4.1 边值问题的唯一性定理一、边值问题边值问题是指存在边界面的电磁问题。
根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。
第二类边值问题：已知函数在 全部 边界面上的法向导数。
S f
S
fn
2
2
S
fn
第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。
1 1S f
12S S S
二、唯一性定理唯一性定理内容：在场域 V的各边界面 S上给定电位 或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V内的解唯一。
n
说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。
n
唯一性定理的意义：
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据
4.2 直角坐标系中的分离变量法建立求解方程：
导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即
2 0
0 0 ( 0 )x yb
0 ( 0 )xa yb
0 0 (0 )y xa
( 0 )yb U x a
问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为 u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。
x
y
a
b
u
用分离变量法求解过程：
2 0 222
2 2 2 0x y z
0?
很明显,为 x,y的函数。则可令?
(,) ( ) ( )x y X x Y y
代入方程得
22
22
( ) ( )( ) ( ) 0d X x d Y yY y X x
dx dy
22
22
1 ( ) 1 ( ) 0
( ) ( )
d X x d Y y
X x d x Y y d y
22
22
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
d X x d Y y
X x d x Y y d y
2
2
1 ( )
()
d X x
X x d x
2
2
1 ( )
()
d Y y
Y y d y?
仅为 x坐标函数仅为 y坐标函数要使对任意 x,y两式相等，则须两式均为常数。令
22
2
22
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
d X x d Y y k
X x d x Y y d y
2
2
2
2
2
2
1 ( )
()
1 ( )
()
d X x
k
X x d x
d Y y
k
Y y d y
2
2
2
2
2
2
()
( ) 0
()
( ) 0
d X x
k X x
dx
d Y y
k Y y
dy
分离常数通过引入分离常数 k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。
解常微分方程（ k取值不同解形式不同）：
当 k=0时：
00
0 0 0 0
00
(),,,
()
X x A x B A B C D
Y y C y D
待 定当 k≠0时：
( ) s i n ( ) c o s ( ),,,
( ) ( ) ( )
X x A k x B k x A B C D
Y y C s h k y D c h k y
待 定
[ s i n ( ) c o s ( ) ] [ ( ) ( ) ]A k x B k x C s h k y D c h k y
由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量 k可以取一系列特定的值 kn(n=1,2,3…… ），即：
[ s in ( ) c o s ( ) ] [ ( ) ( ) ] 1,2,3,n n n n n n n nA k x B k x C s h k y D c h k y n … …
由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。
将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。
0 0 0 0( ) ( )
[ sin( ) c o s( ) ] [ ( ) ( ) ]n n n n n n n n
A x B C y D
A k x B k x C sh k y D c h k y
n=1
＋
解中所有未知系数和分离变量 kn由边界条件确定。
2 0
0 0 ( 0 ) ( 1 )x yb
0 ( 0 ) (2 )xa yb
0 0 ( 0 ) ( 3 )y xa
( 0 ) ( 4 )yb U x a
x
y
a
b
u
0 0 0 0( ) ( )
[ sin( ) c o s( ) ] [ ( ) ( ) ]n n n n n n n n
A x B C y D
A k x B k x C sh k y D c h k y
n=1
＋
由条件（ 1）
0 0,0nBB
由条件（ 2）
0 0,( 1,2,)n
nA k n
a
由条件（ 3）
0nD
'' si n( ) ( ) ( )
n n n n
nnA x sh y A A C
aa
n=1由条件（ 4）
' si n ( ) ( )n nnu A x sh baa
n=1
si n( )n nu f xa?
n=1
将 u在（ 0,a)区间展开为 傅立叶级数
sin( )n xa?
0
4
1,3,5,,,2
s i n
0 2,4,6,,,
a
n
u
nnx
f u d x n
aa n
'
()
n
n
fA
ns h b
a
所以，接地导体槽内部电位分布为
41 s in ( ) ( )
()
u n x n ysh
nb aan s h
a
n=1,3,...
