§ 5.5 观测值的权之先验确定和方差分量估计
12
0
2
0)(
0)(
?????
??
LLL PQDD
E
??
5.5.1 观测值的权之先验确定
权的一般概念
5.5.1 观测值的权之先验确定
1、对于同类、等精度的观测值
采用相同的权，且以观测值精
度作单位权中误差。 0
1
2
3
4
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)4(
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)1(
1100
0110
0011
)3,4(
)2,3(
)2,1(
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210
121
012
100
110
011
001
1100
0110
0011
2
方向方向角度 ?DD
22 2 方向角度 ?? ?
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1
2
1
0
2
1
1
212
角度角度角度角度 ?? PD
5.5.1 观测值的权之先验确定
2
2
0
2222
i
i
i
i
s
S
iS
is
m
P
bSa
Sbam
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?
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2、对于同类、不等精度的观测值
5.5.1 观测值的权之先验确定
3、对于不同类且不等精度的观测值
2
2
0
2
2
0
i
i
s
s
r
r
m
P
m
P
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i
S
r
s
r
m
mP
P
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2
2
1
i
i
S
S m
m
P
P
?
?
?
?
方向观测值的权：
距离观测值的权：
若选方向的权为单位权：
则距离观测值的权：
若选角度的权为单位权：
则距离观测值的权：
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
11
?
1
)()(
)(?
??
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???
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T
BB
TTT
BB
T
X
TT
BB
T
GGPAAPAAGGPAAQ
PLAGGPAAX
0?
1?
?
??
XG
XAV
T
B
1、方差分量估计的计算公式
误差方程和
基准方程为：
权阵为 P
其最小二乘解为：
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
???
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??
???
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???
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2
1
2
1
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1
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1,),(),(,
V
V
V
l
l
l
A
A
A
P
P
P
L
L
L
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???
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2
1
2
1
2
1 ?
l
lX
A
A
V
V
将观测值分成相互独立的两类，即：
1
2121
1
21?
222111
1
21
222111
1
222111
))(()(
)()(
)()(?
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??????
????
????
T
BB
T
BBX
TTT
BB
TTT
BB
TT
GGNNNNGGNNQ
lPAlPAGGNN
lPAlPAGGAPAAPAX
误差方程为：
相应的最小二乘解为：
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
)(
0)(
11
1
1
T
V VVED
VE
?
?
随机向量 V1的数学期望和方差为：
)(tr)()()(tr)( 11 11111111 VTVT DPVEPVEDPVPVE ???
222
1
2111111
1
211
1222111
1
2111
)(])([
)()(
lPAGGNNAlIPAGGNNA
llPAlPAGGNNAV
TT
BB
TT
BB
TTT
BB
??
?
???????
?????
且有性质：
将最小二乘解代入误差方程的第一式，得：
1
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
1
2
2
02
1
1
2
01
22
11 ?
?
??
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PDD
PDD
Ll
Ll
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TT
BB
T
BB
TT
BB
T
BB
TT
BB
TT
BB
TT
BB
TT
BB
TT
BBV
AGGNNNGGNNA
AGGNNNGGNNA
AGGNNAP
AGGNN
APPPAGGNNA
IAGGNNAPP
IPAGGNNAD
1
1
212
1
211
2
02
1
1
211
1
211
1
1
211
1
1
2
01
1
1
21
22
1
2
2
0222
1
211
11
1
2111
1
1
2
01
111
1
211
)()(
])()(
)(2[(
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)(
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])([
1
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?????
????
?????
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协方差阵与权的关系：
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
将上式代入,顾及矩阵迹的性质：
2
022
1
211
1
21
2
011
1
211
1
21
1
1
211111
])()[(tr
]})()[(tr
])[(tr2{)(
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NGGNNNGGNN
NGGNNNGGNN
NGGNNnVPVE
T
BB
T
BB
T
BB
T
BB
T
BB
T
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?????
?????
????
)(tr)(tr)( t r),(tr)(tr HGHGHGGH ????
1
得：
2
022
1
212
1
21
2
1
212
2
011
1
212
1
21222
]})()[(tr
])[(tr2{
])()[(tr)(
?
?
NGGNNNGGNN
NGGNNn
NGGNNNGGNNVPVE
T
BB
T
BB
T
BB
T
BB
T
BB
T
??
?
??
?????
????
?????
同理，得：
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
上述两式可转换成如下形式：
???
?
???
?
???
?
???
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???
??
?
??
? ?
?????
?????
222
111
1
2
1
2
1
2
1
21
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
02
2
01
)2()(
)()2(
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VPV
VPV
NNNNNNtrnNNNNtr
NNNNtrNNNNNNtrn
T
T
?
?
21 NNN ??
TBB GGNNN ??? 21其中：
若系数矩阵满秩，不需要再加基准方程，则：
2
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
2、验后权的计算步骤
)0(
2)1(2
02
)1(2
011)1()1(2
02
)1(
2
1)1()1(2
01
)1(
1
)?(
)?(
)()?(
)()?(
2
11
PDP
IDP
L
nL
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?
?
??
??
?
?
a),按先验中误差确定先验权阵 P1和 P2；
b),平差求得 V1TPV1和 V2TPV2；
c),按 式，估计方差分量的估值，
d),若两个分量相同，则先验权正确，否则重新定权；
2
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
e),求出新的权比后，迭代计算，直到满足下式为止。
?
?
? ?? 1
)?(
)?(
)(2
02
)(2
01
k
k