第二章 地球坐标系和地球椭球
§ 2.1 概 述
大地测量采用的坐标系,天球坐标系、地球坐标系
地球坐标系,固定在地球上与地球一起自转和公转的
坐标系
地球坐标系分类,参心坐标系、地心坐标系
定义坐标系的要素,原点位置与坐标轴指向；若采用
大地 坐标还需要椭球元素。
§ 2.2 地球椭球面的数学计算和有关计算
2.2.1 地球椭球的几何、物理元素
椭球方程：
扁率：
第一偏心率：
第二偏心率：
X
Y
Z
O
12
2
2
2
2
2
??? bZaYaX
a
ba ???
a
E
a
bae ???
2
22
b
E
b
bae ???
2
22
'
2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续 1）
几个关系式：
? ? ? ?
? ? ? ?222222
2222
1 1
11 1 2
eeeeee
eee
???????
?????? ??
2'1 eba ?? 21 eab ??
1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：
3.2 9 81 m 6 3 7 8 2 4 5 ?? ?a
2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续 2）
1980年大地坐标系采用第 16届 IAG— IUGG 椭球，
其椭球元素为：
257.2981
/102 9 2 1 1 5.7 101 0 8 2 6 3
/103, 9 8 6 0 0 5GM m 6 3 7 8 1 4 0
58
2
2314
?
????
???
??
?
?
可求得扁率：
sr a dJ
sma
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质
1、经线和纬线的曲线方程
在 XOZ坐标面上的起始经线方程：
O
X
Y
Z
M1
M0
M
L
Lr
A
R
S
0 12
2
2
2
??? YbZaX
M0饶 Z轴旋转，形成纬圈（平
行圈），其半径：
22 YXr ??
经度为 L的经线方程：
LXYbZaYaX t a n 12
2
2
2
2
2
????
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 1）
O
X
Y
Z
M1
M0
M
L
Lr
A
R
S
纬圈 方程：
0
2
2
2
2
2
2
Z
1
Z
b
Z
a
Y
a
X
?
???
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 2）
2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的
Frenet标 架
P
O
Q
M
P′RTN
A
如图为过 M点的子午面。
子午线的主法线 MP′位于
子午面内，且垂直于子午
线切线 T； R为过 M点的
平行圈切线，显然 R垂直
于 M点的子午面，因此 R垂
直于 MP′。 所以,MP′垂直
于椭球面在 M点的切平面，因此
它是椭球面的法线。
Frenet标架,曲线上任意一点处的三个相互正交的单位
向量构成是三维直角坐标系。
一般取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 3）
3、旋转椭球面及经纬线的参数方程
1),以大地经度 L及归化纬度 u为参数的方程
ua
X
Z
O
M′
MubZ uaX s i nc o s??
在 XOZ子午面内，有
在三维空间坐标系中：
ubZ
LuaY
LuaX
s i n
s i nc o s
c o sc o s
?
?
?
(2),以大地经纬度 L,B为参数的方程
X
Z
K0
B 90° + BO
T
M 0切线 M0T的斜率的导数式：
? ? BBdXdZ c t g90t a n 0 ????
由椭圆方程求导得：
12
2
2
2
?? bZaX
? ? ZXeZa XbdXdZ 222 1 ?????
代入第一式得,? ?
BeXZ t an1 2?? 1
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 4）
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 5）
将 代入椭圆方程，化简后得：1
? ?
Be
BeaZ
Be
BaX
22
2
22 s i n1
s i n1
s i n1
c o s
?
??
??
引入辅助符号：
WaNBeW ??? s i n1 22
则有：
? ? s i n1 c o s 2 BeNZBNX ???
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 6）
在三维空间坐标系中，椭球面上点的三维坐标的
经纬度表示为：
? ? s in1
s inc o s
c o sc o s
2 BeNZ
LBNY
LBNX
??
?
?
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 7）
(3),以大地经度 L及球心纬度为参数的方程
X
Z
?O
M 0
?
球心纬度 ?，向径 ?，则对于
XOZ平面上的椭圆有：
??
??
s i n
c o s
?
?
