5.4 平差前各类观测值的归算改化与质量检核
2
32
12
2
2
2
2
12
2
24
)()1.(
R
hS
R
H
R
HhSD mm ??????
)1(2122 RHhSD m???
)1(c o s RHSD m?? ?
5.4.1 电磁波测距边归算至高斯平面上边长
1、电磁波测距边归算至投影面上
一般可简化为：
当观测斜距和垂直角 ? 时：
5.4.1 电磁波测距边归算至高斯平面上边长
2、投影面上边长归算到高斯平面上
距离改化公式：
??
?
?
??
?
?
???????
4
4
2
2
2
2
24242
m
m
mm
m
R
y
R
y
R
yDDsS
当 y < 50 km,?y < 50 km，可简化为：
2
2
2 m
m
R
yDDs ??
5.4.2 水平方向观测值的获得
)1)(1( ??
???
nm
???
mM ???
)1(
253.1
??
???
mmkn
vk?
1、测站平差
n 个目标，观测 m 个测回，每个方向的最或然值
即为 m个测回观测值的平均值。即：
nilml m
j iji
?1,1
1
???
?
则，一测回方向中误差为：
各测回方向均值的中误差为：
其中：
iijij ll ???
?可以用近似公式计算：
5.4.2 水平方向观测值的获得
2、全组合测角法及测站平差
全组合测角法,如图所示，
观测了所有可能组合的角
度，称为全组合测角法。
O
1
2
3
4
5
5.4.2 水平方向观测值的获得
2
22
2
2
],[
2)2(241 ???
nmmnmnM ki ???
?
??
? ???
2
2
],[
],[
mnP
PnmM
ki
kiik
?
???? ??
)2)(1(
][2
)1(2)1(
][
???????? nn
vvm
nnn
Pv v?
? ?),(),(),1(),1(),(21],[ nkniikkinki ?????? ??
全组合测角的测站平差：
测站平差的最或然值：
中误差：
其中，权为：
单位权中误差：
5.4.3 水平方向观测值归算至高斯平面上弦线的方向值
1、将地面观测方向归算到椭球面上
包括三项改正，称为三差改正。
(1),垂线偏差改正
(2),标高差改正
? ? 12121121 co ss i n ct g zAAu ??? ??
)(2s i nc o s"1 0 8 9.0 21222 KmHABh ??
(3),法截弧方向归算到大地线方向的改正
121
22
2
1
2
1212
2
12
1
2 2s i nc o s'
12c o ss i n6 ABeN
SAA
N
S
g ???? ??
平原地区一般可忽略。若以平均高程面作投影面，
三差改正一般不需要。
5.4.3 水平方向观测值归算至高斯平面上弦线的方向值
2、将椭球面上方向 归算至高斯平面上的弦线方向
)2)((6 2 kiki
m
ik yyxxR ??
????? ??
mki
m
ik yxxR )(2 2 ?
????? ??
方向改化公式为：
若 y 坐标不超过 45km，上 式可简化为：
5.4.4 GPS基线向量的归算
1、在三维空间坐标系中平差
基线向量不需要归算。
2、投影到高斯平面上进行平差计算
将三维基线向量投影到椭球面上，再投影
到 Gauss平面上。
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?
?
m
mm
cbaw
wvvv
w
iiii
icibiai
32
3
180
0
0
??
?
????
????
图
1、三角网的几何条件检查
a),三角形图形条件
ia
ib
ic
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
b),按 三角形闭合差计算测角中误差
n
wmm
W
3
][
3
2
闭????
?
n
wm
w
][ 2闭??三角形闭合差中误差：
?mm w 3?
根据,得测角中误差为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
])4[]3s in ( []5s in []8s in [
]6s in [])8[]7s in ( []4s in [
?
?? ABAB
A
B
C
D
1 2
3
4
6 5
7
80
''
876
543
).
)6s in ()87s in ()4s in (
)43s in ()5s in ()8s in (
1(
0))87()8(()87()6(
)5())43()4(())43((
?
?
?
??
???????
???????
极
极
w
wvc tgc tgvc tgvc tg
vc tgvc tgc tgvc tg
c),极条件
(1),大地四边形极条件
以 B点为极，得：
8)(7c t g6c t g5c t g4 ) )c t g ( 34( c t g4)(3c t g8 ) )c t g ( 78( c t g2 222222 ???????????? ?m＝极
为极条件闭合差。
极条件闭合差的限差为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
)
)8s i n ()5s i n ()3s i n ()1s i n (
)2s i n ()7s i n ()6s i n ()4s i n (
1(
0)2()7()6()4(
)8()5()3()1(
2764
8531
??
