状态
x
y
?x
?y?yx
?xy
13
§ 7,2 二向和三向 应力状态的实例
1 二向应力状态的实例
? 薄壁圆筒
已知, p,D,
t。
? 求 ?'
端部总压力
4
2D
pP ??
A
P???
Dt
D
p
?
?
4
2
?
t
pD
4
?
14
? 求 ?'
A
P???
Dt
D
p
?
?
4
2
?
t
pD
4
?
? 求 ?''
取研究对象
如图。
15
? 求 ?''
计算 N力
0?? Y
?N2 ?d
2
Dlp ? ?sin???
0
plD?
2
pl DN ?
即：内压力在 y方向的投
影等于内压乘以投影面
积。
16
2
pl DN ?
所以
A
N????
lt
N
?
?
t
pD
2
????
17
t
pD
2
????
可以看出,轴向应力 ??
是 环向应力 ???的一半。
对于薄壁圆筒，有,
20
Dt ?
,
4 t
pD???
p10?? ??,5 p?? ?
所以，可以 忽略 内表面受到的内压 p和外表面受
到的大气压强，近似作为 二向应力状态 处理。
18
2 三向应力状态的实例
? 滚珠轴承
19
例 2 (书例 8.1)
已知,蒸汽锅炉,
t=10mm,D=1m,
p=3MPa 。
解,
求,三个主应力。
前面已得到
t
pD
2
????
t
pD
4
??? M P a,75? M P a150?
?? ???1 M P a,150? ?? ??2 M P a,75? 03 ??
20
例 3 (书例 8.2)
已知,球形容器,t,D,p 。
解,
求, 容器壁内的 应力。
t
pD
4
??
4
2D
pP ???
Dt?? ?
,21 ??? ?? 03 ??
取研究对象如图。
与薄壁圆筒的情况类似，有,
0?? Y P?
4
2D
p ???
所以,
21
§ 7,3 二向 应力状态分析 ?? 解析法
? 二向应力状态的表示
? 应力状态分析
在已知过一点的某些截面上
的应力时，求出过该点的任
一截面上的应力，从而求出
主应力和主平面。
yx?
? 切应力的下标
作用面的法线 切应力的方向
22
? 二向应力状态的表示
yx?
? 切应力的下标
作用面的法线 切应力的方向
? 正负号规定
? 正应力
?x?x
拉为正 压为负
?x ?x
23
? 切应力
使单元体顺时针方向转动
为正；反之为负。
? x y' '
? yx
? xy
? 截面的 方向角
由 x正向 逆时针 转到截面的
外法线 n的正向的 ?角为正 ;
反之为负。
n
y
x ?
24
? 方向角为 ?的截面上的应力
以单元体的一部分为研究
对象。
由平衡条件
0?? nF
Ad?? ??? s in)c o sd( Axy?
??? c o s)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ayx?
??? s in)s ind( Ay? 0?
0?? tF
25
0?? nF
Ad?? ??? s in)c o sd( Axy?
??? c o s)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ayx?
??? s in)s ind( Ay? 0?
0?? tF
Ad?? ??? c o s)c o sd( Axy?
??? s in)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ay?
??? s in)s ind( Ayx? 0?
26
0?? tF
Ad?? ??? c o s)c o sd( Axy?
??? s in)c o sd( Ax?
??? c o s)s ind( Ay?
??? s in)s ind( Ayx? 0?
由切应力互等定理,?xy与 ?yx 大小相等。
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
27
? 最大正应力和最小正应力
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
?
?
? ?
d
d
令,
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
可以看出：当 ?=?0 时,0?
??
)2c o s2s i n
2
(2 ???
??
xy
yx ???
??2??
0
d
d ?
?
? ?
取极值的正应力为主应力。
28
令,
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
可以看出：当 ?=?0 时,0?
??
0
d
d ?
?
? ?
取极值的正应力为主应力。
若 ?0 满足上式，则 ?0 +90o也满足上式，代入
公式可得,
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
29
若 ?0 满足上式，则 ?0 +90o也满足上式，代入
公式可得,
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
? 正应力的不变量
30
? 正应力的不变量
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
?截面上的正应力为,
? +90o 截面上的正应力为,
)2s i n ()2c o s (
2290
?????