Z
X
在椭圆上,向径 ?由 球
心纬度 ?唯一确定，将上式
代入椭圆方程，得：
??
??
22
2
c o s1
1
e
ea?
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 8）
对于 XOZ平面上的椭圆有：
??
???
??
???
22
2
22
2
c o s1
1s i n
c o s1
1c o s
e
eaZ
e
eaX
在三维空间坐标系中，椭球面上点的经度、球心
纬度表示为：
2
22
2
22
2
22
1
c o s c o s
1 c o s
1
c o s sin
1 c o s
1
sin
1 c o s
e
X a L
e
e
Y a L
e
e
Za
e
?
??
??
?
??
??
?
??
??
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 9）
不难得出,u,B,? 的关系为：
BeeBu
BeBu
222
22
s i n11s i ns i n
s i n1c o sc o s
???
??
因此有：
BabBeu t a nt a n1t a n 2 ???
由球心纬度公式，得：
? ? B
a
bBe t a nt a n1t a n
2
2
2 ????
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 10）
4、旋转椭球面的几何性质
a),对称性 b),有界性
c),正则 性：
曲面上每点都对应于唯一确定的非零法向量。其
单位法向量可表示为：
d),不可展性
? ?BLBLB s i ns i nco sco sco s?n
2.2.3 法截线曲率及曲率半径
1、空间曲线的曲率几曲率半径
若以曲线的弧长 s为参数，曲线上的点位用向量 r(s)表示。
则曲线的曲率为：
? ? ? ? ? ?
cc
c
ss
s ds
sd
ds
sdsk
2
2rT
??
若以 t参数，则曲线的曲率可表示为：
? ? ? ? ? ? ? ?
3
2
2
cc
c
tt
t dt
td
dt
td
dt
tdtk rrr ??
2、椭球面法截线的曲率
(1),子午线曲率半径
不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化
纬度 u为子午线方程的参数，则有：
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 1）
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?ubua
du
ud
ubua
du
ud
ubuau
s i n0c o s
c o s0s i n
s i n0c o s
2
2
???
??
?
r
r
r
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 2）
则有：
? ? ? ? ? ?00
2
2
abdu uddu ud ??? rr
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? 232222
3
2
2
s i nc o s uaub
ab
du
ud
du
ud
du
uduk
?
??? rrr
同理，若以大地纬度为参数，得：
? ? ? ?? ? ? ?232 2322 11s i n1 ea Wea BeBk ?????
子午曲率半径 M，就是曲率是倒数，即：
? ? ? ?3
211
W
ea
BkM
???
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 3）
(2),卯酉线曲率半径
定义,与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯
酉线。
根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率 kn与平
行圈曲率 kr的关系为：
Bkk rn co s?
平行圈半径为子午面 XOZ 平面内的 X坐标，即：
BWaXr B c o s??
则有，上述两式得卯酉曲率半径 N为：
W
a
B
r
BkkN
B
rn
???? c o sc o s11
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 4）
(3),任意方向法截线的曲率半径
根据微分几何中的 Euler公式，任意方向法截线的
曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：
N
A
M
Ak
A
22 s inc o s
??
因此，任意方向的曲率半径为：
AMAN
MN
kR AA 22 s inc o s
1
???
当 A为 0,?/2,?,3?/2时，取得极值。
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 5）
(4),平均曲率半径
定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。
dA
AN
M
dtA
N
M
t
dA
AMAN
MN
dARR
A
2
2
0 22
2
0
c o s
1
,t a n
s inc o s
22
??
?
?? ??
??
??
代入上式，得：
? ? ????? 0 2
2
2
1
1
2
W
eaMN
t
dtMNR
?
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 6）
不难得到,N ? R ? M
引入辅助量：
222
22
1c o s1
1
??????
???
BeV
eabac
存在下列关系：
BeBt
VcR
VcNVcM
eVWeWV
ecaeac
222
2
3
22
22
c o s t a n
1 1
1 1
???
?
??
?????
?????
?
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算
1,椭球面的第一基本形式
? ?? ?
dL
L
dB
B
d
BeNLBNLBN
?
?
?
?
?
?
