第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系
§ 3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
),(
),(
2
1
LBFy
LBFx
?
?
寻找椭球面上大地经纬度 B,L,与平面坐标的关系
若投影面与原面的曲率半径不同，则必然会产
生投影变形，不同的控制投影变形的方法，对应于
不同的投影。
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式
2
2
2
dS
dsm ?
222 dydxds ??
长度比,投影后长度与椭球面上长度之比。
)(c o s
)
c o s
(c o sc o s
2222
2
22
22
22222222
dLdqBN
dL
BN
dBMBNB d LNdBMdS
??
????
投影平面上微分长度：
椭球面上微分长度：
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
BN
M d Bdq
c o s?
)s in1(
)s in1(.
2)24(lnc o s0 Be
BeeBtgdB
BN
Md Bq B
?
????? ? ?
q为等量纬度，计算公式为
引入等量纬度后，使相同的 dq与 dL所对应的
椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
dl
l
y
dq
q
y
dy
dl
l
x
dq
q
x
dx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
2
1
lqfy
lqfx
?
?
引入等量纬度后，投影公式为：
求微分，得：
其中,l = L - L0
3.1.2 地图投影变形及其表述
根据微分几何，其第一基本形式为：
22
22
)()(
))(())((
)()(
l
y
l
x
G
l
y
q
y
l
x
q
x
F
q
y
q
x
E
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?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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其中：
3.1.2 地图投影变形及其表述
)(c o s
2
2222
22
2
2
2
dldqBN
G d lF d q d lE d q
dS
dsm
?
????
dq
dl
Md B
B d lNtg A ?? c o s
BN
AGAAFAEm
22
22
2
c o s
s ins inc o s2c o s ???
则，长度比公式为：
将 代入上式，得：
3.1.2 地图投影变形及其表述
BN
Gm
B c o s?
BN
Em
L c o s?
当 A=0° 或 180 °，得经线方向长度比：
当 A = 90° 或 270 °，得纬线方向长度比：
BN
G
BN
Em
c o sc o s ??
要使长度比与方向无关，只要,F = 0,E = G，
则长度比可表示为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
长度比与 1之差，称为长度变形，即：
dS
dSdsmv
m
???? 1
vm>0,投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆
22
22
222
)c o s.(
c o sc o s2
)c o s.(
B d lNm
dqdlBNmm
B d qNmds
B
LB
L
?
?
?
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22
2222
BNmmF
BNmGBNmE
LB
BL
?
??
主方向,两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。
性质,主方向投影后具有最大和最小尺度比。
dS
A
BdlN cos
BdqN cos
?
BB d lmN c o s
LB d q mN co sds
对照第一基本形式，得：
且：
EG
F??c o s
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
02s in2c o sc o s22s in)(
s in2s inc o sc o s
0
2
00
22
22222
?????
???
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dA
d
AmAmmAmm
BLBL
BLBL
?
?
即：
220
c o s22
LB
LB
mm
mmAtg
???
?解得：
?222222
22
0
20 s i n4)(21
12c o s
BLLB
BL
mmmm
mm
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2
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c o s22c o s12s i n
BLLB
BL
mmmm
mmAA
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由三角公式得：
3.1.2 地图投影变形及其表述
? ?
? ??
?
222222222
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s i n4)()(
2
1
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2
1
BLLBLB
BLLBLB
mmmmmmb
mmmmmma
?????
?????
00
22222
0 2s inc o s2c o s22 AmmA
mmmmm
LBBLLB ??
????
由此得，极值长度比为：
?2222222220 s in4)()(21 BLLBLB mmmmmmm ?????
将三角展开式代入得：
因此，最大长度比 a与最小长度比 b可表示为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
222
222
s in2)(
s in2)(
BBLL
BBLL
mmmmba
mmmmba
????
????
?
?
?s in
2222
BL
LB
mmab
mmba
?
???
不难得出下列关系：
3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和 最小长度 比 方向在椭球面上为 x轴
和 y轴方向，在投影面上为 x1和 y1方向，则有：
2222
22
2222
22
2
1
2
1 s inc o s ?? ba
yx
ybxa
yx
yxm ??
?
??
?
??
1 1,2212212211 ?????? byaxyxbyyaxx
?
? ?yxP,
椭球面上
?
? ?111,yxP
投影面上
3.1.2 地图投影变形及其表述
)s i n ()s i n (
c o sc o s
)s i n (
c o sc o s
)s i n (
11
1
1
1
1
1
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?
?
?
??
ab
ab
tg
a
ab
tgtg
tg
a
ab
tgtg
?? tgabaxbyxytg ???
1
11
3、方向变形与角度变形
某方向（以主方向起始） ?投影后为 ?1，则有：
由三角公式，得：
显然，当 ? +?1 = 90° 或 270 ° 时，方向变形最大
3.1.2 地图投影变形及其表述
a
btg
b
atg ?? '
1
',??
若 ??与 ??1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：
ab
abu
?
???? a r c s in''
1m a x ??
顾及：
''
1
'''
1 )90(
??
???
tg
a
btg
c tgtgtg
?
???
解得最大变形方向为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
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?
??
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?
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)s in (a r c s in)s in (a r c s in
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11
11
?????
?????
ab
ab
ab
ab
两方向 ?,?所夹角的变形称为角度变形，用 ?表示。即：
?????? ?????????? ????????? ???? ab abab abab ab a r c s in2a r c s ina r c s inm a x?
显然，当 ? +?1 = 90°, ? + ? 1 = 270 ° 或 ? +?1 = 270°,
? + ? 1 = 90 ° 时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
4、面积比与面积变形
?
