§ 5.6 按条件平差解算单导线和导线网
0
1
1
1
1 8 0
0
??????
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?
?
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nTTw
wv
CD
n
i
iABT
n
i
Ti
?
?
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
0
1
1
1 8 0)2(
0
?????
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?
?
nw
wv
n
i
i
n
i i
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?
??
A(1)
B
D
C (n+1)
2 nTAB
TCD1? 1s
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2s
n?
ns
1?n? 1?
2? 3?
n?
1s
2s
3s
ns
2
1
3
n
A?
1、附合导线和闭合导线的条件平差解算
方位角条件
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
纵坐标条件式：
c
n
i
iiAx
x
n
i
x
AC
n
i
ii
xxxw
wv
xxx
ii
?? ???
???
??? ?
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1
1,
1
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1,
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1,
iiiT
iTiiisiiix
iiii
vvvv
vyvTv
TSx
???
????
???
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???
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2
0
1,
0
1,
1,
c o s
c o s
根据误差传播率：
代入上式，得：
0)]([][ c o s
1
0
1,1
0
21
??? ??????? ?
? ?? x
n
i ii
n
i si
wvvvyvT
ii ???
??
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
c
n
i
iiAx
xin
n
i
n
i
si
xxxw
wvyyvT
ii
?? ???
??????
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1,
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1
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0)(
1
c o s
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经整理，得纵坐标条件：
c
n
i
iiAy
y
n
i
in
n
i i
si
yyyw
wvxxvT
i
?? ???
??? ???
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?
?
1
1,
1
00
1
1
0 0)(1s i n
?
?
同理得横坐标条件：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
? ??
???? ???
?
?
?
?
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n
i
iix
x
n
i
in
n
i
si
xw
wvyyvT
ii
1
1,
2
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????
n
i
iiy
y
n
i
in
n
i
si
yw
wvxxvT
ii
1
1,
2
00
1
1
0 0)(1s i n
?
?
同理可得，闭合导线的纵横坐标条件为：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
00
2
0
1
2
1 80)1(
0
1
???????
?????
?
?
nTTw
wv
n
n
i
iT
TTT
n
i
ni
?
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2,无定向导线和单定向导线的平差解算
1 n+1
2 n1T
1s
2?
2s
n?
ns
nT
引入方位角条件未知数 T1,Tn，采用附有未
知数的条件平差模型计算。其条件方程如下：
方位角条件：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
纵横坐标条件：
c
n
i
iiAy
yTnnTnin
n
i
n
i
si
c
n
i
iiAx
xTnnTn
n
i
in
n
i
si
yyyw
wxxxxvxxvT
xxxw
wyyyyvyyvT
nii
nii
?? ???
??????????
?? ???
??????? ???
?
?
???
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?
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?
?
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1
0
1,
00
11
0
1
00
1
21
0
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0
1,
00
11
0
1
2
00
1
1
0
0)(
1
)(
1
)(
1
s i n
0)(
1
)(
1
)(
1
c os
1
1
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
如果只在导线的一端引入方位角未知数 T1，则只
能列出如下两个坐标条件：
c
n
i
iiAy
yTnin
n
i
n
i
si
c
n
i
iiAx
xTnin
n
i
n
i
si
yyyw
wxxvxxvT
xxxw
wyyvyyvT
ii
ii
?? ???
????????
?? ???
????????
?
?
??
??
?
?
??
??
1
1,
0
1
0
1
00
1
11
0
1
1,
0
1
0
1
00
1
11
0
0)(
1
)(
1
s i n
0)(
1
)(
1
c os
1
1
式中：
式中：
?
??
?
??
?
?
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
0
00
1
??
?
??
?
???
?
??
?
?
???
?
???
? ? W
X
K
C
CAAP
T
T
?
0??? WXCAV ?
上述附有未知数条件式的矩阵形式可表示如下：
按附有未知数的条件平差解法，得法方程如下：
0)()( 1111 ?? ???? WAAPCXCAAPC TTTT ?
