2.2.5 大地线
1、大地线的定义与性质
法截弧,由椭球面上 A点的法线与 B点所确定的法截面与
椭球面相割得到的曲线称为 A到 B的法截弧。
相对法截弧,A到 B的法截弧与 B到 A的法截弧。
由相对法截弧构成的椭球面三角形
不是闭合图形。
2.2.5 大地线（续 1）
大地线的定义,大地线的主法线与曲面法线处处重合。
大地线的性质,1、大地线上任何点的密切平面就是该点
的法截面；
2、曲面上连接任何两点的最短直线必为
大地线。
3、大地线的测地曲率等于 0
曲线的测地曲率,曲线的曲率在曲面切平面上的投影。
大地线的曲率：
大地线的挠率
? ?ANN AM Ak g 2222 c o s11s inc o s ?????
AANAAMNg c o ss i nc o ss i n11
2?
? ???
?
??
?
? ??
2.2.5 大地线（续 2）
2、大地坐标系中大地线的微分方程
(1),大地线的二阶微分方程
以 u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：
下标为相应的偏导数。
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
2
2
2
2
2
2
222
222
23
2
2
FEG
EFEEFE
S
FEG
FFFEGE
FEG
FEEG
R
FEG
FFFGEG
FEG
FGGE
Q
FEG
GFGGFG
P
S
du
dv
R
du
dv
Q
du
dv
P
du
vd
uvuuvuuv
vuvuvvuv
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
2.2.5 大地线（续 3）
对于椭球面，有：
代入前面公式，得：
则旋转椭球面上大地线的微分方程为：
BNGFME 222 c o s 0 ???
? ? 0 2 0 s i nc o s 222 ????? StVRQBBVP ?
3
2
2
2
2
2
c o ss i n2 ?
?
??
?
??
???
?
???
? ??
dB
dLBBV
dB
dL
VtdB
Ld ?
2.2.5 大地线（续 4）
(2),克莱劳定理
直角坐标系中的椭球面方程：
012
2
2
2
2
2
????? bZaYaXF
椭球面法向量为,?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
222
222
b
Z
a
Y
a
X
Z
F
Y
F
X
FN
以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：
???
?
???
??
2
2
2
2
2
2
dS
Zd
dS
Yd
dS
Xdn
两者指向一致，即：
22
2
22
2
22
2 222
dSZd
bZ
dSYd
aY
dSXd
aX ??
2.2.5 大地线（续 5）
由上式的前两个方程得：
C
dS
dY
X
dS
dX
Y
dS
Yd
X
dS
Xd
Y
???
???
0
2
2
2
2
积分得：
将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系：
dS
dL
LrL
dS
dr
dS
dY
dS
dL
LrL
dS
dr
dS
dX
LrLBNYLrLBNX
B
B
B
B
BB
c o ss in s inc o s
s ins inc o s c o sc o sc o s
????
????
1
代入 式，整理得：1
CdSdLrB ?2
2
2.2.5 大地线（续 6）
将关系：
即：大地线上各点的平行圈
半径与该点的大地线方位角
正弦的乘积是常数。
A d SdLr B s i n?
代入上式，即得克莱劳定理：
CAr B ?s i n
Br dLrB
A
dS
dAA?
MdB
dL
2.2.5 大地线（续 7）
(3),大地线的一阶微分关系式
Br dLrB
A
dS
dAA?
MdB
dL
BN
A
dS
dL
A d SB d LN
M
A
dS
dB
A d SM d B
c o s
s i n
s i nc o s
c o s
c o s
???
???
由克莱劳定理，微分得：
B
B
B
B
BB
dr
r
A
dr
Ar
A
dA
A d ArAdr
t a n
c o s
s in
:
0c o ss in
????
??
则
2.2.5 大地线（续 8）
又如图所示：
MdB
dr?
B
BM d Bdr B s i n??
代入上式，得：
A d S
N
B
dS
M
A
ABN
BAM
ABN
B d BAM
dA
s i n
t a nc o s
c o sc o s
s i ns i n
c o sc o s
s i ns i n
??
