§ 2.5 参心坐标系和参考椭球
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
1、天文经度、天文纬度和天文方位角
天文经度,包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角；
天文纬度,测站垂线的与赤道面的夹角；
天文方位角,包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准
面所张成的垂直面的夹角；
天文天顶距,测站垂线与观测方向的夹角
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
因地极移动，观测的天文经纬度、方位角需要
归算到地极原点，称为极移改正，其公式如下：
? ?
? ? ??????
??????
?????
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s i nc o s
0
0
0
yx
yx
yx
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?????
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观测值在地面取得，归算到椭球面上时，
天文纬度和方位角需要作如下改正：
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? ? 标H
a
e
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2s inc o s
2
2s in1 7 1.0
2
2
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
2、垂线偏差和大地水准面差距
大地水准面
参考椭球面
dN
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A???
AAA s i nc o s ??? ??
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n
i
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1
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数值积分，得：
x
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1y
1x
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
3、垂线偏差公式和 Laplace方位角
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y
x
A
z
y
x
xyz
??
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?? RRR
如图所示,xyz为大地
站心坐标系,x1 y1 z1为天文
站心坐标系。两者的关系为：
1
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
天文和大地坐标系分别与原点在站心，坐标轴与
三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下：
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z
y
x
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LBLLB
Z
Y
X
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?????
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
由上面第一式代入第二式，略去高次项，整理得：
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上式与 式相比较，得：1
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
并得出 Laplace方程：
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顾及天文站心系（ x1,y1,z1）与大地站心系（ x,y,z）的关系：
和天顶距、方位角和站心坐标的关系：
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ZD
ZD
z
y
x
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
将第二式代入第一式，得：
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将展开式：
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ZZZZZAAA
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??????
11
11
s i nc o sc o s,s i nc o sc o s
c o ss i ns i n,c o ss i ns i n
??
??
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
代入上式，并略去二次以上的项，得：
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由第三式，得：
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c t gc o ss i n
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ZAAAA
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?????
?????
? ?AAZZ s i nc o s1 ?? ???
由第一式或第二式，顾及上式，并略去高次项得：
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
如果椭球短轴不平行与地轴，大地起始子午面不
平行大地起始子午面，则还要考虑三个旋转角的影响，
此时，大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的
关系可推广为：
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0c o ss i n
t a n
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2.5.2 参考椭球的定位和定向
1、椭球定位和定向的意义和条件
椭球定位,确定椭球中心的位置，即三个平移量
椭球定向,确定椭球坐标轴的指向，即三个旋转量
参考椭球定位、定向应满足的条件：
（ 1）椭球短轴与指定历元的地球自转轴平行；
（ 2）大地起始子午面与天文起始子午面平行；
（ 3）在一定区域内椭球面与大地水准面最为密合。
相应的数学表达式为：
mi n ( 3 ), 0 ( 2 ), 0,0 ).1( 2 ???? ? NZYX ???
2.5.2 参考椭球的定位和定向
2、椭球定位和定向的方法
在大地原点 Pk存在关系：
kkk
kkk
kkk
kk
k
k
k
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t a n
s e c
上式隐含了三个旋转角为 0。
2.5.2 参考椭球的定位和定向
（ 1）、单点定位
大地测量工作刚开始，没有充分资料确定垂线偏
差和大地水准面差距，假设在大地原点处，
?k = ?k = Nk = 0。
则有：
klklkkkkkk AhH LB ??? ????
表示：单点定位时大地原点的法线与垂线一致，
大地高等于正常高
2.5.2 参考椭球的定位和定向
（ 2）、多点定位
根据以前的天文大地测量成果，来对椭球进行定位、
定向和计算椭球元素。
由前面的大地坐标微分公式，
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BAJAJ
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2.5.2 参考椭球的定位和定向
顾及：
展开大地坐标微分公式，略去旋转参数项，取最后
一式代入上式，得：
dHHHNNdN o l dn e wo l dn e w ?????
o l do l d
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o l d
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o l do l do l do l do l dn e w
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W
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dZBdYLBdXLBN
???
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22
000
s in
2
s ins inc o sc o sc o s
根据条件,m in2? ?
n e wN
求解定位参数。
2.5.2 参考椭球的定位和定向
也可以根据垂线偏差关系：
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???
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n e w
BdL
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B
BL
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c o sc o sc o s ?
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将大地坐标微分公式，略去旋转参数项，展开后的前
二式代入上式。根据条件：
? ? mi n22? ?? n e wn e w ??