由第一式，得,? ?WXCAAPK T ??? ?? ?11 )(
代入第二式，得：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
求解上述法方程，得：
111
111
111111
1
11111
)(
][)(
])([)(
])([)(
???
???
??????
?
?????
?
???
???
?
???
TT
C
C
TT
TTTT
T
TTT
AAPCCDJ
WJIAAPAP
WAAPCCDIAAPAP
KAPV
WAAPCCDIAAPK
CAAPCD
WAAPCD
WAAPCCAAPCX
TT
TT
TTTT
11
111
11111
)(
)(
)())((
??
???
?????
?
??
??
式中
?
其中：
进而求得联系数 K和改正数 V如下：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
r
PVV T??
0?
1
1
0
1
0
1
2
00
1
1
0
0
1
0
1
2
00
1
1
0
s i n
c os
T
j
j
i
ij
j
i
siy
T
j
j
i
ij
j
i
six
xx
v
xx
vTv
yy
v
yy
vTv
iij
iij
?
??
?
??
?
?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??????
? ??????
?
?
?
?
1
1
00
1
1
00
)s i n ()(
)c o s ()(
j
i
TisiAyjj
j
i
TisiAxjj
iij
iij
vTvsyvyy
vTvsxvxx
单位权中误差：
坐标改正数：
改正后坐标：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
)()( 0 XXFVLFF XY ?????
0,?XVQ
0)(])([)( 111111111,??? ????????? CDAAPA Q AAAPCCDIAAPAPQ TTTTTTXV
0,?FVQ
)( 0 XXFLFVFF XYY ?????
3,精度评定
平差值函数可表示如下：
可以证明,和
对平差值函数表示式移项，得：：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
T
X
TT
Y
T
Y
TT
X
T
XX
T
YY
T
X
TT
Y
TT
XY
T
YVYF
FCDAAPAPF
FAPAAPCDFFDFFPF
FCDAAPFPAAAPCDFFFQFQ
1111
111111
1111111
)(
)(
])([])([
????
??????
???????
?
???
????
1111
1111
111111111
111111111
1111111
][)(
]][[)(
])()[(][)(
])()[(][)(
)]([][)(
????
????
?????????
?????????
???????
??
???
???
???
???
APJIAAPAP
APJIJIAAPAP
APJAAPAAPAAPJIAAPAP
APAAPJAAPAAPJIAAPAP
APAAPJIAAPJIAAPAPQ
C
TT
CC
TT
C
TTT
C
TT
TT
C
TT
C
TT
TT
C
T
C
TT
V
由协方差传播定律，得：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
T
XX
T
YAY
TTT
YX
TT
YX
T
Y
TT
Y
T
YX
T
X
TT
Y
T
Y
TTTT
Y
T
Y
TT
X
T
Y
TT
Y
T
YYF
GFDGFFJIPF
CAAPAPFFDCAAPAPFF
FAPAAPAIPF
FDFFCDAAPAPF
FAPAAPCCDAAPAPF
FAPAAPCDF
FAPAAPAPFFPFQ
)()()(
])([])([
])([
)(
)()(
)(
])([
11
1111111
1111
11111
1111111
1111
11111
?????
???
??
??
?
?
??
??
???????
????
?????
???????
????
?????
将 Qv 代入上一式，得：
CAAPAPFGAPAAPAJ TTYTTA 111111 )(,)( ?????? ??式中：
5.6.1 单导线的平差解算和精度评定
若是不附加未知参数的纯条件平差模型，则有：
]))([()( 111 LAAAPAPIFVLFF TTYY ???????
0?? WAV条件方程：
平差值函数：
T
YAY
T
Y
TT
Y
T
YY
T
Y
TTTT
Y
T
Y
TT
Y
T
Y
TT
Y
T
YY
T
Y
TTTTT
YF
FJIPF
FAPAAPAPFFPF
FAPAAPAAPAAPAPF
FAPAAPAPF
FAPAAPAPFFPF
FAAAPAPIPAAAPAPIFQ
)(
)(
)()(
)(
)(
))(())((
1
11111
1111111
1111
11111
1111111
??