??
s in
11
/
BL
n
mmn
abnV
ababn
?
????
??
椭球面上单位圆面积为 ?，投影后的面积为 ?ab，
则面积变形为：
3.1.3 地图投影的分类
1、按投影变形的性质分类
(1),等面积投影
a b = 1
(2),等角投影
a = b
(3),等距离投影
某一方向的长度比为 1。
3.1.3 地图投影的分类
2、按采用的投影面和投影方式分类
???
???
s in)(s in
c o s)(c o s
Zfy
Zfx
??
??
(1),方位投影
投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定
条件将椭球面上的物投影到平面上。
3.1.3 地图投影的分类
(2),正轴或斜、横轴圆柱投影
正轴圆柱投影,切圆柱投影、割圆柱投影
切圆柱投影,投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成
一组平行直线，经线投影成与纬线正交
的另一组平行直线。
割圆柱投影,投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线
投影成一组平行直线，经线投影成与纬
线正交的另一组平行直线。
3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影,投影圆柱面与某经线相切。
斜轴圆柱投影,常用于小比例尺投影，将地球视为圆球，
投影圆柱体斜切于圆球进行投影。
(3),圆锥投影,圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上
物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平
面。
根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥
投影、斜圆锥投影。
3.1.3 地图投影的分类
习 题
1,给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。
2,投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。
3,变形主方向有什么性质？
4,最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？
5,地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？
§ 3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
),(
),(
2
1
LBFy
LBFx
?
?
寻找椭球面上大地经纬度 B,L,与平面坐标的关系
若投影面与原面的曲率半径不同，则必然会产
生投影变形，不同的控制投影变形的方法，对应于
不同的投影。
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式
2
2
2
dS
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长度比,投影后长度与椭球面上长度之比。
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投影平面上微分长度：
椭球面上微分长度：
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
BN
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BN
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q为等量纬度，计算公式为
引入等量纬度后，使相同的 dq与 dL所对应的
椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
dl
l
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q
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引入等量纬度后，投影公式为：
求微分，得：
其中,l = L - L0
3.1.2 地图投影变形及其表述
根据微分几何，其第一基本形式为：
22
22
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G
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q
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3.1.2 地图投影变形及其表述
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则，长度比公式为：
将 代入上式，得：
3.1.2 地图投影变形及其表述
BN
Gm
B c o s?
BN
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L c o s?
当 A=0° 或 180 °，得经线方向长度比：
当 A = 90° 或 270 °，得纬线方向长度比：
BN
G
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要使长度比与方向无关，只要,F = 0,E = G，
则长度比可表示为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
长度比与 1之差，称为长度变形，即：
dS
dSdsmv
m
???? 1
vm>0,投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆
22
22
222
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c o sc o s2
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B d lNm
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主方向,两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。
性质,主方向投影后具有最大和最小尺度比。
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A
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?
BB d lmN c o s
LB d q mN co sds
对照第一基本形式，得：
且：
EG
F??c o s
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
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3.1.2 地图投影变形及其表述
? ?
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由此得，极值长度比为：
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将三角展开式代入得：
因此，最大长度比 a与最小长度比 b可表示为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
222
222
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????
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不难得出下列关系：
3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和 最小长度 比 方向在椭球面上为 x轴
和 y轴方向，在投影面上为 x1和 y1方向，则有：
2222
22
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3.1.2 地图投影变形及其表述
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1
11
3、方向变形与角度变形
某方向（以主方向起始） ?投影后为 ?1，则有：
由三角公式，得：
显然，当 ? +?1 = 90° 或 270 ° 时，方向变形最大
3.1.2 地图投影变形及其表述
a
btg
b
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1
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若 ??与 ??1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：
ab
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顾及：
''
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解得最大变形方向为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
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两方向 ?,?所夹角的变形称为角度变形，用 ?表示。即：
?????? ?????????? ????????? ???? ab abab abab ab a r c s in2a r c s ina r c s inm a x?
显然，当 ? +?1 = 90°, ? + ? 1 = 270 ° 或 ? +?1 = 270°,
? + ? 1 = 90 ° 时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：
3.1.2 地图投影变形及其表述
4、面积比与面积变形
?
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11
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BL
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ababn
?
????
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椭球面上单位圆面积为 ?，投影后的面积为 ?ab，
则面积变形为：
3.1.3 地图投影的分类
1、按投影变形的性质分类
(1),等面积投影
a b = 1
(2),等角投影
a = b
(3),等距离投影
某一方向的长度比为 1。
3.1.3 地图投影的分类
2、按采用的投影面和投影方式分类
???
???
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c o s)(c o s
Zfy
Zfx
??
??
(1),方位投影
投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定
条件将椭球面上的物投影到平面上。
3.1.3 地图投影的分类
(2),正轴或斜、横轴圆柱投影
正轴圆柱投影,切圆柱投影、割圆柱投影
切圆柱投影,投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成
一组平行直线，经线投影成与纬线正交
的另一组平行直线。
割圆柱投影,投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线
投影成一组平行直线，经线投影成与纬
线正交的另一组平行直线。
3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影,投影圆柱面与某经线相切。
斜轴圆柱投影,常用于小比例尺投影，将地球视为圆球，
投影圆柱体斜切于圆球进行投影。
(3),圆锥投影,圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上
物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平
面。
根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥
投影、斜圆锥投影。
3.1.3 地图投影的分类
习 题
1,给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。
2,投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。
3,变形主方向有什么性质？
4,最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？
5,地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？
