2.1 电磁场的源量 —— 电荷和电流自然界中最小的带电粒子包括电子和质子一般带电体的电荷量通常用 q表示从微观上看,电荷是以离散的方式出现在空间中的从宏观电磁学的观点上看,大量带电粒子密集出现在某空间范围内时,可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中电荷的几种分布方式：空间中－体积电荷体密度?
面上－电荷面密度?s
线上－电荷线密度?l
一、电荷与电荷密度体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体体电荷密度 的定义()r?
0
( ) l i m
V
q d qr
V d V
在电荷空间 V内，任取体积元,其中电荷量为V? q?
则 ()
Vq r d V
体电荷密度面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷面电荷密度 的定义()
s r?
0
( ) l ims
S
q d qr
S d S
在面电荷上，任取面积元,其中电荷量为S? q?
则
()sSq r d s
面电荷密度线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷线电荷密度 的定义()
l r?
0
( ) l i ml
l
q d qr
l d l
在线电荷上，任取线元,其中电荷量为l? q?
则
()llq r d l
线电荷密度
0
00( ) l i m
0V
rqr
rV
当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量 q无限集中于一个几何点上。
点电荷电流由定向流动的电荷形成,通常用 I 表示,定义为当电荷速度不随时间变化时,电流也不随时间变化,称为恒定
（ 稳恒 ） 电流空间各点电荷的流动除快慢不同外,方向可能不同,仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况引入电流密度 来描述电流的分布情况电荷的几种分布方式：空间中－体积电流体密度 J
面上－电流面密度 Js
线上－线电流 I
二,电流与电流密度
0
lim
t
q d qI
t d t
电流的物理意义：单位时间内流过曲面 S的电荷量
J
体电流密度电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流设单位体积内有 N个带电粒子,所有粒子带有相同的电荷 q,且都以相同的速度 v运动,体积中的总电荷将在 dt 时间内经 dS 流出柱体,可以得到 dt 时间内通过 dS 的电荷量为
d Q N q v d t d S v d S d t J d S d t
dQdId dS
dS Jt 通 过 的 电 流 强 度 为,
v
P
d S
vd t
如图，设 P为空间中的任意点，过 P取面积元 dS。
体电流密度 定义J
j
d Q d IJe
d t d S
物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向 单位面积 的电量关于体电流密度的说明
Jv 式中,为空间中电荷体密度,为正电荷流动速度? v
通过截面积 S的电流
SSI J d S J n d S
反映空间各点电流流动情况的物理量,形成一个 空间矢量场一般是时间 t的函数,即 J=J(r,t) 。 恒定电流是特殊情况如有 N种带电粒子,电荷密度分别为?i,平均速度为 vi,则
1
N
ii
i
Jv?
0J v v v
= 0时可能存在电流 。 如导体中电荷体密度为 0,但因正电荷质量相对于电子大很多,因此近似不动,有面电流密度 定义：
当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，
电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量
Js 来表示。
sJ
面电流密度
h
J s
n? l
S
如图,设电流集中在厚度为 h
的薄层内流动,薄层的横截面?S，
n为表示截面方向的单位矢量 。 显然穿过截面的电流为
0
lim
s
S
l
I J S J n h l Jh n l n l
I dI
J
l dl
J
关于面电流密度的说明
Js是反映 薄层中 各点电流流动情况的物理量,它形成一个空间矢量场分布
Js的方向为空间中电流流动的方向
Js在某点的大小为 单位时间 内 垂直 通过 单位长度 的电量当薄层的厚度趋于零时,面电流称为理想面电流只有当电流体密度 J趋于无穷,理想面电流密度 Js才不为零,即若表面上电荷密度为,且电荷沿某方向以速度 运动，则可推得此时面电流密度为,s
v
ssJv
0l i m 0s hJ h JJ
电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。
电流元,长度为无限小的线电流元。Idl
线电流和电流元三,电流的连续性方程电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一 。 实验证明,电荷是守恒的,既不能被创造,也不能被消灭,它只能从一个物体转移到另一个物体,或者从一个地方移动到另一个地方 。
取电流流动空间中的任意一个体积 V，设在
S
V
I
时间内,V内流出 S的电荷量为dt dq
由电流强度定义：
定律,时间内,V内电荷改变量为 dq?dt
由电荷守恒
()Sd q I d t J r d s d t
()s dqJ r d s dt ()Vd r d V
()VVJ d V d Vt
J t 0J
t
()s J r d s? ()
V
d r d V
dt
即 电荷守恒定律积分形式?