????
? ? ???
?
?
?
??? xyyxyx
???
????
2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
?? ?? 90?? ?? yx ?? ?
任意两个互相垂直的 截面上的 正应力之和 为 常数,
31
? 最大切应力和最小切应力
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
?
?
??
d
d
令,
xy
yx
?
??
?
2
2t a n 1
?
?
??? 2c o s)( yx ?
0
d
d ?
?
? ?
?? 2s in2 xy?
若 ?1 满足上式，则 ?1 +90o也满足上式，代入
2
2
m i n
m a x
2
xy
yx
?
??
?
?
???
?
?
??
?
? ?
??
?
?
?
公式可得,
32
若 ?1 满足上式，则 ?1 +90o也满足上式，代入
2
2
m i n
m a x
2
xy
yx
?
??
?
?
???
?
?
??
?
? ?
??
?
?
?
公式可得,
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
)(
2
1
m i nm a x ?? ???
? 切应力的极值称为 主切应力
? 主切应力所在的平面称为 主剪平面
? 主剪平面上的正应力
33
? 切应力的极值称为 主切应力
? 主切应力所在的平面称为 主剪平面
? 主剪平面上的正应力
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
xy
yx
?
??
?
2
2t a n 1
?
?
将 ?1 和 ?1 +90o 代入公式可得,
??? 9011 ?? ?? )(
2
1
m i nm a x ?? ?? )(2
1
yx ?? ?? ??
即,主剪平面上的正应力为 平均正应力 。
34
xy
yx
?
??
?
2
2t a n 1
?
?
将 ?1 和 ?1 +90o 代入公式可得,
??? 9011 ?? ?? )(
2
1
m i nm a x ?? ?? )(2
1
yx ?? ?? ??
即,主剪平面上的正应力为 平均正应力 。
,
2
2t a n 0
yx
xy
??
?
?
?
??
? 主平面 与 主剪平面 的关系
由 ?0 和 ?1 的公式可得,12t a n2t a n
10 ??? ??
2
22 01 ??? ?? 401
??? ??
即,主平面 与 主剪平面 的夹角为 45o。
35
例 4 (书例 8.3)
已知, 圆轴受
扭转。
解,
求,应力状态及
分析铸铁件受扭
时的破坏现象。
? 最大切应力
? 取单元体 ABCD tW
T??
纯切应力状态,0?
x?,0?y? ?? ?xy
36
? 取单元体 ABCD
纯切应力状态
,0?x?,0?y? ?? ?xy
? 主应力
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
???
? 主方向
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0 ???
??? 450? 或 ??? 1350?
37
? 主应力 ?
?
?
??
?
?
?
m i n
m a x
? 主方向
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
???
??? 450? 或 ??? 1350?
? 主应力排序
m a x1 ?? ?,??,02 ?? m i n3 ?? ? ???
? 铸铁件破
坏现象
38
例 5 (书例 8.4)
已知, A点应力
? = -70MPa,
? = 50MPa。
解,
求, A点主应力和
主平面，及其它点
的应力状态。
? A点单元体
? 取 x轴向上为正
,0?x? M Pa,70??y?
M P a50??xy?
39
? 取 x轴向上为正
,0?x? M Pa,70??y?
M P a50??xy?
? 主应力
2
2
m i n
m a x
22 xy
yxyx ?????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
M P a,26m a x ??
2
2
)50(
2
)70(0
2
)70(0
???
?
?
?
?
? ??????
M P a96m i n ???
40
? 主应力
M P a,26m a x ??
M P a96m i n ???
M P a,261 ??
M P a963 ???
,02 ??
? 主方向
yx
xy
??
?
?
?
??
2
2t a n 0
?? 5.270? 或 ?? 5.1170?
)70(0
)50(2
??
???? 429.1?
? 其它几点的应力状态
41
单向拉伸
? 其它几点的应力状态
单向压缩
纯剪切
42
主拉应力 ?1迹线
? 主应力迹线
主压应力 ?3迹线
43
§ 7,4 二向 应力状态分析 ?? 图解法
1 应力圆 (莫尔圆 ) 方程
由公式 ????????