??????
???
极
极
w
wvc t gvc t gvc t gvc t g
vc t gvc t gvc t gvc t g
若以中点 O为极，则有：
极条件闭合差限差为：
? ???
?
8
1
2ct g2
i
im ?＝极
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
'')
s i n
s i n
1(
0)()(
?
?
???
??? ??
i
i
biai
a
b
w
wvc t gbvc t ga
ii
极
极
? ????? ii bc tgac tgm 222 ?极
(2),中心多边形极条件
极条件式为：
1a
2a
3a
4a
5a
1b 2
b
3b
4b
5b
1c
2c
3c
4c5c
极条件闭合差限差为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
??? ???????? ???????????? )s i ns i n1(s i ns i n )s i ns i n()(
1
2
1
21
2
22
i
i
ii
ii
as
bs
bas
sbas
s
ssw
基
? ?? ? ???????? iiii bc t gac t gmbc t gac t gssm 2222
2
2 2)(2
??基
d),三角网中的基线条件或多余观测边条件
2a
1a
3a
4a
5a
1b 2
b
3b
4b
5b
1c
2c
3c
4c
5c
0)()( ????? 基wvc t g bvc t g a ii biai
(1),基线边条件
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?
??
??
?
??
?
????????? ??
)(
0)()(
2
22
21
21
s
ss
w
w
s
v
s
v
vc tg bvc tg a
ss
biai ii
极
极
2
2
2
1
222 )()()(2 21 ??
? ?????????? ? ? s
m
s
m
mbc t gac t g ssii极
(2),多余观测边条件
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
2、测边网的几何条件检查
321
0
321
???
???
???
????
大
大
w
wvvv
0
5
1
5
1
3 6 0
0
???
???
?
?
i
i
i
w
wv
i
?
?
中
中
1s
1?
2?
3?
4?5?
1s?
2s?
2s
3s? 3s
4s?
4s
5s?
5s
1s
2s3s
4s
5s
6s
1?
2?
3?
6? 5?
4??
6??
4?
5??
式中,?与 ? 称为辅助角。
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
A
B Ca
bc
ha
Abccba c o s2222 ???
CbBch
BvCvv
h
v
a
cba
a
A
s i ns i n
)c osc os(
??
??
??
???
?
为将辅助角转化为观测边，利用如下单三边形。
由余弦定理，得：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
将上述关系代入大地四边形辅助角条件，得：
0654321 654321 ??????? wvavavavavava ssssss
)(2 226225224223222221 654321 ssssss mamamamamama ??????? 限
)2(c os)2(c os)2(c os
64
2
3
2
6
2
41
65
2
1
2
6
2
51
54
2
1
2
5
2
41
ss
sss
ss
sss
ss
sssw ????????? ???
大
556645
564321
c o sc o s ),c o sc o s(
c o sc o s,,,
2321
13321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?????
hh
a
hh
a
hh
a
h
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a
h
a
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
其中：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
0
11
?????
? ?? 中
wvbva n
i si
n
i si ii
? ?ni
hh
b
hh
b
h
a
i
r
i
r
i
rrr
i
ii
i
,,2 c o sc o s
c o sc o s,
1
511
51
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
51
2
5
2
5
2
11
54
2
4
2
5
2
41
43
2
3
2
4
2
31
23
2
2
2
2
2
31
21
2
1
2
2
2
11
360
2
c os
2
c os
2
c os
2
c os
2
c os
?
??
????
?
??
????
?
??
????
?
??
????
?
??
????
?
??
???
ss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
sss
w
中
将上述关系代入中心多边形辅助角条件，得：
其中：
? ????
? ? ?
n
i
n
i sisi ii
mbma
1 1
2222 )()(2
限
闭合差限差：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
??
??????
??
??
????
??
?
2
2
222
2
222
22
222
22
2
2
a r c c o s
0)c o sc o s(
c
c
b
c
a
c
A
Acba
A
A
m
hc
cba
m
b ch
cba
m
ch
a
m
bc
acb
Aw
wBvCvv
h
v
?
?
?限
3、边角网的几何条件检查 A
B Ca
bc
ha
(1),余弦条件
bc
acbA
2a r c c o s
222 ???余弦条件：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
2222222222
)(c os)(c oss i ns i n2
s i ns i n
0c osc oss i ns i n
??
??