4.3 镜像法几个实例：
q
q′
非均匀感应电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位接地导体球附近有一个点电荷,如图 。
q
非均匀感应电荷
q′
等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代镜像法的目的：把原问题中 包含典型边界 的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间 中的问题求解,达到 简化求解 的目的,
镜像法基本思路：在 求解域外 的适当位置，放置 虚拟电荷 等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在。
镜像法原理镜像法理论依据：唯一性定理。
由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）
电位分布仍满足原边界条件镜像电荷位置选择原则：
镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件
镜像电荷必须位于求解区域以外一、平面接地导体边界点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
x
z
h
q?
导体原问题：
无限大接地导体平面（ z=0）,点电荷 q位置,z=h
求空间中电位分布。
x
z
h
h
q
q?
(,,)P x y zR
'R
等效问题：
要求：与原问题边界条件相同
原电荷,q:z=h
镜像电荷 (等效电荷 ):-q->z=-h(求解域外 )
取消导体边界面,z>0空间媒质充满整个空间。
由等效问题，可以求出在 z>0空间内的电位分布为：
11(,,) ( )
4'
qx y z
RR
2 2 2 2 2 2
11( ) ( 0 )
4 ( ) ( )
q z
x y z h x y z h
0
s n n
z
DE nz
2 2 2 3 / 22 ( )
qh
x y h?
2 2 2 3 / 22 ( )im ss
qhq d s d x d y q
x y h
即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上的感应电荷电量相等。
无限大接地导体分界面上感应电荷线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
x
z
h
h
l
(,)P x zR
'R
l
x
z
h
l?
导体?
对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题
''ll zh
在 z>0空间的电位分布为：
11(,,) ( l n l n )
2'
lx y z
RR
22
22
()'l n( ) l n ( 0)
22 ()
ll x z hR z
R x z h
点电荷对相交接地平面导体边界的镜像
x
y
1
h
2
h
2
h
1
h
q
1
qq
3
qq?
2
qq
如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。
要满足在导体平面上电位为零，
则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为,则所有镜像电荷数目为 2n-1个。n
x
q
例 8.6 一个点电荷 q与无限大导体平面距离为 d,如果把它移至无穷远处,（ 外力 ） 需要做多少功？ 。
q′
q
x
=∞
0 d
-d
解：移动电荷 q时,外力需要克服电场力做功,而电荷 q受的电场力来源于导体板上的感应电荷 。 可以先求电荷 q移至无穷远时电场力所做的功 。
由镜像法,感应电荷的电场可以用像电荷 q′ ＝－ q替代 。 当电荷
q移至 x时,像电荷 q′ 应位于－ x,则有
2
042
x
qE x e
x
22
2
00
1
4 1 62
e d
d
A q E x d x
qq
dx
dx
2
0
016
e
qAA
d
二、点电荷对球面导体边界的镜像点电荷对接地球面导体边界的镜像
q
'qO
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
镜像电荷位于球心与电荷 q连线上。
令镜像电荷电量为,与球心距离为 。要保持边界条件不变，则：
'q
'd
在空间中任意点 处电位为：
(,)Pr?
1'[]
4'
qq
Rr
22 2 c o sR r d r d 22' ' 2 ' c o sr r d r d
q
'qO
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
z
由边界条件可知：
0ra
1'[]
4'ra ra
qq
Rr
镜像电荷
22
1 (
4 2 c os
q
a d ad
22
' )0
' 2 ' c os
q
a d ad?
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ' ( ' ) 2 ( ' ' ) c o s 0a d q a d q a d q d q
2 2 2 2 2 2
22
( ) ' ( ' ) 0
2 ( ' ' ) 0
a d q a d q
a d q d q
2
''
(
' '
a qq
qq
d
a
d dd
d
或 舍 去 ）
结论：点电荷 q对接地导体球面的镜像电荷为
2
''aaq q ddd电 量,位 置,
当电荷位于接地导体球壳内时，将在导体内表面激励起感应电荷，但由于球壳接地，在球外空间不能建立起场分布（被屏蔽）。
可以求得镜像电荷：
' aqqd电 量,
2
' ad d?位 置,
对点电荷位于接地导体球壳内问题的讨论
a
q
d
Ob q′
d’
r R′R
P
| q′ |>|q|,可见球外的电荷量大于球内电荷量像电荷的位置和电量与外半径 b无关 （ 为什么？ ）
点电荷对不接地球面导体边界的镜像 当球壳不接地时，导体球面电位不为 0，球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为 0）。
处理方法：电位叠加原理处理过程：
先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。
断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。
均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点电荷等效。
'q
'q?