? 2s i n2c o s22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
平方相加，得
2
2
2
2
22 xy
yxyx ???????
?? ???
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
? ?
?
44
2
2
2
2
22 xy
yxyx ???????
?? ???
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
? ?
?
这是以 ??,??为变量的 圆 的方程 。
? ?x y?
2
? ? 22 421 xyyxR ??? ???
R
?
?
O C
45
?
?
O
2 应力圆的画法
?y
?yx
?xy
x ?
D
D?
R
? ?x y?
2
C
D (?x,?xy)
D? (?
y,?yx)
? ? 22 421 xyyxR ??? ???
46
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系
(1) 点面对应
应力圆上某一点
的坐标值对应着
单元体某一方向面上的正应力和切应力 ;
47
(2) 基准相当
(3) 转向一致
半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
D点和 x面是基准 ;
48
(3) 转向一致
半径旋转方向与
方向面法线旋转
方向一致；
(4) 角度成双
半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。
49
4 应力圆的应用
? 确定主应力、主方向
应力圆与横轴的交
点 A1,B1处，剪应
力为零。
它们的横坐标即为
主应力。
从半径 CD转到 CA1
的角度即为从 x轴转
到主平面的角度的
两倍。
50
? 主应力
即为 A1,B1处的正应力。
2
2
m i n
m a x
22
xy
yxyx
?
????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
圆心坐标 应力圆半径
51
? 主方向
CA
DA??
02t a n ?
2/)( yx
xy
??
?
?
??
yx
xy
??
?
?
??
2
52
? 确定面内最大切应力
主剪面对应于应力圆
上的 G1和 G2点。
面内最大切应力的值
等于应力圆的半径。
2
2
m a x
2
xy
yx
?
??
? ???
?
?
??
?
? ?
? )(
2
1
m i nm a x ?? ??
53
?x
?x
A
D
?
?
o d a c
x'
y
y'
45o x
b
e
B
E
? 单向应力状态的应力圆
2× 45o
2× 45o
54
B
E ??’ ?
?’
?? ??
x'
y'
?
?
o d a c
b
e
2× 45o
2× 45o
?x
?x
B
E
55
o
?
?
?
?
a (0,? )
d (0,-? )
A
D
b e c 2× 45o
2× 45o
??'＝ ? ??＝ ?
B E
? 纯切应力状态的应力圆
56
例 3 (书例 8.5)
已知, ?x =80MPa,?y =
-40MPa,?xy = -60MPa,
?yx = 60MPa 。
解,
求,用应力圆求主应力
和主方向。
作应力圆,
60,80 ??? xyx ??
由 D点
60,40 ??? yxy ??
由 D'点
画出应力圆
57
60,80 ??? xyx ??
由
D点
60,40 ??? yxy ??
由
D'点 画出应力圆
58
2
yxOC ?? ??
? 圆心坐标
2
)40(80 ???
20?
? 半径
2
2
2
xy
yxR ??? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
2
2
)60(
2
)40(80
???
?
?
?
?
? ??? 85.84? 85?
59
11 OA??
ROC ??3?
? 主平面
从 D点 (x轴 )逆时针转 45o至 A1点,
?? 452 0?
? 圆心坐标 20?OC
? 半径 85?R
ROC ??
M P a105?
M P a65??
E
由几何关系 OCOECE ?? 2080 ?? 60?
x?
xyED ??
60?
?? 5.220?
60
E
? 主平面
从 D点 (x轴 )逆时针转 45o至 A1点,
?? 452 0?
由几何关系 OCOECE ?? 2080 ?? 60?
xyED ??
60?
?? 5.220?
61
例 4 (书例 8.6)
已知, ?x = 0,?y = -40MPa,
?xy = 0 。
解,
求,斜截面 de上的正应力和
切应力。
作应力圆,
0,0 ?? xyx ??
由 O点
0,40 ??? yxy ??
由 B1点
画出应力圆
62
0,0 ?? xyx ??
由
O点
0,40 ??? yxy ??
由
B1点
画出应力圆
2/1OBOC ?
? 圆心坐标
? 半径
20?
OCR ? 20?
63
)( CDOC ?????
DE????