BA
abb
b
b
BA
ba
m
Ba
m
AbBmAm
BaAbw
w
v
Ba
v
AbAvBv
?????
??
??
??
?
??
???
(2),正弦条件
正弦条件：
A
B Ca
bc BaAb s ins in ?
条件方程为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
0
),,1,( 0
0
???
?????
???
??
??
??
ZZ
YY
XX
wv
jinjiwv
wv
ij
ij
ij
?
4,GPS网的几何条件检查
有 n 个 GPS点,观测 m 条独立基
线向量，则可形成的异步环数：
1??? nmt
异步环坐标条件可表示为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
ii bDa ???
若异步环有 k 条基线组成，若各基线分量的精度
与基线距离的精度是一致的，则其闭合差限差为,
???? kkZYX 33 22221 ?????????? ?
每条基线距离的标称精度为：
22 )(
平均bDa ???
式中,?由平均距离计算，即：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?232 ???
因异步环闭合差为,222
zyx wwww ??? ???
因此，异步环闭合差的限差为：
?kZYX 33222 ????????
重复边闭合差，相当于环的边数为 2，常用 2倍
中误差为限差，即：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
同步环的闭合差理论上应该为 0，但采用单基线解
时不为 0，应该比异步环的闭合差小得多，可取其限差
为异步环的闭合差 1/5。
??? kkk zyx 51,51,51 ??????
2
32
12
2
2
2
2
12
2
24
)()1.(
R
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)1(2122 RHhSD m???
)1(c o s RHSD m?? ?
5.4.1 电磁波测距边归算至高斯平面上边长
1、电磁波测距边归算至投影面上
一般可简化为：
当观测斜距和垂直角 ? 时：
5.4.1 电磁波测距边归算至高斯平面上边长
2、投影面上边长归算到高斯平面上
距离改化公式：
??
?
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?
?
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4
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2
2
2
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24242
m
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y
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当 y < 50 km,?y < 50 km，可简化为：
2
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2 m
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yDDs ??
5.4.2 水平方向观测值的获得
)1)(1( ??
???
nm
???
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)1(
253.1
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mmkn
vk?
1、测站平差
n 个目标，观测 m 个测回，每个方向的最或然值
即为 m个测回观测值的平均值。即：
nilml m
j iji
?1,1
1
???
?
则，一测回方向中误差为：
各测回方向均值的中误差为：
其中：
iijij ll ???
?可以用近似公式计算：
5.4.2 水平方向观测值的获得
2、全组合测角法及测站平差
全组合测角法,如图所示，
观测了所有可能组合的角
度，称为全组合测角法。
O
1
2
3
4
5
5.4.2 水平方向观测值的获得
2
22
2
2
],[
2)2(241 ???
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2
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],[
],[
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)2)(1(
][2
)1(2)1(
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全组合测角的测站平差：
测站平差的最或然值：
中误差：
其中，权为：
单位权中误差：
5.4.3 水平方向观测值归算至高斯平面上弦线的方向值
1、将地面观测方向归算到椭球面上
包括三项改正，称为三差改正。
(1),垂线偏差改正
(2),标高差改正
? ? 12121121 co ss i n ct g zAAu ??? ??
)(2s i nc o s"1 0 8 9.0 21222 KmHABh ??
(3),法截弧方向归算到大地线方向的改正
121
22
2
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2
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12c o ss i n6 ABeN
SAA
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平原地区一般可忽略。若以平均高程面作投影面，
三差改正一般不需要。
5.4.3 水平方向观测值归算至高斯平面上弦线的方向值
2、将椭球面上方向 归算至高斯平面上的弦线方向
)2)((6 2 kiki
m
ik yyxxR ??
????? ??
mki
m
ik yxxR )(2 2 ?
????? ??
方向改化公式为：
若 y 坐标不超过 45km，上 式可简化为：
5.4.4 GPS基线向量的归算
1、在三维空间坐标系中平差
基线向量不需要归算。
2、投影到高斯平面上进行平差计算
将三维基线向量投影到椭球面上，再投影
到 Gauss平面上。
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?
?
m
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cbaw
wvvv
w
iiii
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32
3
180
0
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??
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????
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图
1、三角网的几何条件检查
a),三角形图形条件
ia
ib
ic
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
b),按 三角形闭合差计算测角中误差
n
wmm
W
3
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2
闭????
?
n
wm
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][ 2闭??三角形闭合差中误差：
?mm w 3?
根据,得测角中误差为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
])4[]3s in ( []5s in []8s in [
]6s in [])8[]7s in ( []4s in [
?
