§ 2.4 空间大地直角坐标系及其转换模型
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
1,X,Y,Z与 B,L,H间的关系
空间坐标系的定义,Z//自转轴,X位于赤道面，指格林
尼治天文台,Y指东，构成右手系。
大地坐标系的定义,B为过坐标点椭球面的法线与赤道面
交角,L为过坐标点的子午线与起始子午线的夹角,H
为点沿法线到椭球面的距离。
大地高与正高、正常高之间的关系：
?? ???? HNHH N
X
Y
Z
L
B
O
PK
P
P?
Q
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
如图所示：
X
Y
Z
L
B
O
PK
P
P?
Q
? ? ?
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LBN
LBN
Z
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P
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s i n1
s i nc o s
c o sc o s
2
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BH
LBH
LBH
HPP
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s i nc o s
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BHeN
LBHN
LBHN
Z
Y
X
PPPOOP
s i n1
s i nc o s
c o sc o s
2
rrr
1
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
2、由 X,Y,Z计算 B,L,H的迭代解法
计算 L：
22
11 s int a n
YX
Y
X
YL
???
??
迭代计算 B：
? ? ? ? ? ?
22
2
11 s i nt a n
YX
BeNZB iii
?
?? ??
迭代初值为：
? ?
22
10 t a n
YX
ZB
??
?
最后计算 H,? ? NBYXeNBZH ?????? s e c1c s c
222
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
3,X,Y,Z与 B,L,H间的微分关系
由前面 式微分得；1
? ? ? ?
? ? ? ?
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LBLBHNLBHM
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dY
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s i n0c o s
s i nc o sc o sc o ss i ns i n
c o sc o ss i nc o sc o ss i n
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s i n0c o s
s i nc o sc o ss i ns i n
c o sc o ss i nc o ss i n
A
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100
0c o s0
00
BHN
HM
J其中：
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
顾及 A是正交阵, J是对角阵, 得：
? ?
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dY
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BHN
L
BHN
L
HM
B
HM
LB
HM
LB
dZ
dY
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dZ
dY
dX
dH
dL
dB
T
s ins inc o sc o sc o s
0
c o s
c o s
c o s
s in
c o ss ins inc o ss in
11
AJAJ
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
4,B,L,H与椭球元素 a,e2 之间的微分关系
若顾及椭球元素的变化，则前面的微分公式变为：
??
?
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2de
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dH
dL
dB
dZ
dY
dX
BAJ
其中：
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???
?
2222
22
22
2c o sc o ss i n1
2s i nc o ss i ns i nc o s
2c o sc o ss i nc o sc o s
WBWBNaBeN
WLBBNaLBN
WLBBNaLBN
B
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
由上式可得：
??
?
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??
?
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?
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2
11
de
da
dZ
dY
dX
dH
dL
dB
TT BAJAJ
若空间坐标系的原点和坐标轴指向保持
不变，即椭球的定位与定向不变，则：
0?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dZ
dY
dX
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
上式简化成大地坐标与椭球间的微分关系：
? ?
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2
2
2
222
2
1
2
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00
2
s i n2s i nc o ss i nc o s
de
da
BN
W
HMW
BeBBN
HMW
BBe
de
da
dH
dL
dB
T
BAJ
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
两个右手旋转坐标系之间的旋转角，取逆时针旋
转为正，顺时针旋转为负，旋转矩阵为正交阵，可表
示为：
? ?
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?
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XX
XXXX
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???
c o ss i n0
s i nc o s0
001
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YY
YY
YY
??
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c o s0s i n
010
s i n0c o s
R
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?
?
?
?
?
?
??
100
0c o ss i n
0s i nc o s
ZZ
ZZ
ZZ ??
??
?R
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
方法一：
X? Y?
Z?
X
Y
Z
O
X?
Y?
Y??
将 X’,Y’,Z’转换到 X、
Y, Z 坐 标 系,
先绕 Z’将 X’旋转到 XOY
平面与 X’OY’平面的交线
X”, 再绕 X” 轴将 Z’旋转
到 Z轴, 最后再绕 Z轴,
将 X” 旋转到 X轴方向 。
由于三坐标轴的正交关
系, 经最后一次旋转的
Y, ’ 必 位 于 Y 轴上 。
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
坐标变换公式为：
X? Y?
Z?
X
Y
Z
O
X?
Y?
Y??? ? ? ? ? ?
?
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Z
Y
X
Z
Y
X
ZZXXZZ 12 ??? RRR
? ? ? ? ? ?12 ZZXXZZ ??? ????? RRRR
旋转矩阵：
是正交矩阵。
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
若 ?,?分别表示 X与 X’和 Y与 Y’之间的夹角，则有：
XZZZZ
XZZZZ
??????
??????
c o ss i ns i nc o sc o sc o s
c o sc o sc o ss i ns i nc o s
2121
2121
??
??
若 ?表示 Z与 Z’之间的夹角，则有：
X?? c o sc o s ?
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
方法二：
X? Y?
Z?
X
Y
Z?
O
X?
Y?
Z
Y?
Z?
X?
Z?
X?Y
?
