1.5 亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理在有限区域内，任意矢量场由矢量场的 散度,旋度 和 边界条件 （即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。
二、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值 是否为零 进行分类：
调和场若矢量场 在某区域 V内，处处有,和则在该区域 V内，场 为调和场。
0F 0F
()Fr
()Fr
注意,不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
有源无旋场若矢量场 在某区域 V内，处处,但在某些位置或整个空间内，有,则称在该区域 V
内，场 为有源无旋场。
0F
0F
()Fr
()Fr
( ) 0c F r d l
结论,有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零 。有源无旋场也称 保守场 。
无源有旋场若矢量场 在某区域 V内，处处,但在某些位置或整个空间内，有,则称在该区域 V
内，场 为无源有旋场。
()Fr 0F
0FJ
()Fr
讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理说明：式中 为矢量场漩涡源密度。J
已知矢量 F的通量源密度矢量 F的旋度源密度场域边界条件 在电磁场中电荷密度?
电流密度 J
场域边界条件
（矢量 A唯一地确定）
有源有旋场若矢量场 在某区域 V内，在某些位置或整个空间内，
有 和,则称在该区域 V内，
场 为有源有旋场。
()Fr
0F 0FJ
()Fr
有源有旋场可分解一个 有源无旋场 和 无源有旋场 的叠加，即：
( ) ( ) ( )isF r F r F r
()
( ) 0
i
i
Fr
Fr

( ) 0
()
s
s
Fr
F r J

( ) ( )lF r F r( ) ( )sF r F r J
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义,研究电磁场的一条主线 。