第五章 矩阵的相似变换 §5.1 矩阵的特征值与特征向量 定义： 对于阶方阵, 若有数和向量满足, 称为的 特征值, 称为的属于特征值的特征向量． 特征方程： 或者  有非零解  特征矩阵： 或者  特征多项式：  例1 求 的特征值与特征向量． 解   求的特征向量： ,   求的特征向量： , ,   （不同时为0） 例2 求 的特征值与特征向量． 解   求的特征向量： ,   求的特征向量： ,   [注] 在例1中, 对应2重特征值有两个线性无关的特征向量； 在例2中, 对应2重特征值只有一个线性无关的特征向量． 一般结论：对应重特征值的线性无关的特征向量的个数． 定理1 设的特征值, , 则 (1) ； (2) ． 证 由特征值的定义可得    其中都是次数不超过的多项式．由题设, 又有   比较多项式同次幂的系数可得   推论  0是的特征值． 一元多项式： 矩阵多项式：  定理2 设, 则 (1) ； (2) ． 证 (1) 因为  （） 所以   (2)   [注] 一般结论：若的全体特征值为,则的全体特征值 为． 例3 设的特征值为, 求 ． 　解 设, 则的特征值为  故  定理3 设的互异特征值为, 对应的特征向量依次为 , 则向量组线性无关． 证 采用数学归纳法． 　　 时, 线性无关． 设时, 线性无关, 下面证明线性无关． 设数组使得   左乘, 利用可得   ：  因为线性无关（归纳法假设）, 所以  代入可得 ．故线性无关． 根据归纳法原理, 对于任意正整数, 结论成立． 定理4 设的互异特征值为, 重数依次为, 对应的线性无关的特征向量为, 则向量组线性无关．（自证） §5.2 相似对角化 1．相似矩阵：对于阶方阵和, 若有可逆矩阵使得, 称相似于, 记作． (1) ：  (2) ：  (3)  性质1 ． 性质2 可逆, 可逆, 且． 性质3  （为正整数）． 性质4 为多项式, ． 性质5  与的特征值相同 证 由可得    2．相似对角化：若方阵能够与一个对角矩阵相似, 称可对角化． 定理5 阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量． 　证 必要性．设可逆矩阵使得  即．划分, 则有    因为为可逆矩阵, 所以它的列向量组线性无关． 　　　上式表明：是的个线性无关的特征向量． 充分性．设线性无关, 且满足, 则为可逆矩阵, 且有   即． [注] 的主对角元素为的特征值． 推论1 有个互异特征值可对角化． 推论2 设的全体互异特征值为, 重数依次为, 则可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值,有个线性 无关的特征向量． 例4 判断下列矩阵可否对角化： (1), (2), (3) 解 (1)  有3个互异特征值 可对角化 对应于的特征向量依次为 , ,  构造矩阵 ,  则有 ． (2)  例1求得有3个线性无关的特征向量 可对角化 对应于的特征向量依次为 , ,  构造矩阵 ,  则有 ． (3) , 例2求得, 对应于2重特征值, 只有1个线性无关的特征向量 不可对角化． 例5 设, 求． 解 例4求得 , , 使得 ： 故   （）