3.4 介质的极化 电位移矢量一、极化与极化强度矢量介质极化有关概念介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统电偶极子和电偶极矩：
介质分子的分类：无极分子和有极分子。
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观上不显出电特性介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统。
电偶极矩,表示电偶极子。p
p ql?
l
q?
q
用极化强度矢量 表示电介质被极化的程度。P
0
l i m i av
V
pP N p
V
式中,ip 表示 i个分子极矩。
N表示分子密度物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即
0,eePE 媒 质 极 化 系 数极化强度矢量二、极化电荷（ 束缚电荷 ）
媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。
由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自由运动，故也称束缚电荷。
体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表面上出现的极化电荷称为面极化电荷。
d S
p
l
介质被极化后,分子可视作一个电偶极子设分子的电偶极矩 p =ql。 取如图所示体积元,其高度 等于分子极矩长度 。l
体极化电荷则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元 dS
在空间中任取体积 V,其边界为 S,则经 S穿出 V的正电荷量为
d Q nq l d S np d S P d S
穿出整个 S面的电荷量为：
SSQ d Q P d S
由电荷守恒和电中性性质,S面所围电荷量为
P Sq Q P d S V P d V
P P
面极化电荷在介质表面上,极化电荷面密度为
SP Pns p s p
SSq d S P d S
式中,为媒质极化强度为媒质表面外法向单位矢量
P
n
12SP n P P12S P n nPP
介质 1
介质 2
n
讨论：若分界面两边均为媒质，则极化电流密度 Jp
当极化强度 P改变时，极化电荷分布将发生改变，这个过程中极化电荷将在一定范围内运动，从而形成极化电流
()p
p
q P d S PiS
t t t
p
p
i PJ
St
0ppJ t
说明：极化电荷与极化电流之间仍满足电流连续性方程，即有对介质极化问题的讨论极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；
P=常矢量时称媒质被均匀极化,此时介质内部无极化电荷,
极化电荷只会出现在介质表面上均匀介质内部一般不存在极化电荷位于媒质内的自由电荷所在位置一定有极化电荷出现电位移矢量对于线性各向同性介质,有
e0P= χ ε E?
0 e 0 rD= ε 1+ χ E= ε ε E= ε E
0D= ε E + P
空间中原电场：
0E
介质被极化－ >极化电荷：
,'P E?
0
E
P?
'E
介质空间中电场：
0 'E E E
介质空间外加电场,实际电场为,变化与介质性质有关。
0E
E
引入电位移矢量 作为描述空间电场分布的辅助量,D
电介质极化率（极化系数）
电介质本构关系媒质介电常数媒质相对介电常 数真空的相对介电常数等于 1，真空中电场的本构关系为
0DE
真空中点电荷产生的电位移矢量为：
24
rqeD
r
引入电位移矢量后，真空中静电场的基本方程可写为
0
ED SVD d S d V
00ED 0
C D d l
对电位移矢量的讨论
z
r
e
P
O
分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。
解：在驻极体内：
0P P
驻极体在表面上：
SP Pn 0 zrP e e?
c os si nzre e e0 co sP
求半径为 a，永久极化强度为 的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：
0 zP P e?
P例半径为 a的球形电介质体，其相对介电常数,
若在球心处存在一点电荷 Q，求极化电荷分布。
4r
解：由高斯定律，可以求得
S D d S Q 24
rQeD
r
0P D E
在媒质内：
0 2
33
16
rQeE
r
24
rQeE
r
体极化电荷分布,
P P 2
2
1 ( ) 0
rrPrr
面极化电荷分布,
S P rPe 23 16Q a
在球心点电荷处：
2 34 4p SP s p QQ Q a
例在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的 z分量为
，极化强度求：介质中的电场强度 和电位移矢量 。
22 0 /zD n C m? 29 2 1 1 5 /x y zP e e e n C m
DE
D
解：由定义，知：
0
0D E P D P
1(1 )
r
PD 4zr
zz
D
PD
1
r
r
DP 43 P…
0
1
4ED
例
3.5 介质中的高斯定律 边界条件一、介质静电场基本方程真空中的高斯定律：
0S
qE d S
0S
E d S q
在介电常数为 的介质中，类似地，有：?
S E d S q S D d S q
D
介质中的高斯定律在介质中，静电场仍然为保守场
0E ＝ 0
C E d l ＝
介质中的环路定律
SSE d S D d S q
0()S D P d S q
0SSD d S P d S q
PV P d V q
电介质中，穿过闭合面 S的电通量由真空中的电通量和束缚电荷穿过闭合面 S的电通量组成。
0 PS D d S q q
式中,q为自由电荷电量，不包括极化电荷电荷
。
对介质中静电场基本方程的讨论二、介质的电位方程在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）?
D ()EE
E ()E
2
介质中的泊松方程三、静电场的边界条件在两种介质界面上,介质性质有突变,电磁场也会突变分界面两边电场按照某种规律突变,称这种突变关系为电场的 边值关系 或 边界条件推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式在非均匀媒质中,为坐标函数?
