5.8.3 按单点法确定区域性椭球元素及其位置
??? 00 hH
????? hH
若测区高程异常为 ?，位置基准点处正常高为 h0,，大地高为：
1、仅改变已知椭球的长半径
（ 1）、由测区平均曲率半径的变动量求长半径
投影面的正常高为 ?h,投影面 到已知椭球面的垂问距离：
)c o s1(1s i n1
1
0
222
0
22
2
0
00
Bee
a
Be
ea
R
HRR
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?
?
?
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则椭球面在位置基准点 处的平均曲率半径为：
其中：
0P
长半径的变化量则为：
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?
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2
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0
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0
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s in1c o ss in
e
Be
HHH
LLL
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BeBBe
BBB改变长半径后,位置基准点大地坐标变化为
位置基准点上法线方向的变动量为：
??
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B
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LB
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任意点大地坐标的变化为：
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Be
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ii
iii
iii
ii
iii
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22
0
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11,eeaaaa ????????
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0
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2
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0
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c o ss i n
BeH
L
BeHM
BBe
B
位置基准点 处的大地坐标变动量为：
(2)、直接以投影面到椭球面距离 ?H
为 长半径变化量
0P
??????
??
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ii
i
iii
ii
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BeH
L
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BBe
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22
22
2
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c o ss i n
在位置基准点 上仍有垂向偏差：
2/s i n 0220 HBeH ?????
任意点的大地坐标变化量为：
0P
? ?
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0
0
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0
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00
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000
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位置基准点上法线方向的变动量为：
(3)、以 ?H/W作为长半径变化量
10
22
1,s in1 eeBeaaaa ?????????
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位置基准点处的大地坐标变动量为：
任意点的大地坐标变化量为：
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Be
Be
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i
i
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ii
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位置基准点处的垂向偏差为零，法线方向的变动量为,。
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H
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LB
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X
Y
Z
L
B
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P
Q
椭球沿 点的法线方向平移
hHhH ????? 000
2、仅改变椭球中心位置，并不改变定向及元素
则椭球中心的平移量为
0H?
0P
0000000,,????????? HHLLBB
平移后,点的大地坐标为,
0
2
0
2
0
0 2
)(
2
)(c o sc o s ??
??
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? ??????? BBLLBB ii
ii?
平移后，各点的椭球面与投影面的偏差为：
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ii
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i
i
坐标原点平移后的大地坐标为：
0P
H?
H?
3、改变长半径及偏心率,不改变椭球定位和定向
00
2
0000
2
10
000000000
000000000
s i n))1((s i n])1([
s i nc o s)(s i nc o s)(
c o sc o s)(c o sc o s)(
BHeNBHeN
LBHNLBHN
LBHNLBHN
?????????
???????
???????
若改变椭球长半径和偏心率，保持 点的三维空间坐
标不变，则有关系式：
2
00
02
1
000
e
N
N
e
NN
???
?
?????
由前面两式得出：
代入第三式，得出：
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2
1
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0
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01 s i n1 ?
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HN
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HNWNa
0P
0
0
2
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1
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eeee ?????
则偏心率和长半径的变动量为：
? ?hhH
Be
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WNWNaaa
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0
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大地坐标的变化为：
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入
可
得
，
起
始
点
可知位置基准点 的大地经纬度保持不变，可
称之为 E3的椭球面在 点 与投影面完全相合 。
0P
0P
5.8.4 按多点法确定最优确定区域性椭球
1、按多点法调整已知椭球定向和定位的原理
1)、垂线偏差分量与空间直角坐标系旋转角的关系
在 点处,E3椭球面与投影面倾斜角的子午和 卯酉 分量
（ ?,? ） 即 站心地平坐标系中绕正北及正东的两个旋转角 。
且有：
???? ??? yx,
向旋转到垂线方向，可证它们与空间直角坐标系中三个旋
转角之的关系式为：
0P
，经两次旋转后可由法线方
?
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任意点坐标的平移旋转变换公式
使旋转中心处
2)保持旋转中心 坐标不变的平移量的求定
? ? ? ?/0/0/0000 ZYXZYX ?
3)、旋转后大地坐标的变动量
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jjj
iiiii
ii
iiiii
j
z
y
x
jj
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jj
jj
j
jjjj
jjj
式中：
5.8.4 按多点法最优确定区域性椭球
????
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jjj
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)s i ns i n)(s i n (s i nc o s[
00000
000
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1
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2
1
由第三式得出 大地高变动量与两个旋转角之间
的关系式
)( hhHl jjj ????
???