?
三个微分关系式可整理为：
AN BdSdABN AdSdLM AdSdB s inta n c o ss in c o s ??? 3
2.2.5 大地线（续 9）
3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程
大地线始点坐标 P0(B0,L0)，大
地线上任何点的位置向量都可以展
开成 S,A的级数形式：
? ?
????
???
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
120
1
24
1
6
1
2
1
s
ds
d
s
ds
d
s
ds
d
s
ds
d
s
ds
d
s
rr
rrr
r
Frenet标架的坐标轴定义,x′指向
大地线的切向 t,y′指向大地线的
主法向 n，向内为正,z′指向大地
线的副法向 b,构成左手系。
? ?000,LBP
A
S
? ?LBP,
x′
y′
z′
4
2.2.5 大地线（续 10）
显然有：
ds
drt ?
根据曲线论中的 Frenet公式：
nbbtnnt gggg dSdkdSdkdSd ?? ??????
由以上两式可求出各阶导数：
? ?
23
2
23
24
32
42
5
4
5
32
g
g g g g g
g g g g
g g g g g g
g
dkd d d d
k k k k
dS dS dS dS dS
dk d k dk dd
k k k k
dS dS dS dS dS
d
k
dS
?
?
??
? ? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ? ? ? ??? ??
????
??
r t r
n n t n b
r
t n b
r
t
2.2.5 大地线（续 11）
将上式代入大地线展开式,得 Frenet标架下的
三维坐标：
4
43
423
2
2
32
54432
2
24
1
6
1
24
1
6
1
2
1
120
1
8
1
6
1
S
dS
d
k
dS
dk
Skz
Skk
dS
kd
S
dS
dk
Sky
SkS
dS
dk
kSkSx
g
g
g
ggg
ggg
gg
g
g
g
gg
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
?
??
?
5
? ?ANN AM Ak g 2222 c o s11s inc o s ?????
AANAAMNg c o ss i nc o ss i n11
2?
? ???????? ??
顾及公式：
2.2.5 大地线（续 12）
和,A
N
B
dS
dA
M
A
dS
dB s i nta n c o s ??
求导得,? ?
? ?
? ?A
N
At
dS
dA
AdS
dB
BdS
d
At
NdS
dA
dS
dk
AdS
dB
dS
dk
BdS
kd
A
N
At
dS
dA
A
k
dS
dB
B
k
dS
dk
ggg
ggg
ggg
22
2
2
22
3
2
2
2
22
2
2
c o s31
s i n
c o s
3
c o s1
c o s3
?
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
2.2.5 大地线（续 13）
代入 Frenet标架下的三维坐标公式,得：5
? ?
? ?
? ?? ?
42
3
32
2
4222
3
32
2
222
5
4
4
3
2
322
2
s in
24
1
2s in
12
1
c o s231
24
1
c o s
2
1
c o s1
2
1
120
1
8
c o s3
c o s1
6
1
ASt
N
AS
N
z
StA
N
ASt
N
SA
N
y
S
N
S
N
At
SA
N
Sx
??
?
??
?
?
????
???
????
??????
2.2.5 大地线（续 14）
将坐标系饶 y′逆时针旋转 A，
得 x”,y”,z”坐标系，则有：
SA
? ?000,LBP
? ?LBP,
x′
y′
z′
z"
x"
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
z
y
x
AA
AA
z
y
x
c o s0s i n
010
s i n0c o s
以 P0点为原点的地平坐标系 (站心坐
标系 ) x,y,z，与 x”,y”,z”坐标系的
关系为：
A
? ?000,LBP
? ?LBP,x
y"z
z"
x"
y
yz
zy
xx
?
????
???
2.2.5 大地线（续 15）
最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，
称为 Weingarten级数。
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?? ?
4222
3
3
2
2
222
5
4
4
3
2
322
2
5
4
42
3
2
3222
2
c o s231
24
1
2
c o s
c o s1
2
1
1 2 0
s i n
3
c o ss i n
c o s1
6
s i n
s i n
1 2 0
c o s
c o s81
24
c o s1
6
c o s
c o s
StA
N
S
N
At
SA
N
z
S
N
A
S
N
AAt
SA
N
A
ASy
S
N
A
SA
N
t
SA
N
A
ASx
???