??
?
?
??
???
?
?????
???????
????
?????
???????
由误差传播定律，得：
5.6.2 导线网的平差解算和精度评定
???????
?
?
?
j
j
j
m
i
i
T
n
W
kmn
W
mm
j
1
2
1
1
2 1
,11 环??
1、按条件平差法解算导线网
(1),条件方程式的个数及组成
条件数 = 3 ?独立闭合环数
+ 2 ?（已知点数 ? 1）
+ 已知方位角数 ? 1
(2),观测值权阵的确定
估算测角中误差
根据测距中误差和估算的测角中误差，确定两者的权比。
5.6.2 导线网的平差解算和精度评定
2,按附加待定参数的条件分区平差法解算导线网
1
21?
1s
2?
2s
n?
ns
1?n?
J
J+1
J+2
在导线网的每个结
点上，引入一对坐标和
一个方位角未知数，将
导线网分解成通过结点
未知数联系的单导线。
?180
0
0
1
1
0
1
1
1,
1,
??????
?????
?
?
?
?
?
?
JJ
n
i
JT
TJJ
n
i
nTvTw
wTTv
j
iJJ
JJ
j
i
?
? ??
其中：
坐标方位角的条件式：
每个导线段可列出 3个条件：
5.6.2 导线网的平差解算和精度评定
?
??
?
??
????
?
?
?
????
????????
??
?
?
j
JJ
JJJj
j
i
j
i
n
i
JiiJy
xJJJnJjiJ
n
i
iJ
n
i
si
yyyw
wyyTxxTxx
vxxvT
1
11,
11
00
1
00
1
1
00
1
1
0
1,
1,
0)(
1
)(
1
)(
1
s i n
其中：
横坐标条件式：
???
?
?
?
?
?
? ????
????????
? ???
?
??
????
?
?
?
?
?
j
JJ
JJJj
j
i
j
i
n
i
JiiJx
xJJJnJjiJ
n
i
iJ
n
i
si
xxxw
wxxTyyTyy
vyyvT
1
11,
11
00
1
00
1
1
00
1
1
0
1,
1,
0)(
1
)(
1
)(
1
c o s
其中：
纵坐标条件式：
???
?
?
?
?
?
5.6.2 导线网的平差解算和精度评定
每个导线段可列出条件方程，如下：
? ?
????
?
?
m
i
i
T
i
iii
T
iii
KA
miWXAKBPB
1
1
0
),,2,1(,0? ??
),,2,1(,0? miWXAVB iiii ??????
按附有未知数的条件平差，组成法方程如下：
5.6.2 导线网的平差解算和精度评定
?
?
??
?
??
???
?
???
???
?
??
?
?
???
?
???
? ?
0
0
?0
1
i
ii
T
i
i
T
iii W
X
K
A
ABPB
?
0))((?)( 1111 ??? ???? iTiiiTiiiTiiiTi WBPBAXABPBA ?
每一段导线的法方程可表示如下：
消去联系数 K，得,
0
1
??
?
m
i i
??i是任意数，满足条件：
5.6.2 导线网的平差解算和精度评定
将 m 段导线的法方程求得的未知参数表示式求和，得：
0))((?]))(([
1
11
1
11 ????
?
??
?
?? m
i i
T
iii
T
i
m
i i
T
iii
T
i WBPBAXABPBA
因此,????
?
???
?
?? m
i i
T
iii
T
i
m
i i
T
iii
T
i WBPBAABPBAX 1
111
1
11 ))((]))(([?
iTiii KBPV 1??
进而计算联系数 Ki 和观测值改正数 Vi
? ? ? ?iiTiiii WXABPBK ??? ?? ?11