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E3椭球面与投影面的 垂 距为：
两次旋转后 的 垂 距 则 为,
LAAA TT 1)( ???
将 代入上式得,? ?? ? ??????
jTjjjjj aFFFFH ???????? ????
最小二乘解得：
转换后的三维空间坐标：
2、调整已知椭球的定向和定位的方法
22
1
2
212
1
2
2
1
22
1
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?????
?
其中，
其中，
3、按多点法确定区域性椭球元素
4、多点法的应用实例
宁波市的城市首级 GPS控制网共有 88个点，控制面积
约为 10000km2,其地方独立坐标系以似大地水准面为投影
面，网中有 12个大致均匀分布测区并具有已知正常高的
GPS点，以位于测区中心附近的一点为旋转中心，与按
单点定法相比较，采用多点定位法所确定的区域性椭球
面与投影面之间的最大偏差由 1.8m减小到 0.13m 。则使
RTK技术亦能用于测定地形点高程。 GPS辅之以最优区
域性椭球，有希望成为一种水准测量的替代手段，由其
所得结果来看，亦是在实现局部区域大地水准面的精化，
只是它与通常的大地水准面精化手段不同，它不需要重
力数据，不需要大地水准面模型，亦不必作地形改正，
因此更为简易可行。
参考文献
1.施一民,周拥军,张文卿,用定向定位调整法确定区域性椭球面,测绘学报,
2002（ 2)
2.施一民, 张文卿, 施宝湘, 提高 GPS水准解算精度的一种新方法,同济大学
学报,2000 (4)
3施一民,适用于独立网的区域性椭球的研究,解放军测绘学院学报, 1994，
11(2)
4.刘大杰,施一民,过静王君,全球定位系统的原理与数据处理, 同济大学出版
社,1996
5.施一民,论测量控制网定位的各种处理方法,同济大学学报,2002（ 11）
6.施一民, 按单点和多点法确定区域性椭球空间位置及元素的分析论证,同济
大学学报, 2004,（ 5）
7.施一民,建立区域性坐标系问题的我见,测绘工程,2000,9（ 1）
8.施一民,张文卿,区域性椭球元素的最佳确定,测绘工程,2000,9(3)
9.施一民,李健, 张文卿, 周拥军,地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的
确定, 测绘通报,2001（ 9）
10.施一民, 单点和多点法确定区域性椭球空间位置及元素,同济大学学报,
2004,32（ 5）
习 题
1、为什么 GPS控制网 要选择区域性椭球？而常规控
制网计算时只强调投影面？
2、比较几种区域性椭球计算方法的优劣？
3、试述多点法的原理与实施步骤。其应用前提是什
么？
4 按单点法改变已知椭球长半径后，所得的各点的大
地经纬度与已知椭球面上的大地经纬度是否相同？
进行高形斯投影时应采用哪一种大地经纬度？
??? 00 hH
????? hH
若测区高程异常为 ?，位置基准点处正常高为 h0,，大地高为：
1、仅改变已知椭球的长半径
（ 1）、由测区平均曲率半径的变动量求长半径
投影面的正常高为 ?h,投影面 到已知椭球面的垂问距离：
)c o s1(1s i n1
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0
22
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0
00
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?
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则椭球面在位置基准点 处的平均曲率半径为：
其中：
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长半径的变化量则为：
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位置基准点 处的大地坐标变动量为：
(2)、直接以投影面到椭球面距离 ?H
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在位置基准点 上仍有垂向偏差：
2/s i n 0220 HBeH ?????
任意点的大地坐标变化量为：
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c o s
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(3)、以 ?H/W作为长半径变化量
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任意点的大地坐标变化量为：
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Be
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LB
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Q
椭球沿 点的法线方向平移
hHhH ????? 000
2、仅改变椭球中心位置，并不改变定向及元素
则椭球中心的平移量为
0H?
0P
0000000,,????????? HHLLBB
平移后,点的大地坐标为,
0
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0
2
0
0 2
)(
2
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ii?
平移后，各点的椭球面与投影面的偏差为：
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BHN
BLL
HM
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B
H
L
B
iii
iii
i
ii
iii
i
i
i
i
i
i
坐标原点平移后的大地坐标为：
0P
H?
H?
3、改变长半径及偏心率,不改变椭球定位和定向
00
2
0000
2
10
000000000
000000000
s i n))1((s i n])1([
s i nc o s)(s i nc o s)(
c o sc o s)(c o sc o s)(
BHeNBHeN
LBHNLBHN
LBHNLBHN
?????????
???????
???????
