复习题
例1 计算．
解
例2 计算 .
解法1 “”
解法2 加边法
例3 设 满足, 求．
解 并项：
左乘：
计算：
例4 求解, ,
解
(1) ：同解方程组为
基础解系 , 特解
通解为 （为任意常数）
(2) ：同解方程组为
基础解系 , ,
特解
通解为 （为任意常数）
例5 向量组：, , ,
求向量组的一个最大无关组．
解 对矩阵 进行初等行变换可得
(1) ：
的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关
故是的一个最大无关组；
(2) ：
的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关
故是的一个最大无关组．
例6
用正交变换化为标准形．
解 的矩阵
的特征多项式
的两个正交的特征向量 ,
的特征向量
正交矩阵
正交变换：标准形
例7 ,秩．
(1) 求；
(2) 用正交变换化为标准形．
解 (1) 的矩阵 （显见）
(2)
的特征向量依次为
, , （两两正交）
正交矩阵
正交变换
标准形
例8 设的一个特征向量为, 求数及的
全体特征值与特征向量．
解
：
由此可得：对应特征值只有1个线性无关的特征向量, 而特征
方程的基础解系为, 全体特征向量为．
例9 设方阵的特征值, 对应的特征向量分别为, 证明：
(1) 不是的特征向量；
(2) ,线性无关．
证 (1) 反证法．若, 则
线性无关 矛盾！
故不是的特征向量．
(2) 设数组使得 , 则
线性无关
即．故,线性无关．
