线性代数讲稿
讲稿编者： 张 凯 院
使用教材：《线性代数》
西北工业大学出版社
西工大数学系编
教学参考：《线性代数典型题分析解集》
西北工业大学出版社
徐 仲 等编
第一章 n阶行列式
§1.2 排列及其逆序数
1．排列：个依次排列的元素．
例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种．
1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243
2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143
3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142
4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132
例1 互异元素构成的不同排列有种．
解 在个元素中选取1个 种取法
在剩余个元素中选取1个 种取法
在剩余个元素中选取1个 种取法
……………… …………
在剩余2个元素中选取1个 2种取法
在剩余1个元素中选取1个 1种取法
------------------
总共种取法
2．标准排列：个不同的自然数从小到大构成的排列．
个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．
3．逆序数：
(1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）
之间有1个逆序．
(2) 排列中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作．
算法：固定, 当时,
满足的“”的个数记作（称为的逆序数）,
那么．
例2 排列6372451中, ．
例3 排列, 求逆序数．
解 记作
,
, , …,
4．奇偶性：排列
奇数时, 称为奇排列；
偶数时, 称为偶排列．
5．对换：
相邻对换：
一般对换：
定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变．
证 先证相邻对换：(1)
(2)
：对换后增加1, 不变, 故；
：对换后不变, 减少1, 故．
所以与的奇偶性相反．
再证一般对换：(1)
(2)
(3)
(1)(2)经过次相邻对换
(2)(3)经过次相邻对换
(1)(3)经过次相邻对换, 所以与的奇偶性相反．
推论 奇排列标准排列, 对换次数为奇数．
偶排列标准排列, 对换次数为偶数．
§1.3 阶行列式的定义
1．二阶：
2．三阶：
(1) 乘积中三个数不同行、不同列：
行标(第1个下标)：标准排列 123
列标(第2个下标)：是1,2,3的某个排列(共6种)
(2) 正项：123, 231, 312为偶排列
负项：132, 213, 321为奇排列
于是 , ．
3．阶：个数, 称
为阶行列式, 它表示数值
,
其中, 求和式中共有项．
例3 计算, .
解 中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为
, 故．
中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为
故．
结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素
的乘积．
以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素
的乘积, 并冠以符号．
特例：
，
定理2 (2)
证 由定义知 (1)
先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得
(3)
① 偶数
偶数次对换
偶数次对换
所以偶数
② 奇数
奇数次对换
奇数次对换
所以奇数
因此, 由(3)可得
同理可证(1)中的项都是(2)中的项．
课后作业：习题一 1，2，3