??
rr
r
rr s in1s inc o sc o sc o s 2
椭球面上点的向量：
椭球面上的微分弧长：
2222 2 G d LF d B d LE d BddddS ?????? rrr
其中：
dL
d
dL
dG
dL
d
dB
dF
dB
d
dB
dE rrrrrr ??????
对于椭球面,BNGFME 222 c o s 0 ???
222222 c o s B d LNdBMdS ??
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 1）
2、子午线弧长
子午线微分弧长,M d BdS ?
积分得,? ? ? ?
?? ????? 2121 232222~1 s i n11 BBBB dBBeeaM d BS
? ? ? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ??11112211
11
9
22
9
11
7
22
7
11
5
22
5
11
3
22
3
112212
2
2~1
c o ss inc o ss in
c o ss inc o ss inc o ss inc o ss in
c o ss inc o ss inc o ss inc o ss in
c o ss inc o ss in1
BBBBG
BBBBFBBBBE
BBBBDBBBBC
BBBBBa r c Ba r c BAeaS
??
????
????
?????
用二项式展开，并逐项积分得：
常数 A,B,C,D,E,F,G的计算公式见教材
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 2）
对于小于 400km的弧长，可采用以下简化式。
3
3
3
122~1 24
1 B
dB
SdB
dB
dSSSS
mm
???
?
?
???
????
?
??
?
????
其中,? ?
1221 2
1 BBBBBB
m ?????
根据：
3
3
???
?
???
? ?
?
??
?
???
dB
dS
dB
d
dB
d
dB
SdM
dB
dS
求出导数，代入上式并化简，得：
2c o s81 2
2
2~1 ???
?
???
? ????? BBeBMS
mm
对于小于 40km的弧长，可进一步简化为：
2~1 BMS m ??
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 3）
已知 B1和弧长 S1~2求 B2称为反算，可采用叠代法计算。
初值：
? ? 122~102 1 a r c BAea Sa r c B ???
叠代格式：
? ? ? ?
? ?? ?
? ?kB
k
kk
S
BSSBB
22~1
22~12~1
2
1
2 ?
????
其中：
? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ??
1
2
22
8
1
2
22
6
1
2
22
4
2
2
22
2
2
2
2~1
c o s82c o ss i n
c o s62c o ss i n c o s42c o ss i n
c o s22c o ss i n2c o s1
2
BBBF
BBBEBBBD
BBBCBBAeaS
kk
kkkk
kkkk
B k
??
????
??????
? ?? ? mBSS k 0 0 1.022~12~1 ????要求：
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 4）
3、平行圈的半径与弧长
? ?
? ?
Be
LLBa
LLBNS
Be
Ba
BNr B
22
12
122~1
22
s in1
c o s
c o s
s in1
c o s
c o s
?
?
???
?
??
相同经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 5）
4、利用经纬格网计算椭球面的面积
L L+dL
B
B+dB
MdB
NcosBdL
d? ? ?? ? 2222 s in1 c o s1c o s Be B d B d LeaB d B d LMNd ?????
? ?
? ?? ??? ?
??? 2
1
2
1
222
2
s i n1
c o s1B
B
L
L
D Be
B d B d LeadA ?
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 6）
上式利用二项式展开并积分，得：
? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ??
?
?
????
??????
1
7
2
7
6
1
5
2
5
4
1
3
2
3
2
1212
2
s ins in
7
4
s ins in
5
3
s ins in
3
2
s ins in1
BB
e
BB
e
BB
e
BBLLeaA
取 L2-L1 = 2?,B2 = ?/2,B1 = 0 算得半球面积，
乘 2可以估算全球面积约为 5.1亿平方公里
习 题
1,导出三种纬度 φ,u与 B的关系 。
2,导出子午曲率半径 M与卯酉曲率半径 N的计算公式 。
3,M,N,R的关系如何？ 在什么条件下三者相同？
4,某点到赤道的子午弧长,求该点的纬
度 。 a=6378245,?=1/298.3
5,已知某点的纬度,求该点自赤道起的子
午弧长 。 a =6378245,?=1/298.3
2 8 3 1".16'2831 0?B
米1 9 3.3 7 4 5 6 8 2?S
§ 2.1 概 述
大地测量采用的坐标系,天球坐标系、地球坐标系
地球坐标系,固定在地球上与地球一起自转和公转的
坐标系
地球坐标系分类,参心坐标系、地心坐标系
定义坐标系的要素,原点位置与坐标轴指向；若采用
大地 坐标还需要椭球元素。
§ 2.2 地球椭球面的数学计算和有关计算
2.2.1 地球椭球的几何、物理元素
椭球方程：
扁率：
第一偏心率：
第二偏心率：
X
Y
Z
O
12
2
2
2
2
2
??? bZaYaX
a
ba ???