D ()EE
的边界条件D
2
1
2
D
1
D
n
0h
S?
n?
n
12() sD D n 12n n sDD
为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。
s?
12 0nnDD
若媒质为理想媒质，则,满足边界条件0
s D
在分界面上取一个扁盒，将应用于此盒，并考虑 h?0，得 S
D d S q
12S D d S = D n Δ S + D - n Δ S = q
对 边界条件的讨论D
结论一：若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。D
的边界条件E
2
1
2
E
n
1
E
2
1
0h
l
s
在分界面上作一矩形回路，将用于此回路，且考虑 h?0，得 0l E d l
12ttEE
结论二：在两种媒质分界面上,切向连续。E
0s
1 1 2 2sin sinEE
12C E d l = E Δ l - E Δ l = 0
12
12
( ) ( ) 0E n s E n s
E n E n
理想媒质和导体的静电场边界条件理想介质分界面的边界条件（ ）
理想介质,导电率为 0的媒质。因此在理想介质内部和表面均不存在自由电荷分布，故边界条件为：
12
12
0nn
tt
DD
EE
0
ns
t
D
E
0
sDn
En
导体边界条件在导体内部，不存在静电场。故静电场导体边界为电位边界条件在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种变化规律即为电位的边界条件。
t
n
E
t
E
n
tnE e etn
t t n nE E e E e
12n n SDD 1 1 2 2n n SEE
21
21 S nnn
由 21
12 0ttEE 12 0tt 12 0
电位边界条件
2
1
2
E
n
1
E
2
1
2
D
1
D
12( ) 0D D n
12( ) 0E E n
1 1 2 2
1 1 2 2
c o s c o s
s i n s i n
DD
EE
讨论：在理想媒质分界面上
11
22
t a n
t a n
从上式可以看出，电场矢量方向在分界面两边将发生改变，改变量与媒质介电常数有关。
同轴线内导体半径为 a，外导体半径为 b。内外导体间充满介电常数分别为 和 的两种理想介质，分界面半径为
c。已知外导体接地，内导体电压为 U。
求,(1)导体间的 和 分布；
(2)同轴线单位长度的电容
1? 2?
E D
a
b
c
1
2
分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边 连续D
解：设内导体单位长度带电量为
l?
由高斯定律，可以求得两边媒质中，
2
l
rDer
11
22
/
/
ED
ED
例
12
cb
acU E dr E dr
12
l n l n22llcbac
12
21
2
l n l n
l
U
cb
ac
12
21( l n l n )
UD
cb r
ac
2
21
1
21
()
( l n l n )
()
( l n l n )
U
a r c
cb
r
ac
E
U
c r b
cb
r
ac
球形电容器内导体半径为 a，外球壳半径为 b。其间充满介电常数为 和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为 q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 1? 2?
a
1
2
b
分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边 相等。E
S D d S q
2 122 ( )r D D q
2 122 ( )r E E q
解：令电场强度为,由高斯定律E
2
122 ( )
r
qEe
r
12
11( ) ( )
2 ( )
b
r
qr E dr
rb
例
小结：应用高斯定理求解静电场边值问题步骤：
根据电荷分布，判断电场方向
判断电场方向与边界面关系（垂直或相切）
应用边界条件，判断是 连续还是 连续
应用高斯公式求解，一般用 求解
介质分子的分类：无极分子和有极分子。
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观上不显出电特性介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统。
电偶极矩,表示电偶极子。p
p ql?
l
q?
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用极化强度矢量 表示电介质被极化的程度。P
0
l i m i av
V
pP N p
V
式中,ip 表示 i个分子极矩。
N表示分子密度物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即
0,eePE 媒 质 极 化 系 数极化强度矢量二、极化电荷（ 束缚电荷 ）
媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。
由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自由运动，故也称束缚电荷。
体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表面上出现的极化电荷称为面极化电荷。
d S
p
l
介质被极化后,分子可视作一个电偶极子设分子的电偶极矩 p =ql。 取如图所示体积元,其高度 等于分子极矩长度 。l
体极化电荷则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元 dS
在空间中任取体积 V,其边界为 S,则经 S穿出 V的正电荷量为
d Q nq l d S np d S P d S
穿出整个 S面的电荷量为：
SSQ d Q P d S
由电荷守恒和电中性性质,S面所围电荷量为
P Sq Q P d S V P d V
P P
面极化电荷在介质表面上,极化电荷面密度为
SP Pns p s p
SSq d S P d S
式中,为媒质极化强度为媒质表面外法向单位矢量
P
n
12SP n P P12S P n nPP
介质 1
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讨论：若分界面两边均为媒质，则极化电流密度 Jp
当极化强度 P改变时，极化电荷分布将发生改变，这个过程中极化电荷将在一定范围内运动，从而形成极化电流
()p
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q P d S PiS
t t t
p
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说明：极化电荷与极化电流之间仍满足电流连续性方程，即有对介质极化问题的讨论极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；
P=常矢量时称媒质被均匀极化,此时介质内部无极化电荷,
极化电荷只会出现在介质表面上均匀介质内部一般不存在极化电荷位于媒质内的自由电荷所在位置一定有极化电荷出现电位移矢量对于线性各向同性介质,有
e0P= χ ε E?