?? ABAB
A
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)43s in ()5s in ()8s in (
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极
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vc tgvc tgc tgvc tg
c),极条件
(1),大地四边形极条件
以 B点为极，得：
8)(7c t g6c t g5c t g4 ) )c t g ( 34( c t g4)(3c t g8 ) )c t g ( 78( c t g2 222222 ???????????? ?m＝极
为极条件闭合差。
极条件闭合差的限差为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
)
)8s i n ()5s i n ()3s i n ()1s i n (
)2s i n ()7s i n ()6s i n ()4s i n (
1(
0)2()7()6()4(
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2764
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若以中点 O为极，则有：
极条件闭合差限差为：
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5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
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(2),中心多边形极条件
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3c
4c5c
极条件闭合差限差为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
??? ???????? ???????????? )s i ns i n1(s i ns i n )s i ns i n()(
1
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d),三角网中的基线条件或多余观测边条件
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(1),基线边条件
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?
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mbc t gac t g ssii极
(2),多余观测边条件
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
2、测边网的几何条件检查
321
0
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???
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大
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5??
式中,?与 ? 称为辅助角。
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
A
B Ca
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)c osc os(
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为将辅助角转化为观测边，利用如下单三边形。
由余弦定理，得：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
将上述关系代入大地四边形辅助角条件，得：
0654321 654321 ??????? wvavavavavava ssssss
)(2 226225224223222221 654321 ssssss mamamamamama ??????? 限
)2(c os)2(c os)2(c os
64
2
3
2
6
2
41
65
2
1
2
6
2
51
54
2
1
2
5
2
41
ss
sss
ss
sss
ss
sssw ????????? ???
大
556645
564321
c o sc o s ),c o sc o s(
c o sc o s,,,
2321
13321
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其中：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
0
11
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? ?? 中
wvbva n
i si
n
i si ii
? ?ni
hh
b
hh
b
h
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r
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i
ii
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,,2 c o sc o s
c o sc o s,
1
511
51
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0
51
2
5
2
5
2
11
54
2
4
2
5
2
41
43
2
3
2
4
2
31
23
2
2
2
2
2
31
21
2
1
2
2
2
11
360
2
c os
2
c os
2
c os
2
c os
2
c os
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sss
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sss
ss
sss
w
中
将上述关系代入中心多边形辅助角条件，得：
其中：
? ????
? ? ?
n
i
n
i sisi ii
mbma
1 1
2222 )()(2
限
闭合差限差：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?
?
?
?
?
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??????
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????
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2
2
222
2
222
22
222
22
2
2
a r c c o s
0)c o sc o s(
c
c
b
c
a
c
A
Acba
A
A
m
hc
cba
m
b ch
cba
m
ch
a
m
bc
acb
Aw
wBvCvv
h
v
?
?
?限
3、边角网的几何条件检查 A
B Ca
bc
ha
(1),余弦条件
bc
acbA
2a r c c o s
222 ???余弦条件：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
2222222222
)(c os)(c oss i ns i n2
s i ns i n
0c osc oss i ns i n
??
??
BA
abb
b
b
BA
ba
m
Ba
m
AbBmAm
BaAbw
w
v
Ba
v
AbAvBv
?????
??
??
??
?
??
???
(2),正弦条件
正弦条件：
A
B Ca
bc BaAb s ins in ?
条件方程为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
0
),,1,( 0
0
???
?????
???
??
??
??
ZZ
YY
XX
wv
jinjiwv
wv
ij
ij
ij
?
4,GPS网的几何条件检查
有 n 个 GPS点,观测 m 条独立基
线向量，则可形成的异步环数：
1??? nmt
异步环坐标条件可表示为：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
ii bDa ???
若异步环有 k 条基线组成，若各基线分量的精度
与基线距离的精度是一致的，则其闭合差限差为,
???? kkZYX 33 22221 ?????????? ?
每条基线距离的标称精度为：
22 )(
平均bDa ???
式中,?由平均距离计算，即：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
?232 ???
因异步环闭合差为,222
zyx wwww ??? ???
因此，异步环闭合差的限差为：
?kZYX 33222 ????????
重复边闭合差，相当于环的边数为 2，常用 2倍
中误差为限差，即：
5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量
同步环的闭合差理论上应该为 0，但采用单基线解
时不为 0，应该比异步环的闭合差小得多，可取其限差
为异步环的闭合差 1/5。
??? kkk zyx 51,51,51 ??????