将 X’,Y’,Z’转换到 X、
Y, Z 坐 标 系,
先绕 X’将 Y’旋转到 YOZ
平面与 Y’OZ’平面的交线
Y”, 再绕 Y” 轴将 Z,旋
转到 Z轴, 最后再绕 Z轴,
将 X” 旋转到 X轴方向 。
由于三坐标轴的正交关
系, 经最后一次旋转的
Y”必位于 Y 轴上 。
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
坐标变换公式为：
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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???
Z
Y
X
Z
Y
X
XXYYZZ ??? RRR
? ? ? ? ? ?XXYYZZ ??? ???? RRRR
其中，旋转矩阵：
是正交矩阵。
X? Y?
Z?
X
Y
Z?
O
X?
Y?
Z
Y?
Z?
X?
Z?
X?Y
?
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
若 ?,?,?分别表示 X与 X’,Y与 Y’和 Z与 Z’之
间的夹角，则有：
YX
ZYXZX
ZY
???
??????
???
c o sc o sc o s
c o ss i ns i nc o sc o sc o s
c o sc o sc o s
?
??
?
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
当旋转角是小角度时，可略去其二次项，取：
1c o s,s i n ?? ???
?
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?
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1
1
1
XY
XZ
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R旋转矩阵简化为：
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Z
Y
X
Z
Y
X
XY
XZ
YZ
1
1
1
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坐标转换模型简化为：
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
旋转矩阵是正交阵，满足条件,IRR ?T
若：
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
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333231
232221
131211
rrr
rrr
rrr
R
则根据正交条件，得：
1
1
1
0
0
0
2
33
2
32
2
31
2
23
2
22
2
21
2
13
2
12
2
11
332332223121
331332123111
231322122111
???
???
???
???
???
???
rrr
rrr
rrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
因此，旋转矩阵中只有 5个独立未知数。在进行坐
标转换时，可以直接以旋转矩阵中的 9个元素为未知数，
加上 6个约束条件直接解算。求得旋转矩阵元素后，进
行坐标转换，不必解算旋转角。
这样可避免大旋转角时，线性化过程的复杂形式。
习 题
1、若采用克拉索夫斯基椭球，已知大地坐标：
计算三维空间坐标，并反算检核。
2、在上题中，大地经纬度和大地高分别变化了
用微分公式计算三维空间坐标的变化量。
3、在球近似下，给出球心经纬度和高程与三维空间坐标
的微分关系式。
4、若要求相对误差小于 10-7，则当旋转角超过多少时，
不能采用略去二次项的线性近似。
mHLB 391.108 4 0 1 5.5013121,1283.168231 00 ???????
? ? ? ?mHLB 53.02.0 ????????
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
1,X,Y,Z与 B,L,H间的关系
空间坐标系的定义,Z//自转轴,X位于赤道面，指格林
尼治天文台,Y指东，构成右手系。
大地坐标系的定义,B为过坐标点椭球面的法线与赤道面
交角,L为过坐标点的子午线与起始子午线的夹角,H
为点沿法线到椭球面的距离。
大地高与正高、正常高之间的关系：
?? ???? HNHH N
X
Y
Z
L
B
O
PK
P
P?
Q
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
如图所示：
X
Y
Z
L
B
O
PK
P
P?
Q
? ? ?
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LBN
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2
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BH
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LBH
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BHeN
LBHN
LBHN
Z
Y
X
PPPOOP
s i n1
s i nc o s
c o sc o s
2
rrr
1
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
2、由 X,Y,Z计算 B,L,H的迭代解法
计算 L：
22
11 s int a n
YX
Y
X
YL
???
??
迭代计算 B：
? ? ? ? ? ?
22
2
11 s i nt a n
YX
BeNZB iii
?
?? ??
迭代初值为：
? ?
22
10 t a n
YX
ZB
??
?
最后计算 H,? ? NBYXeNBZH ?????? s e c1c s c
222
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
3,X,Y,Z与 B,L,H间的微分关系
由前面 式微分得；1
? ? ? ?
? ? ? ?
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?
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dL
dB
dH
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dB
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LBLBHNLBHM
LBLBHNLBHM
dZ
dY
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s i n0c o s
s i nc o sc o sc o ss i ns i n
c o sc o ss i nc o sc o ss i n
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BB
LBLLB
LBLLB
s i n0c o s
s i nc o sc o ss i ns i n
c o sc o ss i nc o ss i n
A
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?
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?
100
0c o s0
00
BHN
HM
J其中：
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
顾及 A是正交阵, J是对角阵, 得：
? ?
? ? ? ?
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BHN
L
BHN
L
HM
B
HM
LB
HM
LB
dZ
dY
dX
dZ
dY
dX
dH
dL
dB
T
s ins inc o sc o sc o s
0
c o s
c o s
c o s
s in
c o ss ins inc o ss in
11
AJAJ
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
4,B,L,H与椭球元素 a,e2 之间的微分关系
若顾及椭球元素的变化，则前面的微分公式变为：
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?
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2de
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dH
dL
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dZ
dY
dX
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其中：
? ? ? ? ?
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?
?
???
?