???
??
???
???
????
?
?
?
?
?
?
??
6
2.2.5 大地线（续 16）
法截弧为平面曲线，其挠率为 0，同理可推得地平
坐标系中的计算式为：
? ?
? ?
? ?
? ?? ?
4222
3
3
2
2
222
5
4
4
3
2
322
2
5
4
4
3
2
322
2
c o s231
24
1
2
c o s
c o s1
2
1
120
s i n
8
c o ss i n3
c o s1
6
s i n
s i n
120
c o s
8
c o s3
c o s1
6
c o s
c o s
StA
N
S
N
At
SA
N
z
S
N
A
S
N
AAt
SA
N
A
ASy
S
N
A
S
N
At
SA
N
A
ASx
???
???
??
???
??
???
?
?
?
?
?
?
?
2.2.5 大地线（续 17）
4、基于大地线的椭球面曲线坐标系
(1),大地线极坐标系
大地圆,到极点具有相同大地线长
度的点所构成的轨迹。
由大地线长度和大地方位角可描述
曲面点的位置 。? ?As,r A dA
s
ds
mdA dS
0P
?
如图所示,2222 dAmdsdS ??
对照第一基本形式，得：
2 0 1 mGFE ???
由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：
???? s i n1 s i n1 c o s dSdmmdSdmdSdAdSds ????
2.2.5 大地线（续 18）
大地线的归化长度 m 的计算公式：
? ? ?
?
?
?
?
? ?????
4
4
2
3
3
2
2
2
120
c o s
3
1
6
1
N
SAt
N
S
N
SSm ??
222
?????? ????????? ????????? ???? AzAyAxGm
由 式求出偏导数代入得：6
2.2.5 大地线（续 19）
(2),测地坐标系
以过 P0点的经线及
其平行线为 v曲线,过 P0
点与经线正交的一族大
地线为 u曲线，构成的坐
标格网称为 测地坐标系
测地坐标在 v曲线方向 用 Sx，
u曲线方向 用 Sy,
xS
00,LB
xSd?
ydS
dS
yS
222222 xyxy dsndssddsds ?????
即：
2 0 1 nGFE ???
2.2.5 大地线（续 19）
n 称为测地平行线的归化长度因子。
222
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
?????
xxxx
x
s
z
s
y
s
xG
ds
sdn
由 式求出对 A偏导数，并顾及 A = 90°,得：6
xxxxxx s
A
A
z
s
z
s
A
A
y
s
y
s
A
A
x
s
x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
? ?
t
N
s
A
z
A
y
N
S
N
s
s
A
x
y
yy
y
2
2
3
4
4
2
2
2
6
0
120
1
6
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
2.2.5 大地线（续 20）
根据球面角超的定义，在球
面直角三角形 中，球面角
超为：
xs
00,LB
dS
ys
xds dA
xP
xP?
P? P?
P
PPP xx ???
22 22
2s in
R
sds
R
sds yxyx ?? ??
根据球面三角形的 Legendre定理：
? ? ? ?? ?322s i n32s i n ??????? ???????? dA
ds
dA
s xy
? ?32 ??? dAsds yx
7
7将 式代入上式，得：
???
?
???
?
?? 2
2
3
11
R
s
sds
dA y
yx
2.2.5 大地线（续 21）
代入测地平行线的归化长度因子公式，得：
? ?
4
4
2
2
2
22
3 6 0
23
36
11
R
s
R
s
N
sn yyy ????? ?
精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：
2
2
21 R
sn y??
则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：
???
?
???
?
????
?
?
???
?