a
E
a
bae ???
2
22
b
E
b
bae ???
2
22
'
2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续 1）
几个关系式：
? ? ? ?
? ? ? ?222222
2222
1 1
11 1 2
eeeeee
eee
???????
?????? ??
2'1 eba ?? 21 eab ??
1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：
3.2 9 81 m 6 3 7 8 2 4 5 ?? ?a
2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续 2）
1980年大地坐标系采用第 16届 IAG— IUGG 椭球，
其椭球元素为：
257.2981
/102 9 2 1 1 5.7 101 0 8 2 6 3
/103, 9 8 6 0 0 5GM m 6 3 7 8 1 4 0
58
2
2314
?
????
???
??
?
?
可求得扁率：
sr a dJ
sma
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质
1、经线和纬线的曲线方程
在 XOZ坐标面上的起始经线方程：
O
X
Y
Z
M1
M0
M
L
Lr
A
R
S
0 12
2
2
2
??? YbZaX
M0饶 Z轴旋转，形成纬圈（平
行圈），其半径：
22 YXr ??
经度为 L的经线方程：
LXYbZaYaX t a n 12
2
2
2
2
2
????
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 1）
O
X
Y
Z
M1
M0
M
L
Lr
A
R
S
纬圈 方程：
0
2
2
2
2
2
2
Z
1
Z
b
Z
a
Y
a
X
?
???
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 2）
2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的
Frenet标 架
P
O
Q
M
P′RTN
A
如图为过 M点的子午面。
子午线的主法线 MP′位于
子午面内，且垂直于子午
线切线 T； R为过 M点的
平行圈切线，显然 R垂直
于 M点的子午面，因此 R垂
直于 MP′。 所以,MP′垂直
于椭球面在 M点的切平面，因此
它是椭球面的法线。
Frenet标架,曲线上任意一点处的三个相互正交的单位
向量构成是三维直角坐标系。
一般取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 3）
3、旋转椭球面及经纬线的参数方程
1),以大地经度 L及归化纬度 u为参数的方程
ua
X
Z
O
M′
MubZ uaX s i nc o s??
在 XOZ子午面内，有
在三维空间坐标系中：
ubZ
LuaY
LuaX
s i n
s i nc o s
c o sc o s
?
?
?
(2),以大地经纬度 L,B为参数的方程
X
Z
K0
B 90° + BO
T
M 0切线 M0T的斜率的导数式：
? ? BBdXdZ c t g90t a n 0 ????
由椭圆方程求导得：
12
2
2
2
?? bZaX
? ? ZXeZa XbdXdZ 222 1 ?????
代入第一式得,? ?
BeXZ t an1 2?? 1
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 4）
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 5）
将 代入椭圆方程，化简后得：1
? ?
Be
BeaZ
Be
BaX
22
2
22 s i n1
s i n1
s i n1
c o s
?
??
??
引入辅助符号：
WaNBeW ??? s i n1 22
则有：
? ? s i n1 c o s 2 BeNZBNX ???
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 6）
在三维空间坐标系中，椭球面上点的三维坐标的
经纬度表示为：
? ? s in1
s inc o s
c o sc o s
2 BeNZ
LBNY
LBNX
??
?
?
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 7）
(3),以大地经度 L及球心纬度为参数的方程
X
Z
?O
M 0
?
球心纬度 ?，向径 ?，则对于
XOZ平面上的椭圆有：
??
??
s i n
c o s
?
?
