3.2 电位函数一、电位函数与电位差电位函数
0
( ) 0
E
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；
“－,表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
x y zE e e ex y z
引入电位函数,?
E
可由一标量函数表示。E
关于电位函数的讨论
l
l
e
el
为 增 加 最 快 的 方 向电场空间中两点间电位差为：
lEel
电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。
电位差的计算：
d E dl
A
B E
BA
A B B A ABE d l E d l
A
BA B E d l
意义,A,B两点间的电位差等于将单位点电荷从 B点移动到 A点过程中电场力所作的功。
两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关电位差（电压）
关于电位差的说明电位参考点显然,电位函数?不是唯一确定的,可以加上任意一个常数仍表示同一个电场,即
CCE设为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点,
且令参考点的电位为零,由于空间各点与参考点的电位差为确定值,
所以该点的电位也就具有确定值,即选参考点 令参考点电位为零 电位确定值 (电位差 )
两点间电位差有定值应使电位表达式有意义应使电位表达式最简单同一个问题只能有一个参考点电位参考点电位一般为 0；
选择电位参考点的原则,
二、电位函数的求解点电荷的电位
O
q
E
P
Q
l
2
04
r
qEe
r
Q
PQ P E d l
'
'()
PQ
PP E d l
2'
04
Q r
P
eq dr
r 0
11()
4 PQ
q
rr
0
11()
4P PQ
q
rr
选取 Q点为电位参考点，则 0
Q
若电位参考点 Q在无穷远处，即
Qr
则：
0
() 4 qr r
点电荷在空间中产生的电位?
'P
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点无限长线电荷的电位
E
P
Q'P
02
l
rEer
0
( l n l n )2 lP Q Prr
电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。
根据表达式最简单原则，选取 r=1柱面为电位参考面，即 1
Qr?
得：
0
ln2 lPP r
无限长线电流在空间中产生的电位?
体电荷：
0
1 ( ')()
4 V
rr dV c
R
面电荷：
0
( ')1()
4
s
S
rr d S c
R
线电荷：
0
( ')1()
4
l
l
rr dV c
R
式中：
'R r r
说明：若参考点在无穷远处，则 c=0。
引入电位函数的意义：
简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，
再 关系得到电场解。E
分布电荷体系在空间中产生的电位求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。p ql?
O q?
q
r
r
(,,)Pr
l
分析：电偶极子定义解：取无限远处为电位参考点。
0
11()
4P
q
rr
r r l 22 2 c o sr r r l r l
2
2
11
1 2 c o s
r ll
r
rr
2
1 c o s ( )l rl
rr
电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统电偶极矩,p p ql?
2
0
c o s4P ql r
例
E
() sinr eeer r r
23
00
c os 1( ) ( c os )
44
r qleql e
r r r
3
0
( 2 c o s sin )4 rql eer
求半径为 a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电场强度
x
y
z
dr
r
R
a
( 0,0,)Pz
解：在面电荷上取一面元,如图所示。
ds
04
dqd
R
2
00
a d 22
0
()2 s z a z
0
''
4
s r dr d
R
E
22
0
()2 sze z a zz
例求半径为 a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电场强度
x
y
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解：在面电荷上取一面元,如图所示。
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意义,A,B两点间的电位差等于将单位点电荷从 B点移动到 A点过程中电场力所作的功。
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关于电位差的说明电位参考点显然,电位函数?不是唯一确定的,可以加上任意一个常数仍表示同一个电场,即
CCE设为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点,
且令参考点的电位为零,由于空间各点与参考点的电位差为确定值,
所以该点的电位也就具有确定值,即选参考点 令参考点电位为零 电位确定值 (电位差 )
两点间电位差有定值应使电位表达式有意义应使电位表达式最简单同一个问题只能有一个参考点电位参考点电位一般为 0；
选择电位参考点的原则,
二、电位函数的求解点电荷的电位
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点电荷在空间中产生的电位?
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说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点无限长线电荷的电位
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说明：若参考点在无穷远处，则 c=0。
引入电位函数的意义：
简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，
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