0 e 0 rD= ε 1+ χ E= ε ε E= ε E
0D= ε E + P
空间中原电场：
0E
介质被极化－ >极化电荷：
,'P E?
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介质空间中电场：
0 'E E E
介质空间外加电场,实际电场为,变化与介质性质有关。
0E
E
引入电位移矢量 作为描述空间电场分布的辅助量,D
电介质极化率（极化系数）
电介质本构关系媒质介电常数媒质相对介电常 数真空的相对介电常数等于 1，真空中电场的本构关系为
0DE
真空中点电荷产生的电位移矢量为：
24
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r
引入电位移矢量后，真空中静电场的基本方程可写为
0
ED SVD d S d V
00ED 0
C D d l
对电位移矢量的讨论
z
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e
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O
分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。
解：在驻极体内：
0P P
驻极体在表面上：
SP Pn 0 zrP e e?
c os si nzre e e0 co sP
求半径为 a，永久极化强度为 的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：
0 zP P e?
P例半径为 a的球形电介质体，其相对介电常数,
若在球心处存在一点电荷 Q，求极化电荷分布。
4r
解：由高斯定律，可以求得
S D d S Q 24
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在媒质内：
0 2
33
16
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体极化电荷分布,
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面极化电荷分布,
S P rPe 23 16Q a
在球心点电荷处：
2 34 4p SP s p QQ Q a
例在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的 z分量为
，极化强度求：介质中的电场强度 和电位移矢量 。
22 0 /zD n C m? 29 2 1 1 5 /x y zP e e e n C m
DE
D
解：由定义，知：
0
0D E P D P
1(1 )
r
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1
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1
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例
3.5 介质中的高斯定律 边界条件一、介质静电场基本方程真空中的高斯定律：
0S
qE d S
0S
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在介电常数为 的介质中，类似地，有：?
S E d S q S D d S q
D
介质中的高斯定律在介质中，静电场仍然为保守场
0E ＝ 0
C E d l ＝
介质中的环路定律
SSE d S D d S q
0()S D P d S q
0SSD d S P d S q
PV P d V q
电介质中，穿过闭合面 S的电通量由真空中的电通量和束缚电荷穿过闭合面 S的电通量组成。
0 PS D d S q q
式中,q为自由电荷电量，不包括极化电荷电荷
。
对介质中静电场基本方程的讨论二、介质的电位方程在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）?
D ()EE
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2
介质中的泊松方程三、静电场的边界条件在两种介质界面上,介质性质有突变,电磁场也会突变分界面两边电场按照某种规律突变,称这种突变关系为电场的 边值关系 或 边界条件推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式在非均匀媒质中,为坐标函数?
D ()EE
的边界条件D
2
1
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D
1
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为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。
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12 0nnDD
若媒质为理想媒质，则,满足边界条件0
s D
在分界面上取一个扁盒，将应用于此盒，并考虑 h?0，得 S
D d S q
12S D d S = D n Δ S + D - n Δ S = q
对 边界条件的讨论D
结论一：若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。D
的边界条件E
2
1
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1
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2
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在分界面上作一矩形回路，将用于此回路，且考虑 h?0，得 0l E d l
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结论二：在两种媒质分界面上,切向连续。E
0s
1 1 2 2sin sinEE
12C E d l = E Δ l - E Δ l = 0
12
12
( ) ( ) 0E n s E n s
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理想媒质和导体的静电场边界条件理想介质分界面的边界条件（ ）
理想介质,导电率为 0的媒质。因此在理想介质内部和表面均不存在自由电荷分布，故边界条件为：
12
12
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导体边界条件在导体内部，不存在静电场。故静电场导体边界为电位边界条件在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种变化规律即为电位的边界条件。
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由 21
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电位边界条件
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讨论：在理想媒质分界面上
11
22
t a n
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从上式可以看出，电场矢量方向在分界面两边将发生改变，改变量与媒质介电常数有关。
同轴线内导体半径为 a，外导体半径为 b。内外导体间充满介电常数分别为 和 的两种理想介质，分界面半径为
c。已知外导体接地，内导体电压为 U。
求,(1)导体间的 和 分布；
(2)同轴线单位长度的电容
1? 2?
E D
a
b
c
1
2
分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边 连续D
解：设内导体单位长度带电量为
l?
由高斯定律，可以求得两边媒质中，
2
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例
12
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球形电容器内导体半径为 a，外球壳半径为 b。其间充满介电常数为 和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为 q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 1? 2?
a
1
2
b
分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边 相等。E
S D d S q
2 122 ( )r D D q
2 122 ( )r E E q
解：令电场强度为,由高斯定律E
2
122 ( )
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12
11( ) ( )
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b
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例
小结：应用高斯定理求解静电场边值问题步骤：
根据电荷分布，判断电场方向
判断电场方向与边界面关系（垂直或相切）
应用边界条件，判断是 连续还是 连续
应用高斯公式求解，一般用 求解
