2．等价向量组：设向量组,  若可由线性表示, 称可由线性表示； 若与可以互相线性表示, 称与等价． (1) 自反性：与等价 (2) 对称性：与等价与等价 (3) 传递性：与等价, 与等价与等价 定理8 向量组与它的最大无关组等价． 证 设向量组的秩为, 的一个最大无关组为． (1) 中的向量都是中的向量可由线性表示； (2) 任意, 当时, 可由线性表示； 当时, 线性相关, 而线性无关 由定理2知, 可由线性表示．故可由线性表示． 因此, 与等价． 推论 向量组的任意两个最大无关组等价． 定理9 向量组, 向量组． 若线性无关, 且可由线性表示, 则． 证 不妨设与都是列向量, 考虑向量组  易见, 秩秩．构造矩阵  因为可由线性表示, 所以   于是可得 秩． 推论1 若可由线性表示, 则 秩秩． 证 设 秩, 且的最大无关组为； 秩, 且的最大无关组为, 则有 可由线性表示可由线性表示 可由线性表示   （定理9） 推论2 设向量组与等价, 则 秩秩． [注] 由“秩秩”不能推出“与等价”！ 正确的结论是： 与等价 与等价 例8 设,, 则 , ． 证 设, , , 则  即可由线性表示, 故 ． 根据上述结果可得  §4.4 向量空间 1．向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合, 若 对任意的, 有； 　（加法封闭） 对任意的, , 有．　（数乘封闭） 称集合为向量空间． 例如： 是向量空间  是向量空间  不是向量空间 , 即数乘运算不封闭． 例9 给定维向量组, 验证  是向量空间．称之为由向量组生成的向量空间, 记作  或者  证 设, 则 , , 于是有    由定义知, 是向量空间． 2．子空间：设和都是向量空间, 且, 称为的子空间． 例如：前面例子中的是的子空间． 例9中的也是的子空间． 3．向量空间的基与维数：设向量空间, 若 (1) 中有个向量线性无关； (2) 可由线性表示． 称为的一组基, 称为的维数, 记作或者． [注] 零空间没有基, 规定． 由条件(2)可得：中任意个向量线性相关．（自证） 若, 则中任意个线性无关的向量都可作为的基． 例10 设向量空间的基为, 则． 证   4．向量在基下的坐标：设向量空间的基为, 对于, 表示式唯一（定理2）, 称为在 基下的坐标（列向量）． [注] 为维向量, 在的基下的坐标为维列向量． 　　　　因为线性无关的“维向量组”最多含有个向量, 所以由 　　　　维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量, 故． 例11 设向量空间的基为 , ,  求在该基下的坐标． 解 设, 比较等式两端的对应分量可得：   ,  [注] 是4维向量, 在的基下的坐标为3维列向量． 5．正交基：设向量空间的基为, 若, 称为的正交基；若还有, 称为的标准正交基． 例如：的标准正交基为． 特点：向量空间的正交基为, 对于, 有 ： 当为标准正交基时, 有 ： 6．Schmidt正交化过程：设向量空间的基为, 令 ,  ,  （否则线性相关）  ,  （否则线性相关）   ……………… ,  （否则线性相关）  结论：两两正交且非零线性无关 是的正交基 令, 则是的标准正交基 例12 已知向量空间的基为 , ,  求的一组正交基． 解    故的一组正交基为． 课后作业：习题四 6, 10, 11, 12