2.3 安培力定律 磁感应强度一、安培力定律安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。
式中：
21R R R r r
0?
为真空中介电常数。 7
0 4 1 0 /Hm
C1上电流元 对 C2上电流元 磁场力为
11I dl 22I dl
0 2 2 1 1
12 3
()
4
I dl I dl RdF
R
O
r
2
I
2
d l
2
C
1 r 1
C
2
I
1
d l
1
I
2I
1
R
12
安培定律的微分形式讨论,dF12 ≠ － dF21,这与库存仑定律不同 。 这是因为孤立的稳恒电流元根本不存在,仅仅是数学上的表示方法而已两个电流元的相互作用力两个电流环的相互作用力在回路 C1上式积分,得到回路 C1作用在电流元 I2dl2上的力
1 1
0 1 1 1 2
2 2 2 3
124
C C
I d l Rd F I d l
R
再在 C2上对上式积分,即得到回路 C1对回路 C2的作用力
12 1
0 1 1 1 2
22 32
124
CC CC
I d l RF I d l
R
安培定律的积分形式二、磁感应强度矢量
B
磁场的定义磁力是通过磁场来传递的电流或磁铁在其周围空间会激发磁场会对处于其中的运动电荷（电流）或磁体产生力的作用磁场强度矢量处于磁场中的电流元 Idl所受的磁场力 dF与该点磁场 B、电流元强度和方向有关，即
d F I d l B 安培力公式?
毕奥－萨伐尔定律若 由电流元 产生，则由安培力定律B
00I dl
0 0 0
3
()
4m
I d l I d l Rd F I d l B
R
可知，电流元 产生的磁感应强度为：
00I dl
0 0 0
3
()
4
I d l RdB
R
毕奥－萨伐尔定律?
说明：,,三者满足右手螺旋关系。dl R B
I d l
O
'r
r
R
'R r r
体电流产生的磁场体电流可以分解成许多细电流管,近似地看成线电流,此时有 I = JdS,则电流元为
,得对毕奥－萨伐尔定律的讨论真空中任意电流回路产生的磁感应强度 00
3
0
0
( ) 1
( ) ( )
44
11
()
4
()
4
C C C
C
C
I dl R
B r dB I dl
RR
I
dl dl
RR
I dl
R
0
3V
J r RμB ( r) = d V
4 π R
O
r
V
r
P R
J d V
I d l n J d S d l J d V
0
3
[ ( ') ' ]()
4
S
SS
J r d S RB r d B
R
面电流产生的磁场运动电荷的磁场定向流动的电荷形成电流 。 设某区域电荷密度为?,速度 v,将形成电流密度 J=?v,则电流元为 Idl = JdV = v?dV = qv,得
0
3
μ q v RB ( r ) =
4 π R
例 求有限长直线电流的磁感应强度 。
解：在导线上任取电流元 Idz,其方向沿着电流流动的方向,即 z
方向 。 由比奥 — 萨伐尔定律,电流元在导线外一点 P处产生的磁感应强度为
r
1
R
A
z I d z
B O
2?
P
z
00
32
s i n
44
I d zd B I d z R a
RR?
0
2
sin
4
B
A
IB a d z
R?
2c s c,c t g,c s cR r z r d z r
其中
2
1
00
12sin c o s c o s44
IIB a d a
rr
当导线为无限长时,?1→ 0,?2→? 0
2
IBa
r?
结 果 分 析例：求半径为 a的电流环在其轴线上产生的磁场。
d?
dl
x
y
z
a
R
( 0,0,)Pz
分析：在轴线上，磁场方向沿 z向。
电流分布呈轴对称。
解：建立如图柱面坐标系。
在电流环上任取电流元,令其坐标位置矢量为 。 Idl'r
0
34 C
I dl RB
R
220
2 2 3 / 204 ( )
rzI a z e a e d
az
易知：
' rr ae? I d l I a d e
' zrR r r z e a esi n c osr xye e e
22
0
2 2 3 / 204 ( )
zI ae d
az
2
0
2 2 3 / 22( )
zI a e
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式中：
21R R R r r
0?
为真空中介电常数。 7
0 4 1 0 /Hm
C1上电流元 对 C2上电流元 磁场力为
11I dl 22I dl
0 2 2 1 1
12 3
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4
I dl I dl RdF
R
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2
I
2
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2
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2
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1
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1
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R
12
安培定律的微分形式讨论,dF12 ≠ － dF21,这与库存仑定律不同 。 这是因为孤立的稳恒电流元根本不存在,仅仅是数学上的表示方法而已两个电流元的相互作用力两个电流环的相互作用力在回路 C1上式积分,得到回路 C1作用在电流元 I2dl2上的力
1 1
0 1 1 1 2
2 2 2 3
124
C C
I d l Rd F I d l
R
再在 C2上对上式积分,即得到回路 C1对回路 C2的作用力
12 1
0 1 1 1 2
22 32
124
CC CC
I d l RF I d l
R
安培定律的积分形式二、磁感应强度矢量
B
磁场的定义磁力是通过磁场来传递的电流或磁铁在其周围空间会激发磁场会对处于其中的运动电荷（电流）或磁体产生力的作用磁场强度矢量处于磁场中的电流元 Idl所受的磁场力 dF与该点磁场 B、电流元强度和方向有关，即
d F I d l B 安培力公式?
毕奥－萨伐尔定律若 由电流元 产生，则由安培力定律B
00I dl
0 0 0
3
()
4m
I d l I d l Rd F I d l B
R
可知，电流元 产生的磁感应强度为：
00I dl
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3
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R
毕奥－萨伐尔定律?
说明：,,三者满足右手螺旋关系。dl R B
I d l
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体电流产生的磁场体电流可以分解成许多细电流管,近似地看成线电流,此时有 I = JdS,则电流元为
,得对毕奥－萨伐尔定律的讨论真空中任意电流回路产生的磁感应强度 00
3
0
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( ) 1
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C C C
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4 π R
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4
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面电流产生的磁场运动电荷的磁场定向流动的电荷形成电流 。 设某区域电荷密度为?,速度 v,将形成电流密度 J=?v,则电流元为 Idl = JdV = v?dV = qv,得
0
3
μ q v RB ( r ) =
4 π R
例 求有限长直线电流的磁感应强度 。
解：在导线上任取电流元 Idz,其方向沿着电流流动的方向,即 z
方向 。 由比奥 — 萨伐尔定律,电流元在导线外一点 P处产生的磁感应强度为
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1
R
A
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B O
2?
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00
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2
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结 果 分 析例：求半径为 a的电流环在其轴线上产生的磁场。
d?
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x
y
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分析：在轴线上，磁场方向沿 z向。
电流分布呈轴对称。
解：建立如图柱面坐标系。
在电流环上任取电流元,令其坐标位置矢量为 。 Idl'r
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R
220
2 2 3 / 204 ( )
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