§ 3.2 正形投影与高斯 -克吕格投影
0
2222
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y
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x
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3.2.1 正形投影的概念和投影方程
长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足
条件 E = G,F = 0,即：
由第二式解得,1
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
代入第一式，得：
22
22
2
2
22
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y
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即为
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?考虑到导数的方向，开根得：
q
y
l
x
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?再代入 式，得：1
2
3
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
)(
,
)(
WfZ
ilqWiyxZ
ilqfiyx
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????
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2, 式称为 Kauchi-Rimann方程，满足
该方程的函数可写成复变函数关系：
3
)(
)(
ZFW
iyxFilq
?
???
其反函数也是复变函数，可以写成：
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
高斯 -克吕格投影的条件：
1,是正形投影
2,中央子午线不变形
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
高斯投影的性质,1,投影后角度不变
2,长度比与点位有关，与方向无关
3,离中央子午线越远变形越大
为控制投影后的长度变形，采用分带投影的
方法。常用 3度带或 6度带分带，城市或工程控制
网坐标采用任意带分带。
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
3
''3'
)3(
6
1
36
0
0
00
L
nnL
LnnL
??
????
或为
或为
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
理论上中央子午线的投影是 x 轴，赤道的投影
是 y 轴，其交点是坐标原点。
x 坐标是点至赤道的距离；
y 坐标是点至中央子午线的距离, 有正有负。
为了避免 y 坐标出现负值，其名义坐标加上 500 公里。
为了区分不同投影带中的点，在点的 Y坐标值上
加带号 N
所以点的 横坐标通用表示 的值为
y = N?1000000+500000+y
§ 3.3 高斯投影坐标正算和反算公式
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B
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k
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k
M d BX
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k
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0
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3.2.1 高斯投影正算公式
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L
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0L
L
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x
y
x
y
考虑到，正形
投影的导数与方向
无关，将投影点坐
标在 H点展开，得：
3.3.1 高斯投影正算公式
因此，高斯投影级数展开式可表示为：
)3 3 02 7 05861(c o ss i n
)5814185(c o s
)495(c o ss i n
)1(c o s
c o ss i n,c o s
222425
6
6
222425
5
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k
k
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其
各
阶
导
数
为：
3.3.1 高斯投影正算公式
5222425
3223
6425
442232
)5814185(c o s
120
)1(c o s
6
c o s
)5861(c o ss in
720
495(c o ss in
24
c o ss in
2
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N
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N
BlNy
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N
ltBB
N
BlB
N
Xx
??
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?????
????
???
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将导数代入展开式，虚实分开后，得到高斯
投影正算公式如下：
3.3.1 高斯投影正算公式
为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：
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4222424
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4422222
)5814185(c o s
1 2 0
1
)1(c o s
6
1
1c o s
)5861(c o s
7 2 0
1
495(c o s
24
1
2
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c o s
ltttB
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3.3.2 高斯投影反算公式
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k
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y
x
y
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取点 Xf = x,相应的点称
为底点，用子午弧长反算公
式求得该点的纬度 Bf 和相应
的等量纬度 qf。
在底点进行正形投影的
级数展开，得：
3.3.2 高斯投影反算公式
相应的各阶导数为：
? ?
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66
22242
6
6
55
22242
5
5
44
422
4
4
33
22
3
3
222
2
1
c o s7 2 0
48461 2 01 8 061
7 2 0
1
c o s1 2 0
8624285
1 2 0
1
c o s24
465
24
1
c o s6
12
6
1
c o s22
1
2
1
c o s
1
1
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b
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3.3.2 高斯投影反算公式
代入级数展开式，虚实分开得：
6
6
4
4
2
2
522242
5
322
3
)8624285(
c o s1 2 0
1
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1
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1
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3.3.2 高斯投影反算公式
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将大地纬度展开成等量纬度的级数式 ? ?
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24422223
3
3
2
422
2
2
2
22
1
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6
1
6
1
341c o s
2
1
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其中：
5
3.3.2 高斯投影反算公式
由 式，得：
63
2
33
6
42
42
2
22
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f
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632342261422241221 )2()( ybcbbcbcybcbcybcBB f ????????
