§ 3.4 平面子午线收敛角和长度比
dl
dy
dl
dx
dy
dx
tgdl
l
y
dydl
l
x
dx ??
?
?
?
?
?
? ?,
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
o
x
y
?
?
dy
dx
平行圈
子午线
沿平行圈纬度不变，求微分得：
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
对高斯投影公式求偏导数，得：
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?????
?
?
?
????
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?????
?
?
4222424
2222
4424
24222
5814185c o s
24
1
1c o s
2
1
1c o s
185c o s
120
1
495c o s
6
1
1s i nc o s
ltttB
ltBBN
l
y
lttB
ltBBlBN
l
x
??
?
??
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
? ?
)242(c o ss i n
15
231c o ss i n
3
s i ntg
424
5
4222
3
ttBB
l
tBB
l
Bl
???
????? ???
代入上式，得：
)2(c o ss i n
15
)231(c o ss i n
3
s i n
5
1
3
1
24
5
422
3
53
tBB
l
BB
l
Bl
tgtgtg
??????
???
??
????
将 ? 展开成 tg? 的级数，得：
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
由此可见,? 是经差的奇函数，在 x 轴为对称轴，
东侧为正，西侧为负。
子午线收敛角在赤道为 0，在两极等于 经差 l,其
余点上均小于 经差 l 。
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式。
,
c o s
dy
y
l
dldy
y
q
dq
dl
dq
B d lN
M d B
tg
?
?
?
?
?
?
??
?
??
P?
y
o
x
?
?
平行圈
L =常数
P
L+dl = 常数
BdlNcos MdB?
P??
P点沿 y轴变化微分长度到 P?点，子午线收敛角可表示为：
沿 y坐标的微分，得：
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
? ?
? ?
? ?
442
5
222
3
542
6
3422
2
5
6
3
42
24285
c o s24
1
)21(
c o s2
1
c o s
1
1 2 01 8 061
c o s1 2 0
465
c o s
642
ytt
BN
yt
BNBNy
l
ytt
BN
t
yty
BN
t
ybybyb
y
q
ff
ff
ff
ffff
ff
ff
f
fff
ff
f
??
?????
?
?
???
?????????
?
?
?
??
y
l
y
qtg
?
?
?
????代入子午线收敛角公式，得：
由高斯投影反算公式求出偏导数，得：
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
代入上式子午线收敛角计算公式，得：
? ?
? ?
542
5
3422
3
53
5
5
342
3
352
15
)21(
3
5
1
3
1
15
2
21
3
ytt
N
t
yt
N
t
y
N
t
tgtgtg
y
N
t
y
N
t
y
N
t
tg
ff
f
f
ff
f
f
f
f
f
f
ff
f
f
f
f
????????
???
?????
??
????
???
将 ? 展开成 tg? 的级数，得：
3.4.2 长度比计算公式
BN
l
y
l
x
BN
G
m 22
22
22
2
c o sc o s
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
由高斯投影长度比的定义式，得：
)2(c o s3)1(c o s1 24
4
2222 tBlBlm ?????? ?
)45(c o s24)1(c o s21 24
4
22
2
tBlBlm ?????? ?
将前面的偏导数代入上式，得：
开方根得用大地坐标表示的长度比公式如下：
3.4.2 长度比计算公式
为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式，反解
高斯投影的 y 坐标正算公式，得：
)1(6c o s 22
3
????? tNyNyBl
4
4
44
22
4
4
2
2
22
c o s
)1(
3
c o s
N
y
Bl
t
N
y
N
y
Bl
?
???? ?
对上式求平方和四次方，得：
3.4.2 长度比计算公式
? ? )41(24121 244222 ?? ????? NyNym
代入用大地坐标表示的长度比公式，得：
2
2
2
2
2
1 ????
N
V
NR
m
4
4
2
2
242
1
mm R
y
R
ym ???
顾及：
代入上式，得：
可见，长度比是 y坐标的偶函数，且只与 y坐标有关。
§ 3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角
ssDds
v
dD
v
dsvdsdD
sD
?????
?
?
??
?
?
??
??
?
?
??
?
?
???
??,21
2
1c o s
0
2
0
2
即：
3.5.1 高斯投影的距离改化
ds
dD
v
ds
dD?
1P
2P
x
y
O
svdsvs s 2 2
2
m a x
0
2
?? ??
椭球面上的大地线投影到
高斯平面上后成为弧线，而在
平面上两点间只能用直线相连，
两线的微分线段间的差异极小，
可表示为：
其中：
3.5.1 高斯投影的距离改化
????? s m d SsDm d SdsdD 0
顾及投影后弧线与直线间的夹角最大不超过 1?，则有：
目前，最高的距离测量精度约为 10-8，弧线与直
线的长度差异完全可以忽略，因此：
)4(6 21 mmmSD M ???
用辛卜生公式数值积分得：
? ?
11
2
2
m a x 102.1
2062652
1
2
????? ??
s
s
3.5.1 高斯投影的距离改化
将长度比公式
代入上式，得：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???????
4
4
2
2
2
2
4
2
44
14
2
2
22
12
24242
1
)4(
24
1
4
2
1
6
6
m
m
mm
m
m
m
m
m
R
y
R
y
R
y
SD
yyy
R
yyy
R
S
D
4
4
2
2
2421 mm R
y
R
ym ???
3.5.1 高斯投影的距离改化
距离改化 ?S可表示为：
???
?
???
? ???????
4
4
2
2
2
2
24242 m
m
mm
m
R
y
R
y
R
ySSDS
其中,? ?
1112 2
1,yyyyyy
m ?????
若距离的两端点离中央子午线都不超过 45公里，
则距离改化公式可进一步简化为：
2
2
2 m
m
R
ySSDS ????
3.5.2 高斯投影方向改化
1、高斯投影曲线的形状
高斯投影曲线的形状是向 x 轴弯曲，并向两极收敛。
O
y
x
3.5.2 高斯投影方向改化
2、高斯投影方向改化
2112360360 ??? ???? ??
S
R
1P
2P
S?
R?
2P?
1P?
x
yO
12?
21?
保角投影前后角度相同，即：
2 21122112
??????? ?????
3.5.2 高斯投影方向改化
将球面角超计算公式代入上式，得：
2122 222 xxR
y
R
F
m
m
m
????? ??
? ?ki
m
m
ik xxR
y ???
22?
考虑到方向值是顺时针方向增加的，考虑
其正负号后，方向改化公式可表示如下：
上式具有 0.1? 的计算精度，适用于三、四等控
制网的方向改化计算。
3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式
12
12
12
1211212
xx
yy
tg T
AT
?
?
?
??? ??
O
y
x
A12
1P
2P
1?
12?
T12
习 题
1,已知某点的坐标,B = 29?04?05.3373?
L = 121?10?33.2012?
计算,1),该点的 3 ?带高斯投影后的中央子午
线收敛角；
2),该点的 3 ?带高斯投影的长度比。
2,已知起始点坐标,x3 = 3239387.624 m
y3 = 40446822.368m
起始平面方位角 T31=192?37?08.51?，
距离 S31=7619.245m,各方向观测值如下：
1~3,0?00?00.00? 2~3,0?00?00.00? 3~1,0?00?00.00?
1~2,257?17?47.71? 2~1,39?51?12.50? 3~2,37?26?36.65?
将上述边长和方向归算到高斯平面上。
3
1
2