5.9 城市及工程控制网平面点位精度的合理评定
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
mmm
mm
mm
kikkiikikkii
yyxy
yyxyyyxy
yxxxyxxx
X
yyyyyyxxxxxxik
qq
qqqq
qqqq
Q
qqqqqqM
???
???
?
?
?
1
111111
111111
1
2
0,,,
2
0,,,
)2()2( ??
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
1、绝对点位误差和相对点位误差的初步概念
绝对点位误差,相对于起始数据
相对点位误差,相对网中与起始数据不同的基准
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
2、相对点位误差的基准数据
相对点位误差的基准数据应该包括,1、
位置基准； 2、方位基准； 3、长度基准
3、独立网的坐标基准和协方差基准
坐标基准,计算待定点坐标的基准数据
协方差基准,估算点位精度的基准数据
若两个基准一致，说明估算的精度是相对于起始点、
起始方位和起始边长所确定的基准，称为绝对精度。
若两个基准不一致，说明估算的精度是相对于协方
差基准所确定的点位、方位与长度基准，称为相对精度。
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
??
??
??
000c o ss inc o ss in
0100000
0010000
0?
0?
12121212
1
11
11
TTTT
G
XG
PlAKGXN
T
T
T
?
?
4、协方差基准的性质
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmm
mm
mm
yyxy
yyxyyyxy
yxxxyxxx
X
qq
qqqq
qqqq
Q
???
???
?
?
?
1
111111
111111
1
m个点的协因数
阵，其秩为 2m-d，
其协因数阵可表示
为：
按附有基准条件的平差模型：
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
0
00)(
)()(
)()(
)(
111
1
111
1
1
11
1
11
1
11
1
11
1
111
1
1
??
??
????
???
??
?
??
??
?
GQGQ
GGGGQ
QGGGGGGGN
GGNNGGNQ
PlAGGNX
X
E
T
E
E
TT
EE
T
TT
X
TT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
0)
)(
0)(
)()()()(
0
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
111
1
1
1
T
E
T
E
E
T
E
T
E
T
E
E
T
E
T
E
T
EE
T
E
T
T
GGG
GGGQ
GGG
GGGGGGGGGGGN
G
GN
顾及法方程逆阵关系：
法方程的解可表示为：
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
0,,0 0
0
1
0
11 1
2
0 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tmt yyyxX
qqGQ ??
1)、协方差位置基准的性质
0,,0 0
0
0
1
11 1
2
0 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tmt xyxxX
qqGQ ?? 即：
即：
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
c o s
s i n
c o s
s i n
0
0
0
0
c o s
s i n
c o s
s i n
12
12
12
12
2
2
0
12
12
12
12
2
2
0
2221212
22221212
21211111
21211111
2221212
22221212
21211111
21211111
T
T
T
T
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
T
T
T
T
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
yqxqyqxq
yqxqyqxq
ypxpypxp
ypxpypxp
yyxyyyxy
yxxxyxxx
yyxyyyxy
yxxxyxxx
?
?
0
1
0
0
1
2
0 1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
GQ X?
2)、协方差方位基准的性质
方位基准
点 1,2的协
方差满足：
任意点 p,q
与 方位基准
点 1,2的协
方差满足：
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
0]))(([)(
])([)(
)()(
))((
1
1
111
1
22
1
1
111
1
22
11
1
22
1022
?????
????
???
???
??
??
?
PlAGGGGIPlAGGN
PlAGGNNPlAGGN
XAlPAGGN
LXXfPAQX
TT
E
T
E
TT
TTTT
TT
T
?
??
5、在不同协方差基准下的协方差转换关系 0
22 ?XG T ?
新协方差基准下的条件方程：
变换基准后的坐标保持不变，
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
))(())((
)()()(
)(
)(
)(
)()(
)()(
1
222
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
22
1
22
2
1
22
1
22
1
212212222
1
1
22222
2
2
T
E
T
EX
T
E
T
E
XXXXXXXXX
X
T
E
T
EX
XX
T
E
T
EXXX
T
E
T
EX
T
EE
TT
EE
T
TT
X
GGGGIQGGGGI
NQQNQQNNQQNQQQ
NNNQ
GGGGINQ
QQGGGGQNQQ
GGGGINQ
GGGGGGGGN
QGGNNGGNQ
??
?
?
?
??
??
???
???
?
??
???
??
???
????
变换基准后的协方差变换公式：
5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度
0
][][
c o ss i nc o ss i n0
00100
00010
101010
010101
0,0,0
2
22
2
2211
2
2
122
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????
?
?
???
