3.6 恒定电场恒定电场：恒定电流 (运动电荷 )产生的电场。
一、恒定电场基本方程恒定电场的基本量,E J
由电流守恒定律：
0J t
0 0t J
恒定电场仍然是保守场，因此 0E
小结：恒定电场基本方程为
0
0
J
E
0
0
S
l
J dS
E dl
二、欧姆定律
dS
JE
dl
高低若导电媒质中存在外加电场,该电场将在导电媒质中激励起电流
E
J
由欧姆定律：
UI
R?
E d lJ d S
dl
dS?
()J s E l s lJE
欧姆定律微分形式设导电媒质的导电率为,在其中选取一体积元,方向与外加电场方向一致，如图所示。
dl dS dS
JE
在理想导体 ( )内，恒定电场为 0
恒定电场可以存在于非理想导体内
在导电媒质内，恒定电场 和 的方向相同E J
关于恒定电场欧姆定律的讨论：
三、焦耳定律
dS
JE
dl
高低电场做功功率为：
2Pp E J E
dV
电场力做功，将 电场能量转化为电荷运动机械能,最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为：
在导电媒质中,电场力使电荷运动,所以电场力要做功 。 设：电荷量V,运动速度 v,则电场力在时间?t内所做的功为
Δ W = F s = ρ Δ V E v Δ t
=E ρ v Δ V Δ t = E J Δ V Δ t
WdP
t
EJ Δ V
四、恒定电场边界条件用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场基本方程中的 代换为,则两者基本方程形式完全相同。
0S J dS 12( ) 0J J n
12nnJJ
0l E dl 12E n E n
电位边界条件的边界条件J
的边界条件E
12ttEE
21
21nn
12 0
D J
2
1
2
E
n
1
E
2
1
2
J
1
J
1 2 1 1
1 2 2 2
t a n t a n t a n
t a n
若,则 。
2 1 0
在理想导体表面上,和 都垂直于边界面。 J E
静电场和恒定电场性质比较：
场性质相同，均为保守场场均不随时间改变均不能存在于理想导体内部源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内讨论：
相同点：
不同点：
2
1
2
E
n
1
E
2
1
2
J
1
J
1 2 1 1
1 2 2 2
t a n t a n t a n
t a n
若,则 。
2 1 0
在理想导体表面上,和 都垂直于边界面。 J E
静电场和恒定电场性质比较：
场性质相同，均为保守场场均不随时间改变均不能存在于理想导体内部源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内讨论：
相同点：
不同点：
12
bc
abU E dr E dr
12
( l n l n ) ( l n l n )22IIb a c b
1 2 0
21
2
l n ( / ) l n ( / )
UI
b a c b
1 2 0
21
()[ l n( / ) l n( / ) ]UJ a r cb a c b r
20
1
1 2 1
()[ l n ( / ) l n ( / ) ] rUJE e a r bb a c b r
10
2
2 2 1
()[ l n ( / ) l n ( / ) ] rUJE e b r cb a c b r
22 ()
c
r E d r b r c
1 1 2 ()
bc
rbE dr E dr a r b
2）由边界条件：
在 面上：ra?
11S Dn 1 2 0
21[ l n ( / ) l n ( / ) ]
U
b a c b a
在 面上：rc?
2 1 0
21[ l n ( / ) l n ( / ) ]
U
b a c b c
32SrDe
在 面上：rb?
2 2 1()SrD D e 2 1 1 2 0
21
()
[ l n( / ) l n( / ) ]
U
b a c b b
3.7 电容和部分电容孤立导体的电位与其所带的电量成正比。
一、电容孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即
QC
U?
孤立导体电容电容 C只与导体几何性质和周围介质有关,与 q和?无关空气中半径为 a的孤立带电球,
关于孤立导体电容的说明：
0
0
QQ= C = = 4 π ε a
4a
12
QC
两个导体构成电容器。两导体间电位分别为 和,导体带电量分别为 Q和 -Q，则定义电容器电容为：
两个带等量异号电荷导体的电容关于电容器电容的说明：
同样地同,电容 C只与导体几何性质和介质有关平行板电容器电容
0
0
12
SS
S
SSqSC
E d d d
1? 2?
