例3 求解, ,  解   有无穷多解 同解方程组： 一般解： （为任意常数） 例4 求解, ,  解   (1)  同解方程组： 一般解： （为任意常数） (2)  同解方程组： 一般解： （为任意常数） 例5 讨论方程组何时有唯一解, 无穷多解, 无解? ,  解 计算可得  (1) 且：根据Cramer法则, 方程组有唯一解． (2) ：  , , 故方程组无解． (3) 且：   时, , , 故方程组无解． 时, , 故方程组有无穷多解． §3.4 初等矩阵 定义 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵． [注] 对单位矩阵进行一次初等列变换, 相当于对单位矩阵进行一次 同类型的初等行变换．因此, 初等矩阵可分为以下3类： 1.  2.   3.   ,  性质1 , ,  因此可得：对进行一次初等行变换, 相当于给左乘一个 　　　　　 　　 　同类型的初等矩阵．（定理6的结论之一） 性质2    注意： 因此可得：对进行一次初等列变换, 相当于给右乘一个 　　　　　　　　　　同类型的初等矩阵．（定理6的结论之二） 性质3 ,  ,  ,  定理7 可逆可以表示为有限个初等矩阵的乘积． 证 必要性．已知, 则满秩, 故存在初等矩阵 及, 使得 ,  而与都是初等矩阵． 充分性．显然成立． 矩阵求逆方法之二（初等行变换法）：  （都是初等矩阵）    由此可得：对矩阵 施行“初等行变换”，当前列 （的位置）成为时，则后列（的位置）为． 例6 , 求． 解    故． 例7 , 求． 解  依次作初等行变换 , , 可得  故 ． 定理8 设,, 则 存在可逆矩阵和, 使得． 证 必要性．已知, 则存在阶初等矩阵和阶初等 矩阵, 使得, 令  ,  则有． 充分性．已知, 则由定理7知, 和都可以表示为 有限个初等矩阵的乘积, 即  ,  故, 也就是．