'q?
a
q
r P
d1
q′
d2
-q′
R′ R
分析可知：点电荷 q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：
镜像电荷 1：
电量：
' aqqd
位置,2
' ad d?
镜像电荷 2：
电量：
'' ' aq q qd
位置：位于球心。
1 ' ''[]
4'
q q q
R r r
球外空间某点电位为：
a
q
r P
d
q′
d’
-q′
r′ R
三、线电荷对接地导体圆柱边界的镜像如图：线电荷位于导体圆柱外，
距离轴心 d。设镜像线电荷为,
与轴心距离为 。
l?
d
2 2 2 2
'11 ]0
22 2 c o s ' 2 ' c o s
ll
ra a d a d a d a d
2 2 2 2( ) ' '( ' ) 0
'0
ll
ll
d a d d a d
根据镜像法镜像选择原则，镜像电荷必须位于导体 区域 内，其与源线电荷共同在导体分界面上产生的电位为 0。
2
' '
''/
ll ll
ddd a d
或 （ 舍 去 ）
a r
P
d1
lO -?l
Qd
2
R′ R
ll′
四、点电荷对电介质分界面的镜像问题：点电荷位于两种电介质分界面上方
h，求空间电位分布。
分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，
空间电位由极化面电荷和电荷 q共同产生。
解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。
q
h
O
1
2
z
q
h
O
1
z
h
q′
PR1
R1′
h O
2
z
P
R2
qq
区域 1的电位由 q和位于区域 2中的镜像电荷 q′ 共同产生区域 2的电位由 q和位于区域 1中的镜像电荷 共同产生q
1
1 1 1
1
4qq
qq
RR
2 2 2 2 2 21
1'( ) ( 0 )
4 ( ) ( )
qq z
x y z h x y z h
2
2
1 ''(,,) ( )
4
qqx y z
R
2 2 22
1 '' ( 0 )
4 ()
qq z
x y z h
在 z=0面上应用电位边界条件
1200
12
12
00
zz
zzzz
12
' ''
' ''
q q q q
q q q q
12
12
12
12
' ( 1
'' ' (
qq
q q q
计 算 媒 质 中 电 位 )
计 算 媒 质 2 中 电 位 )
真空中一点电荷 Q位于导体球附近。导体球半径为 a，
点电荷距离球心距离为 d（ d>a）。求：
（ 1）导体球接地时空间电位分布及电荷 Q所受的电场力；
（ 2）导体球未接地时空间电位分布及电荷 Q所受的电场力；
Q'qO
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
解,(1)当导体球接地时，由镜像法，
原问题可等效为空间只存在 Q和镜像电荷 q’，不存在边界的问题。
易知：
' aqqd
2
' ad d?
例则球外空间任意点 处电位为：(,,)P x y z
22
0
2 4 2 2
1
[
4 2 c os
] ( )
/ 2 ( / ) c os
Q
r d rd
a
ra
d r a d r a d
导体球接地，因此球内空间电位为 0，即,0 ( )ra
电荷 Q受静电力为：
2
2 2 2 2
00
'
4 ( ') 4 ( )rr
q q a d qF e e
d d d a
(2)当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在 Q和镜像电荷 q’和
q’’，不存在边界的问题。
易知：
Q
'q
O
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
''q
' aqQd 2' ad
d?
