§ 5.7 边角网的按坐标参数平差
22 )()(
jijiski yyxxvS ki ?????
5.7.1边角网平差中误差方程式的列立
1、边长观测值误差方程式
ikskikkikiikiikik
lyTxTyTxTv ?????? ???? 0000 s i nc o ss i nc o s
上式也可写为，
线性化可得：
kisikiikikkikkiki lyTxTyTxTv ?????? ????
0000 s i nc o ss i nc o s
kikikikikis syyxxssl ki ??????? 2002000 )()(其中，
5.7.1边角网平差中误差方程式的列立
kiikiikikkikkikki
kkii
kkii
kkkiki
lybxaybxazv
xxxx
yyyy
ar c t gzZvL
???????
???
???
????
????
??
??
)()(
)()(
00
00
0
1 ? ki p
)(
)(
)()(
)()(
45,
1 00
c o s
,
1 00
s i n
)()(,
00
1
00
10
1
0
0000
0000
0
00
00
0
0
0
0
0
20020000
k
k
kk
kiki
kiki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
kikikikkikiki
xx
yy
a r ct gTZ
xxyy
xxyy
a r ct gT
xx
yy
a r ct gT
s
T
b
s
T
a
yyxxsZLTl
?
?
??
????
???
??
?
?
?
??
??
??
?
???????
?
??2、方向观测值误差方程式
5.7.1边角网平差中误差方程式的列立
? ??
?
n
i kikik
LTnZ
1
00 )(1
ikikiikikkikkii
ikkikkikiikiikiik
lybxaybxaz
lybxaybxazv
???????
???????
????
????
)(
)()(
1,1,11,11,
11,11,1,1,1,1,
1,1,1,1
??????
????????
????
????
??????
??
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkk
llybxa
ybxaybbxaa
vvv
?
????
定向角未知数的近似值也可用下式计算：
对向观测方向 ik的误差方程为：
角度为两个方向之差，其误差方程式为：
5.7.1边角网平差中误差方程式的列立
)1(
)1(
)1(
1
22212222
11111111
????????
????????
????????
kkkkkkk knknyknknkknkknkkn
kkykkkkkkkk
kkykkkkkkkk
plxbxaybxazv
plxbxaybxazv
plxbxaybxazv
????
????
????
??
? ? ? ? )1( )(
)1(
)1(
)1(
1111
1
22212222
11111111
k
k
n
i
ki
n
i
ikiikik
n
i
kik
n
i
kik
knknyknknkknkknkn
kkykkkkkkk
kkykkkkkkk
n
plybxaybxav
plxbxaybxav
plxbxaybxav
plxbxaybxav
kkkk
kkkkkkk
?????? ???????
????????
????????
????????
????
????
????
????
????
??
一个测站 nk 个方向的误差方程为：
消去定向角未知数的等效误差方程可表示为：
(1),消去定向角未知数
5.7.1边角网平差中误差方程式的列立
j
j
n
i
ji
j
n
i
ijiiji
j
i
n
i
ji
j
i
n
i
ji
j
j n
vl
nxbxanxbnxanz
jjjj ?
????
?
?
???
? ??
???
?
???
??
???
?
???
?? ????
???? 1111
1)(111 ????
ikikiikikkikkiik
kiikiikikkikkiki lxbxaxbxav lxbxaxbxav ?????? ?????? ???? ????
求得坐标改正数后，可利用下式计算定向角未知数。
(1),合并对向观测误差方程式
两个对向观测的误差方程式为：
)2( 2 ??????????? kiikkiikiikikkikkiki pllxbxaxbxav ????
p
plybxav ][?????? ???
可合并成等效误差方程如下：
对多个误差方程,则合并为：
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
1、控制网秩亏问题的实质及基准数据的引入
秩亏的实质是缺少必要的基准数据。各类控制
网的必要基准数据如下：
水准网,1
平面控制网,4
三维控制网,7
四维控制网,11
消除秩亏只能靠引入基准数据，不同的基准引入
方法对应于不同的计算方法。
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
(1),引入作为固定值的基准数据
固定基准数据的数目不能少于必要的基准数据。
如果等于必要基准数据，称为独立网，如果超过必要
基准数据，称为附合网 。
(2).引入作为加权位置约束的基准数据
将坐标参数分成两组，分别对应于基准数据坐标
m1与待定点坐标 m2 ； m1 ? d。
(3),基准数据 用于拟合（伪逆法）
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
相应的误差方程可表示为：
???
?
???
?
???
?
???
???
?
??
?
??
???
?
???
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???
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???
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111
,0?
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0
2
121
X
L
Xm P
P
V
Vl
X
X
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AA ?
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X
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X
X
APAAPA
APAAPAP
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L
T
L
T
L
T
L
T
L
T
x
L
T
L
T
L
T
L
T
L
T
L
T
x
2
1
1
2212
2111
2
1
2
1
2
1
2212
2111
1
1
?
?
0
?
?
?
?