GQ
FFQGGIQGGIQ
TTTT
G
xyxyxy
G
IGG
AGNGNG
X
T
X
T
eX
T
eX
ijijijij
T
mm
T
e
e
T
T
e
T
ee
??
??
??
?
?
?
简化表示式：
5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定
iiii
ii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiii
yyxx
yx
i
yxyyxxyyxxi
yxyyxxyyxxi
yyxxyxi
qq
q
tg
qqqqqB
qqqqqA
qqmmM
?
??
?????
?????
????
2
2
]4)([
2
]4)([
2
2
2
02
2
2
02
0
22
?
?
?
1、绝对点位误差的表示
5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定
???
?
???
?
????????
????????
? 10c o ss inc o s1s in
01c o ss inc o ss in1
ijkijkijkijk
ijkijkijkijk
k TxTxTxTx
TyTyTyTy
F
2、相对点位误差计算的简便公式
T
k
kji
Xk
k
X FQFQ
),,()(
12 ?
其中：
若 为协方差 Qx1中与 i,j,k有关的子集构成的协方
差阵，则以 i 点为位置基准,i,j 方向为方位基准的 k点的
协方差阵可表示为：
? ?kjiXQ,,
1
5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定
kji
yy
kji
xx
kji
yx
k
kji
yx
kji
yy
kji
xx
kji
yy
kji
xxk
kji
yx
kji
yy
kji
xx
kji
yy
kji
xxk
kji
yy
kji
xxk
kji
yy
kji
xy
kji
yx
kji
xxk
ji
k
ji
qq
q
tg
qqqqqB
qqqqqA
qqM
qq
qq
QD
,,,,
,,
,,2,,,,,,,,
2
02
,,2,,,,,,,,
2
02
,,,,
0
,,,,
,,,,
2
0
)(
,
2
0,
2
2
])([
2
])([
2
????
??
??????????
??????????
????
????
????
?
?
?????
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
相对误差椭圆元素可表示为：
5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
??
??
????????
????????
???
?
0
0
0c o ss i nc o s1s i n
c o ss i nc o ss i n10
00s i nc o ss i ns i nc o ss i n
c o ss i nc o sc o ss i nc o s0
000000
000000
0c o ss i nc o s1s i n
0c o ss i nc o ss i n1
)(
22
22
111122
1111
2
???
?
?
???
?
?
ijkijkijkijk
ijkijkijkijk
ijijijijijij
ijijijijijij
ijijijiji
ijijijij
T
e
TxTxTxTx
TyTyTyTy
TTTTTT
TTTTTT
TxTxTxTxI
TyTyTyTy
GGIF
公式验证：
5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定
0
c o s
s i n
c o s
s i n
0000
0000
s i ns i nc o s00
s i nc o sc o s0
s i ns i nc o s00
s i nc o sc o s00
0000
0000
c o s
s i n
c o s
s i n
0
0
2
2
2
2
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ij
ij
ij
ij
ijijij
ijijij
ijijij
ijijij
ij
ij
ij
ij
T
T
T
T
T
TTT
TTT
TTT
TTT
T
T
T
T
IF
????
??
0)c o ss inc o ss in(
0
0
)00(
,
44
,
2
12
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
T
ijijijij
ji
X
T
X
ji
X
TTTTQ
IFFQIQ
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
XXXY VlXAYA ??? ??
1、两类半动态公式的比较和分析
若 X为本级网坐标,Y为高级网坐标,Y*为上级网
的平差值,QY*为其协方差阵。本级网的误差方程：
权,PLX
半动态法的原则：上级网的坐标不便，即,?Y=0，
但其协方差阵要发生变动。
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
11 )(,?? ???????? TYYYLXLXXYXXX AQAPPVYAVlXA ??
1)、第一类半动态法的精度估算公式
误差方程式：
0)()( 1111 ???? ???? XTYYYLXTXXTYYYLXTX lAQAPAXAAQAPA ?法方程式：
法方程的解：
111
11
])([
))((
???
??
???
????
XLX
T
YYLX
T
YYYLX
T
XXLX
T
XX
XLX
T
YYLX
T
YYYLX
T
XLX
T
XX
APAAPAQAPAAPAQ
lPAAPAQAPAPAQX?
111
11
])([
)(
???
??
??
???
X
T
YYYLX
T
XX
X
T
YYYLX
T
XX
AAQAPAQ
lAQAPAQX?
LXTYYLXTYYYLXLXTYYYLX PAAPAQAPPAQAP 1111 )()( ???? ????