二、部分电容若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容单个导体上的电量
qC两个导体存在,且考虑大地影响时,相当于 3个导体的情况,
其中一个导体上的电量为
1 1 2 1 2 1 1 1q C C
其中 C12为导体 1,2间的电容,C11为导体与大地间的电容
N个导体存在,导体 i上的电量与它和其它导体之间的电位差
（ 包括大地 ） 有关,即有
1 11 1 12 1 2 13 1 3
2 22 2 21 2 1 31 3 1
3 33 3 31 3 1 32 3 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
q C C C
q C C C
q C C C
1
2
3
11
C 33C22C
12
C 23C
13
C
式中：
iiC
导体与地之间电容，称导体自电容
ijC
导体之间的电容，称导体互电容
ij jiCC?
说明：
平行双线，导线半径为 a，导线轴线距离为 D
求：平行双线单位长度的电容。（ a<<D)
D
x
y
P
x
解：设导线单位长度带电分别为 和
，则易于求得，在 P点处,l l
1
02
l
xEex
2
0
()2 ( )l xEeDx
12E E E
0
11()
2
l
xex D x
导线间电位差为：
Da
aU E dx
0
lnl Daa
0
l n( ) l nC D a a
例计算同轴线内外导体间单位长度电容。
解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为和,则内外导体间电场分布为,l
l
1
02
l
rEer
则内外导体间电位差为：
内外导体间电容为：
b
aU E d r
0
ln2 l ba
02
l n l n
QC
U b a
例
3.8 电场能量一、空间总电场能量空间电荷分布为,在空间中产生电位为 。()r? ()r?
空间中总电场能量为：
1 ( ) ( )
2e VW r r d V
此公式只适用于静电场能量求解；
公式中 不表示电场能量密度；1
2为空间中自由电荷分布；
()r?
积分范围 为整个空间，但可退化到电荷分布区域。V
关于空间总电场能量的说明：
分布电荷总能量
1
2eWq
若电量为 q的电荷分布在导体上，导体电位为,则空间中总静电场能量为,?
对带电多导体系统
1
2e i iiWq
式中,为 导体上所带电量；
iq i
为 导体电位；
i? i
带电导体系统总能量二、电场能量密度
1 ( ) ( )
2e VW r r d V
1 ( ) ( )
2 V D r r d V
1 ( ) ( ) ( ) ( )2 V D r r D r r d V
11( ) ( ) ( ) ( )
22SVD r r d S D r E r d V
()A A A
2
2
11D d S r
rr?
1( ) ( )D r r d S
r
考查上式第一项：
在上式中,为整个空间，即 S为包围整个空间的闭合面，V r
( ) ( ) 0S D r r d S
1 ( ) ( )
2e VW D r E r d V eV w dV
1 ( ) ( )
2ew D r E r?
21
2 E
电场能量密度式中,为整个电场空间V
由边界条件知在边界两边 连续。E
解：设同轴线内导体单位长度带电量为
S D dS Q 1 1 0( 2 )r l E r l E Q
1 1 0[ ( 2 ) ]
l
rEe r
1 1 0
ln[ ( 2 ) ]b la bU E dr a
同轴线内外导体半径分别为 a,b，导体间部分填充介质
，介质介电常数为,如图所示。已知内外导体间电压为 U。
求：导体间单位长度内的电场能量。
例
1 1 0[ ( 2 ) ]
l n l nl
U
ba
( l n l n ) r
UEe
b a r
l?
b
b
0?
1?
