第四章 向量组的线性相关性 §4.1 向量及其运算 1．向量：个数构成的有序数组, 记作, 称为维行向量． –– 称为向量的第个分量 –– 称为实向量（下面主要讨论实向量） –– 称为复向量 零向量： 负向量： 2．线性运算：,  相等：若, 称． 加法： 数乘： 减法： 3．算律：, ,  (1)  (5)  (2)  (6)  (3)  (7)  (4)  (8)  4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, 或者, 称为维列向量． 零向量： 负向量： 5．内积：设实向量, , 称实数 为与的内积． 　　算律：, ,  (1)  (2)  （为常数） (3)  (4) 时, ；时, ． (5)  证(5) , 由可得    6．范数：设实向量, 称实数 为的范数． 性质：(1) 时, ；时, ． (2)   (3)  (4)  证(3)   证(4)    7．夹角：设实向量,, 称   为与之间的夹角． 正交：若, 称与正交, 记作． (1) ,时, ； (2) 或时, 有意义, 而无意义． 单位化：若, 称为与同方向的单位向量． §4.2 向量组的线性相关性 1．线性组合：对维向量及, 若有数组使得 , 称为的线性组合, 或可由线性表示． 例1 , , ,  判断可否由线性表示? 解 设，比较两端的对应分量可得 , 求得一组解为 于是有, 即可由线性表示． 　 [注] 取另一组解时, 有． 2．线性相关：对维向量组, 若有数组不全为0, 使得  称向量组线性相关, 否则称为线性无关． 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有  称向量组线性无关, 否则称为线性相关． [注] 对于单个向量：若, 则线性相关； 若, 则线性无关． 例2 判断例1中向量组的线性相关性． 解 设, 比较两端的对应分量可得  即．因为未知量的个数是4, 而, 所以 有非零解, 由定义知线性相关． 例3 已知向量组线性无关, 证明向量组 　 , ,  线性无关． 证 设 , 则有  因为线性无关, 所以  , 即  系数行列式 , 该齐次方程组只有零解． 　　　 故线性无关． 例4 判断向量组 , , …,  的线性相关性． 解 设 , 则有 只有 　　　 故线性无关． 例5 设两两正交且非零, 证明该向量组线性无关． 证 设 , 两端与作内积可得  当时, , 于是有 只有  上式对于都成立, 故线性无关． 3．判定定理 定理1 向量组线性相关 其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示． 证 必要性．已知线性相关, 则存在不全为零, 使得 　　 不妨设, 则有 ． 　　充分性．不妨设 , 则有  因为不全为零, 所以线性相关． 定理2 若向量组线性无关, 线性相关, 则可由线性表示, 且表示式唯一． 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得  若, 则有 ．矛盾! 故, 从而有 ． 下面证明表示式唯一： 若 ,  则有  因为线性无关, 所以  即的表示式唯一． 定理3 线性相关线性相关． 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得    数组不全为零, 故线性相关． 推论1 含零向量的向量组线性相关． 推论2 向量组线性无关任意的部分组线性无关． 课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5