在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得电荷守恒定律微分形式?
2,当体积 V为整个空间时,闭合面 S为无穷大界面,将没有电流经其流出,电流连续性方程可写成
0
V
dVt
对电流连续性方程的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的 。
1,积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系,而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系
3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布也不改变，即：
00Jtt
则恒定电流的电流连续性方程为
0J 0
s J d s
4、对于面电流，电流连续性方程为：
意义：流入闭合面 S的电流等于流出闭合面 S的电流 —— 基尔霍夫电流方程
() sSlSJ n d l d St
时变面电流
( ) 0Sl J n d l 恒定面电流例 在球面坐标系中,传导电流密度为 J=er10r-1.5(A/m)，
求,（ 1） 通过半径 r＝ 1mm的球面的电流值； （ 2） 在半径 r=1mm的球面上电荷密度的增加率； （ 3） 在半径 r=1mm的球体内总电荷的增加率 。
解,（ 1）
2 1,5 2
100
0,5
1
1 0 s i n |
4 0 | 3,9 7 ( )
r m mS
r m m
I J d S r r d d
rA
（ 2） 在球面坐标系中
2 1,5
2
2,5 8 3
1
1
10
5 | 1,5 8 1 0 /r m m
dd
J r r
d t r d r
r A m
（ 3）由电荷守恒定律得
3,9 7 ( )
S
dq J d S I A
dt
面上－电荷面密度?s
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一、电荷与电荷密度体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体体电荷密度 的定义()r?
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当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量 q无限集中于一个几何点上。
点电荷电流由定向流动的电荷形成,通常用 I 表示,定义为当电荷速度不随时间变化时,电流也不随时间变化,称为恒定
（ 稳恒 ） 电流空间各点电荷的流动除快慢不同外,方向可能不同,仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况引入电流密度 来描述电流的分布情况电荷的几种分布方式：空间中－体积电流体密度 J
面上－电流面密度 Js
线上－线电流 I
二,电流与电流密度
0
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电流的物理意义：单位时间内流过曲面 S的电荷量
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体电流密度电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流设单位体积内有 N个带电粒子,所有粒子带有相同的电荷 q,且都以相同的速度 v运动,体积中的总电荷将在 dt 时间内经 dS 流出柱体,可以得到 dt 时间内通过 dS 的电荷量为
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Jv 式中,为空间中电荷体密度,为正电荷流动速度? v
通过截面积 S的电流
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反映空间各点电流流动情况的物理量,形成一个 空间矢量场一般是时间 t的函数,即 J=J(r,t) 。 恒定电流是特殊情况如有 N种带电粒子,电荷密度分别为?i,平均速度为 vi,则
1
N
ii
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= 0时可能存在电流 。 如导体中电荷体密度为 0,但因正电荷质量相对于电子大很多,因此近似不动,有面电流密度 定义：
当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，
电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量
Js 来表示。
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面电流密度
h
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如图,设电流集中在厚度为 h
的薄层内流动,薄层的横截面?S，
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线电流和电流元三,电流的连续性方程电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一 。 实验证明,电荷是守恒的,既不能被创造,也不能被消灭,它只能从一个物体转移到另一个物体,或者从一个地方移动到另一个地方 。
取电流流动空间中的任意一个体积 V，设在
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时间内,V内流出 S的电荷量为dt dq
由电流强度定义：
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即 电荷守恒定律积分形式?
在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得电荷守恒定律微分形式?
2,当体积 V为整个空间时,闭合面 S为无穷大界面,将没有电流经其流出,电流连续性方程可写成
0
V
dVt
对电流连续性方程的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的 。
1,积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系,而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系
3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布也不改变，即：
00Jtt
则恒定电流的电流连续性方程为
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4、对于面电流，电流连续性方程为：
意义：流入闭合面 S的电流等于流出闭合面 S的电流 —— 基尔霍夫电流方程
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时变面电流
( ) 0Sl J n d l 恒定面电流例 在球面坐标系中,传导电流密度为 J=er10r-1.5(A/m)，
求,（ 1） 通过半径 r＝ 1mm的球面的电流值； （ 2） 在半径 r=1mm的球面上电荷密度的增加率； （ 3） 在半径 r=1mm的球体内总电荷的增加率 。
解,（ 1）
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