2.2 库仑定律 电场强度一、库仑定律库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律
O
'r
r
R
'R r r
1
q
2
q
库仑定律内容：如图，电荷 q1对电荷 q2的作用力为：
1 2 1 2
12 23
0044
R
q q q qF e R
RR
式中：
R
RR R e
R
0?
为真空中介电常数。
9
0
1 1 0 /
36 Fm
对库仑定律的进一步讨论大小与电量成正比,与距离的平方成反比,方向在连线上多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的 矢量叠加,即连续分布电荷系统的静电力须通过 矢量积分 进行求解
3
04
i
ii
ii i
qqF F R
R
二、电场强度矢量 E
电场的定义电场强度矢量用电场强度矢量 表示电场的大小和方向E
电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用静止电荷产生的电场称为静电场随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场
0F q E
0
FE
q?
实验证明：电场中电荷 q0所受的电场力大小与自身所带电量 q0
成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即对电场强度的进一步讨论电场强度形成矢量场分布,各点相同时,称为均匀电场电场强度是单位点电荷受到的电场力,只与 产生电场的电荷 有关对静电场和时变电场上式均成立点电荷产生的电场单个点电荷 q在空间任意点激发的电场为
20
0
( ) l i m 4
s
Rq
s
FqE r e
qR
0
1()
4
q
R
O
'r
r
R
'R r r
q
P
O
r
Rr?q
P
特殊地，当点电荷 q位于坐标原点时,'0r?
20
0
( ) l i m 4 r
q
FqE r e
qr
0
1()
4
q
r
多个点电荷组成的电荷系统产生的电场由矢量叠加原理,N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为
3
10
1
4
N
i
i
i i
qER
R
1
q
2
q
N
qO
1
'r
2
'r
'
N
r
r NR
1
R
2
R
()Pr
()Pr
1
E
2
E
N
E
E
合
'iiR r r
式中,
连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于 体积 V中的电荷在空间任意点 r产生的电场
O
dV
'r
r
R ()Pr
处理思路：
1) 无限细分区域
2）考查每个区域
3）矢量叠加原理
3
0
( ') '(,') '
4
r dVdE r r R R r r
R
设体电荷密度为,图中 dV在 P点产生的电场为：()r?
则整个体积 V内电荷在 P点处产生的电场为：
3
0
1 ( ')( ) (,') '
4VV
rE r dE r r R dV
R
面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度,体积元和积分区域作相应替换即可,如
0
'1
4
s
V
rRE r d S
R
3
0
'1
4
l
l
rRE r d l
R
3?
线电荷
面电荷例 图中所示为一个半径为 r的带电细圆环,圆环上单位长度带电?l,总电量为 q。 求圆环轴线上任意点的电场 。
r 0
O
R
d E
z
d l
l?
dE z 解：将圆环分解成无数个线元,每个线元可看成点电荷?l(r)dl，
则线元在轴线任意点产生的电场为
2
0
1
4
l
R
dld E e
R
由对称性和电场的叠加性,合电场只有 z
分量,则
2
0
3 3 3 3
0 0 0 0
c o s
4
2
4 4 4 4
zl
zz
ll
z l z l l
zz
ll
e
E z e d E d l
R
ee rzz z q z
d l d l e e
R R R R
结果分析
（ 1） 当 z→ 0,此时 P点移到圆心,圆环上各点产生的电场抵消,
E=0
（ 2） 当 z→∞,R与 z平行且相等,r<<z,带电圆环相当于一个点电荷,有
z2
04
qE z e
R
例：求真空中半径为 a，带电量为 Q的导体球在球外空间中产生 E。
由球体的对称性分析可知：
电场方向沿半径方向：
电场大小只与场点距离球心的距离相关。
解：在球面上取面元 ds，该面元在 P点处产生的电场径向分量为：
2
0
1 c os
4
s
r
dsdE
R
s i nd s a d a d式中：
c o sc o s ra
R
2 2 2s i n ( c o s )R a r a
24s
Q
a
2
3
0
c os si n
4
s
r
radE a d d
R
2
2
3
00
0
2
3
0
0
2
0
c os
si n
4
c os
si n
2
4
rr
s
s
s
E dE
a ra
dd
R
a ra
d
R
Q
r
＝
… …
导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。
结果分析
------=extPa
O
'r
r
R
'R r r
1
q
2
q
库仑定律内容：如图，电荷 q1对电荷 q2的作用力为：
1 2 1 2
12 23
0044
R
q q q qF e R
RR
式中：
R
RR R e
R
0?
