1.3 矢量场的 环流 旋度一、矢量的环量
SSn
环流的计算
A
C
P
在场矢量 空间中，取一有向闭合路径 l，则称 沿 l积分的结果称为矢量 沿 l的环量。即：
()Ar
()Ar
()Ar
()l A r d l
环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。
在直角坐标系中：
x x y y z zA e A e A e A
x yy zd l e d x e d y e d z
x y zC A d x A d y A d z

讨论：
1.3 矢量场的 环流 旋度一、矢量的环量
SSn
环流的计算
A
C
P
在场矢量 空间中，取一有向闭合路径 l，则称 沿 l积分的结果称为矢量 沿 l的环量。即：
()Ar
()Ar
()Ar
()l A r d l
环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。
在直角坐标系中：
x x y y z zA e A e A e A
x yy zd l e d x e d y e d z
x y zC A d x A d y A d z

讨论：
旋度的物理意义旋度的计算矢量的旋度为 矢量,是空间坐标的函数；
矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的 漩涡源密度 ；
在直角坐标系下：
x x y y z zr o t F e r o t F e r o t F e r o t F
( ) ( ) ( )yy xxzzx y zFF FFFFeeey z z x x y
()x y z x x y y z ze e e e F e F e Fx y z
F
x y z
xxx
e e e
x y z
FFF

三、斯托克斯定理
()c dd lA A S
0?l i m r o tc nS dS Α l Ae
由旋度的定义对于有限大 面 积 s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有
c
)?

1 1
()c dd lA A S
2 2
()c dd lA A S
()s d ASc d lA
()Sl ddA l A S
斯托克斯定理的证明：
＝
得证！
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
四、矢量场旋度的重要性质
( ) 0F
[ ( ) ( ) ( ) ]
x y z
yy xxzz
x y z
e e e
x y z
FF FFFF
e e e
y z z x x y

证 明,左 边 = ( + )
22 2222
[ ( ) ( ) ( ) ]
0
yy xxzzFF FFFF
x y x z y z x y x z y z

任意矢量场旋度的散度等于零。