3.1 真空中静电场的基本方程亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质，
因此，静电场的基本方程即为电场的 散度,旋度 计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理可以证明：真空中静电场的散度为
0
0
() ()
()
r
Er r
rr

处 无 电 荷处 电 荷 密 度 为静电场高斯定理微分形式说明,1)电场散度仅与电荷分布相关，其大小 ()r
2）对于真空中点电荷，有
( ) 0Er
0
() qEr
或真空中静电场的散度物理意义：静电场 穿过闭合面 S的通量只与闭合面内所围电荷量有关。
静电荷是静电场的散度源,激发起扩散或汇集状的静电场无电荷处,源的强度 (散度 ） 为零,但电场不一定为零将高斯定理微分形式对一定体积 V积分，则得：
0
()()
VV
rE r d V d V
00
1( ) ( )
SV
QE r dS r dV?

E
0
()S QE r d S
式中,S为高斯面，是一闭合曲面，
Q为高斯面所围的电荷总量。
静电场中的高斯定理?
真空中静电场的高斯定理对高斯定理的讨论二、真空中静电场的旋度 环路定律
( ) 0Er
当 A点和 B点重合时：
物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，
静电力做功为零 —— 静电场为保守场。
静电场旋度处处为零,静电场中不存在旋涡源,电力线不构成闭合回路
0C E dl
2
0
2
00
4
11
44
B
A
r
ll
R
ABR
e d lq
E d l
R
q d R q
R R R

q
A
B
AR
BR
l
斯托克斯公式对环路定理的讨论静电场环路定律积分形式真空中静电场性质小结：
微分形式
0
()()
( ) 0
rEr
Er

0
()
( ) 0
S
C
QE r dS
Er

积分形式静电场性质：是一种 有源无旋场,是保守场。
静电场的源：电荷讨论：对静电场，恒有：
( ) 0Er
( ) 0 E为标量函数静电场可以由一 标量函数的梯度 表示。
00
1( ) ( )
SV
QE r dS r dV?

求解的关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些 呈对称分布 的电荷系统。
1）场点位于高斯面上；
2）高斯面为闭合面；
3）在整个或分段高斯面上,或 为恒定值。E E dS
补充内容,利用高斯定理求解静电场例 求电荷密度为 的无限大面电荷在空间中产生的电场
S?
x
y
z
E
E
解：取如图所示高斯面。
由高斯定律，有
0
()S QE r d S
12
0
( ) ( ) ( ) szz SE r e S E r e S
02
sE?

0
0
( 0)2
( 0)2
s
z
s
z
ez
E
ez

分析：电场方向垂直表面。在平行电荷面的面上大小相等。
S
n
n
n
求无限长线电荷在真空中产生的电场。
E
解：取如图所示高斯面。
由高斯定律，有
0
()S QE r d S
0
( ) ( 2 ) lr lE r rl e
02
l
rEer

分析：电场方向垂直圆柱面。
电场大小只与 r有关。
r
例
2）解为球坐标系下的表达形式。
2
0
3
0
( ) ( )
4
( ) ( )
4
r
r
Q
e r a
r
E
Qr
e r a
a

2
23
0
0 ( )
1
( ) ( )
4
ra
Qr
r r a
r r a

3 0
0
0
3
4
E Q
a

3）
0
3
0
1
()
4
0
4
Q
r
E
Q
r
a

a
解,1) 取如图所示高斯面。
在球外区域,r?a
0
()S QE r d S
2
0
( ) ( 4 )r QE r r e 2
04
r
QEe
r
分析：电场方向垂直于球面。
电场大小只与 r有关。
半径为 a的球形带电体，电荷总量 Q均匀分布在球体内。
求：（ 1） （ 2）
（ 3）
()Er ()Er?
()Er
在球内区域,r?a
r
r
0
()S QE r d S
3
2
0
4
3( ) ( 4 )
r
r
E r r e

3
04
r
QrEe
a
3
3
4
QQ
Va
例