其法方程及其解为：
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
(3),基于伪逆（ Moore-penrose广义逆）的平差定
位
广义逆对应于最小范数解。
(4),附加基准方程消除秩亏
0
0
?
0
???
?
?
???
??
???
?
???
?
???
?
???
? PlA
K
X
G
GPAA T
T
T ?
一般形式的基准方程为,0? ?XG T ?
与误差方程一起组成的法方程为：
解为,??
?
?
???
?
???
?
???
???
???
?
???
? ?
00
? 1 PlA
G
GPAA
K
X T
T
T?
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
个点第 t
000c oss i nc oss i n
0100000
0010000
12121212
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
TTTT
G
T
B
3)(R a n k
101010
010101
00000101
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
dG
yyxyxy
G
E
mmii
T
E
??
??
??
以一点、一方位作为基准的系数矩阵
相应于伪逆解的系数矩阵
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
2、边角控制网附加基准方程的求解
(1),基于伪逆的求解
m in?ETE XX ??
0,0 ?? ETEETE XGGX ??
伪逆求解的附加条件：
即：
顾及伪逆解与独立网解的关系。
BEE XGX ??? ??
0)( ?ETE XXdd ???附加条件等价于：
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
0,0 ??? EETE NGP A GAAG
基准矩阵与误差方程系数阵和法方程系数阵之间满足条件：
???
?
???
?
???
?
???
???
???
?
???
? ?
00
? 1 PlA
G
GPAA
K
X T
T
E
E
T
E?附加基准方程的求解公式：
令,??
?
?
???
??
???
?
???
? ?
EE
T
EE
T
E
E
RU
UQ
G
GN 1
0
则有,?
?
??
?
??
???
?
???
?
???
?
???
?
I
I
RU
UQ
G
GN
EE
T
EE
T
E
E
0
0
0
PAAN T?
1
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
展开上式，得：
IUG
QG
RGNU
IUGNQ
T
E
T
E
E
T
E
EE
T
E
mEEE
?
?
??
??
0
0
2
TEETEEETEETE GGGUGGGU 11 )(,)( ?? ??取,满足第四式。
0,0,0 ??? EEETEEE RRGGRG 即：代入第二式，得：
代入第一式，并顾及第三式，得：
TEETEETEEETEE GGGGGGGGNQ 11 )()( ?? ???
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
00)(
)()()(
0
1
111
PlA
GGG
GGGGGGGGGGGN
PlA
RU
UQ
K
X
T
T
EE
T
E
E
T
EE
T
EE
T
EE
T
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T
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PlAGGN
PlAGGGGGGGGNX
PlAGGGK
T
E
T
E
TT
EE
T
EE
T
EEE
T
EE
TT
EE
T
E
1
11
1
)(
])()[(
0)(
?
??
?
???
????
???
?
方程 的解可表示为：1
展开，得：
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
11 )()( ?? ??? ETEETEX GGNNGGNQ
E
估值的精度：
T
EE
T
EE
T
E
T
E
T
EE
T
EEE
T
E
GGGGGNG
GGGGINGGN
11
11
)()(
)()(
??
??
??
???
E
T
EE
T
EE
T
EEE
T
E
E
T
E
T
EE
T
EEX
QGGGGGGGGN
GGNGGGGIQ
E
????
???
???
??
111
11
)()()(
)]()([
TEETEEE GGGGINQ 1)( ???
顾及：
则，估值的精度为：
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
0
0
0
0
0
02
0
02
0
01
0
01
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
s
x
s
y
s
x
s
y
s
x
s
y
mmm
mmm
G
mm
T
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??
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???
????
m
i
ii
m
i
i
m
i
iii
m
i
iii
yxss
y
m
yyx
m
xx
1
2
0
2
0
1
2
0
1
000
1
000
)(
1
,
1
基准矩阵的标准化,IGG
T ?00
重心化
坐标为：
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
B
T
EE
T
BB
T
EE
T
BB
T
BB
T
BBX
TT
BBB
T
EE
T
BB
T
EE
T
BBB
B
T
EB
T
EB
BB
T
BB
T
B
B
T
B
QGGGGGGGGN
GGNNGGNQ
PlAGGNX
GGGGGGGGNQ
R
GGGU
RU
UQ
G
GN
m
G
N
R a n g
B
????
???
??
???
?
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?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
??
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??
?
?
11
11
1
11
1
1
)()(
)()(
)(
)()(
0
)(
0
2
?
(2),固定必要基准数据（按独立网）情况下的求解
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
11111
11111
11111111
)(
)()(
)()(
0
?????
?????
????????
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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c
T
ccc
T
cccccX
c
T
c
T
ccc
cc
T
cc
cc
T
cc
T
ccc
T
c
cc
T
cccc
T
ccc
T
cccc
T
c
cc
c
T
c
cccc
NGGNGGNNQQ
WUPlAQX
RU
UQ
GNGNGGNG
GNGGNNGGNGGNN
G
GN
WXG
VlXA
c
?
?
(3),所固定的基准数据多于必要基准数据情况下的求解
5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法
(4),精密边角控制网基准数据的实际选取
根据实际情况选取。