'' ' aq q Qd
位置位于球心。
则球外空间任意点 处电位为：(,,)P x y z
1 ' ''[]
4'
Q q q
R r r
22
00
' ''()
4 ( ') 4 r
Q q Q qFe
d d d
根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。
第二类边值问题：已知函数在 全部 边界面上的法向导数。
S f
S
fn
2
2
S
fn
第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。
1 1S f
12S S S
二、唯一性定理唯一性定理内容：在场域 V的各边界面 S上给定电位 或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V内的解唯一。
n
说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。
n
唯一性定理的意义：
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据
4.2 直角坐标系中的分离变量法建立求解方程：
导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即
2 0
0 0 ( 0 )x yb
0 ( 0 )xa yb
0 0 (0 )y xa
( 0 )yb U x a
问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为 u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。
x
y
a
b
u
用分离变量法求解过程：
2 0 222
2 2 2 0x y z
0?
很明显,为 x,y的函数。则可令?
(,) ( ) ( )x y X x Y y
代入方程得
22
22
( ) ( )( ) ( ) 0d X x d Y yY y X x
dx dy
22
22
1 ( ) 1 ( ) 0
( ) ( )
d X x d Y y
X x d x Y y d y
22
22
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
d X x d Y y
X x d x Y y d y
2
2
1 ( )
()
d X x
X x d x
2
2
1 ( )
()
d Y y
Y y d y?
仅为 x坐标函数仅为 y坐标函数要使对任意 x,y两式相等，则须两式均为常数。令
22
2
22
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
d X x d Y y k
X x d x Y y d y
2
2
2
2
2
2
1 ( )
()
1 ( )
()
d X x
k
X x d x
d Y y
k
Y y d y
2
2
2
2
2
2
()
( ) 0
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( ) 0
d X x
k X x
dx
d Y y
k Y y
dy
分离常数通过引入分离常数 k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。
解常微分方程（ k取值不同解形式不同）：
当 k=0时：
00
0 0 0 0
00
(),,,
()
X x A x B A B C D
Y y C y D
待 定当 k≠0时：
( ) s i n ( ) c o s ( ),,,
( ) ( ) ( )
X x A k x B k x A B C D
Y y C s h k y D c h k y
待 定
[ s i n ( ) c o s ( ) ] [ ( ) ( ) ]A k x B k x C s h k y D c h k y
由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量 k可以取一系列特定的值 kn(n=1,2,3…… ），即：
[ s in ( ) c o s ( ) ] [ ( ) ( ) ] 1,2,3,n n n n n n n nA k x B k x C s h k y D c h k y n … …
由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。
将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。
0 0 0 0( ) ( )
[ sin( ) c o s( ) ] [ ( ) ( ) ]n n n n n n n n
A x B C y D
A k x B k x C sh k y D c h k y
n=1
＋
解中所有未知系数和分离变量 kn由边界条件确定。
2 0
0 0 ( 0 ) ( 1 )x yb
0 ( 0 ) (2 )xa yb
0 0 ( 0 ) ( 3 )y xa
( 0 ) ( 4 )yb U x a
x
y
a
b
u
0 0 0 0( ) ( )
[ sin( ) c o s( ) ] [ ( ) ( ) ]n n n n n n n n
A x B C y D
A k x B k x C sh k y D c h k y
n=1
＋
由条件（ 1）
0 0,0nBB
由条件（ 2）
0 0,( 1,2,)n
nA k n
a
由条件（ 3）
0nD
'' si n( ) ( ) ( )
n n n n
nnA x sh y A A C
aa
n=1由条件（ 4）
' si n ( ) ( )n nnu A x sh baa
n=1
si n( )n nu f xa?
n=1
将 u在（ 0,a)区间展开为 傅立叶级数
sin( )n xa?
0
4
1,3,5,,,2
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0 2,4,6,,,
a
n
u
nnx
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'
()
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ns h b
a
所以，接地导体槽内部电位分布为
41 s in ( ) ( )
()
u n x n ysh
nb aan s h
a
n=1,3,...