20?OC
? 圆心坐标
? 半径
20?R
? 单元体上
?0= -60o的
面所 对应的
点为 E点
D
M P a30?? )60c o s( ???? RR
M P a3.17?? ??? 60s inR
64
§ 7,5 三向 应力状态
? 三向应力状态
三个主应力均不为零的应力状态。
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
65
? 特例
至少有一个主应力的大小方向为已知。
?z
?x
?y
?xy
?yx ?y
?xy
?yx
?x
?z
平面应力 状态即为这种特例之一。
66
?1
?2
?3
? 三向应力状态的应力圆
设三个主应力均已知。
?
?
III
II
I ?
3
?2
?1
I
平行于 ?1的方向面－其上之应力与 ?1
无关，于是由 ?2, ?3可作出应力圆 I
平行于 2的方向面－其上之应力与 2
无关，于是由 1, ?3可作出应力圆 II
平行于 3的方向面－其上之应力与 3
无关，于是由, 2可作出应力圆 III
II
?2
1
3
III
?2
1 ?3 ?2 ?1
任一方向面上的应力位于阴影区内。
67
? 最大切应力 ?
?
III
II
I
?3 ?2 ?1
??
? ' ' ' ?max =
? ' '
在三组特殊方向面
中都有各自的 面内
最大切应力,即,
2
21 ??? ???
2
32 ??? ????
2
31 ??? ?????
2
31
m a x
??
?
?
?
68
200
300
50
?
?
o 3
? 2? 1?
?max
? 平面应力状态作为三向应力状态的特例
2
31
m a x
??
?
?
?
2
1??
69
平面应力状态作为三向应力状态的特例,
应 注意,
(1)
2
31
m a x
??
?
?
?
0????? 可能是 ?1,也可能是 ?2或 ?3, ????(2)
按三个主应力的 代数值 排序确定 ?1,?2,?3 。
(3)
70
§ 7,6 位移与应变分量
? 任一方向的应变
比较
§ 7,7 平面应变状态分析
?
?
?
????
? ? 2s i n
2
2c o s
22
xyyxyx ?????
?
?
?
??? ?
2c o s
2
2s i n
22
xyyx ???
???
????
? ? 2s i n2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
??
? ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ???
71
? 主要结论
? 主应变方向 与 主应力方向 相同
? 主应变 ?1,?2,?3与主应力 ?1,?2,?3
一一对应
? 与 应力圆 类似，存在 应变圆,与应力圆
有相同的特点，不同点是 ? 的坐标有系
数 1/2
72
? 实验应力分析：应变片与应变花
73
§ 7,8 广义胡克定律
? 单向应力状态下的胡克定律
?? E? 或
? 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律
E
?? ?
?? G? 或
G
?? ?
? 横向变形与泊松比
x?,E
x
x
?? ?
y
x xy ??? ??
E
x????
74
? 广义胡克定律
? 三向应力状态
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
可看作是三组单向应力
状态和三组纯剪切的组
合。
? 叠加原理
用叠加原理的 条件,
(1) 各向同性材料； (2) 小变形；
(3) 变形在线弹性范围内。
? x方向的线应变 ?x ?x引起的部分,
E
x
x
?? ?
1
75
y x
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
? x方向的线应变 ?x
?x引起的部分,
E
x
x
?? ?
1
?y引起的部分,
E
y
x
?
?? ??2
?z引起的部分,
E
z
x
??? ??
3
叠加得,
E
x
x
?? ?
E
y???
E
z???
)]([1 zyxx
E
????? ???
76
叠加得,
E
x
x
?? ?
E
y???
E
z???
)]([1 zyxx
E
????? ???
同理可得,
)]([1 xzyy
E
????? ???
)]([1 yxzz
E
????? ???
剪应变为：,
G
xy
xy
?
? ?,
G
yz
yz
?
? ?
G
zx
zx
?? ?
这六个公式即为 广义胡克定律 。
77
)]([1 3211 ????? ???
E
)]([1 1322 ????? ???
E
)]([1 2133 ????? ???
E
,0?xy?,0?yz? 0?zx?
? 用 主应力 表示的 广义胡克定律
从前三式中可解出三个主应力
78
)]()1[(
)21)(1( 3211
?????
??