为真空中介电常数。
9
0
1 1 0 /
36 Fm
对库仑定律的进一步讨论大小与电量成正比,与距离的平方成反比,方向在连线上多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的 矢量叠加,即连续分布电荷系统的静电力须通过 矢量积分 进行求解
3
04
i
ii
ii i
qqF F R
R
二、电场强度矢量 E
电场的定义电场强度矢量用电场强度矢量 表示电场的大小和方向E
电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用静止电荷产生的电场称为静电场随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场
0F q E
0
FE
q?
实验证明：电场中电荷 q0所受的电场力大小与自身所带电量 q0
成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即对电场强度的进一步讨论电场强度形成矢量场分布,各点相同时,称为均匀电场电场强度是单位点电荷受到的电场力,只与 产生电场的电荷 有关对静电场和时变电场上式均成立点电荷产生的电场单个点电荷 q在空间任意点激发的电场为
20
0
( ) l i m 4
s
Rq
s
FqE r e
qR
0
1()
4
q
R
O
'r
r
R
'R r r
q
P
O
r
Rr?q
P
特殊地，当点电荷 q位于坐标原点时,'0r?
20
0
( ) l i m 4 r
q
FqE r e
qr
0
1()
4
q
r
多个点电荷组成的电荷系统产生的电场由矢量叠加原理,N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为
3
10
1
4
N
i
i
i i
qER
R
1
q
2
q
N
qO
1
'r
2
'r
'
N
r
r NR
1
R
2
R
()Pr
()Pr
1
E
2
E
N
E
E
合
'iiR r r
式中,
连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于 体积 V中的电荷在空间任意点 r产生的电场
O
dV
'r
r
R ()Pr
处理思路：
1) 无限细分区域
2）考查每个区域
3）矢量叠加原理
3
0
( ') '(,') '
4
r dVdE r r R R r r
R
设体电荷密度为,图中 dV在 P点产生的电场为：()r?
则整个体积 V内电荷在 P点处产生的电场为：
3
0
1 ( ')( ) (,') '
4VV
rE r dE r r R dV
R
面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度,体积元和积分区域作相应替换即可,如
0
'1
4
s
V
rRE r d S
R
3
0
'1
4
l
l
rRE r d l
R
3?
线电荷
面电荷例 图中所示为一个半径为 r的带电细圆环,圆环上单位长度带电?l,总电量为 q。 求圆环轴线上任意点的电场 。
r 0
O
R
d E
z
d l
l?
dE z 解：将圆环分解成无数个线元,每个线元可看成点电荷?l(r)dl，
则线元在轴线任意点产生的电场为
2
0
1
4
l
R
dld E e
R
由对称性和电场的叠加性,合电场只有 z
分量,则
2
0
3 3 3 3
0 0 0 0
c o s
4
2
4 4 4 4
zl
zz
ll
z l z l l
zz
ll
e
E z e d E d l
R
ee rzz z q z
d l d l e e
R R R R
结果分析
（ 1） 当 z→ 0,此时 P点移到圆心,圆环上各点产生的电场抵消,
E=0
（ 2） 当 z→∞,R与 z平行且相等,r<<z,带电圆环相当于一个点电荷,有
z2
04
qE z e
R
例：求真空中半径为 a，带电量为 Q的导体球在球外空间中产生 E。
由球体的对称性分析可知：
电场方向沿半径方向：
电场大小只与场点距离球心的距离相关。
解：在球面上取面元 ds，该面元在 P点处产生的电场径向分量为：
2
0
1 c os
4
s
r
dsdE
R
s i nd s a d a d式中：
c o sc o s ra
R
2 2 2s i n ( c o s )R a r a
24s
Q
a
2
3
0
c os si n
4
s
r
radE a d d
R
2
2
3
00
0
2
3
0
0
2
0
c os
si n
4
c os
si n
2
4
rr
s
s
s
E dE
a ra
dd
R
a ra
d
R
Q
r
＝
… …
导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。
结果分析
------=extPa
