§ 2.4 空间大地直角坐标系及其转换模型
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
1、站心地平直角坐标系与空间大地直角坐标系的转换关系
定义,站心点的法线为 z轴，在地平面上以子午线方向为 x轴，
y与 x,z轴正交，指向东为正。
O
? ?000,LBP
x z
y
X
Y
Z
L
B
PK Q
将站心坐标轴 xyz 变
换成与空间坐标系的指向
一致，需要如下几步：
(1),z 坐标轴反向；
(2),绕 y轴 900+B；
(3),绕 z轴旋转 -L。
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
将站心系坐标轴变换到与三维空间
直角坐标轴指向一致时的旋转矩阵为：
O
? ?000,LBP
x z
y
X
Y
Z
L
B
PK Q
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00000
00000
0
0
0
s i n0c o s
s i nc o sc o ss i ns i n
c o sc o ss i nc o ss i n
100
010
001
90
BB
LBLLB
LBLLB
BL
yz
RRR
顾及，站心系原点在空间坐标系中的坐标为：
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00
2
0
0000
0000
s i n1
s i nc o s
c o sc o s
0
0
0
BHeN
LBHN
LBHN
Z
Y
X
P
P
P
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
则，站心系坐标到空间直角坐标系的变换公式为：
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y
x
BB
LBLLB
LBLLB
BHeN
LBHN
LBHN
z
y
x
Z
Y
X
Z
Y
X
P
P
P
00
00000
00000
00
2
0
0000
0000
s in0c o s
s inc o sc o ss ins in
c o sc o ss inc o ss in
s in1
s inc o s
c o sc o s
0
0
0
R
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
由上式得，空间直角坐标系到站心系的变换公式为：
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0
0
0
0
0
0
s ins inc o sc o sc o s
0c o ss in
c o ss ins inc o ss in
00000
00
00000
P
P
P
P
P
P
T
ZZ
YY
XX
BLBLB
LL
BLBLB
ZZ
YY
XX
z
y
x
R
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
2、站心极坐标系与站心地平直角坐标系的关系
定义,由站心系原点到点的空间距离、方位角和天顶距
为坐标变量确定三维点位，称为站心极坐标系。
z
x
yo
A
Z
D
P
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AZD
z
y
x
c o s
s i ns i n
c o ss i n
由上式，得：
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ZzZAyAx
zAyAx
xy
D
Z
A
c o ss i ns i nc o s
s i nc o st a n
t a n
1
1
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
也可以用以下公式计算：
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222
221
1
t a n
t a n
zyx
zyx
xy
D
Z
A
公式中的天顶距和方位角都归算到以法线为基准。测
量时以垂线为基准的，需要作垂线偏差改正。改正公式下
面将讲到。
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
3、空间直角坐标系与站心地平直角坐标系的旋转矢量
之间的关系
若 ?x,?y和 ?z为空间坐标系的旋转矢量, ?x、
?y和 ?z为站心坐标系的旋转矢量 。 顾及旋转矢量是
平移不变量, 旋转关系与坐标矢量相同 。
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z
y
x
Z
Y
X
BB
LBLLB
LBLLB
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00
00000
00000
s i n0c o s
s i nc o sc o ss i ns i n
c o sc o ss i nc o ss i n
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
4、站心地平直角坐标系的应用
(1),计算基线向量的大地方位角
? ? ???
?
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??????
?????
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??
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ZBYLXLB
XLYL
x
yA
0000
0011
c o ss inc o ss in
s inc o st a nt a n
其中,B0,L0为基线始端的纬度和经度。
(2),绕站心系坐标轴的旋转向量有特殊意义
???? ??? yx
?z 相当于平面控制网间的旋转角。
2.4.3 站心地平坐标系及其应用
(4),计算卫星的高度角和方位角
卫星 Q的方位角和高度角可用其站心坐标 xQ,yQ计算。
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QQQQ
Q
Q
Q
Q
Q
AyAx
z
x
y
A
s i nc o s
t a n
t a n
1
1
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2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型
1,Bursa - Wolf 模型
转换参数包括三个平移参数、三个旋转参数与一
个尺度参数。
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Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
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0
0
0
R
R为前面所述的旋转矩阵。当旋
转角为小角度时，上式可简化为：
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1
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0
0
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??X
Y
Z Z?
Y?
X?
O
O?
2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型
略去尺度参数和旋转参数的乘积项，上式可进一
步简化为：
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Z
Y
X
XY
XZ
YZ
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
上式第二式常用于转换参数未知时，利用同
名点在两个坐标系中的坐标计算转换参数。
2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型
上式应用于 Pj,并与上式相减，得 Pi与 Pj两点
坐标差的坐标变换模型如下：
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ij
ij
ij
ij
ij
ij
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YY
XX
XXYY
XXZZ
YYZZ
ZZ
YY
XX
ZZ
YY
XX
ZZ
YY
XX
ZZ
YY
XX
ZZ
YY
XX
0
0
0
0
0
0
2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型
2,Molodensky 模型
如果旋转与尺度是相对于参考点 PK，即以参考点
PK作变换中心。则有 Molodensky 模型。
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K
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K
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XX
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X
Z
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X
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0
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R
旋转角为小角度时，上式可简化为：
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YY
XX
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X
Z
Y
X
Z
Y
X
0
0
0
0
0
0
2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型
上式同样可以简化为求解转换参数的形式如下：
??
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iK
iK
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Y
X
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iKik
iKiK
i
i
i
i
i
i
Z
Y
X
XY
XZ
YZ
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
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0
0
0
0
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其中，
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Ki
Ki
Ki
iK
iK
iK
ZZ
YY
XX
Z
Y
X
相应于 Molodensky模型的坐标差的转换模型与
Bursa-Wolf模型相同。
2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型
3、范士转换模型
若旋转角是围绕参考点的站心地平坐标系的坐标轴，
即为范士转换模型。将三维空间坐标系的旋转角与站心
系旋转角的关系代入 Molodensky模型，即得范士转换模
型如下：
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y
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KKKKK
KKKKK
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iKiK
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iK
iK
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LBLLB
LBLLB
XY
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X
Z
Y
X
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Y
X
Z
Y
X
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s i n0c o s
s i nc o sc o ss i ns i n
c o sc o ss i nc o ss i n
0
0
0
0
0
0
2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型
4、卫星网与地面网之间的转换
卫星网精度高，
地面网平面坐标与高程点不重合。
2.4.5 大地坐标的微分公式
根据大地坐标与三维空间直角坐标间的微分公式：
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T
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i
i
BAJAJ
大地直角坐标的变动是由于原点平移、坐标轴旋转
和尺度变化引起。即：
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0
0
0
0
0
0
代入上式，得大地坐标微分公式。
2.4.5 大地坐标的微分公式
大地坐标微分公式的矩阵形式可表示为：
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0
0
0
1
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0
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T
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TT
i
i
i
BAJAJ
AJAJ
??
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习 题
1、给出站心坐标系的定义。
2、经过哪几步旋转和平移变换，可将站心系坐
标变换到三维空间直角坐标系中。
3、导出两点的大地方位角、距离和天顶距与站
心坐标的关系。
4、三维空间坐标变换有哪几种模型？各种模型
间的差异在哪里？
5、范士变换模型的旋转参数有什么意义？