? ???
??
? E
)]()1[(
)21)(1( 1322
?????
??
? ???
??
? E
)]()1[(
)21)(1( 2133
?????
??
? ???
??
? E
从前三式中可解出三个主应力
79
例 5
已知, 受扭圆轴,d,
E,?,测得 ?45o 。
解,
求,外加扭矩的值。
在测点取单元体
? 纯切应力状态
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
要求出 45o方向的应变，需
先求出 45o方向的应力。
,02 ?? ?? ??345o方向为主应力方向
3
16
d
T
?
?
80
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
,02 ?? ?? ??3
45o方向为主应力方向
由广义胡克定律
145 ?? ?? )]([
1
321 ???? ??? E ?
?
E
?? 1
3
16
d
T
?
?
??45? ??
E
?1
3
161
d
T
E ?
?
?
?
?
)1(16
3
45
?
??
?
? ?
dE
T
?? 测扭矩的方法
81
? 体积胡克定律
? 单元体
变形前体积
zyxV ddd?
变形后体积
zyxV ddd)1)(1)(1( 3211 ??? ????
zyxV ddd)1( 3211 ??? ????
略去高阶微量
单位体积的改变
82
变形前体积
zyxV ddd?
变形后体积
zyxV ddd)1)(1)(1( 3211 ??? ????
zyxV ddd)1( 3211 ??? ????
略去高阶微量
单位体积的改变
V
VV ?? 1?
321 ??? ??? ? ?? 体积应变
将广义胡克定律 )]()[/1(
3211 ????? ??? E
代入上式得
)]()[/1( 1322 ????? ??? E
)]()[/1( 2133 ????? ??? E
321 ???? ??? )(
21
321 ???
? ????
E
83
单位体积的改变
V
VV ?? 1?
321 ??? ??? ? ?? 体积应变
将广义胡克定律代入上式得
321 ???? ??? )(
21
321 ???
? ????
E
又可写成
3
)21(3 321 ????? ?????
E mE
?? )21(3 ??
记
)21(3 ??
? EK
? 体积弹性模量
K
m?? ?
? 体积胡克定律
84
例
已知, 受扭圆轴,d,
E,?,测得 ?45o 。
解,
求,外加扭矩的值。
在测点取单元体
? 纯切应力状态
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
要求出 45o方向的应变，需
先求出 45o方向的应力。
,02 ?? ?? ??345o方向为主应力方向
3
16
d
T
?
?
85
tW
T??
,1 ?? ?
切应力为
,02 ?? ?? ??3
45o方向为主应力方向
由广义胡克定律
145 ?? ?? )]([
1
321 ???? ??? E ?
?
E
?? 1
3
16
d
T
?
?
??45? ??
E
?1
3
161
d
T
E ?
?
?
?
?
)1(16
3
45
?
??
?
? ?
dE
T
?? 测扭矩的方法
86
例 1 (书例 7.9)
已知, 孔, d1=50.01mm
柱, d2=50mm,P=300
kN,钢块不变形。
E=200GPa,? =0.3。
解,
求,圆柱的主应力。
? 柱受到的压应力
3 153
P MP
A
? ? ? ? ?
87
3 153
P MP
A
? ? ? ? ?
2
5,0 0 1 5 0,0 0 0 2
5
? ???
? ? ? ?2 2 3 1 311 ppEE? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
32 8, 4 3
1
Ep M P? ? ?
?
?? ? ?
?
径向的应变
由广义胡克定律
可得
88
32 8, 4 3
1
Ep M P? ? ?
?
?? ? ?
?
圆柱的主应力为,
12 8, 4 3p M P?? ? ? ? ? ?
3 153 MP? ??
89
§ 7,9 复杂应力状态的变形比能
1 单向应力状态下的比能
??
2
1?u
? 功能原理
2 三向应力状态下的比能
dy
dx dz
2?
1?
3?
? 变形能 与 加载方式 无关
WU ?
112
1 ???u
222
1 ???
332
1 ???
为将 变形能 用主应力表示，将广义胡克定律
90
2 三向应力状态下的比能
112
1 ???u
222
1 ???
332
1 ???