???? ?? 2
2
0
2
2
0 2
1
2
1
R
ssds
R
sndss y
x
s
x
y
s
xx
xx
习 题
1,纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？ 此线是否
就是大地线？
2,推导大地线的三个微分式 。
3,试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地
大地线是否等距？
4,简述 weingarten级数的推导步骤。
1、大地线的定义与性质
法截弧,由椭球面上 A点的法线与 B点所确定的法截面与
椭球面相割得到的曲线称为 A到 B的法截弧。
相对法截弧,A到 B的法截弧与 B到 A的法截弧。
由相对法截弧构成的椭球面三角形
不是闭合图形。
2.2.5 大地线（续 1）
大地线的定义,大地线的主法线与曲面法线处处重合。
大地线的性质,1、大地线上任何点的密切平面就是该点
的法截面；
2、曲面上连接任何两点的最短直线必为
大地线。
3、大地线的测地曲率等于 0
曲线的测地曲率,曲线的曲率在曲面切平面上的投影。
大地线的曲率：
大地线的挠率
? ?ANN AM Ak g 2222 c o s11s inc o s ?????
AANAAMNg c o ss i nc o ss i n11
2?
? ???
?
??
?
? ??
2.2.5 大地线（续 2）
2、大地坐标系中大地线的微分方程
(1),大地线的二阶微分方程
以 u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：
下标为相应的偏导数。
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
2
2
2
2
2
2
222
222
23
2
2
FEG
EFEEFE
S
FEG
FFFEGE
FEG
FEEG
R
FEG
FFFGEG
FEG
FGGE
Q
FEG
GFGGFG
P
S
du
dv
R
du
dv
Q
du
dv
P
du
vd
uvuuvuuv
vuvuvvuv
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
2.2.5 大地线（续 3）
对于椭球面，有：
代入前面公式，得：
则旋转椭球面上大地线的微分方程为：
BNGFME 222 c o s 0 ???
? ? 0 2 0 s i nc o s 222 ????? StVRQBBVP ?
3
2
2
2
2
2
c o ss i n2 ?
?
??
?
??
???
?
???
? ??
dB
dLBBV
dB
dL
VtdB
Ld ?
2.2.5 大地线（续 4）
(2),克莱劳定理
直角坐标系中的椭球面方程：
012
2
2
2
2
2
????? bZaYaXF
椭球面法向量为,?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
222
222
b
Z
a
Y
a
X
Z
F
Y
F
X
FN
以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：
???
?
???
??
2
2
2
2
2
2
dS
Zd
dS
Yd
dS
Xdn
两者指向一致，即：
22
2
22
2
22
2 222
dSZd
bZ
dSYd
aY
dSXd
aX ??
2.2.5 大地线（续 5）
由上式的前两个方程得：
C
dS
dY
X
dS
dX
Y
dS
Yd
X
dS
Xd
Y
???
???
0
2
2
2
2
积分得：
将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系：
dS
dL
LrL
dS
dr
dS
dY
dS
dL
LrL
dS
dr
dS
dX
LrLBNYLrLBNX
B
B
B
B
BB
c o ss in s inc o s
s ins inc o s c o sc o sc o s
????
????
1
代入 式，整理得：1
CdSdLrB ?2
2
2.2.5 大地线（续 6）
将关系：
即：大地线上各点的平行圈
半径与该点的大地线方位角
正弦的乘积是常数。
A d SdLr B s i n?
代入上式，即得克莱劳定理：
CAr B ?s i n
Br dLrB
A
dS
dAA?
MdB
dL
2.2.5 大地线（续 7）
(3),大地线的一阶微分关系式
Br dLrB
A
dS
dAA?
MdB
dL
BN
A
dS
dL
A d SB d LN
M
A
dS
dB
A d SM d B
c o s
s i n
s i nc o s
c o s
c o s
???
???
由克莱劳定理，微分得：
B
B
B
B
BB
dr
r
A
dr
Ar
A
dA
A d ArAdr
t a n
c o s
s in
:
0c o ss in
????
??
则
2.2.5 大地线（续 8）
又如图所示：
MdB
dr?
B
BM d Bdr B s i n??
代入上式，得：
A d S
N
B
dS
M
A
ABN
BAM
ABN
B d BAM
dA
s i n
t a nc o s
c o sc o s
s i ns i n
c o sc o s
s i ns i n
??
?