若改变椭球长半径和偏心率，保持 点的三维空间坐
标不变，则有关系式：
2
00
02
1
000
e
N
N
e
NN
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由前面两式得出：
代入第三式，得出：
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eeee ?????
则偏心率和长半径的变动量为：
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Be
Be
WNWNaaa
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大地坐标的变化为：
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代
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得
，
起
始
点
可知位置基准点 的大地经纬度保持不变，可
称之为 E3的椭球面在 点 与投影面完全相合 。
0P
0P
5.8.4 按多点法确定最优确定区域性椭球
1、按多点法调整已知椭球定向和定位的原理
1)、垂线偏差分量与空间直角坐标系旋转角的关系
在 点处,E3椭球面与投影面倾斜角的子午和 卯酉 分量
（ ?,? ） 即 站心地平坐标系中绕正北及正东的两个旋转角 。
且有：
???? ??? yx,
向旋转到垂线方向，可证它们与空间直角坐标系中三个旋
转角之的关系式为：
0P
，经两次旋转后可由法线方
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任意点坐标的平移旋转变换公式
使旋转中心处
2)保持旋转中心 坐标不变的平移量的求定
? ? ? ?/0/0/0000 ZYXZYX ?
3)、旋转后大地坐标的变动量
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jj
j
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jjjj
jjj
iiiii
ii
iiiii
j
z
y
x
jj
jj
jj
jj
j
jjjj
jjj
式中：
5.8.4 按多点法最优确定区域性椭球
????
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BBLLBBHN
BNBNLLBe
LLBHN
BNBNLLBBedH
jjj
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)s i ns i n)(s i n (c o s[
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)s i ns i n)(s i n (s i nc o s[
00000
000
2
1
000
0000
2
1
由第三式得出 大地高变动量与两个旋转角之间
的关系式
)( hhHl jjj ????
???
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E3椭球面与投影面的 垂 距为：
两次旋转后 的 垂 距 则 为,
LAAA TT 1)( ???
将 代入上式得,? ?? ? ??????
jTjjjjj aFFFFH ???????? ????
最小二乘解得：
转换后的三维空间坐标：
2、调整已知椭球的定向和定位的方法
22
1
2
212
1
2
2
1
22
1
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1
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??
?????
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其中，
其中，
3、按多点法确定区域性椭球元素
4、多点法的应用实例
宁波市的城市首级 GPS控制网共有 88个点，控制面积
约为 10000km2,其地方独立坐标系以似大地水准面为投影
面，网中有 12个大致均匀分布测区并具有已知正常高的
GPS点，以位于测区中心附近的一点为旋转中心，与按
单点定法相比较，采用多点定位法所确定的区域性椭球
面与投影面之间的最大偏差由 1.8m减小到 0.13m 。则使
RTK技术亦能用于测定地形点高程。 GPS辅之以最优区
域性椭球，有希望成为一种水准测量的替代手段，由其
所得结果来看，亦是在实现局部区域大地水准面的精化，
只是它与通常的大地水准面精化手段不同，它不需要重
力数据，不需要大地水准面模型，亦不必作地形改正，
因此更为简易可行。
参考文献
1.施一民,周拥军,张文卿,用定向定位调整法确定区域性椭球面,测绘学报,
2002（ 2)
2.施一民, 张文卿, 施宝湘, 提高 GPS水准解算精度的一种新方法,同济大学
学报,2000 (4)
3施一民,适用于独立网的区域性椭球的研究,解放军测绘学院学报, 1994，
11(2)
4.刘大杰,施一民,过静王君,全球定位系统的原理与数据处理, 同济大学出版
社,1996
5.施一民,论测量控制网定位的各种处理方法,同济大学学报,2002（ 11）
6.施一民, 按单点和多点法确定区域性椭球空间位置及元素的分析论证,同济
大学学报, 2004,（ 5）
7.施一民,建立区域性坐标系问题的我见,测绘工程,2000,9（ 1）
8.施一民,张文卿,区域性椭球元素的最佳确定,测绘工程,2000,9(3)
9.施一民,李健, 张文卿, 周拥军,地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的
确定, 测绘通报,2001（ 9）
10.施一民, 单点和多点法确定区域性椭球空间位置及元素,同济大学学报,
2004,32（ 5）
习 题
1、为什么 GPS控制网 要选择区域性椭球？而常规控
制网计算时只强调投影面？
2、比较几种区域性椭球计算方法的优劣？
3、试述多点法的原理与实施步骤。其应用前提是什
么？
4 按单点法改变已知椭球长半径后，所得的各点的大
地经纬度与已知椭球面上的大地经纬度是否相同？
进行高形斯投影时应采用哪一种大地经纬度？
