§5.3 实对称矩阵的相似矩阵 目的：对于实对称矩阵 , 求正交矩阵 , 使得．此时, 称正交相似于对角矩阵． 1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理6 ． 证 设 , , 则有    故  即 ． [注] 的解向量可取为实向量． 约定：实对称矩阵的特征向量为实向量． 定理7 , 特征值, 特征向量依次为, 则． 证 ,    故 ． 例6 设实对称矩阵的特征值, 属于的 特征向量依次为, , 求． 解 设, 由 ,  可得  该齐次方程组的一个非零解为 ． 令 ,  则有  [注]  2．正交矩阵：实矩阵满足时, 称为正交矩阵． 　　 (1) 是正交矩阵． 　　 (2) 是正交矩阵． 　　 (3) 是正交矩阵, 即的列向量组是两两正交的单位向量． 　　 (4) 是正交矩阵, 即的行向量组是两两正交的单位向量． 定理8 存在正交矩阵, 使得．（阅读83-85页） 推论 设, 若是的重特征值, 则对应于特征值一定有个 线性无关的特征向量．（对比定理4） 例7 对下列矩阵, 求正交矩阵, 使得： (1), (2), (3)． 解 (1)  对应于特征值的特征向量依次为 , ,  （定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵： ,  则有 ． (2) , 属于的特征向量为． 求属于的两个特征向量（凑正交）： , ,  （定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵： ,  则有 ． (3)  求属于的3个特征向量（凑正交）：  , ,  （它们两两正交） 属于的特征向量为 构造正交矩阵和对角矩阵： ,  则有 ． 3．典型题 例8 已知可对角化, 是的2重特征值, 求可逆矩阵, 使得． 解  可对角化对应有两个线性无关的特征向量  设, 则有  此时 ,  求得 , ,  令 , 则有． 例9 已知相似于, 求和． 解   故 ． 例10 设的一个特征向量为, 求的全体 特征值与特征向量． 解 ：,  ,    对应只有1个线性无关的特征向量 全体特征向量为