为将 变形能 用主应力表示，将广义胡克定律
代入上式，化简得
)]()[/1( 3211 ????? ??? E
)]()[/1( 1322 ????? ??? E
)]()[/1( 2133 ????? ??? E
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
91
3 体积 改变比能 和 形状 改变比能
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
m?
m?
m?
m?? ?1
m?? ?2
m?? ?3
+
2?
1?
3?
体积改变,形状不变； 体积不变,形状改变
92
3 体积 改变比能 和 形状 改变比能
m?
m?
m?
m?? ?1
m?? ?2
m?? ?3
+
2?
1?
3?
体积改变,形状不变； 体积不变,形状改变
因 体积 改变 而贮存的变形能 ? 体积改变比能
因 形状 改变 而贮存的变形能 ? 形状改变比能
vu
fu
93
? 体积改变比能
m?
m?
m?
mmu ??2
1
v ? mm ??2
1?
mm ??2
1?
)]([1 mmmm
E
????? ???
mm E ?
?? 21 ??
mmu ??2
3
v ?
2
2
)21(3
mE ?
???
2
321v )(6
21 ???? ????
E
u
94
2
321v )(6
21 ???? ????
E
u
? 形状改变比能
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
vuuu f ??
)(
3
1
133221
2
3
2
2
2
1 ?????????
? ???????
E
u f
或
])()()[(
6
1 2
13
2
32
2
21 ??????
? ???????
E
u f
95
例 2 (书例 8.10)
已知, 纯剪切应力状态 。
解,
求,导出 E,G,? 之间的
关系。
第 3章已求出纯剪切时
? 用本节公式求纯剪时的应变能
G
u
2
2?
?
,1 ?? ?,02 ?? ?? ??3纯剪切时
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
96
? 用本节公式求纯剪时的应变能
,1 ?? ?,02 ?? ?? ??3纯剪切时
? ?? ?133221232221 2
2
1 ?????????? ??????
E
u
? ?? ?????? )(002)(0
2
1 22 ????????
E
? ?22 22
2
1 ??? ??
E
21 ??
E
??
第 3章已求出纯剪切时
G
u
2
2?
?
EG
??? 1
2
1
)1(2 ??
? EG
97
强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度
条件。
§ 7,10 强度理论概述
? 不同材料 在 相同的加载 情况下，破坏 (失效 )
的形式不同。
? 塑性材料,
屈服失效。
? 脆性材料,
断裂失效。
98
? 相同材料 在 不同的加载 情况下，破坏 (失效 )
的形式不同。
? 塑性材料,
当有深切槽
时，发生断
裂。
应力集中导
致根部出现
三向应力状
态。
99
? 脆性材料,
100
? 对 单向应力状态 和 纯剪切 通过实验建立强度
条件
? 对 复杂应力状态 无法通过实验建立强度条件
强度理论 ?? 根据部分实验结果，提出的 假说 。
从而可根据 单向应力状态 的实验结果，建立 复杂
应力状态 下的强度条件。
101
强度理论分为两类,
§ 7,11 四种常用的强度理论
1 最大拉应力理论 (第一强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大拉应力 达到材
料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 失效准则
? 适用于断裂失效情况 ? 适用于屈服失效情况
,1 b?? ?? 单向拉伸失效时,02 ?? 03 ??
? 复杂应力状态时，令
b?? ?1
102
1 最大拉应力理论 (第一强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大拉应力 达到材
料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 失效准则
? 强度条件
b
b
n
?
?? ?? ][1
? 相当应力
11 ?? ?r
,1 b?? ?? 单向拉伸失效时,02 ?? 03 ??
? 复杂应力状态时，令
b?? ?1
103
? 相当应力
11 ?? ?r
? 适用对象 脆性材料受拉，塑性材料受三向拉
伸且 ?1, ?2, ?3 相近。
? 缺点 没有考虑 ?2 和 ?3 的影响，且无法应用于
没有拉应力的情况。
2 最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大伸长线应变 达
到材料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 强度条件
b
b
n
?
?? ?? ][1
104
2 最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大伸长线应变 达
到材料的某一极限，就发生 脆性断裂 。
? 失效准则
E
b?? ?
1
)]([1 3211 ????? ???