12
22
1 0 1
11
22e VVW E d V E d V
22
1 0 12 2 2 2
1 1 1 1 ( 2 )
2 ( l n l n ) 2 ( l n l n )
bb
aa
U l U lrdr rdr
b a r b a r
2
1 1 0
1 [ ( 2 ) ] ;
2 ( l n l n )
Ul
ba
两种方法求电场能量：
或应用导体系统能量求解公式
1
2e i iiW q U
1
2e l lWU
1 1 0[ ( 2 ) ]
l n l nl
U
ba
2
1 1 0
1 [ ( 2 ) ]
2 ( l n l n )
U
ba
1
2eW Q U?
21
2eW C U
知识延展：
对于由导体系统组成的电容器，其总电场能量可采用如下方法求解
2
1 1 0
1 [ ( 2 ) ]
2 ( l n l n )el
UlW
ba
一、恒定电场基本方程恒定电场的基本量,E J
由电流守恒定律：
0J t
0 0t J
恒定电场仍然是保守场，因此 0E
小结：恒定电场基本方程为
0
0
J
E
0
0
S
l
J dS
E dl
二、欧姆定律
dS
JE
dl
高低若导电媒质中存在外加电场,该电场将在导电媒质中激励起电流
E
J
由欧姆定律：
UI
R?
E d lJ d S
dl
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()J s E l s lJE
欧姆定律微分形式设导电媒质的导电率为,在其中选取一体积元,方向与外加电场方向一致，如图所示。
dl dS dS
JE
在理想导体 ( )内，恒定电场为 0
恒定电场可以存在于非理想导体内
在导电媒质内，恒定电场 和 的方向相同E J
关于恒定电场欧姆定律的讨论：
三、焦耳定律
dS
JE
dl
高低电场做功功率为：
2Pp E J E
dV
电场力做功，将 电场能量转化为电荷运动机械能,最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为：
在导电媒质中,电场力使电荷运动,所以电场力要做功 。 设：电荷量V,运动速度 v,则电场力在时间?t内所做的功为
Δ W = F s = ρ Δ V E v Δ t
=E ρ v Δ V Δ t = E J Δ V Δ t
WdP
t
EJ Δ V
四、恒定电场边界条件用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场基本方程中的 代换为,则两者基本方程形式完全相同。
0S J dS 12( ) 0J J n
12nnJJ
0l E dl 12E n E n
电位边界条件的边界条件J
的边界条件E
12ttEE
21
21nn
12 0
D J
2
1
2
E
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1
E
2
1
2
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1
J
1 2 1 1
1 2 2 2
t a n t a n t a n
t a n
若,则 。
2 1 0
在理想导体表面上,和 都垂直于边界面。 J E
静电场和恒定电场性质比较：
场性质相同，均为保守场场均不随时间改变均不能存在于理想导体内部源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内讨论：
相同点：
不同点：
2
1
2
E
n
1
E
2
1
2
J
1
J
1 2 1 1
1 2 2 2
t a n t a n t a n
t a n
若,则 。
2 1 0
在理想导体表面上,和 都垂直于边界面。 J E
静电场和恒定电场性质比较：
场性质相同，均为保守场场均不随时间改变均不能存在于理想导体内部源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内讨论：
相同点：
不同点：
12
bc
abU E dr E dr
12
( l n l n ) ( l n l n )22IIb a c b
1 2 0
21
2
l n ( / ) l n ( / )
UI
b a c b
1 2 0
21
()[ l n( / ) l n( / ) ]UJ a r cb a c b r
20
1
1 2 1
()[ l n ( / ) l n ( / ) ] rUJE e a r bb a c b r
10
2
2 2 1
()[ l n ( / ) l n ( / ) ] rUJE e b r cb a c b r
22 ()
c
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1 1 2 ()
bc
rbE dr E dr a r b
2）由边界条件：
在 面上：ra?
11S Dn 1 2 0
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U
b a c b a
在 面上：rc?
2 1 0
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32SrDe
在 面上：rb?
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21
()
[ l n( / ) l n( / ) ]
U
b a c b b
3.7 电容和部分电容孤立导体的电位与其所带的电量成正比。
一、电容孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即
QC
U?