4.3 镜像法几个实例：
q
q′
非均匀感应电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位接地导体球附近有一个点电荷,如图 。
q
非均匀感应电荷
q′
等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代镜像法的目的：把原问题中 包含典型边界 的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间 中的问题求解,达到 简化求解 的目的,
镜像法基本思路：在 求解域外 的适当位置，放置 虚拟电荷 等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在。
镜像法原理镜像法理论依据：唯一性定理。
由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）
电位分布仍满足原边界条件镜像电荷位置选择原则：
镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件
镜像电荷必须位于求解区域以外一、平面接地导体边界点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
x
z
h
q?
导体原问题：
无限大接地导体平面（ z=0）,点电荷 q位置,z=h
求空间中电位分布。
x
z
h
h
q
q?
(,,)P x y zR
'R
等效问题：
要求：与原问题边界条件相同
原电荷,q:z=h
镜像电荷 (等效电荷 ):-q->z=-h(求解域外 )
取消导体边界面,z>0空间媒质充满整个空间。
由等效问题，可以求出在 z>0空间内的电位分布为：
11(,,) ( )
4'
qx y z
RR
2 2 2 2 2 2
11( ) ( 0 )
4 ( ) ( )
q z
x y z h x y z h
0
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z
DE nz
2 2 2 3 / 22 ( )
qh
x y h?
2 2 2 3 / 22 ( )im ss
qhq d s d x d y q
x y h
即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上的感应电荷电量相等。
无限大接地导体分界面上感应电荷线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
x
z
h
h
l
(,)P x zR
'R
l
x
z
h
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导体?
对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题
''ll zh
在 z>0空间的电位分布为：
11(,,) ( l n l n )
2'
lx y z
RR
22
22
()'l n( ) l n ( 0)
22 ()
ll x z hR z
R x z h
点电荷对相交接地平面导体边界的镜像
x
y
1
h
2
h
2
h
1
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1
3
qq?
2
如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。
要满足在导体平面上电位为零，
则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为,则所有镜像电荷数目为 2n-1个。n
x
q
例 8.6 一个点电荷 q与无限大导体平面距离为 d,如果把它移至无穷远处,（ 外力 ） 需要做多少功？ 。
q′
q
x
=∞
0 d
-d
解：移动电荷 q时,外力需要克服电场力做功,而电荷 q受的电场力来源于导体板上的感应电荷 。 可以先求电荷 q移至无穷远时电场力所做的功 。
由镜像法,感应电荷的电场可以用像电荷 q′ ＝－ q替代 。 当电荷
q移至 x时,像电荷 q′ 应位于－ x,则有
2
042
x
qE x e
x
22
2
00
1
4 1 62
e d
d
A q E x d x
dx
dx
2
0
016
e
qAA
d
二、点电荷对球面导体边界的镜像点电荷对接地球面导体边界的镜像
q
'qO
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
镜像电荷位于球心与电荷 q连线上。
令镜像电荷电量为,与球心距离为 。要保持边界条件不变，则：
'q
'd
在空间中任意点 处电位为：
(,)Pr?
1'[]
4'
Rr
22 2 c o sR r d r d 22' ' 2 ' c o sr r d r d
q
'qO
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
z
由边界条件可知：
0ra
1'[]
4'ra ra
Rr
镜像电荷
22
1 (
4 2 c os
q
a d ad
22
' )0
' 2 ' c os
q
a d ad?
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ' ( ' ) 2 ( ' ' ) c o s 0a d q a d q a d q d q
2 2 2 2 2 2
22
( ) ' ( ' ) 0
2 ( ' ' ) 0
a d q a d q
a d q d q
2
''
(
' '
a qq
d
a
d dd
d
或 舍 去 ）
结论：点电荷 q对接地导体球面的镜像电荷为
2
''aaq q ddd电 量,位 置,
当电荷位于接地导体球壳内时，将在导体内表面激励起感应电荷，但由于球壳接地，在球外空间不能建立起场分布（被屏蔽）。
可以求得镜像电荷：
' aqqd电 量,
2
' ad d?位 置,
对点电荷位于接地导体球壳内问题的讨论
a
q
d
Ob q′
d’
r R′R
P
| q′ |>|q|,可见球外的电荷量大于球内电荷量像电荷的位置和电量与外半径 b无关 （ 为什么？ ）
点电荷对不接地球面导体边界的镜像 当球壳不接地时，导体球面电位不为 0，球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为 0）。
处理方法：电位叠加原理处理过程：
先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。
断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。
均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点电荷等效。
'q
'q?