Z
X
在椭圆上,向径 ?由 球
心纬度 ?唯一确定，将上式
代入椭圆方程，得：
??
??
22
2
c o s1
1
e
ea?
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 8）
对于 XOZ平面上的椭圆有：
??
???
??
???
22
2
22
2
c o s1
1s i n
c o s1
1c o s
e
eaZ
e
eaX
在三维空间坐标系中，椭球面上点的经度、球心
纬度表示为：
2
22
2
22
2
22
1
c o s c o s
1 c o s
1
c o s sin
1 c o s
1
sin
1 c o s
e
X a L
e
e
Y a L
e
e
Za
e
?
??
??
?
??
??
?
??
??
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 9）
不难得出,u,B,? 的关系为：
BeeBu
BeBu
222
22
s i n11s i ns i n
s i n1c o sc o s
???
??
因此有：
BabBeu t a nt a n1t a n 2 ???
由球心纬度公式，得：
? ? B
a
bBe t a nt a n1t a n
2
2
2 ????
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续 10）
4、旋转椭球面的几何性质
a),对称性 b),有界性
c),正则 性：
曲面上每点都对应于唯一确定的非零法向量。其
单位法向量可表示为：
d),不可展性
? ?BLBLB s i ns i nco sco sco s?n
2.2.3 法截线曲率及曲率半径
1、空间曲线的曲率几曲率半径
若以曲线的弧长 s为参数，曲线上的点位用向量 r(s)表示。
则曲线的曲率为：
? ? ? ? ? ?
cc
c
ss
s ds
sd
ds
sdsk
2
2rT
??
若以 t参数，则曲线的曲率可表示为：
? ? ? ? ? ? ? ?
3
2
2
cc
c
tt
t dt
td
dt
td
dt
tdtk rrr ??
2、椭球面法截线的曲率
(1),子午线曲率半径
不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化
纬度 u为子午线方程的参数，则有：
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 1）
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?ubua
du
ud
ubua
du
ud
ubuau
s i n0c o s
c o s0s i n
s i n0c o s
2
2
???
??
?
r
r
r
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 2）
则有：
? ? ? ? ? ?00
2
2
abdu uddu ud ??? rr
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? 232222
3
2
2
s i nc o s uaub
ab
du
ud
du
ud
du
uduk
?
??? rrr
同理，若以大地纬度为参数，得：
? ? ? ?? ? ? ?232 2322 11s i n1 ea Wea BeBk ?????
子午曲率半径 M，就是曲率是倒数，即：
? ? ? ?3
211
W
ea
BkM
???
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 3）
(2),卯酉线曲率半径
定义,与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯
酉线。
根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率 kn与平
行圈曲率 kr的关系为：
Bkk rn co s?
平行圈半径为子午面 XOZ 平面内的 X坐标，即：
BWaXr B c o s??
则有，上述两式得卯酉曲率半径 N为：
W
a
B
r
BkkN
B
rn
???? c o sc o s11
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 4）
(3),任意方向法截线的曲率半径
根据微分几何中的 Euler公式，任意方向法截线的
曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：
N
A
M
Ak
A
22 s inc o s
??
因此，任意方向的曲率半径为：
AMAN
MN
kR AA 22 s inc o s
1
???
当 A为 0,?/2,?,3?/2时，取得极值。
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 5）
(4),平均曲率半径
定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。
dA
AN
M
dtA
N
M
t
dA
AMAN
MN
dARR
A
2
2
0 22
2
0
c o s
1
,t a n
s inc o s
22
??
?
?? ??
??
??
代入上式，得：
? ? ????? 0 2
2
2
1
1
2
W
eaMN
t
dtMNR
?
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 6）
不难得到,N ? R ? M
引入辅助量：
222
22
1c o s1
1
??????
???
BeV
eabac
存在下列关系：
BeBt
VcR
VcNVcM
eVWeWV
ecaeac
222
2
3
22
22
c o s t a n
1 1
1 1
???
?
??
?????
?????
?
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算
1,椭球面的第一基本形式
? ?? ?
dL
L
dB
B
d
BeNLBNLBN
?
?
?
?
?
?