三个微分关系式可整理为：
AN BdSdABN AdSdLM AdSdB s inta n c o ss in c o s ??? 3
2.2.5 大地线（续 9）
3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程
大地线始点坐标 P0(B0,L0)，大
地线上任何点的位置向量都可以展
开成 S,A的级数形式：
? ?
????
???
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
120
1
24
1
6
1
2
1
s
ds
d
s
ds
d
s
ds
d
s
ds
d
s
ds
d
s
rr
rrr
r
Frenet标架的坐标轴定义,x′指向
大地线的切向 t,y′指向大地线的
主法向 n，向内为正,z′指向大地
线的副法向 b,构成左手系。
? ?000,LBP
A
S
? ?LBP,
x′
y′
z′
4
2.2.5 大地线（续 10）
显然有：
ds
drt ?
根据曲线论中的 Frenet公式：
nbbtnnt gggg dSdkdSdkdSd ?? ??????
由以上两式可求出各阶导数：
? ?
23
2
23
24
32
42
5
4
5
32
g
g g g g g
g g g g
g g g g g g
g
dkd d d d
k k k k
dS dS dS dS dS
dk d k dk dd
k k k k
dS dS dS dS dS
d
k
dS
?
?
??
? ? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ? ? ? ??? ??
????
??
r t r
n n t n b
r
t n b
r
t
2.2.5 大地线（续 11）
将上式代入大地线展开式,得 Frenet标架下的
三维坐标：
4
43
423
2
2
32
54432
2
24
1
6
1
24
1
6
1
2
1
120
1
8
1
6
1
S
dS
d
k
dS
dk
Skz
Skk
dS
kd
S
dS
dk
Sky
SkS
dS
dk
kSkSx
g
g
g
ggg
ggg
gg
g
g
g
gg
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
?
??
?
5
? ?ANN AM Ak g 2222 c o s11s inc o s ?????
AANAAMNg c o ss i nc o ss i n11
2?
? ???????? ??
顾及公式：
2.2.5 大地线（续 12）
和,A
N
B
dS
dA
M
A
dS
dB s i nta n c o s ??
求导得,? ?
? ?
? ?A
N
At
dS
dA
AdS
dB
BdS
d
At
NdS
dA
dS
dk
AdS
dB
dS
dk
BdS
kd
A
N
At
dS
dA
A
k
dS
dB
B
k
dS
dk
ggg
ggg
ggg
22
2
2
22
3
2
2
2
22
2
2
c o s31
s i n
c o s
3
c o s1
c o s3
?
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
2.2.5 大地线（续 13）
代入 Frenet标架下的三维坐标公式,得：5
? ?
? ?
? ?? ?
42
3
32
2
4222
3
32
2
222
5
4
4
3
2
322
2
s in
24
1
2s in
12
1
c o s231
24
1
c o s
2
1
c o s1
2
1
120
1
8
c o s3
c o s1
6
1
ASt
N
AS
N
z
StA
N
ASt
N
SA
N
y
S
N
S
N
At
SA
N
Sx
??
?
??
?
?
????
???
????
??????
2.2.5 大地线（续 14）
将坐标系饶 y′逆时针旋转 A，
得 x”,y”,z”坐标系，则有：
SA
? ?000,LBP
? ?LBP,
x′
y′
z′
z"
x"
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
z
y
x
AA
AA
z
y
x
c o s0s i n
010
s i n0c o s
以 P0点为原点的地平坐标系 (站心坐
标系 ) x,y,z，与 x”,y”,z”坐标系的
关系为：
A
? ?000,LBP
? ?LBP,x
y"z
z"
x"
y
yz
zy
xx
?
????
???
2.2.5 大地线（续 15）
最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，
称为 Weingarten级数。
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?? ?
4222
3
3
2
2
222
5
4
4
3
2
322
2
5
4
42
3
2
3222
2
c o s231
24
1
2
c o s
c o s1
2
1
1 2 0
s i n
3
c o ss i n
c o s1
6
s i n
s i n
1 2 0
c o s
c o s81
24
c o s1
6
c o s
c o s
StA
N
S
N
At
SA
N
z
S
N
A
S
N
AAt
SA
N
A
ASy
S
N
A
SA
N
t
SA
N
A
ASx
???
