7．基变换与坐标变换 设向量空间的基①；基②． 基变换：可由唯一的线性表示, 所以有   矩阵乘法形式：  称上式为由基①改变为基②的基变换公式． 称为由基①改变为基②的过渡矩阵． 定理10 向量空间中由基①改变为基②的过渡矩阵是可逆矩阵． 证 若, 则齐次方程组有非零解, 由此 可得  即线性相关, 矛盾！故是可逆矩阵． [注] 由基②改变为基①的基变换公式为  由基②改变为基①的过渡矩阵为． 坐标变换：, 有   因为在基①下的坐标唯一, 所以  或者  称上式为坐标变换公式． 例12 已知的两个基为 ①  ②  (1) 求由基①改变为基②的过渡矩阵； (2) 求在基①下的坐标． 解 采用中介法求过渡矩阵：简单基为 , , ,  简单基基①： 简单基基②： 基①基②：   ,   ,  §4.5 线性方程组解的结构 , ,  齐次方程组  非齐次方程组  () 结论：(1)  , 与同解． (2) 有非零解． (3) 有解． (4) 设, 则 时, 有唯一解； 时, 有无穷多解． 1．的解空间 解集合    故构成向量空间, 称为的解空间． 2．的基础解系 不妨设的一般解为  () 依次令  可求得 , , …,  因为 (1) 线性无关 (2) ,  所以是解空间的一个基, 称为的基础解系． 例15 设, 求的一个基础解系． 解 , 同解方程组为  依次取 , 可求得基础解系 ,  2．解的结构 (1) ,  (2) ,  是的解 设的一个基础解系为  的特解为, 一般解为, 则有     () 例16 设, , 求的通解． 解  同解方程组为  基础解系：, ；特解： 通解： () 例17 设, 的3个解满足 , , 求的通解． 解 的基础解系中含有个解向量 因为  所以  是的基础解系 又   是的特解 故的通解为． 例18 设, 是的解, 证明： 是的基础解系线性无关． 证 必要性．设数组使得  左乘, 利用可得  因为, 所以  由此可得  因为是的基础解系, 所以线性无关, 从而有  故线性无关． 充分性．是的解向量 设数组使得  则  因为线性无关, 所以只有 ,  故向量组线性无关． 因此 是的基础解系．