??
rr
r
rr s in1s inc o sc o sc o s 2
椭球面上点的向量：
椭球面上的微分弧长：
2222 2 G d LF d B d LE d BddddS ?????? rrr
其中：
dL
d
dL
dG
dL
d
dB
dF
dB
d
dB
dE rrrrrr ??????
对于椭球面,BNGFME 222 c o s 0 ???
222222 c o s B d LNdBMdS ??
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 1）
2、子午线弧长
子午线微分弧长,M d BdS ?
积分得,? ? ? ?
?? ????? 2121 232222~1 s i n11 BBBB dBBeeaM d BS
? ? ? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ??11112211
11
9
22
9
11
7
22
7
11
5
22
5
11
3
22
3
112212
2
2~1
c o ss inc o ss in
c o ss inc o ss inc o ss inc o ss in
c o ss inc o ss inc o ss inc o ss in
c o ss inc o ss in1
BBBBG
BBBBFBBBBE
BBBBDBBBBC
BBBBBa r c Ba r c BAeaS
??
????
????
?????
用二项式展开，并逐项积分得：
常数 A,B,C,D,E,F,G的计算公式见教材
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 2）
对于小于 400km的弧长，可采用以下简化式。
3
3
3
122~1 24
1 B
dB
SdB
dB
dSSSS
mm
???
?
?
???
????
?
??
?
????
其中,? ?
1221 2
1 BBBBBB
m ?????
根据：
3
3
???
?
???
? ?
?
??
?
???
dB
dS
dB
d
dB
d
dB
SdM
dB
dS
求出导数，代入上式并化简，得：
2c o s81 2
2
2~1 ???
?
???
? ????? BBeBMS
mm
对于小于 40km的弧长，可进一步简化为：
2~1 BMS m ??
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 3）
已知 B1和弧长 S1~2求 B2称为反算，可采用叠代法计算。
初值：
? ? 122~102 1 a r c BAea Sa r c B ???
叠代格式：
? ? ? ?
? ?? ?
? ?kB
k
kk
S
BSSBB
22~1
22~12~1
2
1
2 ?
????
其中：
? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ??
1
2
22
8
1
2
22
6
1
2
22
4
2
2
22
2
2
2
2~1
c o s82c o ss i n
c o s62c o ss i n c o s42c o ss i n
c o s22c o ss i n2c o s1
2
BBBF
BBBEBBBD
BBBCBBAeaS
kk
kkkk
kkkk
B k
??
????
??????
? ?? ? mBSS k 0 0 1.022~12~1 ????要求：
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 4）
3、平行圈的半径与弧长
? ?
? ?
Be
LLBa
LLBNS
Be
Ba
BNr B
22
12
122~1
22
s in1
c o s
c o s
s in1
c o s
c o s
?
?
???
?
??
相同经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 5）
4、利用经纬格网计算椭球面的面积
L L+dL
B
B+dB
MdB
NcosBdL
d? ? ?? ? 2222 s in1 c o s1c o s Be B d B d LeaB d B d LMNd ?????
? ?
? ?? ??? ?
??? 2
1
2
1
222
2
s i n1
c o s1B
B
L
L
D Be
B d B d LeadA ?
2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续 6）
上式利用二项式展开并积分，得：
? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ??
?
?
????
??????
1
7
2
7
6
1
5
2
5
4
1
3
2
3
2
1212
2
s ins in
7
4
s ins in
5
3
s ins in
3
2
s ins in1
BB
e
BB
e
BB
e
BBLLeaA
取 L2-L1 = 2?,B2 = ?/2,B1 = 0 算得半球面积，
乘 2可以估算全球面积约为 5.1亿平方公里
习 题
1,导出三种纬度 φ,u与 B的关系 。
2,导出子午曲率半径 M与卯酉曲率半径 N的计算公式 。
3,M,N,R的关系如何？ 在什么条件下三者相同？
4,某点到赤道的子午弧长,求该点的纬
度 。 a=6378245,?=1/298.3
5,已知某点的纬度,求该点自赤道起的子
午弧长 。 a =6378245,?=1/298.3
2 8 3 1".16'2831 0?B
米1 9 3.3 7 4 5 6 8 2?S