2222
22
22
2c o sc o ss i n1
2s i nc o ss i ns i nc o s
2c o sc o ss i nc o sc o s
WBWBNaBeN
WLBBNaLBN
WLBBNaLBN
B
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
由上式可得：
??
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??
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2
11
de
da
dZ
dY
dX
dH
dL
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TT BAJAJ
若空间坐标系的原点和坐标轴指向保持
不变，即椭球的定位与定向不变，则：
0?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dZ
dY
dX
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
上式简化成大地坐标与椭球间的微分关系：
? ?
? ?
? ?
?
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?
?
?
?
?
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2
222
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1
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00
2
s i n2s i nc o ss i nc o s
de
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BN
W
HMW
BeBBN
HMW
BBe
de
da
dH
dL
dB
T
BAJ
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
两个右手旋转坐标系之间的旋转角，取逆时针旋
转为正，顺时针旋转为负，旋转矩阵为正交阵，可表
示为：
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XX
XXXX
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s i nc o s0
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YY
YY
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c o s0s i n
010
s i n0c o s
R
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100
0c o ss i n
0s i nc o s
ZZ
ZZ
ZZ ??
??
?R
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
方法一：
X? Y?
Z?
X
Y
Z
O
X?
Y?
Y??
将 X’,Y’,Z’转换到 X、
Y, Z 坐 标 系,
先绕 Z’将 X’旋转到 XOY
平面与 X’OY’平面的交线
X”, 再绕 X” 轴将 Z’旋转
到 Z轴, 最后再绕 Z轴,
将 X” 旋转到 X轴方向 。
由于三坐标轴的正交关
系, 经最后一次旋转的
Y, ’ 必 位 于 Y 轴上 。
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
坐标变换公式为：
X? Y?
Z?
X
Y
Z
O
X?
Y?
Y??? ? ? ? ? ?
?
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???
Z
Y
X
Z
Y
X
ZZXXZZ 12 ??? RRR
? ? ? ? ? ?12 ZZXXZZ ??? ????? RRRR
旋转矩阵：
是正交矩阵。
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
若 ?,?分别表示 X与 X’和 Y与 Y’之间的夹角，则有：
XZZZZ
XZZZZ
??????
??????
c o ss i ns i nc o sc o sc o s
c o sc o sc o ss i ns i nc o s
2121
2121
??
??
若 ?表示 Z与 Z’之间的夹角，则有：
X?? c o sc o s ?
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
方法二：
X? Y?
Z?
X
Y
Z?
O
X?
Y?
Z
Y?
Z?
X?
Z?
X?Y
?
将 X’,Y’,Z’转换到 X、
Y, Z 坐 标 系,
先绕 X’将 Y’旋转到 YOZ
平面与 Y’OZ’平面的交线
Y”, 再绕 Y” 轴将 Z,旋
转到 Z轴, 最后再绕 Z轴,
将 X” 旋转到 X轴方向 。
由于三坐标轴的正交关
系, 经最后一次旋转的
Y”必位于 Y 轴上 。
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
坐标变换公式为：
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Z
Y
X
Z
Y
X
XXYYZZ ??? RRR
? ? ? ? ? ?XXYYZZ ??? ???? RRRR
其中，旋转矩阵：
是正交矩阵。
X? Y?
Z?
X
Y
Z?
O
X?
Y?
Z
Y?
Z?
X?
Z?
X?Y
?
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
若 ?,?,?分别表示 X与 X’,Y与 Y’和 Z与 Z’之
间的夹角，则有：
YX
ZYXZX
ZY
???
??????
???
c o sc o sc o s
c o ss i ns i nc o sc o sc o s
c o sc o sc o s
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2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
当旋转角是小角度时，可略去其二次项，取：
1c o s,s i n ?? ???
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1
1
1
XY
XZ
YZ
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R旋转矩阵简化为：
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Z
Y
X
Z
Y
X
XY
XZ
YZ
1
1
1
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坐标转换模型简化为：
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
旋转矩阵是正交阵，满足条件,IRR ?T
若：
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333231
232221
131211
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rrr
rrr
R
则根据正交条件，得：
1
1
1
0
0
0
2
33
2
32
2
31
2
23
2
22
2
21
2
13
2
12
2
11
332332223121
331332123111
231322122111
???
???
???
???
???
???
rrr
rrr
rrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
因此，旋转矩阵中只有 5个独立未知数。在进行坐
标转换时，可以直接以旋转矩阵中的 9个元素为未知数，
加上 6个约束条件直接解算。求得旋转矩阵元素后，进
行坐标转换，不必解算旋转角。
这样可避免大旋转角时，线性化过程的复杂形式。
习 题
1、若采用克拉索夫斯基椭球，已知大地坐标：
计算三维空间坐标，并反算检核。
2、在上题中，大地经纬度和大地高分别变化了
用微分公式计算三维空间坐标的变化量。
3、在球近似下，给出球心经纬度和高程与三维空间坐标
的微分关系式。
4、若要求相对误差小于 10-7，则当旋转角超过多少时，
不能采用略去二次项的线性近似。
mHLB 391.108 4 0 1 5.5013121,1283.168231 00 ???????
? ? ? ?mHLB 53.02.0 ????????