'q?
a
q
r P
d1
q′
d2
-q′
R′ R
分析可知：点电荷 q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：
镜像电荷 1：
电量：
' aqqd
位置,2
' ad d?
镜像电荷 2：
电量：
'' ' aq q qd
位置：位于球心。
1 ' ''[]
4'
q q q
R r r
球外空间某点电位为：
a
q
r P
d
q′
d’
-q′
r′ R
三、线电荷对接地导体圆柱边界的镜像如图：线电荷位于导体圆柱外，
距离轴心 d。设镜像线电荷为,
与轴心距离为 。
l?
d
2 2 2 2
'11 ]0
22 2 c o s ' 2 ' c o s
ll
ra a d a d a d a d
2 2 2 2( ) ' '( ' ) 0
'0
ll
ll
d a d d a d
根据镜像法镜像选择原则，镜像电荷必须位于导体 区域 内，其与源线电荷共同在导体分界面上产生的电位为 0。
2
' '
''/
ll ll
ddd a d
或 （ 舍 去 ）
a r
P
d1
lO -?l
Qd
2
R′ R
ll′
四、点电荷对电介质分界面的镜像问题：点电荷位于两种电介质分界面上方
h，求空间电位分布。
分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，
空间电位由极化面电荷和电荷 q共同产生。
解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。
q
h
O
1
2
z
q
h
O
1
z
h
q′
PR1
R1′
h O
2
z
P
R2
区域 1的电位由 q和位于区域 2中的镜像电荷 q′ 共同产生区域 2的电位由 q和位于区域 1中的镜像电荷 共同产生q
1
1 1 1
1
4qq
RR
2 2 2 2 2 21
1'( ) ( 0 )
4 ( ) ( )
qq z
x y z h x y z h
2
2
1 ''(,,) ( )
4
qqx y z
R
2 2 22
1 '' ( 0 )
4 ()
qq z
x y z h
在 z=0面上应用电位边界条件
1200
12
12
00
zz
zzzz
12
' ''
' ''
q q q q
q q q q
12
12
12
12
' ( 1
'' ' (
q q q
计 算 媒 质 中 电 位 )
计 算 媒 质 2 中 电 位 )
真空中一点电荷 Q位于导体球附近。导体球半径为 a，
点电荷距离球心距离为 d（ d>a）。求：
（ 1）导体球接地时空间电位分布及电荷 Q所受的电场力；
（ 2）导体球未接地时空间电位分布及电荷 Q所受的电场力；
Q'qO
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
解,(1)当导体球接地时，由镜像法，
原问题可等效为空间只存在 Q和镜像电荷 q’，不存在边界的问题。
易知：
' aqqd
2
' ad d?
例则球外空间任意点 处电位为：(,,)P x y z
22
0
2 4 2 2
1
[
4 2 c os
] ( )
/ 2 ( / ) c os
Q
r d rd
a
ra
d r a d r a d
导体球接地，因此球内空间电位为 0，即,0 ( )ra
电荷 Q受静电力为：
2
2 2 2 2
00
'
4 ( ') 4 ( )rr
q q a d qF e e
d d d a
(2)当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在 Q和镜像电荷 q’和
q’’，不存在边界的问题。
易知：
Q
'q
O
r
'r
R
d
'd
(,)Pr?
''q
' aqQd 2' ad
d?
'' ' aq q Qd
位置位于球心。
则球外空间任意点 处电位为：(,,)P x y z
1 ' ''[]
4'
Q q q
R r r
22
00
' ''()
4 ( ') 4 r
Q q Q qFe
d d d
