第三章 矩阵的初等变换 §3.1 矩阵的秩 1. 子式：在中, 选取行与列, 位于交叉处的个数按照原来的 相对位置构成阶行列式, 称为的一个阶子式, 记作． 对于给定的, 不同的阶子式总共有个． 2. 矩阵的秩：在中，若 (1) 有某个阶子式； (2) 所有的阶子式（如果有阶子式的话）． 称的秩为, 记作, 或者 ．规定： 性质：(1)  (2) 时 (3)  (4) 中的一个 (5) 中所有的 例1 , 求． 解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式 计算知, 所有的3阶子式, 故． [注] , 若, 称为行满秩矩阵； 　　　　 若, 称为列满秩矩阵． 　　 , 若, 称为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 　　　　 若, 称为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）． §3.2 矩阵的初等变换 1. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调   ② 数乘   ③ 倍加   经过初等变换得到, 记作． 2. 等价矩阵：若, 称与等价, 记作． (1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：,  定理1 ． 　 证 只需证明． 设, 仅证行变换之(3)的情形：  (1) 若, 则有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的阶子式 , 于是可得． (2) 若或者, 构造矩阵 ,  由(1)可得  其余情形类似． 例2 , 求． 解 , 故． 行最简形： 标准形： 定理2 若, 则 ：行阶梯形  ：行最简形 定理3 若, 则, 称为的等价标准形． 推论1 若满秩, 则． 推论2 ． §3.3 解线性方程组的消元法 例如       解线性方程组的初等变换： (1) 互换两个方程的位置 (2) 用非零数乘某个方程 (3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：   方程组：  或者  增广矩阵： 设, 且的左上角阶子式, 则 ： 行最简形 的同解方程组为  (3.4) 若, 则方程组(3.4)无解： 若, 则方程组(3.4)有解： (1) 时, 方程组(3.4)成为 , , …,  是其唯一解 (2) 时, 方程组(3.4)成为  一般解为  其中为任意常数． 定理4 ,  (1) 有解； (2) 有解时, 若, 则有唯一解； 　　　　　　　　　　　 若, 则有无穷多组解． 定理5 (1) 有非零解； (2) 有非零解． 课后作业：习题三 1, 2, 3, 4