???
??
???
???
????
?
?
?
?
?
?
??
6
2.2.5 大地线（续 16）
法截弧为平面曲线，其挠率为 0，同理可推得地平
坐标系中的计算式为：
? ?
? ?
? ?
? ?? ?
4222
3
3
2
2
222
5
4
4
3
2
322
2
5
4
4
3
2
322
2
c o s231
24
1
2
c o s
c o s1
2
1
120
s i n
8
c o ss i n3
c o s1
6
s i n
s i n
120
c o s
8
c o s3
c o s1
6
c o s
c o s
StA
N
S
N
At
SA
N
z
S
N
A
S
N
AAt
SA
N
A
ASy
S
N
A
S
N
At
SA
N
A
ASx
???
???
??
???
??
???
?
?
?
?
?
?
?
2.2.5 大地线（续 17）
4、基于大地线的椭球面曲线坐标系
(1),大地线极坐标系
大地圆,到极点具有相同大地线长
度的点所构成的轨迹。
由大地线长度和大地方位角可描述
曲面点的位置 。? ?As,r A dA
s
ds
mdA dS
0P
?
如图所示,2222 dAmdsdS ??
对照第一基本形式，得：
2 0 1 mGFE ???
由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：
???? s i n1 s i n1 c o s dSdmmdSdmdSdAdSds ????
2.2.5 大地线（续 18）
大地线的归化长度 m 的计算公式：
? ? ?
?
?
?
?
? ?????
4
4
2
3
3
2
2
2
120
c o s
3
1
6
1
N
SAt
N
S
N
SSm ??
222
?????? ????????? ????????? ???? AzAyAxGm
由 式求出偏导数代入得：6
2.2.5 大地线（续 19）
(2),测地坐标系
以过 P0点的经线及
其平行线为 v曲线,过 P0
点与经线正交的一族大
地线为 u曲线，构成的坐
标格网称为 测地坐标系
测地坐标在 v曲线方向 用 Sx，
u曲线方向 用 Sy,
xS
00,LB
xSd?
ydS
dS
yS
222222 xyxy dsndssddsds ?????
即：
2 0 1 nGFE ???
2.2.5 大地线（续 19）
n 称为测地平行线的归化长度因子。
222
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
?????
xxxx
x
s
z
s
y
s
xG
ds
sdn
由 式求出对 A偏导数，并顾及 A = 90°,得：6
xxxxxx s
A
A
z
s
z
s
A
A
y
s
y
s
A
A
x
s
x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
? ?
t
N
s
A
z
A
y
N
S
N
s
s
A
x
y
yy
y
2
2
3
4
4
2
2
2
6
0
120
1
6
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
2.2.5 大地线（续 20）
根据球面角超的定义，在球
面直角三角形 中，球面角
超为：
xs
00,LB
dS
ys
xds dA
xP
xP?
P? P?
P
PPP xx ???
22 22
2s in
R
sds
R
sds yxyx ?? ??
根据球面三角形的 Legendre定理：
? ? ? ?? ?322s i n32s i n ??????? ???????? dA
ds
dA
s xy
? ?32 ??? dAsds yx
7
7将 式代入上式，得：
???
?
???
?
?? 2
2
3
11
R
s
sds
dA y
yx
2.2.5 大地线（续 21）
代入测地平行线的归化长度因子公式，得：
? ?
4
4
2
2
2
22
3 6 0
23
36
11
R
s
R
s
N
sn yyy ????? ?
精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：
2
2
21 R
sn y??
则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：
???
?
???
?
????
?
?
???
?
???? ?? 2
2
0
2
2
0 2
1
2
1
R
ssds
R
sndss y
x
s
x
y
s
xx
xx
习 题
1,纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？ 此线是否
就是大地线？
2,推导大地线的三个微分式 。
3,试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地
大地线是否等距？
4,简述 weingarten级数的推导步骤。