孤立导体电容电容 C只与导体几何性质和周围介质有关,与 q和?无关空气中半径为 a的孤立带电球,
关于孤立导体电容的说明：
0
0
QQ= C = = 4 π ε a
4a
12
QC
两个导体构成电容器。两导体间电位分别为 和,导体带电量分别为 Q和 -Q，则定义电容器电容为：
两个带等量异号电荷导体的电容关于电容器电容的说明：
同样地同,电容 C只与导体几何性质和介质有关平行板电容器电容
0
0
12
SS
S
SSqSC
E d d d
1? 2?
二、部分电容若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容单个导体上的电量
qC两个导体存在,且考虑大地影响时,相当于 3个导体的情况,
其中一个导体上的电量为
1 1 2 1 2 1 1 1q C C
其中 C12为导体 1,2间的电容,C11为导体与大地间的电容
N个导体存在,导体 i上的电量与它和其它导体之间的电位差
（ 包括大地 ） 有关,即有
1 11 1 12 1 2 13 1 3
2 22 2 21 2 1 31 3 1
3 33 3 31 3 1 32 3 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
q C C C
q C C C
q C C C
1
2
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11
C 33C22C
12
C 23C
13
C
式中：
iiC
导体与地之间电容，称导体自电容
ijC
导体之间的电容，称导体互电容
ij jiCC?
说明：
平行双线，导线半径为 a，导线轴线距离为 D
求：平行双线单位长度的电容。（ a<<D)
D
x
y
P
x
解：设导线单位长度带电分别为 和
，则易于求得，在 P点处,l l
1
02
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导线间电位差为：
Da
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0
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例计算同轴线内外导体间单位长度电容。
解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为和,则内外导体间电场分布为,l
l
1
02
l
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则内外导体间电位差为：
内外导体间电容为：
b
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0
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02
l n l n
QC
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例
3.8 电场能量一、空间总电场能量空间电荷分布为,在空间中产生电位为 。()r? ()r?
空间中总电场能量为：
1 ( ) ( )
2e VW r r d V
此公式只适用于静电场能量求解；
公式中 不表示电场能量密度；1
2为空间中自由电荷分布；
()r?
积分范围 为整个空间，但可退化到电荷分布区域。V
关于空间总电场能量的说明：
分布电荷总能量
1
2eWq
若电量为 q的电荷分布在导体上，导体电位为,则空间中总静电场能量为,?
对带电多导体系统
1
2e i iiWq
式中,为 导体上所带电量；
iq i
为 导体电位；
i? i
带电导体系统总能量二、电场能量密度
1 ( ) ( )
2e VW r r d V
1 ( ) ( )
2 V D r r d V
1 ( ) ( ) ( ) ( )2 V D r r D r r d V
11( ) ( ) ( ) ( )
22SVD r r d S D r E r d V
()A A A
2
2
11D d S r
rr?
1( ) ( )D r r d S
r
考查上式第一项：
在上式中,为整个空间，即 S为包围整个空间的闭合面，V r
( ) ( ) 0S D r r d S
1 ( ) ( )
2e VW D r E r d V eV w dV
1 ( ) ( )
2ew D r E r?
21
2 E
电场能量密度式中,为整个电场空间V
由边界条件知在边界两边 连续。E
解：设同轴线内导体单位长度带电量为
S D dS Q 1 1 0( 2 )r l E r l E Q
1 1 0[ ( 2 ) ]
l
rEe r
1 1 0
ln[ ( 2 ) ]b la bU E dr a
同轴线内外导体半径分别为 a,b，导体间部分填充介质
，介质介电常数为,如图所示。已知内外导体间电压为 U。
求：导体间单位长度内的电场能量。
例
1 1 0[ ( 2 ) ]
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1 [ ( 2 ) ] ;
2 ( l n l n )
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两种方法求电场能量：
或应用导体系统能量求解公式
1
2e i iiW q U
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1
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21
2eW C U
知识延展：
对于由导体系统组成的电容器，其总电场能量可采用如下方法求解
2
1 1 0
1 [ ( 2 ) ]
2 ( l n l n )el
UlW
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