顾及矩阵反演公式：
则，法方程的解可表示为：
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
? ? ? ? ? ? 1111 ???? ?? XLXTXXLXTYYYLXTXXLXTXXLXTXX APAAPAQAPAAPAAPAQ
由矩阵求拟定理，得：
? ?? ? 111 ??? ??? ? YLXTXXLXTXXLXTYYLXTYYY APAAPAAPAAPAQQ
其中：
对应于动态解的精度估式，不符合半动态的本意。
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
T
YYYLXlX
XYX
AQAQQ
LdYAYXFl
??
??? **0 ),(
)),((][][ 0*11 XLXTXXLXTXXLXTXXLXTX LXYFPAAPAlPAAPAX ????? ???
1)、第二类半动态法的精度估算公式
以 PLX 作为观测权平差，则解为：
111
11
11
][)(][
][][
???
??
??
??
??
?
XXLX
T
YYYLX
T
XX
XLX
T
XXLX
T
YYYLXLX
T
XXLX
T
X
XLX
T
XXLXlXLX
T
XXLX
T
XX
NAPAQAPANN
APAAPAQAQPAAPA
APAAPQPAAPAQ
在估算精度时考虑上
一级网的影响，有：
由协方差传播定律，得：
11212)( ??? ?? XXLXTYYYLXTXXyXx NAPAQAPANNXD ??
两期控制网采用不同的单位权方差因子，得：
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
1*12
*121
)(
)(
??
??
????
????
XYLX
T
XXYLX
T
XYYYX
YLX
T
XXYYYLX
T
XXXV
NAPAYDNAPAQD
YDAPANQAPAND
?
?
2、统一协方差基准下多级控制网的精度评定
1)、两级控制网网点间的协方差阵
???
?
???
?
??
??
???
?
???
??
???
?
???
?
????
?
1*112*1
1****
)()(
)()(
)(
)(
XXLX
T
YYLX
T
XXXxYLX
T
XX
XXLX
T
X
XY
YX
NAPAYDAPANNYDAPAN
NAPAYDYD
XDD
DYD
X
YD
?
2)、相对于上级网基准的协方差阵
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
2、多级控制网协方差阵逐级扩充
211
1
)()()(
)(
0
Z
T
ZZZZ
T
ZZZ
ZLZ
T
Z
T
ZZZ
T
Z
ZZZ
GGNNGGNZD
lPGGGNZ
ZG
VlZC
?
?
?
?
??
?
???
??
?
??
1)、首级网点的协方差阵
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
???
?
?
???
?
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
1
1
1112
1
YDD
DZD
Y
Z
D
NBPBZDD
ZDBPBND
NBPBZDBPBNNYD
lPBBPBY
VlYBZB
YZ
ZY
YYLY
T
ZZY
ZLY
T
YYYZ
YYLY
T
ZZLY
T
YYYY
YLY
T
YYLY
T
Y
YYYZ
?
?
??
1)、协方差阵的逐级扩充
扩充到二级网：
5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
1111
1
),(),( XXLX
T
Y
T
Z
YZLX
T
XXXYZLX
T
XX
XXLXT
Y
T
Z
NAP
A
A
Y
Z
DAAPANN
Y
Z
DAAPAN
NAP
A
A
Y
Z
D
Y
Z
D
X
Y
Z
D
XLX
T
XXLX
T
X
XYXYZ
lPAAPAX
VlXAYAZA
1][ ???
????
?
???
扩充到三级网：
5.9.4 多级平面控制网的相对点位精度的合理评定
2222 )(
?
ik
ikikik
T
iksyyxxik
msmmmM ????
??
1、评定相对点位精度的两个问题
通常的评定方法：
1)、协方差基准问题
2)、顾及起始数据的影响
5.9.4 多级平面控制网的相对点位精度的合理评定
2、多级控制网相对点位精度的评定
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
????
10c o s1s in
01c o ss in1
211211
211211
1
)1,3,2()1,3,2(
1
)1,3,2()1,3,2(
)1,3,2()1,3,2(
1
)1,3,2(
1
)1,3,2(1
3,2
12
TxTx
TyTy
F
ddM
dd
dd
FDFDD
yyxx
yyxy
yxxxT
XX
1)、顾及起始数据影响，在首级网协方差基准下评定
2)、将首级网协方差基准变换到所需的协方差基准
计算公式上节所述。
习 题
1、相对误差的基准应考虑哪些？
2、绝对误差的坐标基准与协方差基准有何特点？
3、给出基准改变后坐标协方差阵的变换公式。
4、采用半动态法计算加密控制网的坐标和精度有何
优点：