4
代入 式，得：5
3.3.2 高斯投影反算公式
将各系数代入上式，得纬度 B 的反算公式,
642
5
42222
3
2
)459061(
7 2 0
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3.3.2 高斯投影反算公式
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12
1
1
2
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为便于编程计算，可将反算公式改写成如下形式：
3.3.2 高斯投影反算公式
利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同
投影带坐标的换带计算。其计算步骤如下：
1,根据高斯投影坐标 x,y,反算得纬度 B和经度差 l；
2,由中央子午线的经度 L0,求得经度 L = L0 +l；
3,根据换带后新的中央子午线经度 L0', 计算相应的
经差：
4,由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x',y'。
0LLl ????
习 题
1,高斯投影的条件是什么？
2,简述高斯投影投影正算公式的推导；
3,已知某点的坐标,B = 29?04?05.3373?
L = 121?10?33.2012?
计算,1),该点的 3 ?带和 6 ?带带号；
2),该点的 3 ?带高斯投影坐标并反
算检核；
0
2222
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3.2.1 正形投影的概念和投影方程
长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足
条件 E = G,F = 0,即：
由第二式解得,1
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
代入第一式，得：
22
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2
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?考虑到导数的方向，开根得：
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?再代入 式，得：1
2
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3.2.1 正形投影的概念和投影方程
)(
,
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2, 式称为 Kauchi-Rimann方程，满足
该方程的函数可写成复变函数关系：
3
)(
)(
ZFW
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???
其反函数也是复变函数，可以写成：
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
高斯 -克吕格投影的条件：
1,是正形投影
2,中央子午线不变形
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
高斯投影的性质,1,投影后角度不变
2,长度比与点位有关，与方向无关
3,离中央子午线越远变形越大
为控制投影后的长度变形，采用分带投影的
方法。常用 3度带或 6度带分带，城市或工程控制
网坐标采用任意带分带。
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
3
''3'
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或为
或为
3.2.2 高斯 -克吕格投影的条件和性质
理论上中央子午线的投影是 x 轴，赤道的投影
是 y 轴，其交点是坐标原点。
x 坐标是点至赤道的距离；
y 坐标是点至中央子午线的距离, 有正有负。
为了避免 y 坐标出现负值，其名义坐标加上 500 公里。
为了区分不同投影带中的点，在点的 Y坐标值上
加带号 N
所以点的 横坐标通用表示 的值为
y = N?1000000+500000+y
§ 3.3 高斯投影坐标正算和反算公式
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3.2.1 高斯投影正算公式
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考虑到，正形
投影的导数与方向
无关，将投影点坐
标在 H点展开，得：
3.3.1 高斯投影正算公式
因此，高斯投影级数展开式可表示为：
)3 3 02 7 05861(c o ss i n
)5814185(c o s
)495(c o ss i n
)1(c o s
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3.3.1 高斯投影正算公式
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将导数代入展开式，虚实分开后，得到高斯
投影正算公式如下：
3.3.1 高斯投影正算公式
为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：
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3.3.2 高斯投影反算公式
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为底点，用子午弧长反算公
式求得该点的纬度 Bf 和相应
的等量纬度 qf。
在底点进行正形投影的
级数展开，得：
3.3.2 高斯投影反算公式
相应的各阶导数为：
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3.3.2 高斯投影反算公式
代入级数展开式，虚实分开得：
6
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4
4
2
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522242
5
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3.3.2 高斯投影反算公式
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将大地纬度展开成等量纬度的级数式 ? ?
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其中：
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3.3.2 高斯投影反算公式
由 式，得：
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2
22
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4
代入 式，得：5
3.3.2 高斯投影反算公式
将各系数代入上式，得纬度 B 的反算公式,
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3.3.2 高斯投影反算公式
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为便于编程计算，可将反算公式改写成如下形式：
3.3.2 高斯投影反算公式
利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同
投影带坐标的换带计算。其计算步骤如下：
1,根据高斯投影坐标 x,y,反算得纬度 B和经度差 l；
2,由中央子午线的经度 L0,求得经度 L = L0 +l；
3,根据换带后新的中央子午线经度 L0', 计算相应的
经差：
4,由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x',y'。
0LLl ????
习 题
1,高斯投影的条件是什么？
2,简述高斯投影投影正算公式的推导；
3,已知某点的坐标,B = 29?04?05.3373?
L = 121?10?33.2012?
计算,1),该点的 3 ?带和 6 ?带带号；
2),该点的 3 ?带高斯投影坐标并反
算检核；
