第六章 二次型
变量的二次齐次多项式
称为元二次型, 简称为二次型．
：称为实二次型（本章只讨论实二次型）
：称为复二次型
§6.1 二次型的矩阵表示
1．矩阵表示：令, 则有
其中 ,
(1) 与是一一对应关系, 且．
(2) 称为的矩阵, 称为对应的二次型．
(3) 称的秩为的秩, 即 ．
2．标准形：找可逆线性变换, 即
使得
将二次型的标准形写为矩阵形式
,
矩阵描述：对实对称矩阵, 找可逆矩阵, 使得．
3．合同矩阵：对于, 若有可逆矩阵使得,
称合同于．
(1) 合同于：
(2) 合同于合同于：
(3) 合同于, 合同于合同于
定理3 合同于．
证
故 ．
§6.2 化二次型为标准形
1．正交变换法
设实对称, 特征值为, 则存在正交矩阵, 使得
作正交变换, 可得
例1
用正交变换化为标准形．
解 的矩阵
的特征多项式
的两个正交的特征向量 ,
的特征向量
正交矩阵
正交变换：标准形
例2
用正交变换化为标准形．
解 的矩阵
的特征多项式
求正交矩阵和对角矩阵, 使得：
,
正交变换：标准形
例3 ,秩．
(1) 求； (2)用正交变换化为标准形；
(3) 表示那类二次曲面？
解 (1) 的矩阵 （显见）
(2)
的特征向量依次为
, , （两两正交）
正交矩阵
正交变换：标准形
(3) ：表示椭圆柱面
例4 设, , 秩, 求．
解
或者
：, （舍去）
： ,
故为所求．
2．配方法
例5
用配方法化为标准形．
解
令 , 则
可逆变换 ：
标准形 （与例1结果不同）
例6
用配方法化为标准形．
解 先凑平方项
令 , 即 ：
则
令 , 则
即 ：
可逆变换 ,
标准形
一般结论如下：
定理2 对于实二次型, 存在可逆变换, 使得
定理3 对于实对称矩阵, 存在可逆矩阵, 使得
3．初等变换法
求可逆矩阵, 使得：
可逆 （是初等矩阵）
例7 用初等变换法化为标准形．
解
可逆变换 ,
标准形
§6.3 正定二次型
设可逆变换使得
定理4 设的秩为, 则在的标准形中
系数不为0的平方项的个数一定是；
（）
正项个数一定, 称为的正惯性指数；（证明略去）
负项个数一定, 称为的负惯性指数．（由(1)和(2)可得）
正定二次型：, 称为正定二次型, 为正定矩阵．
负定二次型：, 称为负定二次型, 为负定矩阵．
定理5 为正定二次型的标准形中．
证 必要性．取, 则, 从而
充分性．已知,
由定义知, 为正定二次型．
推论1 设实对称, 则为正定矩阵的特征值全为正数．
推论2 设实对称正定矩阵, 则．
定理6 设实对称, 则为正定矩阵
的顺序主子式全为正数, 即．
（证明略去）
定理7 设实对称, 则
为负定二次型
为正定二次型
的负惯性指数为 （定理5）
的特征值全为负数 （定理4）
的奇数阶顺序主子式全为负数, 即 ；
的偶数阶顺序主子式全为正数, 即 ．
例8 判断下列二次型的正定性：
(1)
(2)
(3)
解 (1)
, ,
故为正定矩阵, 为正定二次型．
(2)
, ,
故为负定矩阵, 为负定二次型．
(3)
, ,
当时, 有
故为正定矩阵, 为正定二次型；
当时, 有
故为不定矩阵, 为不定二次型．
例9 设实对称, 则
(1) 为正定矩阵
(2) 为负定矩阵
证 取, 则有
正定
负定