求解椭球的定位参数。
2.5.3 参心坐标系的建立
参考椭球定位后，采用天文大地测量方法，进行
三角测量、导线测量、空间大地测量（ GPS,SLR、
SALT,VLBI）、精密水准测量、重力测量等手段，
建立参心坐标系，求得覆盖全区域的大地控制测量数
成果。
§ 2.6 协议地球参考系 (CTRS)和平均地球椭球
2.6.1 协议协议地球参考系 (CTRS)的定义和建立
定义,坐标轴指向 BIH 1984.0系统，坐标轴定向使地
壳各方向的运动之和为 0。
建立,由各板块的 SLR,VLBI站以及部分 IGS站确定。
2.6.2 当今技术条件下的平均椭球
利用低轨卫星观测数据求定平均椭球的四
个参数，并对平均椭球进行定位和定向。
习 题
1、天文方位角归算到参考椭球上要加哪些改正？
写出其改正公式。
2、若某测站的垂线偏差为 ? = 7.02?,? = -4.38?,测
得某方向的天顶距为 85?48?56.3?,已知该方向的
方位角为 135?43?25.6?。求：改正后的天顶距。
3、参考椭球定位满足什么条件？有哪两种方法？
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
1、天文经度、天文纬度和天文方位角
天文经度,包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角；
天文纬度,测站垂线的与赤道面的夹角；
天文方位角,包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准
面所张成的垂直面的夹角；
天文天顶距,测站垂线与观测方向的夹角
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
因地极移动，观测的天文经纬度、方位角需要
归算到地极原点，称为极移改正，其公式如下：
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观测值在地面取得，归算到椭球面上时，
天文纬度和方位角需要作如下改正：
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
2、垂线偏差和大地水准面差距
大地水准面
参考椭球面
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
3、垂线偏差公式和 Laplace方位角
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站心坐标系。两者的关系为：
1
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
天文和大地坐标系分别与原点在站心，坐标轴与
三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下：
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
由上面第一式代入第二式，略去高次项，整理得：
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
并得出 Laplace方程：
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顾及天文站心系（ x1,y1,z1）与大地站心系（ x,y,z）的关系：
和天顶距、方位角和站心坐标的关系：
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
将第二式代入第一式，得：
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2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
代入上式，并略去二次以上的项，得：
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由第三式，得：
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由第一式或第二式，顾及上式，并略去高次项得：
2.5.1 垂线偏差与 Laplace方程
如果椭球短轴不平行与地轴，大地起始子午面不
平行大地起始子午面，则还要考虑三个旋转角的影响，
此时，大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的
关系可推广为：
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2.5.2 参考椭球的定位和定向
1、椭球定位和定向的意义和条件
椭球定位,确定椭球中心的位置，即三个平移量
椭球定向,确定椭球坐标轴的指向，即三个旋转量
参考椭球定位、定向应满足的条件：
（ 1）椭球短轴与指定历元的地球自转轴平行；
（ 2）大地起始子午面与天文起始子午面平行；
（ 3）在一定区域内椭球面与大地水准面最为密合。
相应的数学表达式为：
mi n ( 3 ), 0 ( 2 ), 0,0 ).1( 2 ???? ? NZYX ???
2.5.2 参考椭球的定位和定向
2、椭球定位和定向的方法
在大地原点 Pk存在关系：
kkk
kkk
kkk
kk
k
k
k
NhH
A
L
B
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上式隐含了三个旋转角为 0。
2.5.2 参考椭球的定位和定向
（ 1）、单点定位
大地测量工作刚开始，没有充分资料确定垂线偏
差和大地水准面差距，假设在大地原点处，
?k = ?k = Nk = 0。
则有：
klklkkkkkk AhH LB ??? ????
表示：单点定位时大地原点的法线与垂线一致，
大地高等于正常高
2.5.2 参考椭球的定位和定向
（ 2）、多点定位
根据以前的天文大地测量成果，来对椭球进行定位、
定向和计算椭球元素。
由前面的大地坐标微分公式，
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0
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de
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Y
X
XY
XZ
YZ
dZ
dY
dX
dH
dL
dB
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i
i
T
Y
Y
X
ii
ii
ii
TT
i
i
i
BAJAJ
AJAJ
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?
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2.5.2 参考椭球的定位和定向
顾及：
展开大地坐标微分公式，略去旋转参数项，取最后
一式代入上式，得：
dHHHNNdN o l dn e wo l dn e w ?????
o l do l d
o l d
o l d
o l d
o l do l do l do l do l dn e w
NdeB
W
a
daW
dZBdYLBdXLBN
???
???
22
000
s in
2
s ins inc o sc o sc o s
根据条件,m in2? ?
n e wN
求解定位参数。
2.5.2 参考椭球的定位和定向
也可以根据垂线偏差关系：
? ? ? ? ???
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o l do l do l d
o l d
n e wn e w
n e w
n e w
n e w
BdL
dB
BL
B
BL
B
c o sc o sc o s ?
?
?
?
?
?
将大地坐标微分公式，略去旋转参数项，展开后的前
二式代入上式。根据条件：
? ? mi n22? ?? n e wn e w ??
求解椭球的定位参数。
2.5.3 参心坐标系的建立
参考椭球定位后，采用天文大地测量方法，进行
三角测量、导线测量、空间大地测量（ GPS,SLR、
SALT,VLBI）、精密水准测量、重力测量等手段，
建立参心坐标系，求得覆盖全区域的大地控制测量数
成果。
§ 2.6 协议地球参考系 (CTRS)和平均地球椭球
2.6.1 协议协议地球参考系 (CTRS)的定义和建立
定义,坐标轴指向 BIH 1984.0系统，坐标轴定向使地
壳各方向的运动之和为 0。
建立,由各板块的 SLR,VLBI站以及部分 IGS站确定。
2.6.2 当今技术条件下的平均椭球
利用低轨卫星观测数据求定平均椭球的四
个参数，并对平均椭球进行定位和定向。
习 题
1、天文方位角归算到参考椭球上要加哪些改正？
写出其改正公式。
2、若某测站的垂线偏差为 ? = 7.02?,? = -4.38?,测
得某方向的天顶距为 85?48?56.3?,已知该方向的
方位角为 135?43?25.6?。求：改正后的天顶距。
3、参考椭球定位满足什么条件？有哪两种方法？