E
b????? ??? )( 321
? 单向拉伸失效时
? 复杂应力状态时，令
E
b??
105
? 适用对象 脆性材料受压。
? 失效准则
? 强度条件
? 相当应力
b????? ??? )( 321
][)( 321 ????? ???
b
b
n
?
?
)( 3212 ????? ???r
? 缺点 对脆性材料受拉与试验符合不好。
)]([1 3211 ????? ???
E E
b??
E
b?? ?
1
? 单向拉伸失效时
? 复杂应力状态时，令
106
3 最大切应力理论 (第三强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 最大切应力 达到材
料的某一极限，就发生 塑性屈服 。
? 失效准则
? 单向拉伸失效时
2m a x
s?? ?
2
31
m a x
??? ??? 复杂应力状态时
2
s??
s??? ?? 31
? 强度条件 ][
31 ??? ??
s
s
n
?
?
107
? 失效准则
s??? ?? 31
? 强度条件 ][
31 ??? ??
s
s
n
?
?
? 适用对象 塑性材料的一般受力状态。
? 相当应力
313 ??? ??r
? 缺点 偏于安全；没有考虑 ?2 的影响。
4 形状改变比能理论 (第四强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 形状改变比能 达到
材料的某一极限，就发生 塑性屈服 。
? 失效准则
108
4 形状改变比能理论 (第四强度理论 )
? 基本观点
不论是什么应力状态，只要 形状改变比能 达到
材料的某一极限，就发生 塑性屈服 。
? 失效准则
? 单向拉伸失效时,
1 s?? ?
])()()[(
6
1 2
13
2
32
2
21 ??????
? ???????
E
u f
,02 ?? 03 ??
代入上式得 )2(
6
1 2
sf Eu ?
???
109
? 失效准则
? 单向拉伸失效时,
1 s?? ?
])()()[(
6
1 2
13
2
32
2
21 ??????
? ???????
E
u f
,02 ?? 03 ??
代入上式得 )2(
6
1 2
sf Eu ?
???
? 复杂应力状态时
令上式在复杂应力状态时成立，得
s??????? ?????? ])()()[(2
1 2
13
2
32
2
21
110
? 失效准则
? 复杂应力状态时
令上式在复杂应力状态时成立，得
s??????? ?????? ])()()[(2
1 2
13
2
32
2
21
? 强度条件
? 相当应力
][])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
21 ??????? ??????
111
? 适用对象 塑性材料的一般受力状态。
? 缺点 计算 相当应力 较麻烦。
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
? 强度条件
? 相当应力
][])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
21 ??????? ??????
? 第三强度理论和第四强度理论的图形
112
? 第三强度理论和第四强度理论的图形
在 二向 应力状态 下，第三强度理论和第四强度
理论的图形为
113
5 小结
? 强度条件可统一写为
11 ?? ?r
][?? ?r
)( 3212 ????? ???r
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
? 第一强度理论和第二强度理论适用于 脆性 材料,
脆性材料受 拉
? 第三强度理论和第四强度理论适用于 塑性 材料,
脆性材料受 压
114
6 几种常见应力状态的相当应力
(1) 单向拉伸 ? ?
,1 ?? ?,02 ?? 03 ??
11 ?? ?r
)( 3212 ????? ???r
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
??
??
??
??
即：在单向拉伸应力状态下，各 相当应力 相同。
115
(2) 纯剪切
,1 ?? ?,02 ?? ?? ??3
11 ?? ?r
)( 3212 ????? ???r
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
??
?? )1( ??
?2?
?3?
?
])()0()0[(
2
1 222
???? ???????
这就是书例 8.12的主要内容。
116
(3) 弯曲时一般位置处的应力状态
?
? ?
22
1 )2(2 ?
??
? ???
,02 ??
11 ?? ?r
)( 3212 ????? ???r
22
3 )2(2 ?
??
? ???
22)
2
(
2
?
??
???
22)
2
()1(
2
)1( ?
?
?
?
? ?????
117
313 ??? ??r
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214 ??????? ??????r
22
1 )2(2 ?
??
? ???
,02 ?? 223 )
2
(
2
?
??
? ???
22 4 ?? ??
22 3?? ??
118
谢 谢 大 家 !
