定理4 设  (1) 线性相关； (2) 线性无关． 证 设  比较等式两端向量的对应分量可得  即 ．由定理3.5可得： 线性相关有非零解  推论1 在定理4中, 当时, 有 (1) 线性相关； (2) 线性无关． 推论2 在定理4中, 当时, 有 (1) 线性相关中所有的阶子式； (2) 线性无关中至少有一个阶子式． 推论3 在定理4中, 当时, 必有线性相关． 因为, 由定理4(1)即得． 推论4 向量组： 向量组： 若线性无关, 则线性无关． 证   线性无关 是的子矩阵 线性无关 定理5 划分, 则有 (1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关； 中“所在的”个列向量线性无关． (2) 中所有中任意的个行向量线性相关； 　　　　　　　　　　　　　　中任意的个列向量线性相关． 证 只证“行的情形”： (1) 设位于的行, 作矩阵, 则有 线性无关． (2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵, 则有线性相关． [注] 称为的行向量组, 为的列向量组． §4.3 向量组的秩与最大无关组 1．向量组的秩：设向量组为, 若 (1) 在中有个向量线性无关； (2) 在中有个向量线性相关（如果有个向量的话）． 　 称为向量组为的一个最大线性无关组, 称为向量组的秩, 记作：秩． [注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0． (2) 秩时, 中任意个线性无关的向量都是的一个 最大无关组． 例如, , , ,  的秩为2． 线性无关是一个最大无关组 线性无关是一个最大无关组 定理6 设, 则 (1) 的行向量组（列向量组）的秩为； (2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是 的行向量组（列向量组）的最大无关组． 证 只证“行的情形”： 中某个, 而中所有 定理5中所在的个行向量线性无关 中任意的个行向量线性相关 由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的个行向量是 的向量组的最大无关组． 例6 向量组：, , ,  求的一个最大无关组． 解 构造矩阵 求得秩 矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式 故是的一个最大无关组． [注] 为行向量组时, 可以按行构造矩阵． 定理7  (1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关） “的列”线性相关（线性无关）； (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关） “的行”线性相关（线性无关）． 证 (1) 划分,  由可得  故方程组  与方程组  同解．于是有 线性相关 存在不全为0, 使得 存在不全为0, 使得 线性相关 同理可证(2)． [注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形 矩阵的秩为时, 的非零行中第一个非零元素所在的个列 向量是线性无关的． 例如：求例6中向量组的一个最大无关组．构造矩阵    秩 的1,2列线性无关的1,2列线性无关 是的一个最大无关组 例7 向量组：, , ,  求向量组的一个最大无关组． 解 对矩阵 进行初等行变换可得   (1) ： 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 故是的一个最大无关组； (2) ： 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 故是的一个最大无关组． [注] 当为行向量组时, 为列向量组． 若矩阵 的列向量组的一个最大无关组 为, 则是的一个最大无关组． 课后作业：习题四 7, 8 （理解、记忆定理1～7）